Diffraction of a Shear Plane Wave in Elastic Medium with Piecewise Homogeneous Infinite Inclusion

Ա Ա Ա Ի Ի ՈՒԹ ՈՒ ԻԱ Ա Ի Ա Ա ԻԱ Ի Ղ Ա Ի

60, №2, 2007

539.3

. ., . .

: , , ,

, , , ,

-Keywords: method integrated Fourier, asymprotic formulas, layer, surface waves, inclu-sion, functional equations, difraction, Winer-Hopff equation

Ա. .Ո , .Խ.

Ա

։ Ա ,

։Խ

:

, ( )

,

- -

:

:

, .

.

.

, ( )

,

- .

. .

A. R. Voskanyan, E. Kh. Grigoryan

Diffraction of a Shear Plane Wave in Elastic Medium with Piecewise Homogeneous Infinite Inclusion

in-clusion is considered. The infinite inin-clusion consists of two semi-infinite parts made of different materials. The problem’s solution is presented in the form of sum of its even and odd problems. The case of long waves is considered and these problems (the even and odd ones) are modeled in a corresponding way after which each of them is reduced to the solution of Wiener-Hopf functional equation. Asymptotic formulas are obtained for dis-placement’s amplitude and contacts stresses in the far field. The behaviors of contact stresses in the neighborhood of the bonding line of the semi-infinite parts of the inclusion are also obtained.

,

oxyz

,

-(

−∞< ≤ < <∞

)

Ω₁ x 0, y h, z

(

)

2 0 x , y h z,

Ω ≤ < ∞ < < ∞

2

h

( .1).

β

(

e

−iωt , . .

,

t

– ,

ω

– )

( )

cos sin

,

ikx iky z

U

∞

x y

=

e

− β− β (1)

/

k

= ω

C

– ,

C

= µ ρ

–

,

µ ρ

,

– ,

0

< β < π

/ 2

.

.

, ,

.

,

, [1].

[2]

,

cos sin

ikx iky z

U

∞

=

e

− β− β

1 1

,

ρ

µ

µ

₂

,

ρ

₂

ρ

µ

,

ρ

.

( )

,

z

U

∞

x y

(

)

1

cos sin cos sin

1

2

ikx iky ikx iky z

U

∞

=

e

− β− β

+

e

− β+ β (2)

(

)

2

cos sin cos sin

1

2

ikx iky ikx iky z

U

∞

=

e

− β− β

−

e

− β+ β (3)

.

:

( )

1

,

W x y

,

W

₂

( )

x y

,

Е

, .

U

₁( )1

( )

x y

,

,

U

₂( )1

( )

x y

,

Е

, .

( )

_{( )}

y

x

U

₁2

,

,

U

₂( )2

( )

x

,

y

Е

, .

,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

_{( )}

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

_{( )}

y

x

U

y

x

U

y

x

U

y

x

U

y

x

U

y

x

U

y

x

W

y

x

W

y

x

U

y

x

U

y

x

U

y

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U

z

z z

z

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

) 2 ( 2 )

2 ( 1 2

) 1 ( 2 )

1 ( 1 1

2 1

2 1

+

=

+

=

+

=

+

=

∞ ∞

∞

(4)

( )

_{( )}

_x

_y

U

1

,

,

U

( )2

( )

x

,

y

–

,

U

_z

( )

x

,

y

Е .

.

1.

:

`

∆

W

₁

( )

x

,

y

+

k

2

W

₁

( )

x

,

y

=

0

Ω

(

y

>

h

,

−∞

<

x

<

∞

,

−∞

<

z

<

∞

)

(1.1)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0

,

,

₁2 ₁1

1

1

+

=

∆

U

x

y

k

U

x

y

Ω

₁

(

y

<

h

,

−∞

<

x

<

0

,

−∞

<

z

<

∞

)

(1.2)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

0

,

,

₂2 ₁2

2

1

+

=

∆

U

x

y

k

U

x

y

Ω

₂

(

y

<

h

,

0

<

x

<

∞

,

−∞

<

z

<

∞

)

