Carlos Oliveira
Fátima Cerqueira Magro
Fernando Fidalgo
Pedro Louçano
Matemática
5º Ano
CADERNO
DE ATIVIDADES
De
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or
do c
om
Metas Curric
ulares
e No
vo
Programa de 2013
EDIÇÃO
De
ac
or
do c
om
Metas Curric
ulares
e No
vo
Programa de 2013
Carlos Oliveira
Fátima Cerqueira Magro
Fernando Fidalgo
Pedro Louçano
Matemática
5º Ano
CADERNO
DE ATIVIDADES
1. Transporte de ângulos/construções com régua e compasso 1, 2, 7, 24 2. Medida de amplitude de ângulos 3, 4, 5, 6, 9 3. Ângulos complementares e suplementares 8, 9, 10, 22, 32
4. Ângulos correspondentes 8, 12
5. Ângulos de lados paralelos e de lados perpendiculares 25, 29
6. Triângulos 13, 21, 31, 32
7. Ângulos internos de um triângulo 14, 15, 23, 26, 29, 32 8. Ângulos externos de um triângulo 15, 26, 29, 32 9. Construção de triângulos e critérios de igualdade de triângulos 16, 17, 27, 28 10. Lados e ângulos de um triângulo 18, 19, 20, 26, 30, 31 11. Distância de um ponto a uma reta
12. Paralelogramos 11 13. Altura de um triângulo Testar 18 Números naturais Resumir 20 Praticar 22
1. Propriedades comutativa e associativa da adição 1, 9 2. Propriedades comutativa e associativa da multiplicação 2, 9 3. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à
adição e à subtração 2, 9
4. Critérios de divisibilidade 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 21, 22 5. Máximo divisor comum 8, 12, 15, 20, 23 6. Mínimo múltiplo comum 8, 14, 16, 17, 18, 19
Testar 28
Números racionais não negativos
Resumir 30
Praticar 34
1. Fração como razão 3, 15, 25, 36
2. Fração como medida 2, 12, 13, 14, 38 3. Números racionais 1, 4, 5, 6, 8, 9, 19, 34
4. Frações equivalentes 6, 7, 11
5. Comparação e ordenação de números racionais 10, 16, 18, 20, 28, 34, 35, 40 6. Adição e subtração de números racionais 17, 19, 21, 24, 26, 31, 33, 35
7. Percentagens 27, 30, 37
8. Multiplicação de números racionais 17, 22, 23, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 37, 41, 42 9. Divisão de números racionais 17, 29, 41, 43
10. Valores aproximados 39
Testar 48
Unidade 2
Representação e interpretação de dados Resumir 52 Praticar 54 1. Referencial cartesiano 1 2. Tabela de frequências 2, 3, 7, 10 3. Gráfico de barras 2, 3, 4, 7, 8, 10 4. Gráfico de linha 3, 9 5. Diagrama de caule-e-folhas 5 6. Média e moda 3, 4, 6, 8, 9, 10 Testar 62 Áreas Resumir 64 Praticar 66
1. Equivalência de figuras planas 1, 4, 13 2. Área do retângulo 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13 3. Área do triângulo 4, 5, 6, 7, 9, 13 4. Área do paralelogramo 2, 6, 7, 9, 11, 12, 13 Testar 72 Provas globais Prova global 1 75 Prova global 2 78 Prova global 3 80 Soluções 83 Unidade 5 Página Atividades Unidade 4
Soma de ângulos
n Um ângulo não giro c é a soma de dois ângulos a e b se c for igual à união de dois ângulos adjacen-tes a’ e b’ respetivamente iguais a a e a b.
Ângulo giro
n Se a união de dois ângulos é o plano todo, diz-se que a soma dos ângulos é o ângulo giro.
Medida de amplitude de ângulos
n O grau é a amplitude de cada um dos ângulos que se obtém quando se divide um ângulo reto em no-venta ângulos geometricamente iguais.
n Para se medir a amplitude de um ângulo utiliza-se um instrumento chamado transferidor.
Bissetriz de um ângulo
n A bissetriz de um dado ângulo é a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma com cada um dos lados ângulos iguais.
b a c a b
a b b a Bissetriz Ponto de referência do transferidor O transferidor tem duas escalas,de 0º a 180º, em direções opostas (uma escala interior e uma escala exterior)
Ângulos complementares e suplementares
n Dois ângulos dizem-se complementares quando a respetiva soma for igual a um ângulo reto.
n Dois ângulos dizem-se suplementares quando a respetiva soma for igual a um ângulo raso.
60º 30º + 60º = 90º 30º 60º 30º 60º 30º 60º 120º 120º + 60º = 180º 60º 120º 60º 120º
Ângulos verticalmente opostos
n Duas retas concorrentes definem quatro ângulos. Dois desses ângulos, não sendo adjacentes, dizem-se ângulos verticalmente opostos.
n Dois ângulos verticalmente opostos são iguais, ou seja, têm a mesma amplitude.
Semirretas com o mesmo sentido
n Duas semirretas têm o mesmo sentido se tiverem a mesma reta suporte e uma estiver contida na outra ou se tiverem retas suporte distintas mas paralelas e estiverem contidas num mesmo semi-plano contendo as respetivas origens.
n Duas semirretas com o mesmo sentido dizem-se diretamente paralelas.
n Se duas semirretas tiverem retas suporte coincidentes ou paralelas mas não forem diretamente pa-ralelas dizem-se inversamente papa-ralelas.
Ângulos correspondentes
n Dois ângulos correspondentes de lados, dois a dois, diretamente paralelos são iguais.
C G
53º 53º
D
E H
F
n Se duas retas são paralelas, os ângulos alternos internos determinados por uma reta que as corte são iguais.
n Se são iguais os ângulos alternos internos determinados em duas retas por uma reta que as corte, então as retas são paralelas.
n Se duas retas são paralelas, os ângulos alternos externos determinados por uma reta que as corte são iguais.
n Se são iguais os ângulos alternos externos determinados em duas retas por uma reta que as corte, então as retas são paralelas.
n Se duas retas são paralelas, os ângulos correspondentes determinados por uma reta que as corte são iguais.
n Se são iguais os ângulos correspondentes determinados em duas retas por uma reta que as corte, então as retas são paralelas.
n Se duas retas são paralelas, os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares.
n Se são suplementares os ângulos internos do mesmo lado da secante, então as retas são paralelas.
n Se duas retas são paralelas, os ângulos externos do mesmo lado da secante são suplementares.
n Se são suplementares os ângulos externos do mesmo lado da secante, então as retas são paralelas.
Ângulos de lados paralelos e de lados perpendiculares
n Dois ângulos convexos de lados dois a dois diretamente paralelos são iguais.
n Dois ângulos convexos de lados dois a dois inversamente paralelos são iguais.
n Dois ângulos convexos que tenham dois dos lados diretamente paralelos e os outros dois inversa-mente paralelos são suplementares.
n Dois ângulos de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem da mesma espécie e são su-plementares se forem de espécies diferentes.
Triângulos
n Num triângulo, cada ângulo interno é adjacente a um ângulo externo e cada ângulo interno é suple-mentar a um ângulo externo.
n Um triângulo pode ser classificado quanto ao comprimento dos seus lados (equilátero, isósceles e escaleno) ou quanto à amplitude dos seus ângulos (retângulo, acutângulo e obtusângulo).
n No que se refere ao triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto diz-se a hipotenusa e os lados a ele adjacentes dizem-se os catetos:
Catetos
Hipotenusa
Ângulos internos de um triângulo
n A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a um ângulo raso.
