UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA – UNOESC ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS PROFESSOR: JACKSON ANTONIO CARELLI
ANÁLISE MATRICIAL
DE ESTRUTURAS
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ... iv LISTA DE TABELAS ... v 1 INTRODUÇÃO ... 1 1.1 Análise estrutural ... 11.2 Análise matricial de estruturas ... 1
1.3 Idealização estrutural ... 2
1.3.1 Definições ... 2
1.4 Divisão em elementos ... 3
1.5 Sistemas de coordenadas ... 4
1.6 Método das forças e método dos deslocamentos ... 4
1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade) ... 4
1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez) ... 5
2 MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE ... 6
2.1 Relação entre ações e deslocamentos ... 6
2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento ... 6
2.1.3 Relação entre rigidez e flexibilidade ... 7
2.2 Definições ... 8
2.3 Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e solicitada por esforço normal ... 9
2.3.1 Forças em função dos deslocamentos ... 9
2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura ... 10
2.3.3 Deslocamentos em função das forças ... 11
2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura ... 12
2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura ... 13
2.4 Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano ... 14
2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez ... 15
3 MÉTODO DA RIGIDEZ... 22
3.1 Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano ... 22
3.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - SG ... 24
3.3 Vetor de ações nodais equivalentes ... 25
3.4 Sistema de equações de equilíbrio para estrutura não-restritingida (sem apoios) ... 28
3.5 Montagem da matriz de rigidez da estrutura ... 29
3.5.1 Regra da correspondência ... 30
3.6 Montagem do vetor de ações da estrutura ... 33
3.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida ... 36
3.7.1 Técnica da reordenação ... 36
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada ... 3
Figura 1.2 – Inserção de nó fictício ... 3
Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por esforço normal ... 9
Figura 3.1 – Ações locais de engastamento perfeito - ALEP (elemento de viga) ... 26
Figura 3.2 – Ações nodais equivalentes – (-ALEP) ... 27
Figura 3.3 – Exemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano) ... 29
Figura 3.4 – Exemplo regra da correspondência (pórtico plano) ... 31
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares ... 21
1 INTRODUÇÃO
1.1 Análise estrutural
Definido o sistema construtivo e o material a ser empregado, a análise estrutural e a primeira etapa de um projeto estrutural.
O objetivo da análise estrutural e, à partir de uma estrutura, com características geométricas e mecânicas conhecidas, submetida a ações (cargas ou deformações impostas), determinar os deslocamentos (translações e /ou rotações) de todos os seus pontos, os esforços internos e as reações de apoio.
A análise estrutural é classificada como linear, quando a estrutura tem comportamento linear, e não-linear, em caso contrário. Para que uma estrutura tenha comportamento linear, ela deve sofrer pequenos deslocamentos e deformações específicas e seu material deve ser elástico-linear (validade da Lei de Hooke). Isto permite a aplicação do princípio da “superposição dos efeitos”.
1.2 Análise matricial de estruturas
A análise matricial de estruturas é um tópico da análise estrutural, em que as equações que regem o problema a resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de deformações, dependendo do método utilizado (método das forças ou método dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais adequado para implementação computacional.
O objetivo desta disciplina é a modelagem e análise estática linear de estruturas reticuladas(constituídas por elementos onde uma dimensão predomina em relação às outras duas – barras), utilizando principalmente o método dos deslocamentos com formulação matricial, capacitando os alunos a utilizar de maneira racional os programas de análise estrutural e a desenvolverem seus próprios programas.
1.3 Idealização estrutural 1.3.1 Definições
⇒ Graus de liberdade
São as variáveis envolvidas no processo de análise de uma estrutura. Quando se trata do método dos deslocamento, por exemplo, os graus de liberdade são as deformações (deslocamentos e/ou rotações) dos nós da estrutura.
⇒ Sistemas contínuos
Sistemas contínuos são aqueles compostos por uma infinidade de pontos materiais e que possuem portanto um número infinito de graus de liberdade.
⇒ Sistemas discretos
Sistemas discretos são aqueles que possuem um número finito de pontos materiais e portanto um número finito de graus de liberdade.
A maioria das estruturas consistem de uma montagem de diferentes elementos estruturais conectados entre si por ligações contínuas ou discretas. O passo mais importante na análise matricial de estruturas é a formulação de um modelo matemático de elementos discretos equivalente à estrutura contínua real. Este modelo é necessário a fim de se obter um sistema com um número finito de variáveis (graus de liberdade) nos quais as operações de álgebra matricial poderão ser realizadas. À formulação de tal modelo chama-se de idealização estrutural.
