17
ՀԱՅԱՍՏԱՆԻԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻԱԶԳԱՅԻՆԱԿԱԴԵՄԻԱՅԻՏԵՂԵԿԱԳԻՐ
ИЗВЕСТИЯ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК АРМЕНИИ
Մեխանիկա 67, №3, 2014 Механика
УДК 539.1
ПРОНИКАНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В УПРУГУЮ ИЗОТРОПНУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ, ЧАСТЬ ГРАНИЦЫ КОТОРОЙ ИМЕЕТ ДВИЖУЩУЮСЯ
ЖЁСТКУЮ ОПОРУ
Давтян А.В.
Ключевые слова:интегральные преобразования, свёртка, движущиеся трещины, смешанные граничные задачи.
Key words:integral transforms, convolution, moving cracks, mixed boundary value problems. ԴավթյանԱ.Վ.
Հարվածայինալիքիներթափանցումըեզրիմիմասումփոփոխականարագությամբշարժվողկոշտ հիմքունեցողիզոտրոպառաձգականկիսահարթություն
Դիտարկվում էհարվածային ալիքի` առաձգականիզոտրոպ կիսահարթություն թափանցման հարթխնդիրը, որիմիմասնունիկոշտհիմք: Հիմքիեզրըշարժվումէփոփոխականարագությամբ: ԽնդիրըլուծվածէԼապլասիևՖուրյեիինտեգրալձևափոխություններիևփաթույթներիմեթոդով: Լուծված են կիսատարածության եզրով տարածվող հարվածային ալիքի վերաբերյալ մասնակի խնդիրներ: Որոշված են լարումներիինտենսիվության գործակիցները և լարումը կոնտակտի գծի վրա:
Davtyan A.V.
Penetration shock wave in elastic isotropic half-plane, boundary of which has the rigid support moving with arbitrary velocity
In present paper is considered the problem of penetration of the pressure in an isotropic elastic half-plane, boundary of which has the rigid support moving with arbitrary velocity. Solution of the plane problem is sought by method of integral transforms Laplace, Fourier and by method of the convolutions. Partial problems about a shock wave propagating along the boundary half-plane are solved. The stress intensity factors, stress on the line of contact is calculated.
Задача о распространении давления, заданного на границе, в глубь упругого или жидкого полупространства, изучалась в [1,2,3]. Решения краевых задач для анизотропной среды методом Смирнова-Соболева даны в [4], а методом интегральных преобразований – в [5,6]. Применение методов Смирнова-Соболева и интегральных преобразований к задачам динамической упругости дано в [7,8,9].
В настоящей работе рассматривается задача проникания давления в упругую изотропную полуплоскость, часть границы которой имеет жёсткую опору, а край опоры движется с переменнной скоростью. Решение плоской задачи находится методом интегральных преобразований Лапласа и Фурье и методом свёрток [10,12,14]. Решаются частные задачи об ударной волне, распространяющейся по границе полуплоскости. Найдены коэффициенты интенсивности напряжений и напряжения на линии контакта.
§1. Возникновение фронта давления на жёсткой опоре
Рассматривается задача проникания давления в упругую изотропную полуплоскость, часть границы которой имеет жёсткую опору и опора движется с переменнной скоростью
t
, где
t
– закон движения края опоры. Опора занимает часть границыx
t
. В моментt
0
имеемu
0,
x
0
приx
0
и
0,
xy
x
P H
x
приx
0
, где 0 иH x
есть единичная функция Хевисайда.18
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
v
( ) ,
v v ( ) v
u u u
a b a b
x y x y t
u
a b a b
y x x y t
(1.1)
где
a b
,
– скорости продольных и поперечных упругих волн. Граничные условия приy
0
имеют вид
2
1
v
xy
b
u
y
x
PH Vt
x
приx
t
,
,
,
0
u t x
u t x
приx
t
, (1.2)
22
2
2v
0
yy
a
b
u
x
a
y
приx
,где
– плотность среды, Vесть скорость ударной волны,P
const
,V
const
,V a
. Приt
0
имеем нулевые начальные условияu v
u
v
0
x
x
.Значения
xy
t x
,
приx
t
иu u t x
,
приx
t
неизвестны. Уравнения (1.1) и (1.2) будем решать с помощью преобразования Лапласа по времениt
и преобразования Фурье по координатеx
(преобразование LF) и решение ищем в виде:
0
0
0
0 2 2
1 2 2
1
1
s,q exp
,
4
1
v
v
s,q exp
,
4
i LF
n n
n i
i LF
n n
n i
u
u
st i y iqx dsdq
i
st i y iqx dsdq
i
(1.3)
2 21
,
2,
s
s q
i
q
a
2 22
,
2s
s q
i
q
b
.