Critérios de igualdade de triângulos
n Critério LLL (Lado-Lado-Lado) de igualdade de triângulos
Dois triângulos são iguais se têm os três lados iguais, cada um a cada um: A–B = M–N, A–C = M–P e B–C = N–P
n Critério LAL (Lado-Ângulo Lado) de igualdade de triângulos
Dois triângulos são iguais se têm dois lados iguais, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado igual: A–B = M–N, B–C = N–P e ABˆC = MNˆP
n Critério ALA (Ângulo-Lado-Ângulo) de igualdade de triângulos
Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes iguais, cada um a cada um: B–C = N–P, ABˆC = MNˆP e ACˆB = MPˆN A B C M N P A B C M N P A B C M N P
Lados e ângulos de um triângulo
n Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
n Num triângulo, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
n Em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
n Ao lado de maior comprimento opõe-se o ângulo de maior amplitude e ao ângulo de maior ampli-tude opõe-se o lado de maior comprimento.
n Ao lado de menor comprimento opõe-se o ângulo de menor amplitude e ao ângulo de menor am-plitude opõe-se o lado de menor comprimento.
n Num triângulo, a medida do comprimento de qualquer um dos lados é menor do que a soma das medidas dos comprimentos dos outros dois.
n Num triângulo, a medida do comprimento de um qualquer lado é maior do que a diferença das me-didas dos comprimentos dos outros dois.
Ângulos externos de um triângulo
n Num triângulo, a soma de três ângulos externos com vértices distintos é igual a um ângulo giro.
1. Constrói, usando régua e compasso, as bissetrizes dos ângulos a seguir representados.
1.1 1.2
2. Considera os ângulos representados na figura.
2.1 Usando régua e compasso, prova que os ângulos b e d são iguais.
2.2 Constrói, usando régua e compasso, um ângulo k que seja igual à soma de a e c.
2.3 Constrói, usando régua e compasso, a bissetriz do ângulo k.
3. Utilizando os transferidores apresentados, determina a amplitude de cada um dos ângulos se-guintes. 3.1 3.2 3.3 β α a b c d
4. Estima a amplitude de cada um dos ângulos seguintes. De seguida, confere as tuas estimativas utilizando um transferidor.
4.1 4.2
Estimativa: Estimativa:
Medição: Medição:
5. Sem utilizares o transferidor, tenta construir um ângulo com 40° de amplitude. De seguida, uti-liza o transferidor para verificar a amplitude do ângulo que construíste.
6. Com o auxílio do transferidor calcula a amplitude de cada um dos ângulos seguintes.
6.1 6.2 6.3
7. Utiliza o transferidor e a régua para traçares cada um dos seguintes ângulos.
7.1–ABC, sabendo que ABˆC = 35° 7.2–DEF, sabendo que DEˆF = 90°
8. Observa a figura.
Sabendo que r // s , indica:
8.1 dois ângulos verticalmente opostos;
8.2 duas semirretas com o mesmo sentido;
8.3 dois ângulos complementares;
8.4 duas semirretas diretamente paralelas;
8.5 dois ângulos suplementares;
8.6 duas semirretas inversamente paralelas;
8.7 dois ângulos adjacentes;
8.8 dois ângulos com um lado em comum, que os separa, mas que não sejam adjacentes.
9. Observa a figura.
9.1 Utilizando o transferidor, determina a amplitude do ângulo x.
9.2 Tendo por base a resposta à alínea anterior, e sem utilizares o transferidor, determina a am-plitude do ângulo y. Explica o teu raciocínio.
A B D I C G F E H r s • • • • • • • • • y x
10. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x.
10.1 10.2
10.3 10.4
10.5 10.6
11. Observa os seguintes polígonos.
A B C D E
F G H I J
Indica pela letra correspondente:
11.1 os quadriláteros; _________ 11.2 os trapézios; _________ 11.3 os paralelogramos; _________
11.4 os losangos; __________ 11.5 os retângulos; _________ 11.6 os quadrados. _________
12. Observa a figura, na qual as retas r e s são paralelas.
12.1 Sabendo que ˆf = 130º, determina as amplitudes dos ângulos a, b, c e d.
12.2 Indica dois ângulos que:
a) sejam alternos internos; b) sejam internos do mesmo lado da secante;
c) sejam alternos externos; d) sejam correspondentes;
e) sejam externos do mesmo lado da secante.
r s g h e f u a b d c 50° x 19° x 50° x 136° x x 113° 76° x 45°
13. Completa os espaços em branco, utilizando as palavras obtusângulo, retângulo e acutângulo, de modo a tornar as afirmações verdadeiras.
A.Um triângulo com três ângulos agudos diz-se um triângulo _______________________________ .
B.Um triângulo com um ângulo obtuso diz-se um triângulo _________________________________ .
C.Um triângulo com um ângulo reto diz-se um triângulo ___________________________________ .
14. Observa a figura ao lado.
14.1Sabendo que ˆA = 60° e ˆB = 60°, determina a amplitude do ângulo C.
14.2Completa a afirmação: “O esquema anterior sugere que _________________________________
______________________________________________________________________________________.
15. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo a. Explica o teu raciocínio.
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 a a a a a a a a 65° 36° 125° 36° 61° 70° 113° 41° 50° 150° 70° C A A C B B
16. As imagens abaixo representam esboços de triângulos que não foram desenhados à escala. Utilizando material de desenho adequado, constrói rigorosamente esses triângulos tendo em conta as medidas assinaladas.
17. Diz, justificando, se é possível construir um triângulo cujos lados tenham de comprimento:
17.16 cm, 12 cm e 4 cm;
17.212 cm, 10 cm e 3 cm.
18. Observa o triângulo [TSU].
Qual dos três lados do triângulo é maior? Justifica.
U T S 60° 59° 61° 40º 50º 5 cm 3 cm 4 cm 5 cm 4 cm 4 cm
19. Observa o triângulo [ABC]. Qual dos três ângulos internos do triângulo tem maior amplitude? Justifica.
20. Dois dos lados de um triângulo têm 6 cm e 13 cm de comprimento. Indica, justificando, três pos-síveis comprimentos para o terceiro lado.
21. Comenta a afirmação: “Um triângulo retângulo e um triângulo obtusângulo não podem ter três lados de igual comprimento.”
22. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x.
22.1
22.2
22.3
23. Determina a amplitude dos ângulos a e e . Explica o teu raciocínio.
x 53° 53° x x 127° x x x 23° 45° a e 35° A B C 10 9 4
24. Na aula de matemática o professor do Pedro desenhou no quadro o ângulo representado ao lado e pediu aos alunos para, utilizando a régua e o compasso, o dividirem em quatro ângulos iguais.
24.1Explica como deverá proceder o Pedro para fazer a divisão do ângulo.
24.2Utilizando a régua e o compasso efetua a divisão do ângulo.
25. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos a e b. Explica o teu ra-ciocínio.
25.1 25.2
25.3 25.4
25.5 25.6
26. O Óscar, depois de ajudar o seu avô a vindimar, encostou a escada que utilizou a uma parede, tal como mostra a figura ao lado.
26.1Determina a amplitude dos ângulos a, b e c.
26.2Comenta a afirmação: “Com esta escada podemos atingir al-turas superiores a 1,6 m.” 115° 50° r//s α β r r//s α β s r s r r//s 140° 60° α β s 35° r r//s α β s a b 59° 1,6 m c 130° f α 46° β
27. Constrói um triângulo:
27.1equilátero com 9 cm de perímetro;
27.2isósceles com 5 cm de perímetro, cujo lado diferente meça 2 cm.
28. Os dois triângulos representados em cada uma das alíneas seguintes são iguais. Indica, em cada caso, o critério que pode ser utilizado para provar essa igualdade.
28.1 28.2
28.3 28.4
29. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos a, b, q e f. Explica o teu raciocínio. 29.1 29.2 45° 120° 4 2 1 4 2 60° r s A C B A B C a b q f r // s t // u t u a b q f 4 4 2 D F A B C E 73° 2 1 2 3 1 2 D E B A C F 73° 2 3 1 E D F 45° D E F 2 45°
30. Num triângulo retângulo os dois lados adjacentes ao ângulo reto chamam-se catetos e o terceiro lado chama-se hipotenusa.
30.1Num dado triângulo retângulo, os dois catetos têm o mesmo
compri-mento. Indica, justificando, a amplitude dos ângulos internos desse triângulo.
30.2Como se designa a propriedade dos triângulos que permite afirmar que “a soma dos com-primentos dos dois catetos é maior que o comprimento da hipotenusa”?
30.3Comenta a afirmação: “Num triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o lado de maior comprimento.”