Estrutura contínua Estrutura discretizada Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada
1.4 Divisão em elementos
As estruturas estudadas nesta disciplina serão divididas em elementos de dimensão finita, ligados entre si por pontos nodais (nós) aonde se supõem concentradas todas as forças de ligação entre elementos. As ações e deslocamentos serão discretizados nos nós e a composição destes elementos para constituir a estrutura resultará em um sistema de equações algébricas que será tratado matricialmente.
Em geral um nó é constituído pelas ligações entre barras, extremidades livres, pontos de vinculação, no entanto, um nó fictício poderá, por conveniência do problema, ser inserido em qualquer ponto da estrutura, por exemplo no meio de uma barra qualquer (neste caso estaríamos dividindo a barra em duas).
Figura 1.2 – Inserção de nó fictício 5 6
1.5 Sistemas de coordenadas
Com o fim de identificar e ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e momentos) e os deslocamentos (lineares ou angulares) existentes nos nós de uma estrutura integrada (montada, contínua) ou nas extremidades de um elemento (isolado, quando subdividida a estrutura – “estrutura discretizada”), torna-se imprescindível a determinação de um sistema de coordenadas arbitrário.
Na verdade, serão necessários dois sistemas de coordenadas chamados de Sistema de
Coordenadas Globais e Sistema de Coordenadas Locais.
O sistema de coordenadas globais refere-se aos graus de liberdade da estrutura como um todo, ou seja estrutura montada, já o sistema de coordenadas locais refere-se aos graus de liberdade dos elementos discretizados, ou seja, das partes da estrutura.
1.6 Método das forças e método dos deslocamentos 1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade)
No método das forças determinam-se diretamente os esforços (forças) e indiretamente, isto é, a partir destes, os deslocamentos.
Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura hiperestática, ou seja, qualquer estrutura estaticamente indeterminada.
A estrutura é modificada por meio de liberações ou cortes, tornado-a isostática (este sistema é chamado de principal)
O sistema de equações que resolve o problema á constituído por equações de compatibilidade de deformações; as incógnitas são os esforços nas liberações ou cortes.
O número de equações (incógnitas) é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura. Para analisar uma estrutura podem ser adotados uma infinidade de sistemas principais. A a escolha do sistema mais conveniente depende da experiência do analista.
1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez)
Neste método determina-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, por meio destes, os esforços.
Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura isostática ou hiperestática. A única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a composta de uma única barra bi-engastada.
A estrutura é modificada introduzindo-se fixações de forma a torná-la cinematicamente determinada (sistema principal).
O sistema de equações que resolve o problema é constituído por equações de equilíbrio de forças em torno destas fixações. As incógnitas são os respectivos deslocamentos (rotações e/ou translações).
No caso de estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os deslocamentos possíveis dos nós (denominados graus de liberdade).
O número de equações é igual ao grau de indeterminação da estrutura, ou seja, é igula ao número de graus de liberdade da estrutura.
Adotando-se este sistema principal único desaparece o problema da escolha do sistema principal do Método das Forças, por este motivo o Método dos Deslocamentos é o mais adequado, e praticamente o único utilizado para implementação computacional em Análise de Estruturas.
2 MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE
2.1 Relação entre ações e deslocamentos
2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento
(2.1)
Onde a rigidez da mola (k) é a força por unidade de deslocamento, ou seja, é a força requerida para produzir um deslocamento unitário na mola.
2.1.2 Equação do deslocamento em termos da força
(2.2) u=δδδδ
F
u
=
=
=
=
δ
δδ
δ
⋅⋅⋅⋅
u
k
F
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
Onde δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de flexibilidade, sendo o deslocamento por unidade de força, ou seja, é o deslocamento produzido pela aplicação de uma força de valor unitário.