(1.3) :

( )

( )1

_{( )}

1 1

1

,

,

y h _{y h}

W x y

U

x y

y

_=±

y

=±

∂

∂

µ

= µ

∂

∂

−∞ < ≤

x

0

( )

( )2

_{( )}

1 1

2

,

,

y h _{y h}

W x y

U

x y

y

_=±

y

=±

∂

∂

µ

= µ

(

_x

_h

)

_U

( )

₍

_x

_h

₎

W

₁

,

±

=

₁1

,

±

−

∞

<

x

≤

0

(

_x

_h

)

_U

( )

₍

_x

_h

₎

W

₁

,

±

=

₁2

,

±

0

≤

x

<

∞

(1.5)

( )

₍

_y

₎

_U

( )

₍

_y

₎

U

₁1

−

0

,

=

₁2

+

0

,

( )1

_{( )}

( )2

_{( )}

1 1

1 2

0 ₀

,

,

x _x

U

x y

U

x y

x

x

=− =+

∂

∂

µ

= µ

∂

∂

(1.6)

2 2 2 2

y

x

∂

∂

+

∂

∂

=

∆

,

k

₁2

= ω

2

/

C

₁2,

k

₂2

= ω

2

/

C

₂2 Е ,

1 1

1

C

=

µ

ρ

,

2 2

2

C

=

µ

ρ

Е

,

µ ρ µ ρ

₁

,

₁

,

₂

,

₂ Е

, .

, . .

hk

₁

<<

1

,

hk

₂

<<

1

,

( )

(1)

1

,

U

x y

,

U

₁(2)

( )

x

,

y

. (1.2) (1.3)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

1

( )1

_{( )}

₀

1

1 1

1 2 1 2

1 1 2

=

+

+

q

x

h

x

V

k

dx

x

V

d

µ

−

∞

<

x

≤

0

(1.7)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

1

( )2

_{( )}

₀

1

2 2

1 2 2 2

2 1 2

=

+

+

q

x

h

x

V

k

dx

x

V

d

µ

0

≤

x

<

∞

(1.8)

( )

_{( )}

_∫

( )

_{( )}

−

=

h

h

dy

y

x

U

h

x

V

,

2

1

1

1 1

1 (1.9)

( )1

_{( )}

1( )1

( )

( )1

_{( )}

( )1

₍

₎

1( )1

( )

1 1 1

,

,

,

,

yz yz

y h _{y h}

U

x y

U

x y

q

x

x h

x

h

y

y

µ

τ

τ

µ

= ₌₋

∂

∂

=

=

= −

− = −

∂

∂

( )

_{( )}

_∫

( )

_{( )}

−

=

h

h

dy

y

x

U

h

x

V

,

2

1

2

1 2

1 (1.10)

( )2

_{( )}

1( )2

( )

( )2

_{( )}

( )2

₍

₎

1( )2

( )

1 2 2

,

,

,

,

yz yz

y h _{y h}

U

x y

U

x y

q

x

x h

x

h

y

y

µ

τ

τ

µ

= ₌₋

∂

∂

=

=

= −

− = −

∂

∂

( )

_{( )}

x

q

₁1 ,

q

₁( )2

( )

x

Е ,

.

(1.6)

( )

_{( )}

₀

( )2

_{( )}

₀

_{( )}

₀

1

1

1

V

V

( )1

_{( )}

( )2

_{( )}

1 1

1 2

0 ₀

x _x

dV

x

dV

x

X

dx

dx

=− =+

µ

= µ

=

(1.11)

( )

0 ,

V

X

– , .

( ) ( ) ( )

x

x

f

x

f

+

=

θ

,

f

−

( ) ( ) ( )

x

=

θ

−

x

f

x

(1.12)

( )

x

θ

– .