31. Indica se são verdadeiras, V, ou falsas, F, as seguintes afirmações. Justifica as tuas opções.
A.Dois dos ângulos internos de um triângulo obtusângulo podem ter 40º e 53º de amplitude.
B.Um triângulo retângulo pode ser isósceles.
C.Um triângulo obtusângulo não pode ser isósceles.
32. Na figura ao lado, [DE ]//[AB].
32.1Determina a amplitude dos ângulos a, b e e. Explica o teu raciocínio.
32.2Classifica o triângulo [CDE] quanto à amplitude dos seus ângulos. Explica o teu raciocínio.
cateto cateto hipotenusa C D A B E e 142° 63° b a
1. Considera os ângulos a e b, representados na figura.
Constrói, usando régua e compasso:
1.1 as bissetrizes dos ângulos a e b;
1.2 um ângulo g que seja igual à soma de a e b.
2. Observa a figura.
2.1 Determina as amplitudes dos ângulos a, b e g.
2.2 Classifica o triângulo [ABC] quanto à amplitude dos seus ângulos.
2.3 Os triângulos [ABC] e [BCD] são iguais. Indica o critério que podes utilizar para provar essa igualdade. α β s A C D x β α γ B 70º r // s t // u v // x 80º r u t v
3. O Hugo utilizou o quadriculado do seu caderno de matemática para construir o polígono ao lado.
3.1 Como classificas, quanto ao número de lados, o polígono representado?
3.2 Utilizando um transferidor, determina a amplitude do ângulo a.
3.3 Classifica o triângulo [EDC] quanto à amplitude dos seus ângulos.
4. Para cada uma das afirmações seguintes, indica se é verdadeira ou falsa e corrige as falsas.
A.Todos os ângulos internos de um triângulo retângulo são retos.
B.Dois dos ângulos internos de um triângulo retângulo podem ter 40º e 37º de amplitude.
C.Um triângulo equilátero pode ser retângulo.
5. Na figura ao lado está representado o triângulo isósceles [ABC].
5.1 Determina a amplitude dos ângulos a e b. Explica o teu raciocínio.
5.2 Sabendo que o perímetro do triângulo [ABC] é 12 cm e que A–B = 4,5 cm, determina o com-primento dos lados AC e CB do triângulo. Explica o teu raciocínio.
6. Observa o triângulo [SOL], representado na figura. Sem efetuares medições, indica qual dos lados tem maior com-primento. Justifica.
7. Num triângulo retângulo, a amplitude de um dos ângulos é 45º. Classifica o triângulo quanto ao comprimento dos seus lados e quanto à amplitude dos seus ângulos internos.
A B C F E D A B 63° C a b a L O S 102º 47º 31º
Critérios de divisibilidade
+
comutativa a soma de dois números naturais não se altera quando se troca a ordem das parcelas.
Exemplo: 56 + 24 = 24 + 56 = 80
associativa a soma de três números naturais não se altera quando se associam as parcelas de um modo diferente.
Exemplo: (23 + 7) + 10 = 23 + (7 + 10) = 40
*
comutativa quando se troca a ordem dos fatores o produto não se altera. Exemplo: 4 ¥ 5 = 5 ¥ 4 = 20
associativa o produto não se altera quando se associam os fatores de um modo diferente. Exemplo: (3 ¥ 2) ¥ 4 = 3 ¥ (2 ¥ 4) = 24
distributiva em o produto de um número por uma soma é igual à soma dos relação à adição produtos desse número por cada uma das parcelas.
Exemplo: 5 ¥ (8 + 9) = 5 ¥ 8 + 5 ¥ 9 = 90
distributiva em o produto de um número por uma diferença é igual à diferença entre o relação à subtração produto desse número pelo aditivo e o produto desse nú me ro pelo subtrativo.
Exemplo: 4 ¥ (6 – 4) = 4 ¥ 6 – 4 ¥ 4 = 8
n
3 a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
Exemplo: 462 é divisível por 3, pois 4 + 6 + 2 = 12 e 12 é divisível por 3.
4 a soma do dobro do algarismo das dezenas com o algarismo das unidades é divisível por 4.
Exemplo: 872 é divisível por 4, pois 2 ¥ 7 + 2 = 16 e 6 é divisível por 4.
9 a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Exemplo: 495 é divisível por 9, pois 4 + 9 + 15 = 18 e 18 é divisível por 9.
Um número é divisível por… se e só se…
Operação
Propriedade
Propriedades dos divisores
n Num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto.
n Se um número natural é divisor de outros dois, então também é divisor das respetivas somas e di-ferenças.
n Dada uma divisão inteira (D = d x q + r), se um número divide o dividendo (D) e o divisor (d), então divide o resto (r = D – d x q).
n Dada uma divisão inteira (D = d x q + r), se um número divide o divisor (d) e o resto (r), então divide o dividendo (D).
n O maior divisor comum entre dois números, a e b, chama-se máximo divisor comum de a e b e re-presenta-se por m.d.c. (a, b).
n Para determinar o máximo divisor comum entre dois números, podem utilizar-se dois processos di-ferentes: através da listagem dos divisores de cada número ou através do algoritmo de Euclides. Exemplo:Determinar o máximo divisor comum de 16 e 30.
ÆAtravés da listagem dos divisores D16= {1, 2, 4, 8, 16}
D30= {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Assim, m.d.c. (30, 16) = 2.
ÆUsando o algoritmo de Euclides
n Quando dois números a e b têm como único divisor comum a unidade, isto é, m.d.c. (a, b) = 1, os números a e b dizem-se primos entre si.
n O menor múltiplo comum, diferente de zero, entre dois números, a e b, chama-se mínimo múltiplo comum de a e b e representa-se por m.m.c. (a, b).
Exemplo:Determinar o mínimo múltiplo comum de 10 e 15. M10= {0, 10, 20, 30, 40, …}
M15= {0, 15, 30, 45, …}
Assim, m.m.c. (10, 15) = 30.
n O produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo mínimo múl-tiplo comum. 30 14 16 1 16 02 14 1 14 0 2 7
1. Identifica a propriedade da adição que permite escrever cada uma das seguintes igualdades.
1.1 10 + 12 = 12 + 10
1.2 16 + (6 + 10) = (16 + 6) + 10
2. Identifica a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma das seguintes igual-dades.
2.1 7 x 6 = 6 x 7
2.2 3 x (5 x 7) = (3 x 5) x 7
2.3 7 x (2 + 4) = 7 x 2 + 7 x 4
2.4 9 x (6 – 1) = 9 x 6 – 9 x 1
3. Assinala com um X os números que são: 3.1 divisíveis por 3; 7 9 15 22 35 56 989 3.2 divisíveis por 4; 16 26 37 95 104 296 1252 3.3 divisíveis por 9. 18 25 36 40 72 97 258 4. Escreve: 4.1 todos os divisores de 18; 4.2 todos os divisores de 21; 4.3 todos os divisores de 42.
5. Dos números 1, 10, 14, 18, 24, 27, 30, 47 e 53, indica os que são: 5.1 múltiplos de 3;
5.2 divisíveis por 5;
5.3 divisores de 30;
5.4 múltiplos de 2 e 5, simultaneamente;
5.5 divisíveis por 2, 3 e 4, simultaneamente.
6. Escreve:
6.1 os primeiros cinco múltiplos de 7;
6.2 os múltiplos de 12, menores que 76;
6.3 os múltiplos de 9, maiores que 18 e menores que 100.
7. Escreve um número maior que cinco e menor que dezanove, com exatamente: 7.1 dois divisores;
7.2 três divisores;
7.3 quatro divisores;
8. Determina:
8.1 o máximo divisor comum entre 15 e 20;
8.2 o mínimo múltiplo comum entre 14 e 10.
9. Completa as seguintes expressões, referindo as propriedades que utilizaste:
9.1 4 + 5 = ____+ 4 9.2 (4 + 6) x ____= ____x 5 + ____x 5 9.3 (4 + 6) + ____= ____+( ____+ 5) 9.4 (15 x 2) x ____= 15 x 20 9.5 3 x ( ____– ____) = ____x 2 – ____x 6 9.6 12 x 10 = ____x 12
10. Os divisores de um número são: 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Qual é o número?
11. Completa os espaços com algarismos, de forma a tornar as afirmações verdadeiras.
11.1478____é divisível por 3.