2.1.3 Relação entre rigidez e flexibilidade
(2.3)
Se ao invés de uma mola tivermos uma barra contínua (como a viga de um edifício, por exemplo), porém discretizada, ou seja, com um número finito de graus de liberdade (neste caso apenas um) de acordo com a resistência dos materiais podemos dizer:
(2.4)
(2.5)
Comparando-se (2.4) com (2.5) tem-se:
(2.6) (2.7) Substituindo-se (2.7) em (2.6) tem-se: (2.8)
k
1
=
=
=
=
δ
δδ
δ
εεεε
σ
σ
σ
σ
=
=
=
= E
⋅⋅⋅⋅
A
F
=
=
=
=
σ
σ
σ
σ
εεεε
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
= E
A
F
L
u
l
l
=
=
=
=
∆
∆
∆
∆
=
=
=
=
0εεεε
L
u
E
A
F
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
Ou:
(2.9)
Comparando-se (2.9) com (2.1) conclui-se que o coeficiente de rigidez da barra é:
(2.10)
Logo, o coeficiente de flexibilidade da barra é dado por:
(2.11)
Nesta disciplina será adotada a seguinte notação: o termo coeficiente de rigidez será indicado pela letra “S” e o coeficiente de flexibilidade pela letra “C”
2.2 Definições
⇒ Sij – Coeficiente de rigidez:
Representa a ação (força) na direção i causado por um deslocamento unitário na direção
j (enquanto todos os outros deslocamentos são impostos como nulos).
⇒ Cij – Coeficiente de flexibilidade:
Representa o deslocamento na direção i causado por uma ação (força) de valor unitário na direção j (enquanto todas as outras são nulas).
u
L
A
E
F
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
L
A
E
k
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
A
E
L
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
δ
δδ
δ
2.3 Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e solicitada por esforço normal
2.3.1 Forças em função dos deslocamentos
Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por esforço normal
Neste caso são conhecidas as ações que atuam nas coordenadas 1 e 2 (A1 e A2) e os
coeficientes de rigidez (S11, S12, S21 e S22), que devem ser obtidos previamente, desejando-se
obter os deslocamento nas coordenadas 1 e 2 (u1 e u2).
Para que o nó da coordenada 1 esteja em equilíbrio a força externa deve ser igual ao somatório das forças internas resultantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrutura, ou seja:
(2.12)
O mesmo pode ser dito com relação ao nó da coordenada 2:
(2.13) E2A2L2 S11 S22 S12 S21 u1=1 u2=0 u2=1 u1=0 Sistema de coordenadas globais Coeficientes de rigidez (Sij) Coeficientes de rigidez (Sij) 2 12 1 11 1
S
u
S
u
A
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
2 22 1 21 2S
u
S
u
A
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
Unindo as equações (2.12) e (2.13), pode-se, matricialmente escrever:
(2.14)
onde:
{A} é o vetor das ações externas (solicitações);
{u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2;
[S] é a matriz de rigidez da estrutura em estudo, de dimensões (2x2),
correspondente ao número de coordenadas utilizadas. A matriz de rigidez é uma matriz de transformação linear: transforma o vetor dos deslocamentos no vetor das ações.
2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura
A matriz de rigidez da estrutura pode ser obtida pela conceituação de seus coeficientes, e das relações existentes na haste submetida à carregamentos axiais.
S11 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário
também na coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
S21 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na
coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
{{{{ }}}}
A
[[[[ ]]]]
S
{{{{ }}}}
u
u
u
S
S
S
S
A
A
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
2 1 22 21 12 11 2 1
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
2 2 2 1 1 1 11 2 10
1
L
A
E
L
A
E
S
u
u
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
2 2 2 21 2 10
1
L
A
E
S
u
u
S12 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na
coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
S22 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na
coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
Obtendo-se assim a matriz de rigidez da estrutura:
2.3.3 Deslocamentos em função das forças
No item 2.3.1 foram determinadas as forças (ou ações) da estrutura em estudo em função dos deslocamentos. De forma análoga pode-se determinar os deslocamentos em função das forças. Neste caso, ao invés da imposição de um deslocamento unitário com posterior determinação das forças equivalentes, deve-se impor uma força unitária com
posterior determinação dos deslocamentos equivalentes. Desta forma chega-se às
seguintes equações de equilíbrio para os nós da estrutura:
(2.15) (2.16)
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
2 2 2 12 2 11
0
L
A
E
S
u
u
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
=
=
2 2 2 22 2 11
0
L
A
E
S
u
u
[[[[ ]]]]
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
S
2 12 1 11 1C
A
C
A
u
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
2 22 1 21 2C
A
C
A
u
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
Unindo as equações (2.15) e (2.16), pode-se, matricialmente escrever:
(2.17)
onde:
{A} é o vetor das ações externas (solicitações);
{u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2;
[C] é a matriz de flexibilidade da estrutura em estudo, de dimensões (2x2),
correspondente ao número de coordenadas utilizadas.
2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura
A matriz de flexibilidade da estrutura pode ser obtida de forma análoga ao apresentado no item 2.3.2, ou seja, pela conceituação de seus coeficientes, ou pela inversão da matriz de rigidez, já encontrada.