Тогда изображения функций
xy
t x u t x
, ,
,
(обозначим через
xyLF,
u
LF)связаны соотношениями:
,
,
,
LF LF LF
xy
u
s q
S
s q
s q
, (1.4)
2
2 2
2 4
,
,
,
LFs
s
q
b
S
s q
b R s q
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
,
s
2
4
s
s
R s q
q
q
q
q
b
a
b
Здесь s i есть параметр преобразования Лапласа, 0 0 и мало,
R s q
,
есть функция Рэлея. Стандартным путём можно провести факторизацию, т.е. представитьS
LF
s q
,
S
LF
s q S
,
LF
s q
, ,
причём вид сомножителейS
LF
s q
,
зависит от диапазона, которому принадлежит скорость распространения трещины
(t)
19
/q is b (точки ветвления) и
q
is c
/
R (простые полюса), гдеc
R– величинаскорости волны Рэлея. Следуя [11] обычным путём, можно получить
,
,
LF
R
s iq
iq
b
S
s q
s
D
s
iq
c
4 2 21
,
1
1
2
LF Rs iq
iq
b
S
s
D
s
iq
b
c
b
a
(1.5)
1 11
exp
b,
a
iq
D
iq
d
s
s
2 2 2
2 2 2 2 2
1
1
4
arctg
1 2
b
a
b
Для облегчения дальнейщих вычислений представим
D
iq
s
в некоторойиной форме [10,12]:
11 1
1
b,
a
iq
du
D
F u
iq
s
u
s
1 1 2 11
b,
a
iq
du
D
F u
iq
s
u
s
(1.6)
1
exp
,
F u
u
u
F u
2
u
exp
u
,
2 2 2
2 2
4
2 4 2 2
2 2 2
4
1
1
,
1
2
16
1
1
u u
u
a
b
u
u
u
u
u
b
b
a
1 11
b.
a
d
u
u
Введём функции
P
LFF1 /
S
LFF
. Обозначим черезS t x P t x
, ,
,
оригиналы, соответственно,S
LF
s q P
, ,
LF
s q
,
и вычисляя их аналогично [10,12], получим
1 1 1 1 , 1 1 R R RH x c b t t
S t x BH H
t c x x b
x t c x
1 1 1 1 1 , 1 tx a R tF u uH
t
b b x duH
x a t u u c x
(1.7)
1 1 3 11 1
1
,
b,
R a
H x
x
P t x
D
t
F h
t hx dh
c t
x
x
b
b
20
1 1
2 1 2 1
3
1 1 1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
h b b
a a a
R
F u
F u du
F u du
d
du
F h
D
B
du
u
h u
b
u
u
b
c
b
где
x
– функция Дирака,F u F u
1
,
2
даются формулой (1.6). Функции
, ,
,
S t x P t x
получаются из (1.7) и (1.8) заменойx
на
x
и умножением на постоянные соответственно
2
b b
4
2
a
2
1 и 2 b b4
2a2
.Представим функции
u
LF
s q
, ,
LFxy
s q
,
в виде,
,
LF LF LF LF LF LF
u
u
u
(1.9) гдеu
LF,
LF – неизвестные функции,u
LF,
LF есть изображения оригиналов
, ,
,
u t x
t x
. Кроме того, нетрудно заметить, что функцияS
LF
s q
,
такова, что указанная факторизация приводит к функциямS
LF
s q P
, ,
LF
s q
,
, оригиналы которых удовлетворяют условиям:
,
,
0
S t x
P t x
приx
c t
R,
(1.10)
,
,
0
S t x
P t x
приx c t
R,
c
R
(t)
c
R,
где
(t)
– гладкая функция.Подставляя (1.9) в (1.4) и учитывая (1.10), можно, как и в [10,12], получить решения постaвленной задачи в форме свёрток по
x t
,
:
( , )
t x
P
S
P
u H
x
0 ;
(1.11)
( , )
0 .