11.223 ____4 ____é divisível, simultaneamente, por 3 e 4. 11.314 ____ ____ ____é divisível, simultaneamente, por 4 e 9. 11.4245 ____é divisível por 4, mas não é divisível por 3.
12. Usando o algoritmo de Euclides, indica:
12.1o m.d.c. (24, 60) 12.2 o m.d.c. (88, 66)
12.3o m.d.c. (1386, 462)
13. Indica:
13.1o menor número natural que é, simultaneamente, divisível por 3, 4 e 9;
13.2o maior número natural, menor que 100, simultaneamente divisível por 3 e por 4.
14. Sabendo que a x b = 143 360 e que o m.d.c. (a, b) = 64, determina o m.m.c. (a, b).
15. O produto de dois números naturais é 4200. Sabendo que o mínimo múltiplo comum desses nú-meros é 420, determina o máximo divisor comum dos mesmos. Explica o teu raciocínio.
16. Em Portugal as eleições presidenciais ocorrem de 5 em 5 anos e as legislativas de 4 em 4 anos. Sabendo que em 2011 decorreram eleições legislativas e presidenciais, determina em que ano voltarão a coincidir as duas eleições, caso estas não tenham necessidade de ser antecipadas.
17. Na figura está representada uma rede de metropolitano. Às 8 horas da manhã, todos os dias, sai um
metro-politano da estação do Altinho e outro da estação da Barquinha, em direção ao Cruzeiro.
– O Álvaro entra na estação do Altinho, de onde sai um metropolitano de 3 em 3 minutos, que leva 9 minutos a chegar ao Cruzeiro.
– A Bárbara entra na estação da Barquinha, de onde sai um metropolitano de 5 em 5 minutos, que leva 6 minutos a chegar ao Cruzeiro.
– O Álvaro e a Bárbara querem sair na estação do Cruzeiro, exatamente ao mesmo tempo, ainda antes das 8:30 horas da manhã. A que horas é que cada um deles deve apanhar o metropolitano? Apresenta todos os cálculos que efetuares e explica o teu raciocínio.
Retirado de Prova de Aferição de Matemática – B
18. A Sílvia vai preparar um Hambúrguer Gourmet para uns ami-gos que vão jantar a sua casa. Este hambúrguer é acompa-nhado por um ovo escalfado e por umas estaladiças batatas fritas.
No supermercado, a Sílvia verificou que os hambúrgueres apenas eram vendidos em caixas de quatro e os ovos em cai-xas de seis. Sabendo que a Sílvia pretende comprar o mesmo número de ovos e de hambúrgueres, determina o menor nú-mero de caixas de hambúrgueres que a Sílvia terá de com-prar para que isso aconteça. Explica o teu raciocínio.
19. O Sr. Ângelo e a D. Maria têm dois filhos, ambos emigrantes: um na Suíça e outro em Inglaterra. O que está na Suíça vem a Portugal visitar os pais de 90 em 90 dias, enquanto o que está em Inglaterra vem de 60 em 60 dias. Sabendo que no dia 25 de dezembro a família esteve toda reu-nida, determina a primeira data em que isso voltou a acontecer.
Barquinha
Cruzeiro Altinho
20. Uma empresa de recolha de lixos pretende contratar novos motoristas para os seus camiões de recolha. A empresa pre-cisa, no mínimo, de cinco novos colaboradores e sabe que, por uma questão orçamental, não pode contratar mais do que dez. Sabendo que a empresa pretende repartir igual-mente entre os novos funcionários quarenta e nove pontos de recolha de lixo, determina quantos funcionários deve contratar a empresa.
21. Considera as afirmações.
A. Todos os divisores de um número par são números pares. B. Todos os divisores de um número ímpar são números ímpares. 21.1Uma das duas afirmações é falsa. Identifica-a.
21.2Encontra um contraexemplo que prove que a afirmação que escolheste na alínea anterior é falsa.
22. Considera os números 26 124 e 13 416.
22.1 Mostra que os números são divisíveis por 3 e por 4, mas não são divisíveis por 9.
22.1 Sem efetuares a divisão, mostra que 3 é divisor do resto da divisão inteira de 26 124 por 13 416.
23. O Sr. Camilo é criador de cavalos e possui um terreno com 414 m de comprimento e 216 m de largura, que pretende vedar para poder soltar os animais. Calcula a quantidade mínima de estacas necessárias, sabendo que a distância entre duas estacas consecutivas é a mesma.
1. Completa as seguintes expressões referindo as propriedades que utilizaste. 1.1 24 + ____ = 13 + 24 1.2 ____+ (____+ 10) = (7 + 132) + 10 1.3 4 x ____= ____x 4 = 36 1.4 4 x (____ x____) = (4 x 3) x 2 = ____x ____= 24 1.5 (2 + ____) x 5 = 2 x ____+ 3 x ____= 10 + ____= 25 1.6 ____x (7 – ____ ) = 3 x 7 – ____x 4 = ____ – 12 = 9
2. Prova que, independentemente do algarismo que se coloque no espaço vazio, o número 437 ____
nunca poderá ser, simultaneamente, divisível por 2, 3 e 5.
3. Completa o número 486 ____de forma que seja divisível simultaneamente por:
3.1 4 e 5
3.2 4 e 9
5. Determina o m.m.c. (36, 48).
6. Determina o valor de a, sabendo que: • m.d.c. (a, b) = 36
• m.m.c. (a, b) = 2268 • b = 252
7. O produto de dois números naturais é 1904.
Sabendo que o máximo divisor comum desses números é 4, determina o mínimo múltiplo comum dos mesmos. Explica o teu raciocínio.
8. O número 2012 não é divisível por 3.
Assinala com um X a opção que apresenta o primeiro número par, superior a 2012, que é divisível por 3.
[A] 2010 [B] 2013 [C] 2014 [D] 2016
Frações
I Uma fração é um número que pode representar uma parte de um todo, que é considerado a unidade de medida.
Uma fração permite também estabelecer uma relação entre duas grandezas ou entre duas medidas da mesma grandeza.
Exemplo: “Dilua 1 porção de concentrado em 7 porções de água.” Æ
Uma relação deste tipo chama-se razão e escreve-se , ou 1 : 7, e lê-se “1 para 7”.
Numa razão, o numerador diz-se o antecedente e o denominador diz-se o consequente.
I Uma fração é o quociente entre um qualquer número inteiro e um número inteiro diferente de zero. O dividendo é o numerador da fração e o divisor é o denominador da fração. Então, uma fração pode ser expressa na forma de dízima, havendo dízimas finitas e dízimas infinitas:
Nas dízimas infinitas periódicas, como é o caso do 0,3333…, pode escrever-se, entre parênteses, o período da dízima, ou seja, o algarismo ou algarismos que se repetem. Assim, 0,3333… = 0,(3).
I Uma fração pode ser um número inteiro ou um número não inteiro. Um número não inteiro que possa ser representado por uma fração diz-se um número fracionário.
1 7 1 7
1
7
Antecedente Consequente = 1,5 3 21,5 é uma dízima finita
= 0,3333… 1
3
0,3333… é uma dízima infinita
twwuwwv
twuwv
Exemplos:
1. = 3 Æ Número inteiro
2. = 0,75, ou seja, 75% Æ número não inteiro Æ Número fracionário 3. = 1,3333… Æ número não inteiro Æ Número fracionário
18 6 3 4 4 3
Exemplos:
1. , , , , … são frações decimais.
2. = 0,7 , = 0,53 , = 0,227 , = 5,61 , … são números decimais. 7 10 53 100 227 1000 561 100 7 10 53 100 227 1000 561 100
Números racionais
I Qualquer número, inteiro ou não inteiro, que possa ser representado por uma fração diz-se um número racional. As frações cujo denominador é 10, 100, 1000, … designam-se por frações decimais.
Os números que podem ser representados por frações decimais dizem-se números decimais.
Frações equivalentes
I Duas frações dizem-se equivalentes se representam o mesmo número racional.
