UNIDADE 1. Tarefa Mínima

UNIDADE 1

NÚMEROS PROPORCIONAIS

RAZÕES E PROPORÇÕES

Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade.

Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por

b

a

Obs.: a razão

b

a é usualmente lida assim: “a está para b”. A igualdade entre duas razões é uma proporção.

Representação:

d c b a_

onde: a, d = extremos b, c = meios A expressão

d c b a

 lê-se assim: a está para b, assim como c está para d.

Observações:

Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem.

 A e B são diretamente proporcionais se:

_k f c e b d a _{  } k é a constante de proporção. Propriedade: f e d c b a f c e b d a       

 A e B são inversamente proporcionais se: a . d = b . e = c . f = k Propriedade: a . d = b . e = c . f = f 1 c e 1 b d 1 a _{ }

Exercícios de Sala 

1.

Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão

entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é:

2.

Determine dois números, sabendo que a soma deles é

42 e que a razão entre eles é

4

3

.

3.

a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3,

5 e 7.

b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

Tarefa Mínima 

4.

Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos

para o curso de Odontologia. Sabendo que foram fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de candidatos em relação ao número de vagas?

5.

Determine dois números, sabendo que a soma deles é

60 e que a razão entre eles é 3 2_.

6.

Determine os valores de x e y sendo: x – y = 10 e

3 1 x y_

7.

Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números

diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6

b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

8.

Divida o número 360 em partes proporcionais aos

números 2, 3, 4 e 6.

Tarefa Complementar

9.

Divida o número 220 em partes inversamente

proporcionais aos números 7 4 4 3 , 3 2 e .

10.

A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos

e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas.

11.

(PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente

proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade

20

5

8

x

y

9

_

_

, os valores de x e y devem ser respectivamente: a) 2 e 36 d) 5 e 35 b) 5 1 e 4 1 e) n.d.a. c) 2 e 5

12.

(F.Carlos Chagas) Se as sequências (a, 2, 5) e (3, 6, b)

são de números inversamente proporcionais e a + mb = 10, então m é igual a:

a) 0,4 c) 2,0 e) 5,0

b) 1,0 d) 2,5

13.

p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que

p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1?

a) – 2 c) 0,5 e) 3

14.

(UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que

4

3

2

z

y

x

_

_

, o valor de x é:

15.

(UFSC) O perímetro de um terreno é 72 m. As

medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é:

16.

(UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é:

1 1 4 4

a) b) c) d) e) n.d.a.

4 5 1 5

17.

(FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamente

proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e

m.

x Y

1 2 2 p m 8

18.

Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25

litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. a) do óleo para a gasolina

b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura

UNIDADE 2

GEOMETRIA PLANA

ÂNGULOS

Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma origem (vértice).

O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:

OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice UNIDADES ANGULARES Sistema Sexagesimal (Grau)

1 grau é 360 1 da circunferência. Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura.

Ângulo Agudo

Ângulo Reto

Ângulo Obtuso

Dois ângulos  e  podem ser: a) complementares:  +  = 90º b) suplementares:  +  = 180º c) replementares:  +  = 360º

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL

Triângulos

Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC.

Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios:

Quanto aos ângulos

CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a, o lado maior temos:  a2 < b2 + c2  triângulo acutângulo

 a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{ triângulo retângulo}  a2 > b2 + c2  triângulo obtusângulo

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A + B + C = 180° Triângulo Equilátero Se AB = BC = AC então A = B = C = 60° Triângulo Retângulo

Exercícios de Sala 

1.

(UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x

+ 10° e x + 50°. Um deles mede:

2.

Um ângulo mede a metade do seu complemento.

Então, esse ângulo mede:

a) 30° c) 60° e) 15°

b) 45° d) 80°

3.

Em cada figura abaixo, determine o valor de x.

a) r //s

b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo equilátero.

Tarefa Mínima 

4.

(ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x

– 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:

a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°

5.

Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então

esse ângulo mede:

a) 45° b) 135° c) 100° d) 175°

6.

Determine o valor de x na figura abaixo:

x

_s

r s

//

25º

130º

7.

Nas figuras abaixo, o valor de x é:

a) b) c) d)

8.

(FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então:

a) y = 3x c) x + y = 180° e) 3x = 2y b) y = 2x d) x = y

Tarefa Complementar 

9.

(UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus,

do arco x é:

10.

(UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento

mede:

a) 100° c) 36° e) n.d.a. b) 144° d) 80°

11.

(UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da

diferença x  y é: 23o y x 112o r s t r // s // t

12.

(UFSC) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.

A medida do ângulo y, em graus, é:

13.

(Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por

uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede:

a) 142° c) 148° e) 152° b) 144° d) 150°

14.

(Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o

ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em graus do ângulo 3 é:

a) 50 c) 60 e) 100

b) 55 d) 80

15.

Sabendo que o complemento de um ângulo está para o

seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em graus a medida do ângulo:

16.

Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. 60° 70° Y r s

17.

Na figura , o valor de x é: UNIDADE 3

ESTUDO DOS POLÍGONOS

ELEMENTOS

CLASSIFICAÇÃO

Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. Os mais conhecidos são:

 Triângulos - 3 lados  Quadriláteros - 4 lados  Pentágono - 5 lados  Hexágono - 6 lados  Heptágono - 7 lados  Octógono - 8 lados

 Eneágono - 9 lados  Decágono - 10 lados  Undecágono – 11 lados  Dodecágono - 12 lados  Pentadecágono – 15 lados  Icoságono - 20 lados

Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero

(lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).

NÚMERO DE DIAGONAIS

O número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela expressão:

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n  3) é dado pela expressão:

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n  3) é sempre igual a 360°

Observações

 Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações:

 Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par,

então n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro.

 Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.

POLÍGONOS REGULARES

Um polígono é regular quando tem lados e ângulos congruentes. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência.

Nomenclatura



é o lado do polígono

R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema

Triângulo Equilátero

h

Quadrado

Hexágono Regular

Exercícios de Sala 

1.

(ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o

segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18

2.

Em um icoságono regular ABCDE... calcule:

a) a soma dos ângulos internos. b) a soma dos ângulos externos. c) cada ângulo interno e externo

3.

(UFSC) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono.

E D C B A F 20 13 15 23

4.

Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma

circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a:

a) 5

2

d) 20

2

b) 10 e) 3

2

c) 10

2

5.

(VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de

um hexágono regular é igual a 2

3

cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a)

3

c) 4 e) 2,5

b) 2 d) 3

Tarefa Mínima 

6.

O polígono que tem o número de lados igual ao

número de diagonais é o:

a) hexágono d) heptágono b) pentágono e) não existe c) triângulo

7.

Cada ângulo interno de um decágono regular mede:

a) 230° c) 144° e) 150° b) 130° d) 28°

8.

Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo

do externo?

a) Dodecágono d) Heptágono b) Pentágono e) Hexágono c) Octógono

9.

Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:

a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo

b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo

c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo

10.

O lado de um triângulo equilátero inscrito numa

circunferência mede 2

6

cm. Determine a medida da altura do triângulo.

a) 2

2

b)

2

c) 3

2

d) 2 e) n.d.a.

11.

(ACAFE) O diâmetro mínimo de um tronco de

árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 20cm, é:

a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20

2

cm e) 80 cm

Tarefa Complementar 

12.

(UNICamp) O polígono convexo cuja soma dos

ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: a) 15 diagonais d) 30 diagonais b) 20 diagonais e) 35 diagonais c) 25 diagonais

13.

(UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3.

14.

( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono

regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é:

a) 90 d) 135

b) 104 e) 152

c) 119

15.

(PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de

lado “a”. A diagonal AB mede:

A B a) 2a c) 2 3 a b) a

2

d) a

3

e) 3 2 a 2

16.

(ACAFE) A razão entre os comprimentos das

circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: a)

2

c) 2

2

e )

2

3

b)

3

d) 2

3

17.

(FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de

um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:

a) 90 c) 110 e) 150

b) 100 d) 120

18.

Calcule a medida do ângulo central de um eneágono

Regular.

19.

Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e

20.

Determinar em função do raio R, o lado de um

decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.

UNIDADE 4

CIRCUNFERÊNCIA

ELEMENTOS

Raio: segmento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB.

ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA

Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da

circunferência.

Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na circunferência.

Propriedade:

Consequências

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.