(1.11) (1.12), (1.7) (1.8), :

( )

_{( )}

( )

(

)

( )

_{( )}

(

)

1

1 1

1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

0

i V

X

q

V

k

k

h

k

−

−

_{σ =}

σ

₋

₋

σ

− σ

µ

− σ

µ

− σ

(1.13)

−∞ < σ < ∞

( )

_{( )}

( )

(

)

( )

_{( )}

(

)

2

2 1

1 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2

0

i V

X

q

V

k

k

h

k

+

+

_{σ = −}

σ

₊

₋

σ

− σ

µ

− σ

µ

− σ

(1.14)

−∞ < σ < ∞

V

₁( )1

( )

V

₁( )1

( )

x e dx

i x

∞

− − σ

−∞

σ =

∫

;

V

₁( )2

( )

V

₁( )2

( )

x e dx

i x

∞

+ + σ

−∞

σ =

∫

( )

_{( )}

( )

_{( )}

∫

∞

∞ −

− −

=

q

x

e

dx

q

₁1

σ

₁1 iσx ; ( )

( )

∫

( )

( )

∞

∞ −

+ +

=

q

x

e

dx

q

₁2

σ

₁2 iσx

,

−

k

₁

,

−

k

₂ ,

2 1

,

k

k

– .

( )

( )

(

( )

_{( )}

( )

_{( )}

)

x

q

x

q

y

y

x

W

y

y

x

W

h y h

y

+ −

− = +

=

+

=

∂

∂

−

∂

∂

₂

1 1

1 1

1

,

,

2

µ

(1.15)

∞

<

<

∞

−

x

(

_x

_h

)

_V

( )

_{( )}

_x

_V

( )

_{( )}

_x

W

₁

,

±

=

₁1−

+

₁2+

−

∞

<

x

<

∞

(1.16)

,

W

₁

′

( )

x

,

y

( )

x

y

W

( )

x

y

U

( )

x

y

W

,

,

_z

,

1

1 1

∞

−

=

′

(1.17)

,

W

₁

′

( )

x

,

y

(1.1).

(1.1)

(

)

₍

₎

2

1 2

1 2

,

,

0

d W

y

W

y

dy

′ σ

′

− γ

σ

=

γ = σ −

2 2

k

2 (1.18) (1.18),

(

)

1

,

1

y

W

′ σ

y

=

C e

−γ (1.19)

2 2 2 2

k

i k

σ −

= −

− σ

, . . (1.19)

.

2 2

k

α −

α = σ + τ

i

k

σ =

,

σ = −

k

–

, . .

−

k

,

k

–

[3].

, (1.15)

(1.19),

( )

( )

( )

( )

( )

(

) (

)

1 2

1 1

1 _{2 2}

2 2

|

2

sin sin

sin

cos

h

h

q

q

C

e

k

k

kh

k

e

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− +

γ

γ

σ +

σ

σ = −

+

µ σ −

π

β

β δ σ −

β

+

σ −

(1.20)

(1.16), (1.13), (1.14) –

-( )1

_{( )}

1

q

−

σ

q

₁( )2+

( )

σ

:

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

₍

₎

₍

₎

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 1 1

1 2 2 1

1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 1

2 2 2

2 2 _sin

2 2 2

2 2

1

1

1

1

0

sin

cos

2

cos

sin

cos

ikh

h

k

k

L

k

q

q

k

L

L

i

V

X

k

k

k

k

ih

k

k

k

e

k

i k

h

k

k

+ −

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µµ

− σ

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σ

µ

− σ

σ +

σ =

×

µ

− σ

σ

σ

⎞

⎛

⎞

⎛ ⎛

⎞

_⎟

⎜

⎟

× σ

_{⎜ ⎜}

_⎜

−

_⎟

+

−

−

⎜

⎟ ⎟

− σ

− σ

µ

− σ

µ

− σ

⎝

⎠

⎝

_⎝

_{⎠ ⎠}

µµ

β

−

β

− π

δ σ −

β

µ

β + µ

−

β

(1.21)

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

L

k

h

k

L

k

h

k

σ = µ σ −

− µ

− σ

σ = µ σ −

− µ

− σ

(1.22)

, , ,

k

₁

>

k

,

k

k

₂

>

.