Comparação e ordenação de números racionais
I Uma fração em que o numerador é menor do que o denominador representa um número racional menor do que a unidade. Trata-se de uma fração própria.
Exemplo: < 1 porque 3 < 4. Repara que = 0,75. Outros exemplos: , , , , … 3 4 3 4 1 2 4 7 1 17 333 3333
I Simplificar uma fração é determinar uma fração que lhe seja equivalente, mas com menor numerador e denominador. Quando não é possível simplificar uma fração diz-se que ela é irredutível.
: 2 = 2 6 13 26 e 13 são frações equivalentes : 2
ª
: 2 : 7 = = 20 52 1026 135 , e 20 52 1026 135 são frações equivalentes : 2 : 7ª
já não se pode simplificar É uma fração irredutível 5
13
ainda se pode simplificar 10
I Uma fração em que o numerador é maior do que o denominador representa um número racional maior do que a unidade. Trata-se de uma fração imprópria.
Exemplo: > 1 porque 15 > 2. Repara que = 7,5. Outros exemplos: , , , , …
I Uma fração em que o numerador é igual ao denominador representa a unidade.
Exemplo: = 1 porque 7 = 7. Outros exemplos: , , , , … 15 2 15 2 4 3 7 6 18 17 777 3 7 7 4 4 7 7 18 18 777 777
Adição e subtração de números racionais
I Para adicionar dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, adicio-nam-se os numeradores e mantém-se o denominador.
Exemplo: + =
I Para subtrair dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, sub-traem-se os numeradores e mantém-se o denominador.
Exemplo: – =
I Para adicionar ou subtrair números racionais representados por frações com denominadores dife-rentes, deve-se, em primeiro lugar, escrever frações equivalentes às dadas, mas que tenham o mesmo denominador. Depois, basta proceder como anteriormente.
I Para adicionar ou subtrair dois números representados como um numeral misto, começa-se por adi-cionar ou subtrair respetivamente as partes inteiras e as frações próprias associadas podendo haver necessidade de se transportar uma unidade.
Exemplos: 5 + 3 = 5 + 3 + + = 8 + + = 8 + = 8 9 – 5 = 8 – 5 = 8 – 5 + – = 3 + – = 3 + = 3 2 8 4 8 6 8 4 8 2 8 2 8 1 2 2 6 1 2 2 6 3 6 2 6 5 6 5 6 1 6 1 2 7 6 1 2 7 6 1 2 7 6 3 6 4 6 4 6
Percentagem
I Uma percentagem é uma razão em que o denominador é 100.
Valores aproximados
Métodos utilizados para aproximar números:
• Truncatura: “deixa cair” todos os decimais que não são precisos. Resulta sempre numa aproximação por defeito.
• Aproximação por excesso
• Arredondamento: fornece a melhor aproximação possível, escolhendo, consoante o caso, um valor aproximado por defeito ou um valor aproximado por excesso.
Exemplo:
Multiplicação e divisão de números racionais
I Para multiplicar números racionais representados por frações, multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores das frações. Se um dos números racionais a multiplicar for repsentado por um numeral misto, basta aplicar a regra utilizada para multiplicar números racionais re-presentados por frações, após ter convertido o numeral misto numa fração.
Exemplo: 2 ¥ = ¥ = ¥ =
I Para multiplicar um número inteiro por um número racional representado por uma fração, multipli-camos o inteiro pelo numerador e damos ao produto o denominador da fração.
Exemplo: 4 ¥ = =
I Dois números racionais cujo produto é igual a 1 dizem-se inversos um do outro.
Exemplo: ¥ = 1
• O número zero não tem inverso.
• Na prática, pode-se encontrar o inverso de qualquer número, exceto o zero, trocando-lhe o nu-merador pelo denominador.
I Para dividir frações com o mesmo denominador, basta dividir os numeradores.
Exemplo: : = 5
I Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor. Exemplo: : = ¥ = 3 5 2 3 2 ¥ 5 + 3 5 2 3 4 ¥ 2 3 8 3 3 2 2 3 10 3 2 3 2 5 3 7 2 5 2 3 13 5 2 3 26 15 7 3 14 15
Número Aproximação por defeito Aproximação por excesso Arredondamento (2 c.d.)
3,1234 3,12 3,13 3,12
1. Assinala com um X a fração que pode representar a parte pintada de verde em cada um dos se-guintes círculos. 1.1 1.2 1.3 1.4
2. A figura seguinte representa parte de uma unidade.
2.1 Se a figura representar da unidade, desenha a unidade.
2.2 Se a figura representar da unidade, desenha a unidade.
3. Em alguns jogos de bilhar, utilizam-se bolas iguais às da figura. 1 4 2 4 3 4 4 4 2 10 5 10 7 10 9 10 3 10 1 2 6 9 5 5 1 4 2 4 3 4 4 4 1 2 2 5
Observa a figura e indica a razão entre:
3.1 o número de bolas verdes e o número total de bolas;
3.2 o número de bolas totalmente brancas e o número de bolas coloridas;
3.3 o número de bolas com números pares e o número total de bolas;
3.4 o número de bolas com números ímpares e o número de bolas com números primos.
4. Escreve uma fração com numerador 3:
4.1 que represente um número inteiro;
4.2 que represente um número fracionário.
5. Completa a tabela.
6. Considera as frações:
Indica:
6.1 as frações que representam um número inteiro;
6.2 as frações que representam um número fracionário;
6.3 as frações que representam um número maior do que 1;
6.4 duas frações equivalentes;
6.5 duas frações irredutíveis;
6.6 as frações impróprias; 6.7 as frações próprias. 12 11 5 4 2 6 4 2 3 5 7 7 8 4 4 7 1 7 Fração
Quatro terços Não Imprópria Fracionário
Três nonos
Leitura Fração decimal Fração própria ou imprópria? Número fracionário ouinteiro? 4 3 2 5 8 4
7. Em cada uma das seguintes situações, escreve um número no , de modo a que as duas fra-ções sejam equivalentes.
7.1 = 7.2 =
7.3 = 7.4 =
7.5 = 7.6 =
8. De entre as seguintes frações, apenas uma é uma fração decimal. Assinala-a com um X.
9. A Amélia fez um colar com pedras pretas e pedras brancas. Dois terços das pedras que utilizou eram pretas. Pinta, com o teu lápis, as pedras pretas do colar da Amélia representado abaixo.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2006 10. Coloca os números , 0,5 e 32% por ordem crescente.
11. Une as frações equivalentes:
• •
• •
• •
• •
12. Que parte de uma hora representam:
12.130 minutos? 12.215 minutos? 12.345 minutos? 12.420 minutos? 12.560 minutos? 1 9 6 3 7 3 1 6 4 8 1 2 2 4 1 4 10 4 1 35 12 6 1 2 3 10 1 7 1 3 4 3 7 6 1 33 21 9 2 3 16 20 7 3 4 6 4 5 3 7 15 35 4 5
13. Que parte de um ano representam:
13.16 meses? 13.23 meses?
13.39 meses? 13.47 meses?
14. Assinala na reta numérica seguinte. Explica o teu raciocínio.
15. O automóvel do Sr. Artur avariou. O mecânico, depois de analisar o automóvel, disse-lhe:
Como poderia ter o mecânico transmitido a mesma informação? (Escolhe a opção correta.)
[A]Isto é grave! 30% dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
[B]Isto é grave! dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
[C]Isto é grave! dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
[D]Isto é grave! 33% dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
16. Na imagem ao lado vê-se o Constantino a cortar uma parte de uma maçã. Será que a fração pode representar a parte da maçã cortada pelo Constantino? Justifica. 4 8 45 88 0 1
Isto é grave! 3 em cada 9 automóveis com um problema destes não têm
arranjo…
2 3 1 3
17. Calcula o valor das expressões numéricas, indicando todos os cálculos que efetuares. 17.1 3 + 2 17.2 0,5 + 17.3 + + 0,5 17.4 5 ¥ 17.5 5 – 2 17.6 ¥ 17.7 0,5 ¥ 17.8 ¥ 0,2 17.9 – + 17.10 – 17.11 + + 17.12 + ¥ 17.13 + ¥ 17.14
(
–)
+ 5 17.15 0,5 +(
1 – 0,25)
+ 3 17.16 + – 0,2 + 2 17.17(
+)
¥ 17.18 ¥(
+)
17.19 + : 3 17.20(
+)
: 3 17.21 2 – : 618. Completa com os símbolos >, < ou =.