u t x
S
S
P
u H x
Здесь символы
означают свёртку поt x
,
.Подставляя (1.7), (1.8) и значение
из (1.2) в (1.11) и учитывая, что по условию задачиu
0,
на осиx
получим:
( , )
t x
P
S
H
x
0 ;
( , )
0 .
u t x
S
S
H x
(1.12) Используя формулы (1.12), (1.8) и (1.2), вычислим свёрткуS
, которая записывается в виде
0
**
t,
,
S
S t x
t t x x dt dx
. (1.13)Вычисление интеграла (1.13) с учётом (1.2) даёт 0
**
P
x
H
x
,
S
t
t
V
V
21
1 00 1 0
4
2 2
1
1
1
1
,
1
1
,
1
1
1
1
2
R
PB C
b V
P
B
D
C
V
b
c
V
b
a
b V
Подставляя (1.14) и значение
P t x
,
из (1.8) в (1.12), получаем:
1 1
1
3 1
1
1
( , )
, , ,
b, , ,
,
a
PB
t x
D
N x t
F h N x t h dh
b
b
(1.15)
0
01 1
1
1
arctg
1
2
1
1
, , ,
,
1
1 1
1
R R
h H T
c V
V
c
N x t h
H T
h
b
V
h
b V
V
0 0
0
1
,
1
T
V
h
x h
V
0 0
0 0 0 0
0
,
,
0
t
t t
T
t
t
x
h
.
Аналогичным путём можно получить значение функции
u t x
,
при x
t .
Сделаны расчёты по (1.15) для неподвижного случая, т.е. при
t
0
, для следующих значений параметровa b
/
2, /
a V
0.5,
P
100
и построен график функции
в зависимости от
1
x
a t
V
(фиг.1).
Как видно, на участке
1
0.38
2
имеет место растяжение, а при0.38
0
имеет место сжатие.0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 5 10 15 20 25
Фиг.1
22
Учитывая, что при
x
t
и
t
0
t
имеем
0
1
,
t
x
h t
t
x
можно из(1.15) получить коэффициент интенсивности напряжений
1 20
2
1
1
1
lim
2
,
1 1
R x
PB B
c
x
T
H T
V
V
b V
(1.16)
1 1
3 2
1
1
,
1
1
1
b a
D
F h
b
B
dh
h
b
T
t
,
t
,
t
.Подставляя из (1.8) значение функции
F h
3
в (1.16) и изменив порядок интегрирования в двухкратном интеграле, можно записать:
1
1
0
2 1
1
1
lim
2
,
1 1
1
1
R x
PB
c
K
x
T
H T
V
V
b V
b
(1.17)
1 2
1
1
1
b a
F u
K
du
u
.§2. Взрыв на границе полуплоскости вне опоры.
В случае, когда взрыв производится при
x
,
0
вне опоры в момент0
t
и край опоры движется со скоростью
t
, граничные условия имеют вид:
xy
PH Vt x
H Vt x
приx
t
,
,
0
u t x
u t x
при
x
t
(2.1)
22
2
2v
0
yy
a
b
u
x
a
y
приx
.Подставляя значение
S t x
,
из (1.7) и
из (2.1) в (1.13), получаем0
**
PC
x
x
x
S
P t
H t
H t
V
b
V
23
2
x
x
x
P t
H
t H t
V
b
V
3
R R
x
x
x
P
tH t
H
t
c
b
c
4 1 1,
t x R au t u x
x
x
P
duH
t H t
b
a
c
u
1
1 22 2
1 2 1 1 2 1 1
1 1
, , ,
1 1 1 1 1
R R
F u u
b b V b V
u P D P D
V V
u
V c V c V
1 1 1 1 3 4 1 1 2 24
1 1
4
1
,
,
1
,
1
.