L

₁

( )

σ

L

₂

( )

σ

±σ

₁,

±σ

₂,

(

)

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2

2

4

2

k

k

k

σ =

+ λ − λ λ +

−

;

k

< σ <

₁

k

₁; ₁

1

h

µ

λ =

µ

(

)

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

4

2

k

k

k

σ =

+ λ − λ λ +

−

;

k

< σ <

₂

k

₂; ₂

2

h

µ

λ =

µ

,

,

−σ −σ

₁

,

₂ ,

σ σ

₁

,

₂

, ,

k

<

k

₂

<

k

₁. ,

1 2

( )

( )

2 2

2

1

2 2

1

k

K

K

k

− σ

σ =

σ

− σ

(1.23)

( )

( )

( )

1 2 1

1 2

L

K

L

σ

µ

σ =

µ

σ

(1.24)

( )

K

σ

.

( )

1

K

σ

,

( )

2 1

( )

_{( )}

( ) ( )

1 1 1

1 2

L

K

K

K

L

+ −

σ

µ

σ =

=

σ

σ

µ

σ

( )

( )

1

R

K

+

σ =

e

+ σ ;

K

₁−

( )

σ =

e

R−( )σ

( )

( )

( 0)

0

ix i

R

R x e

dx

∞

σ+ +

_{σ =}

∫

;

( )

( )

( )

0

0

ix i

R

−

R x e

σ−

dx

−∞

σ =

_∫

(1.25)

( )

2 1

( )

_{( )}

1 2

1

ln

2

i x

L

R x

e

d

L

∞

− σ

−∞

⎛

µ

σ

⎞

=

⎜

_⎜

⎟

_⎟

σ

π

∫

_⎝

µ

σ

_⎠

,

K

₁+

( )

α

Im

( )

α >

0

,

( )

1

K

−

α

Im

( )

α <

0

,

α = σ + τ

i

[3].

( )

( )

1

R

σ = Ο σ

−

σ → ∞

,

( )

(

(

)

1

(

)

)

0

ln

0

R

−

σ = Ο σ −

i

−

σ −

i

;

R

+

( )

σ = Ο σ +

(

(

i

0

)

−1

ln

(

σ +

i

0

)

)

, ,

K

±

( )

σ →

1

σ → ∞

.

( )

R

−

σ

, .2,

( )

₍

( )

₎

₍

( )

₎

1

2

0 0

1

1

ln

K

S

io

R

d

dS

i

io

S

io

io

∞

−

_{σ =}

ϕ τ

_{τ −}

ψ

₊

σ − − σ

π τ + σ −

∫

π

∫

− σ −

σ − − σ

(1.26)

( )

( )

R

+

σ

=

R

−

−

σ

(1.27)

.2

2 σ

1

σ

( )

₍

₎

(

₍

)

₎₍

(

)

₎

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

arctg

arctg

arctg

h

k

k

k

k

h

k

k

k

k

h

k

h

k

⎡

⎤

µ

+ τ µ

_⎣

+ τ − µ

+ τ

_⎦

ϕ τ =

=

µ

+ τ + µ µ

+ τ

+ τ

µ

+ τ

µ

+ τ

=

−

µ

+ τ

µ

+ τ

( )

₍

₎

(

₍

) (

₎₍

)

₎

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

2 2 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

arctg

arctg

arctg

h

k

S

k

S

k

S

S

k

S

h

k

S

k

S

k

S

k

S

h

k

S

h

k

S

⎡

⎤

µ

−

_⎣

µ

−

− µ

−

_⎦

ψ

=

=

µ

−

+ µ µ

−

−

µ

−

µ

−

=

−

µ

−

µ

−

,

(

1

0

)

1

i

(

S

)

S

− σ −

i

=

S

− σ

− πδ

− σ

(1.26),

( )

2

( )

1 1

k

K

K

k

+

_{σ =}

+ σ

+

_σ

+ σ

;

( )

2 1

( )

1

k

K

K

k

−

_{σ =}

− σ

−

_σ

− σ

(1.28)

(1.31), (1.23)