18.1 _____ 18.2 _____ 18.3 _____ 18.4 _____ 18.5 _____0,6 18.6 _____ 18.7 _____ 18.8 _____ 1 3 3 3 4 5 3 4 4 3 3 9 7 9 7 3 3 7 4 7 1 3 5 10 2 4 9 8 3 4 36 45 4 5 4 200 7 200 17 21 37 42 4 5 4 7 3 7 1 4 1 5 1 4 2 3 3 5 3 5 7 2 4 7 11 10 4 5 1 10 1 2 1 4 1 6 3 21 5 7 1 3 3 4 1 3 5 2 2 5 3 2 4 3 4 3 2 5 3 2 1 4 5 3 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 5 5 7
19. Das afirmações seguintes, indica as verdadeiras e corrige as falsas.
A.Frações cujo numerador é maior que o denominador representam um número menor que 1.
B.Frações cujo denominador é 1 representam um número fracionário.
C.Frações cujo denominador é igual ao numerador representam a unidade.
20. O esquema seguinte mostra a família do Tomás.
A tabela seguinte apresenta as recomendações de alguns especialistas sobre o consumo diário de leite.
20.1Que quantidade de leite consome a família do Tomás, num dia, se todos seguirem as indi-cações da tabela? Explica como encontraste a resposta. Para o fazeres, podes usar pala-vras, desenhos ou cálculos.
20.2Segundo as indicações da tabela, quem deve beber mais leite, o Tomás ou a sua irmã? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2003
Idades de leite (em litros)Quantidade diária Dos 3 aos 9 anos
Dos 10 aos 20 anos Dos 21 aos 55 anos A partir dos 56 anos
1 2 3 4 1 2 3 4
Avô – 70 anos Pai – 41 anos Mãe – 40 anos
21. Perguntou-se aos 30 alunos de uma turma qual era a sua disciplina preferida. 30% dos alunos afirmaram que era Matemática, afirmaram ser Língua Portuguesa e os restantes afirmaram que era Educação Física.
21.1Que parte dos alunos prefere Educação Física?
21.2Quantos alunos preferem Matemática?
22. Determina a área da região colorida de cada uma das seguintes figuras. Apresenta todos os cál-culos que efetuares.
22.1 22.2
23. O Rodrigo adora correr e todos os dias se dirige ao parque da cidade, onde faz um percurso de 1600 m. Normalmente, ao fim de desse percurso,
o Rodrigo faz uma pequena pausa para beber água numa fonte. Nesse instante, quantos metros faltam ao Rodrigo para terminar o seu percurso diário? Explica o teu raciocínio.
3 5 1 5 8 cm 5 cm 5 cm 8 cm
24. A Joana construiu um colar de contas. Um oitavo das contas do colar são brancas, dois sétimos são azuis, três doze avos são vermelhas e as restantes são amarelas ou verdes.
24.1O colar da Joana tem mais contas brancas ou azuis? Explica o teu raciocínio.
24.2O que representa a expressão + + ? Calcula o seu valor.
24.3Sabendo que o colar tem tantas contas amarelas como verdes, que parte das contas são amarelas? Explica o teu raciocínio.
25. Numa universidade, a razão entre o número de alunos que foram colocados em Arquitetura e o número de alunos que se candidataram ao referido curso é .
25.1Comenta a afirmação: “A razão significa que, dos três alunos que se candidataram ao curso de Arquitetura, apenas um foi colocado.”
25.2Se foram colocados 90 alunos, quantos alunos se candidataram ao curso? Explica o teu ra-ciocínio.
25.3Se foram 300 os candidatos, quantos foram colocados no curso? Explica o teu raciocínio.
25.4Nessa mesma universidade, a razão entre o número de alunos que foram colocados em Engenharia Civil e o número de alunos que se candidataram ao curso é . Em qual dos cursos, Arquitetura ou Engenharia Civil, se candidataram mais alunos? Explica o teu raciocínio.
3 12 2 7 1 8 1 3 1 3 1 4
26. O Carlos e o João praticam futebol no clube da sua freguesia, formando a dupla de avançados titulares. Até agora, em conjunto, marcaram dos golos da equipa no campeonato, sendo o Carlos o melhor marcador.
26.1Escreve dois números que possam representar a quantidade de golos que cada um deles marcou.
26.2Calcula o valor da expressão 1 – e interpreta o resultado no contexto descrito.
26.3Comenta a afirmação: “Em conjunto, o Carlos e o João já marcaram mais golos do que todos os outros jogadores.”
27. O Simão foi ao cinema com os seus colegas de turma. Dos 9 ¤ que levou para o cinema, o Simão gastou 40% no bilhete, nas pipocas e o restante na bebida.
27.1Quanto custou ao Simão o bilhete para o cinema?
27.2Quanto gastou o Simão nas pipocas?
27.3O que foi mais caro: a bebida ou as pipocas? Explica o teu raciocínio.
28. Na semana passada, o Carlos e o João, que são irmãos, ajudaram o seu vizinho a cortar a relva do jardim. Como recompensa, receberam do vizinho duas caixas de bombons iguais, uma para cada um. O João já comeu dos seus bombons e o Carlos dos dele.
28.1Qual dos dois irmãos já comeu mais bombons?
28.2Se cada caixa tinha 36 bombons, quantos bombons ainda têm os dois irmãos em conjunto? 1 3 6 10 6 10 1 6 1 4
29. O Sr. Joaquim tem um terreno com a forma de um quadrado, onde pretende plantar couves, cebolas, alhos, beringelas, pepinos, tomates e alfaces. A plantação de couves ocupará um quarto do terreno. O resto do terreno será dividido igualmente pelas outras plantações. Utiliza o esquema do terreno para explicar ao Sr. Joaquim como po-derá ele dividir o seu terreno.
30. A arca frigorífica do Firmino avariou e a repa-ração era mais cara do que a compra de uma nova. Assim, depois de decidir qual o modelo que pretendia comprar, o Firmino viu preços em várias lojas. O resumo das informações re-colhidas pelo Firmino apresenta-se ao lado. Em qual das três lojas a arca é mais barata? Ex-plica o teu raciocínio.
31. No seu aniversário, o Joaquim recebeu, dos seus avós, 50 ¤ que usou para comprar um jogo de tabuleiro. Gastou do total nessa compra.
31.1Quanto custou o jogo que o Joaquim comprou?
31.2O que representa a expressão 50 – ¥ 50?
31.3Resolve a expressão da alínea anterior.
32. O campo de jogos da escola do Vicente tem 56 m de comprimento e do comprimento de largura. Quantos metros de rede serão necessários para vedar o campo de jogos? Explica o teu raciocínio.
7 10 7 10 4 7 couves Loja A:
Custa 350 €, mas fazem 10% de desconto. A entrega custa 20 €. Loja B:
Custa 280 € + IVA (20%). A entrega é gratuita. Loja C:
Custa 380 €, mas fazem 20% de desconto. A entrega custa 15 €.
33. A Maria gasta, por mês, do seu vencimento em produtos alimentares. Sabendo que dessa quantia são para comprar peixe, que fração do vencimento gasta a Maria na peixaria? Explica o teu raciocínio.
34. De seguida apresentam-se quatro números fracionários:
Observa a reta numérica seguinte e escreve cada uma das frações anteriores na caixa certa. Explica o teu raciocínio.
35. Para se preparar para um teste de Matemática, o Júlio resolveu muitos exercícios. Um quarto dos exercícios que resolveu eram do Manual, um sexto eram do Caderno de Atividades e os restan-tes eram de uma ficha de trabalho que a professora forneceu.
35.1Calcula o valor da expressão numérica e interpreta o resultado no contexto descrito: 1 –
(
+)
35.2O Júlio resolveu 200 exercícios. Quantos desses exercícios eram do Manual? Explica o teu raciocínio.