Ângulo excêntrico (fora do centro) interior

Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior

Quadrilátero Inscrito na circunferência

SEGMENTOS TANGENTES

TEOREMA DE PITOT

Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois:

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

TRIÂNGULO RETÂNGULO

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temos:

            Fˆ Cˆ k f c e b d a então Eˆ Bˆ Dˆ Aˆ : Se

k é a constante de proporção ou constante de semelhança.

Observação: As medidas dos perímetros de dois

triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.

Triângulo Retângulo – relações métricas

Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.

Seus elementos são:  a: hipotenusa  b e c: catetos

 h: altura relativa à hipotenusa

 n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações Métricas

Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações:  a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)  a.h = b.c  b2 _{= a.n}  c2 = a.m  h2 _{= m.n}

Exercícios de Sala 

1.

Determine o valor de x em cada caso abaixo:

a) b) x 20° O c)

2.

Determine o valor do complemento do ângulo x indicado na figura abaixo:

x

40°

3.

A circunferência está inscrita no triângulo ABC

(AB=8, AC=9 e BC=7 ). Então, x vale: A

B P C

x

a) 1,5 c) 3,0 e)5,0

4.

Na figura abaixo os ângulos CÂD e A

Bˆ

D são congruentes. Então, o valor de x é:

a) 42 c) 21 e) 10

b) 32 d) 60

Tarefa Mínima 

5.

Nas figuras abaixo, determine o valor de x:

6.

(ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é:

3x 150° A B C O a) 25° c) 50° e) 100° b) 30° d) 75º

7.

(PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos

arcos (AC) mede:

40°

A B

C

8.

(FUVEST) O valor de x na figura a seguir é:

3 x

2

10

9.

(UFSC) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. Nessas

condições, determine o valor de x + y.

A y D 18 B 15 C E 10 x 10

Tarefa Complementar 

10.

(FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na

circunferência de centro O é:

11.

(FUVEST) Na figura abaixo, ABCDE é um

pentágono regular. A medida em graus do ângulo  é:

12.

Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A,

e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo.

13.

Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de

tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS.

14.

Sendo O o centro da circunferência circunscrita no

15.

Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:

3x + 1

3x 2x

x+1

16.

(ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm

e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. a) 8cm, 14cm e 16cm d) 10cm, 13cm e 15cm b) 6cm, 14cm e 18cm e) 5cm, 14cm e 19cm c) 3cm, 7cm e 9cm

17.

(UNICAMP) A figura mostra um segmento AD

dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´ são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos segmentos AB´, B´C´ e C´D´

18.

( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB

mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é:

A B

C

M N

Q P

a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16

19.

Na figura abaixo as circunferências de centros A e B

têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior as circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, a medida do segmento CD.

UNIDADE 5

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

TRIÂNGULOS QUAISQUER

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

QUADRILÁTEROS Paralelogramo

Círculo e suas partes Círculo A = R2 Coroa Circular A =  (R2 – r2 ) Setor Circular A =  360 απR2

Exercícios de Sala 

1.

(FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado do quadrado EFGD mede, em m:

A B C D E F 10 2 a) 4 b) 5 c) 2

5

_{d) 5}

2

_{e) 6}

2.

A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e

circunscrita a um quadrado de lado 3 é:

a) 2,25 b) 5 c) 4 d) 2 e) 8

3.

(UFSC) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 12cm de comprimento e um quadrado em que uma das diagonais coincida com uma das alturas desse triângulo. Nessas condições, determine a área (em cm2) do quadrado.

Tarefa Mínima 

4.

A área do triângulo ABC, conforme a figura, é:

120° A B C 4 3 a)

3

_{b) 2}

3

_{c) 3 d) 4}

3

e) 6

5.

(CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito

numa circunferência de raio

2

é igual a: a) 3

3

cm2 d) 2

2

cm2 b) 3

2

cm2 e) n.d.a. c) 2

3

cm2

6.

(UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma

circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é:

7.

(UFPR) Um retângulo de 6m por 12m está dividido

em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C.

A

B C

Com base nessas informações, é correto afirmar: 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2. 02. A área de A é 1/6 da área de C. 04. A área de A é 24m2.

08. Um dos lados de A mede 2m. 16. Um dos lados de C mede 8m.

8.

(UFSC) Na figura a seguir, a área hachurada é de

16  cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois raios é de 2cm, determine o valor numérico do produto desses raios.