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

2

1 1

1

q

K

q

F

K

+

− −

+

σ

+

σ

σ =

σ −

σ

(

)

(

(

)

)

(

)

2 2 2

2 2 sin

2 2 2

2 2

sin

cos

2

cos

cos

sin

cos

ikh

h

ik

k

k

k

e

K

k

i k

h

k

k

β +

µµ

β

−

β

π

−

δ σ −

β

β µ

β + µ

−

β

(1.29)

( )

1

( )

( )

2

( )

( )

1 2

0

X

0

X

F

σ =

F

σ

⎛

_⎜

i V

σ

−

⎞

_⎟

+

F

σ

⎛

_⎜

i V

σ

−

⎞

_⎟

µ

µ

⎝

⎠

⎝

⎠

(1.30)

( )

_{( ) ( )}

2 2 2 22 2

1 2 2

2 1

h

k k

F

K

+

L

k

µµ σ −

− σ

σ =

σ

σ

− σ

(1.31)

( )

_{( ) ( )}

2 2 2 2

2

h

k

F

K

+

L

µµ σ −

σ = −

σ

σ

(1.32)

,

( )

_{( ) ( )}

2 2 2 22 2

1 2 2

2 1

1

2

i x

h

k k

F x

e

d

K

L

k

∞

− σ +

−∞

µµ σ −

− σ

=

σ

π

∫

σ

σ

− σ

(1.33)

( )

0

( )

( 0)

1 1

i i x

F

−

F x e

σ−

dx

−∞

( )

( )

( 0)

1 1

0

i i x

F

F x e

dx

∞

σ+ +

_{σ =}

∫

(1.35)

( )

x

F

₁ ,

(1.34)

F

₁−

( )

σ

( )

( )

₍

_{) (}

(

(

₎

)

₍

₎

)

₍

₍

₎

₎

( )

₍

_{) (}

(

(

₎

)

₍

₎

)

(

)

1

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 _{1 2 2}

2

2 2

2 2

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 _{1 2 2}

k

F

k d

h k

K i _{k k h k i io}

k S

k S dS

S io

K S _{k S k S h k S}

−

∞ + +

=

⎛ ₊

+ ⎜

= _⎜ −

+ + + + + −

⎜ ⎝

⎞ −

− ⎟

− _⎟+

− −

− − + − ⎟_⎠

∫

∫

σ

τ

τ

µµ

τ

π

τ

_τ

_µ

_τ

_µ

_τ

_τ

_σ

σ

µ

µ

(

11

0

)

(

21

0

)

A

B

k

i

i

σ

−

σ

σ

−

+

+

−

+

−

+

(1.36)

( )

1

F

+

σ

=

F

₁

( )

σ

−

F

1

( )

−

_σ

(1.37)

( )

σ

+

2

F

F

₂−

( )

σ

.

( )

( )

(

₍

₎

₍

₎

)

(

)

2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

0

2 2

F

h

k

k

d

K

i

_k

_h

_k

i

io

−

∞

+

σ =

⎛

µµ

⎜

+ τ

+ τ

τ

= −

_⎜

−

π

_⎜

τ

_µ

_{+ τ + µ}

_{+ τ}

τ + σ −

⎝

∫

(1.38)

( )

(

₍

₎

₍

₎

)

(

)

(

)

2 2

2 2

2 1

2

2 2 2 2 2 2 2

2 0

2 2

k

k

S

D

k

S

dS

S

io

io

K

S

_k

_S

_h

_k

_S

− +

⎞

−

−

⎟

−

_⎟

−

− σ −

σ − σ +

µ

−

+ µ

−

⎟

_⎠

∫

(

)

( )

(

)

2 2

2 2 1

2 2

2 2

2

2 2

h

k

D

K

h

k

− ₊

µµ σ −

= −

σ σ µ + µ σ −

(1.39)

( )

2

F

+

σ

=

F

₂

( )

σ

−

F

₂−

( )

σ

(1.40)

(1.36), (1.37) (1.38), (1.39) (1.30), (1.29) , ,

(

)