35.3De onde resolveu o Júlio mais exercícios: do Manual, do Caderno de Atividades ou da ficha de trabalho? Justifica.
36. Na figura está representado um quadrado [ABCD]. Que parte do quadrado está colorida de vermelho?
3 8 25 1 3 1 10 1 5 1 2 1 6 1 4 A B C D • • • 0 1 •
37. O Sr. Fernandes tem um terreno retangular com 30 m de compri-mento, que se encontra representado na figura ao lado.
37.1Determina a área do terreno sabendo que a sua largura é do seu comprimento.
37.2Com a passagem de uma estrada, 30% do terreno foi-lhe expropriado pelo Estado, que lhe pagou 50,50 ¤ por cada metro quadrado de área. Quanto recebeu o Sr. Fernandes? Explica o teu raciocínio.
38. A Cristiana desenhou no seu caderno de Matemática umas barras coloridas, como as representadas na imagem.
38.1Considera como unidade a barra azul. Que fração da barra azul é representada pela:
a)barra verde? b)barra roxa?
38.2Considera como unidade a barra vermelha. Que fração da barra vermelha é representada pela:
a)barra preta? b)barra roxa?
38.3Se a barra azul representar , qual é a barra que representa 1?
38.4Se a barra verde representar , qual é a barra que representa ?
39. A partir dos dados da figura, inventa um problema que possa ser resolvido pela expressão 25 450 ¥ e resolve-a.
2 3 1 2 1 10 1 5 1 3 30 m
VENDO
25 450 €
40. O Joaquim é designer gráfico e está a criar um logótipo para uma empresa. O Joaquim decidiu que o logótipo terá a forma de um hexágono regular verde, com uma parte pintada de azul. Num modelo, que se encontra re-presentado de seguida, pintou metade do hexágono de azul.
O gerente da empresa gostou, mas achou que devia ter menos azul. Assim, pediu ao Joaquim que idealizasse dois novos modelos para ele avaliar: um modelo devia ter pintado de azul e o outro devia ter . O Joaquim não sabe como o fazer…
Ajuda o Joaquim criando dois logótipos que cumpram as condições do gerente.
1.° modelo 2.° modelo
41. O Gil comprou amêndoas da Páscoa, umas eram azuis e outras eram brancas. As amêndoas com-pradas pelo Gil estão representadas na figura.
41.1Dois terços das amêndoas que comprou eram azuis. Quantas amêndoas azuis comprou o Gil? Explica o teu raciocínio.
41.2O Gil decidiu dividir todas as amêndoas azuis pelos seus três irmãos. Com que fração de amêndoas azuis ficou cada irmão? Explica o teu raciocínio.
41.3Quantas amêndoas azuis eram de chocolate? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2007
1 3 1
42. O Aníbal quer comprar um CD de música da sua banda preferida. Para tal, abriu o seu mealheiro, para usar o dinheiro que tinha vindo a juntar. A figura seguinte mostra o dinheiro que o Aníbal tinha no mealheiro.
42.1O Aníbal pegou em desse dinheiro e deslocou-se à loja de música.
Com que notas e/ou moedas o Aníbal poderá ter saído de casa? Explica o teu raciocínio.
42.2Quando chegou à loja, o Aníbal reparou que o CD custava do dinheiro que levava consigo. Escreve uma fração que represente a parte do dinheiro que o Aníbal gastou com o CD. Explica o teu raciocínio.
43. A garrafa da figura tem capacidade para 1 litros de água.
Quantos copos de litro é possível encher utilizando a água de uma garrafa cheia? Explica o teu raciocínio.
2 5 3 4 1 2 1 3
1. Observa a fotografia de um grupo de alunos de uma turma do 12.º ano.
Indica a razão entre:
1.1 o número de rapazes e o número total de alunos deste grupo;
1.2 o número de rapazes e o número de raparigas do grupo;
1.3 o número de raparigas que vestem saia e o número total de raparigas do grupo.
2. Na figura está representado um retângulo. Sabendo que o retângulo corresponde a da unidade, desenha a unidade.
3. Determina, se possível, a fração decimal que representa cada um dos seguintes números racionais.
3.1 0,9 3.2 2 9 3 25
4. Completa de modo a que as duas frações sejam equivalentes. =
5. Escreve a fração na forma irredutível.
6. Completa os espaços em branco, utilizando os símbolos >, < e =.
6.1 2 _____3 6.2 _____ 6.3 _____
7. O Ricardo comprou três embalagens com 20 CD cada uma. Já utilizou dos CD de uma emba-lagem, dos CD de outra e dos CD da terceira embalagem.
7.1 Juntando os CD que sobraram nas três embalagens, quantos CD tem, ao todo, o Ricardo? Ex-plica o teu raciocínio.
7.2 As embalagens de CD estavam em promoção, com um desconto de 20%. Pelas três, o Ricardo pagou 12 ¤. Quanto custava cada embalagem sem o desconto? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2008
8. De seguida apresenta-se uma reta numérica, na qual está assinalado um ponto que representa um número racional.
Escreve uma fração que represente esse número. 3 4 47 57 73 75 1 2 1 4 15 6 7 14 28 36 0 1 2 3 4 •
9. O Fernando paga uma cota anual de 100 ¤ para ser sócio de um determinado clube de futebol. Como contrapartida, o cartão de sócio funciona como cartão de desconto em algumas lojas par-ceiras do clube. Sabendo que, nessas lojas, apresentando o seu cartão de sócio, o Fernando tem um desconto imediato de 10% em todas as compras que efetuar, determina quanto terá de gas-tar anualmente o Fernando nessas lojas para que lhe compense financeiramente ser sócio do clube. Explica o teu raciocínio.
10. A Rita foi para o Algarve passar as férias de verão com os seus pais. Depois de ter percorrido dos 561 km que separam a sua casa do seu destino de férias, decidiu fazer uma paragem para descansar.
10.1Quantos metros ainda faltam percorrer para a Rita chegar ao seu destino?
10.2A Rita vai fazer da viagem em autoestradas. Sabendo que cada quilómetro que percorre na autoestrada tem um custo de 10 cêntimos, indica o valor, aproximado às unidades, que a Rita vai gastar para chegar ao seu destino.
11. Calcula o valor da expressão numérica seguinte.
– ¥ 2 3 2 3 1 4 5 3 6 11
12. O Sr. Alberto vende, na sua papelaria, canetas de diferentes cores. Esta semana já vendeu de uma embalagem de canetas azuis, de uma embalagem de canetas vermelhas e de uma embalagem de canetas pretas.
Atendendo aos dados da figura, responde às seguintes questões.
12.1Qual foi o tipo de caneta mais vendido, durante esta semana, pelo Sr. Alberto? Explica o teu raciocínio.
12.2Quantas canetas pretas vendeu o Sr. Alberto esta semana?
12.3Juntando as canetas que sobraram nas três embalagens, quantas canetas tem ainda para vender o Sr. Alberto? Explica o teu raciocínio.
12.4Sempre que pode, o Sr. Alberto ajuda os alunos carenciados da escola. Desta vez, dividiu as canetas pretas que ainda restavam na embalagem por três alunos.
Escreve uma fração que represente a parte da embalagem de canetas com que cada aluno ficou. Explica o teu raciocínio.
30 Unidades 30 Unidades 30 Unidades 2 3 1 6 2 5
Referencial cartesiano
n No plano, para localizar pontos pode-se utilizar um referencial cartesiano.
n Um referencial cartesiano pode ser composto por dois eixos per pendiculares entre si, cada um deles com uma orientação, indicada por uma seta, e uma graduação. O ponto O, onde os dois eixos se intersetam, diz-se a origem do referencial.
O eixo horizontal, Ox, designa-se por eixo das abcissas, ou eixo dos xx. O eixo vertical, Oy, designa-se por eixo das ordenadas, ou eixo dos yy.
n No plano, a posição de qualquer ponto pode ser definida atra vés de um par ordenado de números, (x, y). O primeiro número desse par, x, é a abcissa do ponto e o segundo número, y, é a ordenada. x e y dizem-se as coordenadas do ponto.