Tarefa Complementar 

9.

(FUVEST) No triângulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cm

e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango de área 8cm2 A B C M N P

A medida, em graus, do ângulo BNP é:

a) 15 c) 45 e) 60

b) 30 d) 75

10.

(CESGRANRIO) A base de um retângulo de área S é

aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

a) 1,04 S d) 0,98 S b) 1,02 S e) 0,96 S c) S

11.

(CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um

retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é:

A B C E F G D a) 1/6 c) 1/8 e) 1/10 b) 1/7 d) 1/9

12.

A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita

e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é igual a:

A

B C

O

13.

(MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio

1, a área do setor assinalado é:

9 8π e) 9 5π d) 18 5π c) 18 7π b) 9 7π a)

14.

(UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC

medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

15.

(VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercado

de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando  = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar porque está amarrado.

a) 1244 c) 1422 e) 1444 b) 1256 d) 1424

16.

(UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua

área cresce:

a) 14% c) 40% e) 144% b) 14,4% d) 44%

17.

(UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r e C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm2 a área do círculo limitado pela circunferência C2.

18.

(FUVEST) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.

UNIDADE 6

GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS

Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.

Relação de Euler: V + F = A + 2 Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) onde “v” é o número de vértices.

Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?

Poliedros Regulares

Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais.

Exercícios de Sala 

1.

Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces

quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices.

2.

Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9

faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices.

3.

Calcule a área total e o volume de um octaedro regular

de aresta l.

Tarefa Mínima 

4.

(FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces triangulares. O número de vértices desse poliedro é:

a) 12 c) 18 e) 24

b) 15 d) 20

5.

(CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a) 3240º c) 3840º e) 4060º

b) 3640º d) 4000º

6.

(PUC–PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

a) 6 c) 5 e) 8

b) 4 d) 3

7.

(PUC–PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

a) 4 c) 8 e) 12

b) 6 d) 10

8.

(PUCCAMP–SP) Sobre as sentenças: I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas:

a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras.

Tarefa Complementar 

9.

Some as alternativas corretas:

01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices.

02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas.

04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 arestas.

08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui 12 faces.

16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas.

10.

(UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais?

11.

(CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:

a) 180 c) 540 e) 900 b) 360 d) 720

12.

(UFRGS) Um octaedro regular possui: a) mais diagonais do que vértices;

b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces;

e) igual número de vértices e de arestas.

13.

(PUC–PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é:

UNIDADE 7

PRISMAS

DEFINIÇÃO

Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases, e as demais faces em forma de paralelogramos.

ELEMENTOS

BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;

BCB´C; CDC´D´; ……

ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´;

CC´; DD´ e EE´

ALTURA: A distância EH entre as duas bases é

denominada altura do Prisma.

ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´;

C´D´ ; D´E´ e E´A´

NOMENCLATURA

O nome do prisma se dá através da figura da base.



Prisma Triangular: As bases são triangulares.



Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.



Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos

Observação: Se o polígono da base for

regular, o prisma também será chamados de Regular.

CLASSIFICAÇÃO

De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: Reto: quando as arestas

laterais são

perpendiculares aos planos

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base.

da base.

No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura.

Fórmulas

Considere um prisma reto regular com n lados da base.

Exercícios de Sala 

1.

Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral

igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:

a) a área total do prisma b) o volume do prisma

2.

(UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular

de 2cm de aresta da base é 42

3

cm3. A medida, em cm2, da área lateral desse prisma é:

Tarefa Mínima 

3.

(ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por base

um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:

4.

(UFSC) Um prisma triangular regular tem uma área total de ( 96 + 2

3

) cm2. Sabe-se que a aresta da base mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é:

5.

(PUC-PR) O volume do prisma reto de

3

m de altura, cuja base é um hexágono de

2

m de lado, é:

b) 3

3

m3 e) 8

3

m3 c) 9 m3

6.

(Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é

6

e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em cm3:

Tarefa Complementar 

7.

(PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui

10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: a) aumenta 8% d) diminui 8% b) aumenta 15% e) não se altera c) aumenta 108%

8.

(UFCE) Um prisma reto tem por base um losango cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse prisma, em cm3, é:

9.