1

1

2

cos

cos

0

cos

0

i

k

k

i

k

i

π δ σ −

β =

−

σ −

β −

σ −

β +

(1.41)

( )

( )

( )

_{( )}

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

1 0

1 2

1 0

cos

0

cos

0

A

M

K

q

F

k

i

q

A

F

M

k

i

K

− − − −

+

+ +

+

σ =

σ

σ −

σ +

=

σ −

β −

σ

=

+

σ +

=

σ

σ −

β +

σ

(1.42)

(

)

(

β

)

(

β

)

µ

β

µ

β

β

µµ

β

cos

cos

sin

cos

sin

sin

2 2 2 2 2

2 2 2 2

0

k

K

e

k

k

h

k

i

k

k

k

h

A

ikh +

−

+

−

=

(1.43)

( )

1

( )

( )

2

( )

( )

1 2

0

X

0

X

F

+

σ =

F

+

σ

⎛

_⎜

i V

σ

−

_⎟

⎞

+

F

+

σ

⎛

_⎜

i V

σ

−

⎞

_⎟

µ

µ

⎝

⎠

⎝

⎠

(1.44)

( )

1

( )

( )

2

( )

( )

1 2

0

X

0

X

F

−

σ =

F

−

σ

⎛

_⎜

i V

σ

−

_⎟

⎞

+

F

−

σ

⎛

_⎜

i V

σ

−

⎞

_⎟

µ

µ

⎝

⎠

⎝

⎠

(1.45)

, [4].

(1.42)

.

( )

( )

M

+

x

=

M

−

x

−

∞

<

x

<

∞

(1.46)

[5, 6]

0

( )

( )

( )

n k k k

M

+

x

M

−

x

a

x

=

=

=

∑

δ

(1.47)

( )

( )

k

δ

σ

–

k

-

δ

( )

x

,

δ

( )0

( )

x

= δ

( )

x

. (1.47)

,

0

( )

( )

( )

n

k k

k k

M

+

M

−

i a

=

σ =

σ =

∑

−

σ

(1.48)

,

K

±

( )

σ →

1

σ → ∞

.

[4],

q

₁( )1−

( )

x

+

q

₁( )2+

( )

x

= Ο

(

ln

x

)

x

→

0

, ,

( )1

_{( )}

(

₍

₎

1

₍

₎

)

1

ln

q

−

σ = Ο σ −

io

−

σ −

io

;

q

₁( )2+

( )

σ = Ο σ +

(

(

io

)

−1

ln

(

σ +

io

)

)

( )

( )

1

F

σ = Ο σ

−

σ → ∞

,

( )

(

(

)

1

(

)

)

ln

F

+

σ = Ο σ +

io

−

σ +

io

;

F

−

( )

σ = Ο σ −

(

(

io

)

−1

ln

(

σ −

io

)

)

σ → ∞

, ,

M

+

( )

σ →

0

,

M

−

( )

σ →

0

( )

0

M

+

σ ≡

;

M

−

( )

σ ≡ −∞ < σ < ∞

0

(1.49) (1.51)

q

₁( )1−

( )

σ

,

q

₁( )2+

( )

σ

(1) ₀

1

( )

( )

( )

( )(

cos

)

A

F

q

K

K

k

io

− −

− −

σ

σ =

−

σ

σ σ −

β −

(1.50)

( )

(2) ₀

1

( )

( )

( )

(

cos

)

A

q

K

F

K

k

io

+

+ + +

σ =

σ

σ −

σ

σ −

β +

(1.51)

( )

,

X V o

(1) 1 1 1 1

(

)

( )

q

k

X

i k V o

h

µ

−

−

+

= −

h

k

q

o

V

k

i

X

(

)

(

2

)

) 2 ( 1 2

2

+

=

−

µ

(1.50), (1.51)

W

₁

(

σ

,

y

)

(1.24) (1.17),

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

₍

₎

₍

_{) (}

₎

1 2

1 1

1 _{2 2}

sin

,

2

sin

sin

cos

2 cos

sin

cos

y h

ik y h

q

q

W

y

e

k

i

kh

e

k

ky

k

− +

−γ −

β −

σ +

σ

σ

= −

+

µ σ −

+ π

β

δ σ −

β + π

β δ σ −

β

(1.52)

(1.52) ,

( )

x

y

W

₁

,

x

<

0

,

x

>

0

.