5 Eixo das ordenadas
Origem do referencial
Eixo das abcissas
y x 4 3 2 1 1 0 2 3 4 5 Ponto B , Ponto A(3, 1) Ordenada 5 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Abcissa 1 4 14 3
(
)
Estatística
n A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar e interpretar dados.
n Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta é o número de vezes que se observa um determinado acontecimento.
A frequência relativa é o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pelo número total de observações.
n Depois de organizados, os dados recolhidos podem ser representados por um gráfico:
n A média de um conjunto de dados é o valor que se obtém dividindo a soma dos valores observados pelo número total de observações.
n A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com mais frequência nos dados.
7 6 5 4 3 2 1 0
Crescimento demográfico nas últimas décadas
População (mil milhões) Anos 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 5 6 7 8 9 1 6 6 2 0 8 4 3 6 3 3 8 9 1 9 7 3 6 6 6 7 1 4 3 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Profissões desejadas pelos alunos
Número de alunos
Profissões Astronauta Professor Comerciante Futebolista Médico
Gráfico de barras Pictograma
Gráfico de linha Diagrama de caule-e-folhas
Janeiro
Garrafas recolhidas para reciclagem
caule folhas
Fevereiro = 20 garrafas
Março
1. No referencial ao lado estão assinalados alguns pontos. 1.1Indica as coordenadas de cada um desses pontos.
1.2Qual dos pontos pertence ao eixo das abcissas?
1.3Qual dos pontos possui maior ordenada?
2. Uma empresa discográfica realizou um inquérito para averiguar os tipos de música mais apre-ciados por uma comunidade estudantil. Cada um dos inquiridos referiu apenas um tipo de música. Os resultados obtidos encontram-se registados a seguir:
2.1Quantas pessoas responderam ao inquérito?
2.2Qual o tipo de música que registou mais simpatizantes?
2.3Organiza os dados obtidos numa tabela de frequências (absolutas e relativas).
2.4Qual é a percentagem de pessoas que prefere a música clássica?
2.5Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
Tipo de música Contagem
Clássica |||
Pop |||| ||
Rock ||||
Rap ||||
3. A Raquel fez um estudo sobre as nacionalidades dos amigos que possui numa das redes sociais da Internet. Registou a seguinte contagem:
3.1 Quantos amigos tem a Raquel na rede social?
3.2 Qual é a nacionalidade mais frequente nesse conjunto de amigos? 3.3Organiza os dados numa tabela de frequências (absolutas e relativas).
3.4 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
3.5 O gráfico de linha ao lado mostra a evo-lução do número de amigos da Raquel, na rede social, ao longo dos últimos meses. a)Quantos amigos tinha a Raquel na rede
social no mês de novembro?
b)Atendendo aos dados do gráfico, faz uma previsão acerca do número de amigos que a Raquel terá, na rede so-cial, no fim do mês de janeiro.
Nacionalidade Contagem Portuguesa |||| |||| |||| |||| ||| Brasileira |||| |||| |||| || Inglesa |||| |||| Espanhola |||| |||| |||| 70 60 50 40 30 20 10 0
Evolução do número de amigos da Raquel ao longo de 4 meses
Número de amigos
Meses Setembro Outubro Novembro Dezembro
4. Na turma do Ricardo, os alunos construíram um pictograma com os dados relativos ao instru-mento musical que gostariam de aprender a tocar. Cada aluno escolheu apenas um instruinstru-mento musical.
4.1 Da turma do Ricardo, só duas raparigas gostariam de aprender a tocar piano. Quantos ra-pazes, da turma do Ricardo, gostariam de aprender a tocar piano?
4.2 Utiliza a informação do pictograma anterior para completares o gráfico de barras seguinte. (Escreve o nome dos instrumentos e desenha as duas barras que faltam no gráfico.)
4.3 O Ricardo escreveu um relatório sobre os instrumentos que ele e os seus colegas gostariam de aprender a tocar. Completa, com números, os espaços do relatório assinalados com um traço, utilizando a informação do pictograma.
Prova de Aferição de Matemática, 2.° Ciclo, 2008
Aprendizagem de um instrumento musical Instrumentos musicais Número de alunos Flauta Harpa Piano Violino Guitarra Legenda: = 2 alunos 14 12 10 8 6 4 2 0
Aprendizagem de instrumento musical
Número de alunos
Instrumentos musicais Violino Harpa
__________ __________
Na nossa turma, disseram que gostariam de aprender a tocar guitarra ______ alunos. Pre-feriam aprender a tocar violino ______ alunos. Há ______ alunos que gostavam de apren-der a tocar flauta e ______ que preferiam aprender a tocar piano.
Só a Leonor é que disse que gostaria de aprender a tocar harpa.
Concluímos que o instrumento musical que mais alunos gostariam de aprender a tocar é a guitarra.
5. Uma percentagem significativa de estudantes transporta diariamente na sua mochila mais peso do que aquele que é recomendado. Os dados que se seguem representam o peso das mochilas, com o respetivo material escolar, de 15 alunos do colégio que o Álvaro frequenta.
5.1 Constrói um diagrama de caule-e-folhas representativo da situação.
5.2 Qual foi o peso máximo encontrado?
5.3 Qual é o peso mais frequente? Como se designa esse valor? 5.4 Quanto peso transporta, em média, cada aluno?
5.5 Foi pesada a mochila de um outro aluno desse colégio. Quanto esperas que a sua mochila
pese? Explica o teu raciocínio.
5.6 Segundo vários especialistas, para evitar lesões na coluna vertebral, o peso de uma mochila, com o respetivo material escolar, não deve ultrapassar 10% do peso do estudante que a transporta. Considerando este facto e a resposta que deste na alínea anterior, quanto deverá pesar, no mínimo, o dono da mochila? Explica o teu raciocínio.
6. Durante o presente ano letivo, o Sebastião teve, nos testes de Matemática, as seguintes
classi-ficações: 86%, 95%, 84%, 93% e 86%
Qual é a classificação que o Sebastião tem de alcançar no próximo teste, para conseguir ficar com uma média de, pelo menos, 90%? Explica o teu raciocínio.
4,9 5,1 4,1 5,2 5,4
5,0 4,7 4,8 5,4 4,3
7. O Restaurante São José propõe, diariamente, aos seus clientes, quatro ementas diferentes: um prato de peixe, um prato de carne, um prato vegetariano e uma sanduíche especial.
Para ir ao encontro das necessidades dos seus clientes, a direção do restaurante fez um inquérito onde era perguntado o prato escolhido para a refeição e o grau de satisfação para com o mesmo (Satisfaz e não satisfaz).
Os dados recolhidos encontram-se repre-sentados no gráfico de barras.
7.1 Quantos clientes preencheram o in-quérito?
7.2 Quantos clientes escolheram a ementa com a sanduíche especial?
7.3 Qual foi a ementa pedida com mais frequência?
7.4 Constrói uma tabela de frequências absolutas que represente a situação.
7.5 Calcula a percentagem de clientes que escolheu a ementa com o prato de carne.
7.6 Calcula a percentagem de clientes que não ficou satisfeito com o prato vegetariano.
7.7 Comenta a afirmação: “Cerca de 60% dos clientes mostram-se satisfeitos com a comida
do Restaurante São José”.
8 7 6 5 4 3 2 1 0 Frequência absoluta
Carne Peixe Vegetariano Sanduíche Ementas Satisfaz Não Satisfaz
8. Num campeonato de futebol cada equipa conquista: •3 pontos por cada vitória;
•1 ponto por cada empate; •0 pontos por cada derrota.
Na tabela abaixo está representada a distribuição dos pontos obtidos pela equipa Os Lutadores durante o campeonato.
8.1 Quantos jogos realizou a equipa Os Lutadores durante o campeonato?
8.2 Qual foi o resultado mais frequente desta equipa durante o campeonato?
8.3 Qual foi o total de pontos obtidos pela equipa Os Lutadores nos jogos em que ganharam?
8.4 Qual foi a média de pontos, por jogo, da equipa Os Lutadores, neste campeonato? Apre-senta os cálculos que efetuares.
8.5 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 8.° ano, abril 2009
Pontos Número de jogos
3 15
1 9