(ITA-SP) Considere P um prisma reto de base

quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 80m2. O lado dessa base quadrada mede:

10.

( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto

de base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a área total desse prisma, em cm2, é:

a) 1852 c) 926 e) 508 b) 1016 d) 680

11.

(UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é

paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.

UNIDADE 8

TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS

PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO

Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos e as faces opostas são retângulos congruentes. Possui três dimensões:



comprimento (a)



largura (b)



altura (c) Fórmulas

Área Total: ST = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c

Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2

RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST

Cubo – Hexaedro Regular

Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.

Todas as faces são quadrados

Fórmulas

Área Total: ST = 6



2 Volume: V =



3

Diagonais: d =



2

D =



3

Exercícios de Sala 

1.

(UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é

24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo.

2.

No cubo da figura, área da secção o ABCD é

8

cm2. Calcule o volume do cubo.

Tarefa Mínima 

3.

(UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o

perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 +

2

) cm. Calcule o volume do cubo em cm3.

4.

(UFSC) Considerando que uma das dimensões de um

paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm2, a área total desse paralelepípedo.

5.

(FGV-SP) Um cubo tem 96m2 de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para que seu volume se torne igual a 216 m3?

6.

( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:

7.

(UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das

arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:

Tarefa Complementar 

8.

(UFSC) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta.

9.

(Fatec-SP) As medidas das arestas de um

paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:

a) 292cm2 c) 296cm2 e) 290cm2 b) 298cm2 d) 294cm2

10.

(UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm

agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.

01. A área do triângulo ABC é 2 dm2. 02. AD 2

6

dm.

04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.

08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm3

16. O perímetro do triângulo BCD vale 4

2

dm.

11.

(UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem

por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:

12.

(UNICAMP) Ao serem retirados 128 litros de água de

uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm.

a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) calcule sua capacidade em litros.

UNIDADE 9

PIRÂMIDES

DEFINIÇÃO

Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares.

Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular

NOMENCLATURA

Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. Observe alguns exemplos.

 Pirâmide Triangular  a base é um triângulo

 Pirâmide quadrangular  a base é um quadrado

 Pirâmide Pentagonal  a base é um pentágono

Pirâmides Regulares

Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular.

Elementos e Formulário

 aresta da base - ℓ  aresta lateral -aℓ  altura – h

 apótema da base – ab  apótema da pirâmide – ap

 Raio da circunferência circunscrita – R

Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as seguintes relações:

Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base Área Lateral : SL = n.





ap

2

Área Total: ST = SB + SL Volume V = 3 .h SB

Relações Auxiliares na Pirâmide

 _ap2 _{= H}2 _{+ ab}2  a



2 = ap2 +  2 2     a



2 = H2 + R2

Exercícios de Sala 

1.

Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e

a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide.

2.

Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja

altura mede

3

3

m e o perímetro da base mede 12 m?

3.

(UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da pirâmide?

Tarefa Mínima 

4.

(UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.

5.

(UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2

3

cm. Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide.

6.

(UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta

lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é:

7.

(Cescem-SP) Em uma pirâmide com 12cm de altura,

tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:

a) 240cm2 c) 340cm2 e) n.d.a. b) 260cm2 d) 400cm2

8.

(Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. Então, a sua altura mede:

a) 1 c) 3 e) n.d.a.

b)

2

d) 4

Tarefa Complementar 

9.

(UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 4

3

cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

10.

(UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é:

11.

O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez ).

12.

(UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro

regular de aresta igual a 4 cm.

a) 4

3

cm2 d) 16

3

cm2 b) 8

3

cm2 e) 24

3

cm2 c) 12

3

cm2

13.

(ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificação

de um sólido. O volume desse sólido é de:

a) 1152cm3 d) 1200cm3

b) 1440cm3 e) 240cm3 c) 384cm3

14.

(VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de

madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:

1 3 2 5 3

a) V b) V c) V d) V e) V

2 4 3 6 8

15.

(UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro

regular de aresta igual a 4 cm.

a) 4

3

cm2 d) 16

3

cm2 b) 8

3

cm2 e) 24

3

cm2 c) 12

3

cm2

16.

(PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide

hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2.

a) 6.10-4 d) 12.10-2 b) 6.10-2 e) 15.10-4 c) 12.10-4

17.