( )

x

y

W

₁

,

y

y

>

0

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

1

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 1 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 2 1 1

cos cos

1 ,

( ) ( ) ( ( ) )

1

( ) ( ) ( )

k

x i x

q i k y q k y

W x y e d i e d

k k

h k k V o i X k k

k k h k

+ +

∞

τ − σ

∞

⎡ _{τ τ + σ − σ} ⎤

⎢ ⎥

= − τ + σ +

µπ ⎢_⎣ τ + − σ ⎥_⎦

⎡ µ µ − τ − µ − µ − µ − µ τ

⎢

+ ×

µ π_⎢⎣ + τ µ + τ + µ + τ

∫

∫

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 1 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 2 1 1

cos

sin

(

) ( )

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

x

k

k

k

y

h k

k

y e

d

h

k

k V o i

X

k

k

k

k

h k

−τ

× µ

+ τ

+ τ

− µ

+ τ

+ τ

τ −

µ µ

−

σ −

µ

− µ

+ µ − µ σ

−

×

− σ

µ

− σ + µ

− σ

∫

(

)

(

)

( ) ( )

(

(

(

)

)

)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 1 1

cos sin

( ) ( )

i x

k k y h k k y e d

F i K i k h k k h k k h

k h k

− σ

+ +

∞

× µ − σ − σ − µ − σ − σ σ +

⎡ _{τ τ µ + µ µ + µ + µ µ + τ + µ µ τ}

µ ⎢

+ _⎢ ×

µµ π µ + τ + µ + τ

⎢⎣

∫

( ) ( )

(

(

(

)

)

)

2 2 2 2

1 1

2 2 _{2 2}

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

0

cos

( ) ( )

x

k

k k y

e d

k _k

F K k h k k h k k h

k h k

τ

+ +

+ τ + τ

× τ −

+ τ _{+ τ}

σ σ µ + µ µ − µ + µ µ + σ + µ µ σ

− ×

µ − σ + µ − σ

( ) ( )

(

(

)

)

2 2 2 2

1 1

2 2 _{2 2}

2

2 2 2 2 2 _{2 2}

2 2 1 1 1 2 1

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 1 1 2

cos

sin

( ) ( )

i x

x

k k y

e d

k _k

F i K i k k k y

h k

e d

k h k k

− σ

+ +

∞

τ

⎤

− σ − σ

× σ +⎥

− σ _{− σ ⎥⎦}

⎡ _{τ τ µ + µ − µ − µ τ + τ}

µ _⎢ + τ

+ τ −

⎢

µ π µ + τ + µ + τ + τ

⎣

∫

( ) ( )

(

(

)

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 _{2 2}

2 2 1 1 1 2 1 ₁

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2

0

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1

1 0

2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 1 1

sin

(

)

(

)

sin

(

)

(

)

k

i x

F

K

k

k

k

_{y k}

e

d

k

h k

k

h k

k

k

k

y

A

k

h k

+ +

− σ ∞

⎤

σ

σ µ

− µ

+ µ − µ σ

− σ

_{− σ}

⎥

−

σ +

⎥

µ

− σ + µ

− σ

− σ

⎦

⎡

_{+ τ µ}

_{− µ}

_{+ µ − µ τ}

_{+ τ}

µ

_⎢

+

−

⎢

µµ π

µ

+ τ + µ

+ τ

⎣

∫

∫

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

1

2 2 _{2 2}

2

cos

(

)

(

)

1

cos

0

x

k

h

k k

h

k

k

h

k

y

k

h k

K

i

k

e d

i

k

i k

_k

τ

µ

µ µ

µ

µ µ

τ

µ µ τ

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µ

τ

µ

τ

τ

τ

_τ

τ

β

τ

_τ

+

⎡

₊

₋

₊

₊

₊

⎤

₊

⎣

⎦

−

×

+

+

+

+

×

−

−

+

+

₊

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

1

2 2 _{2 2}

2 ₂

sin

( ) ( )

cos

( ) ( )