1
1
1
1
b b
R
a a
R R
B
F u
F u
V c
b
P
P
D
du B
du
V
V
u
u
c
V
V
c
Произведя выкладки аналогично [10], из (1.12), (2.2) можно получить:
1 1 3 11
1
,
, , , ,
b, , ,
,
a
P
t x
D
M t x
F h M t x
h dh
b
b
(2.3)
, , ,
0
, , ,
, , ,
, , ,
1
, , , ,
M t x h
M t x h M t x h M t x h M t x h
0
1
0 0 0 0
0 1 0 0 0
0
0 0 0 0
2 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0
4 0 1 1 , , , 1 1 1 1 R R R T a R c t
M t x h P t H t H t
h t V b V
P t H T H T P t H t H t
V b V c c b
u t u
P duH t H t
b u c
0
0
0 0 , H x a x
1
1 1
00 1
1
, , ,
,
2
RP c
V
M t x h
H t
V
V
h V
0
1 4 0 1
1 1 1 , , , , 2 T T a a
u u u
M t x h P du duH T
a
h u h u
24
0
0
0
0 0 0
0
arctg
T u
,
t t
0,
,
u
t
x
t
h u
x
h
0
,
1
1
0
,
x
x
H t
H t
H
x
H T
H
T H
x
V
b
V
b
01 0 0
0
1
1
,
t
,
t
.
H T
H
T H
x T
T
a
b
x
Учитывая значение функции
F h
3
из (1.8), для коэффициента интенсивности напряжений будем иметь:
11
0
1
2
lim
2
, ,
1
R x
c
x
P
K
M t x
H
x
b
, (2.4)
, ,
1M t x
P t
H t
H t
V
b
V
1
2 1 1 3 1 1
4 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 ,
R R
T
R a
P t
H
T H T
P
tH
T H T
V
b
V
c
c
b
u t u
P
duH
T H T
b
a
c
u
1 2
1 1
1
,
,
,
1
b
a
F u
t
K
du T
t
t
u
.Из (1.17) и (2.4) видно, что при
x
t
0
имеется особенность вида
1/2t x
. В обеих задачах вычисления для
xy показывают, что около границы0
x
имеет место растяжение, а дальше – сжатие.Полученные результаты позволяют изучить напряжённое состояние грунта при наличии опоры, создаваемое ударной волной от взрыва. При
t
0
эти задачи решены в работе [10] методом Винера-Хопфа, полученные решения совпадают.Автор благодарит д.ф.-м.н., профессора А.Н.Мартиросяна за ценные замечания. ЛИТЕРАТУРА
1. Сагомонян А.Я., Поручиков В.Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М.: МГУ, 1970. 121с.
2. Огурцов К.И. Динамические задачи для полупространства в случае осевой симметрии. //Уч. зап. ЛГУ, сер. мат. 1951. №149. Вып. 24. С.3–117.
3. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные задачи движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван: Изд. АН Арм.ССР, 1961. 276с.
25
5. Norris A.N., Achenbach J.D. Elastic Wave diffraction by a semi-infinite crack in a transversely isotropic material.//Q.J. Mech. Appl. Math. 1984. Vol. 37. Pt.4. P.565-580. 6. Багдоев А.Г., Мартиросян А.Н. Решение нестационарной задачи для анизотропной упругой плоскости с полубесконечным разрезом, на границах которого заданы нормальный и касательный импульсы. //МТТ. 1976. №1. С.107–117.7. Freund L.B. Crack propagation in an elastic solid subjected to general loading .//J. Mech. Phys. Solids. V.20. 1972. I, p.129, II, p.141.
8. Багдоев А.Г. Определение фундаментальных решений для уравнений магнитотермоупругости.//Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1974. Т.27. №2. С.13–23. 9. Флитман Л.М. Динамическая задача о штампе на упругой полуплоскости. //ПММ.
1959. Т.23. Вып.4. С.697–705.
10.Мартиросян А.Н. Математические исследования нестационарных линейных граничных задач для сплошных сред. Ереван: «Зангак-97», 2007. 244с.
11.Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений с частными производными. М.: ИЛ, 1962. 280с.
12.Сарайкин В.А., Слепян Л.И. Плоская задача о динамике трещины в упругом теле. //МТТ. 1979. №4.
13.Baker B.R. Dynamic stresses created by a moving crack. // Trans. ASME Ser. E. J. Appl. Mech. 1962. V.29. №3.
14.Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328с.
Сведения об авторе:
Давтян Ануш В. – преподаватель кафедры математики Горисского государственного университета
Тел.: 077071366
E-mail:davtyananush@gmail.com