(EE Volta Redonda) A base de uma pirâmide tem 225

cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é: a) 4,5 cm d) 9,5cm

b) 7,5 cm e) 3,5cm c) 1,5 cm

UNIDADE 10

CILINDRO, CONE e ESFERA

CILINDRO DE REVOLUÇÃO

Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular.

Elementos

Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h

Fórmulas

Considere um cilindro reto.

Área da Base: SB = r2 Área Lateral: SL = 2rh Área Total: ST = 2SB + SL Volume: V = r2_h

Secção Meridiana:

A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um quadrado temos um cilindro equilátero. (g = h = 2r)

2R

h

CONE DE REVOLUÇÃO

Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a hipotenusa é a geratriz do mesmo.

Fórmulas

Área da Base: SB = r2 _{Área Lateral: SL = rg}

Área Total: ST = SB + SL Volume: V = 3

h πr2 Relação auxiliar: g2 = h2 + r2

Secção Meridiana

No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. Quando a secção meridiana for um triângulo equilátero teremos um cone equilátero ( G = 2R )

h g

2R

ESFERA

Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo em torno de um de seus diâmetros.

Secção de uma esfera

Qualquer plano  que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r.

d é a distância entre o plano  e o centro da esfera. R é o raio da esfera.

r é o raio da secção.

Relação: R2 = r2 + d2 Fórmulas da esfera

superfície esférica: As = 4R2 _{volume: V = πR}3 3 4

Exercícios de Sala 

1.

(ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 27

dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm

2.

(UFSC) Determinar

1



do volume em m3 de um cone de revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral, 20 m2_.

3.

(UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h =

20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale:

a) 102



3

cm 3 b) 80



3

cm 3 _{e) 80  cm}3 b) d) 160cm3 d) 40  cm3

4.

(UFSC) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16



cm2 de superfície é:

Tarefa Mínima 

5.

(UFSC) A área lateral de um cilindro equilátero é de

36m2

. O valor, em m3, de

1



do volume desse cilindro é:

6.

(UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de

15



cm de altura e 12 cm de raio da base. O volume, em cm3, de ferro que sobrou após a modelagem, é:

7.

(UDESC) Uma caixa d’água de forma cilíndrica tem 1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é:

a) 3,2 m c) 4,0 m

b) 3,6 m d) 4,8 m

8.

(SUPRA) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento

e 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água:

a) ultrapassa o meio do cano b) transborda

c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda

9.

(FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é

cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Tarefa Complementar 

10.

(UFSC) Um cilindro reto tem 63cm3 de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.

11.

(UFCE) O raio de um cilindro circular reto é

aumentado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de:

a) 2% c) 6% e) n.d.a. b) 4% d) 8%

12.

(PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de

hipotenusa 3

2

cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado?

a) 3

2

cm3 d) 27  cm3 b) 9  cm3

e) 1/3  cm3 c) 18  cm3

13.

Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da secção.

a)

39

c) 32 e) n.d.a. b) 36 d) 65

14.

(UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área total é 2. O valor de

1

3



do volume da esfera, inscrita

nesse cubo, é:

15.

(UFSC) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16 cm2 _{de superfície é:}

16.

(F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera têm

o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é:

a) 9/4 c) 3/4 e) 1 b) 9/2 d) 2/3

17.

(Santa Casa-SP) O raio da base de um cone equilátero

mede 6

3

cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm3, é:

a) 144 c) 192 e) 302 b) 152 d) 288

18.

(UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro

está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:

a) 300 c) 200 e) 100 b) 250 d) 150

19.

(UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede

3

2

cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, multiplique o resultado por

3

e assinale o valor obtido no cartão-resposta.

UNIDADE 11

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

CONCEITOS INICIAIS

Vamos considerar a sequência (an ) onde an = 3n + 1, sendo n inteiro positivo. Temos:

a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante. (4, 7, 10, 13, ...)

Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor se mantém igual a 3. Sequências como esta são denominadas progressões aritméticas.

DEFINIÇÃO

Chama-se progressão aritmética uma sequência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r.