1 cos

k

i x

h k k k k y

i

k h k

k h k k h k k h k y

k h k

K k

e d

k io k _k

+

− σ

− σ µ − µ − µ − µ σ − σ

− −

µ − σ + µ − σ

⎡_{µ + µ µ − µ + µ µ + σ + µ µ σ} ⎤ _{− σ}

⎣ ⎦

− ×

µ − σ + µ − σ

σ − σ

× σ −

σ − β + − σ _{− σ}

∫

(

)

₍

₎

( )

(

)

(

)

1

2 2 1 1 1

sin sin cos cos 0

cos cos

2 3

sin

sin

cos

sin

cos

sin

sin

ikR

k y i x

ikR

A

kh

e

K

k

k

kR

e

i B

B e

e

β θ β θ

σ σ β θ

β

µ

β

β

β

θ

+ −

− − −

⎛

⎞

−

⎜

_⎜

−

⎟

_⎟

+

⎝

⎠

+

+

+

0

<

x

y

R

₁

sin

θ

=

;

R

₁

cos

θ

=

x

;

R

₁2

=

x

2

+

y

2;

y

₁

=

y

−

h

(

)

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1

2 2

2 1

2 2 2 2

2 1 2 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2

2 1 2 1 1 1

(

(

) ( )

(

)

(

)

2

(

)

(

)(

(

)

(

)

2

i

k

k V o

X

k

k

B

h

k

k

h

k

F

K

k

i

k

h

k

k

h

k

σ µ µ

µ

µ

µ µ σ

µ σ

µ σ

σ

µ

µ σ

σ

σ µ

σ

µ σ

µ

σ

µ σ

σ

µ

µ σ

+ ₊

⎛

₋

₋

₋

₊

₋

⎜

=

−

_⎜

−

−

+

−

⎜

⎝

⎞

−

−

−

−

_⎟

−

_⎟

(

)

(

)

( )

2 2 2 2

2 2

1 1 2 2 1 _{0 1}

1 1 1

3 2 2 _{2 2}

2 2 1 ₁

2

_{1 1} 1

cos

k

h

k

_{A K}

k

B

k

_h

_k

k

io

µ σ

µ

σ

σ

µ

σ

µ

σ

_{σ µ}

_{µ σ}

σ

β

+

−

−

−

−

=

−

₊

₋

−

+

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

1 2 2 1 2 2

1 1 1 1

1 _{2 2 2 2}

0 0

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 1 2 2

cos cos 1 , ( ) ( ) ( ( ) ) 1 ( ) ( ) ( ) k

x i x

q i k y q k y

W x y e d i e d

k k

h k k V o X k k

k k h k

τ σ

τ τ σ σ

τ σ

µπ _{τ σ}

µ µ τ µ µ µ µ τ

µ π τ µ τ µ τ

+ + ∞ − ∞ ⎡ _{− + − −} ⎤ ⎢ ⎥ = − + + ⎢ + − ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ − + − − − ⎢ + × + + + + ⎢⎣

∫

∫

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 1

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 1 2 2

cos

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(

(

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(

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+

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−

−

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−

×

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−

+

−

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(

)

( )

(

(

(

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2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 0 2 2

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σ

σ

µ

σ

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τ

µ

τ

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∫

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(

(

(

)

)

)

2 2 2 2

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1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

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2 2 2 2 2 2 2 2

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τ

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µ µ

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µ

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σ

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+

−

+

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−

+

−

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(

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⎢

⎢

⎣

⎡

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+

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+

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−

−

−

+

+

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⎥

⎦

⎤

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−

−

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τ

τ

τ

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τ

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τ

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µ

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µ

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(

)

(

sin

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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2 2 2 2 2 2 2 2

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(

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sin

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µ

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µ

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τ

β