Veja que para a sequência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é necessário que:

a2 a1 = a3 a2 = ... an  an1 = ... = r Veja os exemplos:

a) a sequência (2, 5, 8, ...) é uma P.A., pois, 5 – 2 = 8 – 5 = ... Sua razão é igual a 3. b) a sequência (1, 4, 5, ...) não é P.A., pois, 4 – 1  5 – 4.

CLASSIFICAÇÃO DA P.A.

Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. Observe o quadro abaixo:

r > 0  P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 r < 0  P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 r = 0  P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A.

Considere a sequência (a1, a2, a3...an). Partindo da definição temos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r an = a1 + (n – 1).r Importante:

Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do termo geral temos:

ak = a1 + (k – 1)r (2) Subtraindo-se (1) de (2) vem: an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r an – ak = (n – 1 – k + 1) r an = ak + (n – k)r

Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos escrever:

an = ak + (n – k).r

Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r Representações Especiais

Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios:

 Três termos em P.A. : x – r . x . x + r  Quatro termos em P.A : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r  Cinco termos em P.A.

: x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r

Propriedades da P.A.

Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:  Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média

aritmética entre o termo anterior e o posterior. 2 n 1 a 1 n a n a     Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23) 2 14 8 11 

 Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.

Observação: Se dois termos ap e aq são equidistantes dos extremos temos:

p + q = n + 1

Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são equidistantes dos extremos ou não.

Por exemplo, numa sequência de 50 termos, a16 e a35 são equidistantes dos extremos, pois

16 + 35 = 50 + 1.

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com

m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A.

SOMA DOS TERMOS DA P.A.

.n

2

n

a

1

a

n

S

_      





Exercícios de Sala 

1.

A sequência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos

consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é:

2.

Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcule a razão da P.A.

3.

(UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA

proposição correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1e1995, é

01. 198.000 02. 19.950 04. 199.000 08. 1.991.010 16. 19.900

Tarefa Mínima 

4.

Em cada caso abaixo, determine o valor de x para que

as sequências representem três números consecutivos em P.A.

a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 ) b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1) c) (x + 4)2, (x – 1)2 , (x + 2)2

5.

(FGV-SP) A sequência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma

progressão aritmética. Sua razão é:

6.

(PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são

respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:

7.

Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do

terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo segundo é 110.

8.

(LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos

entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo quinto termo vale:

9.

(PUC-SP) Três números positivos estão em PA. A

soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:

10.

(U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros

números naturais ímpares é dada por:

a) n2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n3

11.

Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os

formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é:

Tarefa Complementar

12.

(UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma

dos termos extremos é 92, e a diferença entre os dois primeiros termos é  5. O valor do 1º termo é:

13.

O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e

623 é:

14.

(U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a sequência (1 –

3x, x – 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é:

a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56

15.

(PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e

a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado do quadrado mede:

a)

₂

b) 2

2

- 1 c) 1 +

₂

d) 4 e)

2

16.

(CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos

entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 15, é:

a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80

17.

(POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e

45, qual é o sexto termo da P.A.

18.

(Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo

estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.

19.

(UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são

números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado desse triângulo.

20.

Os lados de um triângulo retângulo estão em

progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.

21.

(UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A.

cujo primeiro termo e último termos são respectivamente, 7 e 17 é:

22.

(UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A.,

na qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18, é:

23.

(UFSC) Qual deve ser o número mínimo de termos da

sequência (133, 126, 119, 112...) para que a soma de seus termos seja positiva.

UNIDADE 12

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

DEFINIÇÃO

É uma sequência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG.

Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an onde

a1 é o primeiro termo

a2 é o segundo termo a3 é o terceiro termo

an é o enésimo ou último termo n é o número de termos q é a razão da P.G.

q

a

a

a

a

a

a

a

a

n n









 2 1 3 2 4 3 1 CLASSIFICAÇÃO DA P.G. 1º caso: a1 > 0 Se q > 0  P.G. crescente  ( 2, 6, 18, 54,...) Se q = 1  P.G. constante  ( 5, 5, 5, 5,...) Se 0 < q < 1  P.G. decrescente  ( 256, 64, 16,...) 2º caso: a1 < 0 Se q > 0  P.G. decrescente (-2, -10, -50,..) Se q = 1  P.G. constante  ( -3, -3, -3,...) Se 0 < q < 1  P.G. crescente  ( -40, -20, -10,...)

Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas

em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando q < 0.

TERMO GERAL

Considere a sequência (a1, a2, a3, ..., an). Partindo da definição temos: a2 = a1.q a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 a4 = a3.q = a1.q 2 .q = a1.q 3 an = a1.q n - 1

Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak, podemos dizer que:

am = ak.q m - k 1. Representação de três termos em P.G. x x x q q , ,  2. Propriedades 1ª Propriedade:

Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja:

a22 = a1.a3 ou an2 = an - 1.an + 1

2ª Propriedade

Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes dos extremos.

Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ). Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128

3. Interpolação Geométrica

Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G.

3. Soma dos termos de uma P.G. finita.

A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão:

1 1 1 1 1 n n a q a a q Sn q q . (  )     

Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos

uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: Sn = n. a1

4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.

Dada uma P.G. com: n  e an  0, sua soma pode ser calculada pela expressão:

q a S   1 1 0 < |q| < 1

5. Produto dos termos de uma P.G. finita

O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: |Pn | = (a1.an)n

Exercícios de Sala 

1.

(UEL-PR) A sequência (2x + 5, x + 1, 2 x_{, ....) é uma}

progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é:

a) 2 b) 3-10 c) 3 d) 310 e) 312

2.

(MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro

termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é: a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486

3.

Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que a razão vale 2, o valor do quinto termo é:

a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56

4.

A solução da equação: x  x x x  

3 9 27  15 é:

5.

(UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. A razão da P.A. em que a1 =  8 e a20 = 30 é r=2. 02. A soma dos termos da P.A. (5, 8, ..., 41) é 299. 04. O primeiro termo da P.G. em que a3 = 3 e a7 =

16 3 _é

08. A soma dos termos da P.G. _      ,... 4 5 , 2 5 , 5 é 10.

Tarefa Mínima 

6.

Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que

as sequências representem três números consecutivos em P.G.

a) (x + 1; x + 4; x + 10) b) (4x, 2x + 1, x – 1)

7.

Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa P.G.

8.

(Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, a

soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.

9.

(UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a soma de seus termos é 14 e o produto 64?

a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1

10.

(UFCE) A solução da equação x  x x x  

3 9 27  60 é:

a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51

11.

A soma dos termos da P.G. (2, 6, ..., 486) é:

a) 567 b) 670 c) 728 d) 120 e) n.d.a.

Tarefa Complementar 

12.

(UFPA) A sequência (a, ab, 3a), com a  0, é uma P.G. Então, o número b é:

a) o triplo de a. d) irracional b) a terça parte de a. e) n.d.a. c) racional

13.

(UFPA) A razão da P.G. obtida ao somarmos um

mesmo número a 1,3 e 2, nessa ordem é: a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3

14.

(FGV-SP) Em um triângulo, a medida da base, a

medida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então a medida da base vale:

15.

(UFSC) Em uma progressão geométrica o 3º termo é

16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo.

16.

( UFSC ) Na progressão geométrica (10, 2, 2

5, 2 25, ...), a posição do termo 2 625 é:

17.

Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é

aumentado, mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão:

a) aritmética de razão 12 b) aritmética de razão 0,12 c) geométrica de razão 12 d) geométrica de razão 1,12 e) geométrica de razão 0,12

18.

(UFSC) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto

do 1º termo com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo. Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.

19.

( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos

entre 8 e 5832, obtém-se uma sequência. Determine o 5º termo dessa sequência.

a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245

20.

(UFSC) Sejam x, 6 e y uma progressão aritmética

y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é:

21.

(UDESC) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se

os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os quadrados obtidos.

22.

(IME) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao

solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso.

23.

(FGV-SP) O conjunto solução da equação

2

1

...

27

9

3

2





x



x



x







x

x

é: a) { 2 1 , 1} b) {– 2 1 , 1} c) {1, 4} d) {1, - 4} e) {1, 2}

24.

Considere a expressão A = _... 81 4 27 3 9 2 3 1     em

que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam uma P.G. Determine o valor de 12A

25.

(UFSC) Determine a soma dos números associados

à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 02. O valor de x que satisfaz a equação

(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155 é x = 1

04. O oitavo termo da P.G. ( 2, 2, ....) é a8 = 16. 08. A soma dos termos da P.G. 1

3 2 9 4 27       é igual a 1.