Invertendo-se a matriz de rigidez (S), obtém-se a matriz de flexibilidade da estrutura:
Muitas vezes é mais fácil determinar inicialmente a matriz de flexibilidade para em seguida, através da inversão desta, obter a matriz de rigidez, caso por exemplo da determinação da matriz de rigidez de uma barra com inércia variável.
{{{{ }}}}
u
[[[[ ]]]]
C
{{{{ }}}}
A
A
A
C
C
C
C
u
u
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⇒
⇒
⇒
⇒
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
2 1 22 21 12 11 2 1[[[[ ]]]]
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
C
2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura
A mesma matriz de rigidez já encontrada para a estrutura em questão poderia também ser obtida mediante analise de cada uma das barras isoladamente, conforme seque.
⇒ Análise da primeira barra
Como a primeira barra apresenta apenas um grau de liberdade coincidente com os graus de liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 1 x 1:
⇒ Análise da segunda barra
u1 = 1 ; u2 = 0 u1 = 0 ; u2 = 1 E1A1L1 S11 u1=1 1 1 1 11 1 1 1 11 1
1
L
A
E
S
A
E
L
S
u
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
1 1 1 1L
A
E
S
E2A2L2 S11 u1=1 S21 2 2 2 11 2 2 2 11 11
L
A
E
S
A
E
L
S
u
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
2 2 2 21 21 110
0
L
A
E
S
S
S
x
S
ii⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
Σ
Σ
Σ
Σ
S12 E2A2L2 u2=1 S22 2 2 2 22 2 2 2 22 21
L
A
E
S
A
E
L
S
u
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
2 2 2 12 22 120
0
L
A
E
S
S
S
x
S
ii⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
Σ
Σ
Σ
Σ
Como a segunda barra apresenta dois grau de liberdade coincidentes com os graus de liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 2 x 2:
Somando-se as matrizes de rigidez da primeira e da segunda barras tem-se:
Ou seja, chega-se ao mesmo resultado.
Para este exemplo simples talvez a primeira forma para determinação da matriz de rigidez seja mais simples, porém, para estruturas com grande número de graus de liberdade a segunda maneira (dividir a estrutura em elementos simples) é, sem dúvida, a melhor opção.
2.4 Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano
Um elemento de pórtico plano é na verdade uma barra que possui um nó em cada uma de suas extremidades. Cada um dos nós de um elemento de pórtico plano apresenta três graus de liberdade, uma translação vertical, uma translação horizontal e uma rotação. A matriz de
rigidez do elemento será referenciada à um sistema de coordenadas locais, onde o eixo “XL”
coincide com o eixo do elemento, o eixo “YL” é perpendicular à “XL” e o eixo “ZL” é
perpendicular ao plano formado por “XL” e “YL”.
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
S
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−
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−
⋅⋅⋅⋅
−
−
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⋅⋅⋅⋅
+
+
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+
⋅⋅⋅⋅
=
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=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
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⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
+
+
+
+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 10
0
0
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
L
A
E
S
S
Sistema local é definido pela incidência do elemento: eiso “XL” de J para K.
Vetor de deslocamentos no sistema local: [uL](6x1)
Ações devido aos deslocamento nodais: [AL] = [SL].[uL]
2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez
Seja o elemento restringido abaixo. Inicialmente vamos determinar as equações que regem os deslocamentos em uma das extremidades do elemento. Para tanto deve-se considerar a extremidade em questão não restringida e a partir daí, com auxílio do método da carga unitária serão definidas as equações.
Liberando os deslocamentos do nó J, XL YL ZL (i) uL1 uL4 uL2 uL5 uL3 uL6 J K Elemento (i) nó inicial – J nó final – K uL1 uL4 E-A-I uL5 uL2 uL6 uL3 L J K uL1 uL4 E-A-I uL5 uL2 uL6 uL3 L K J
cujos graus de liberdade são “uL1, uL2, e uL3”, tem-se:
Aplicando-se cargas unitárias nas direções agora liberadas tem-se os seguintes diagramas de momentos fletores (DMF’s) e diagramas de esforços normais (DEN’s):
Comparando-se os diagramas obtém-se:
Como não existe carregamento externo na estrutura, os termos δ10, δ20 e δ30 são nulos,
ficando o sistema da seguinte forma: F1=1 DMF (1) nulo F1=1 DEN (1) 1 - DMF (2) nulo DEN (2) L F2=1 F2=1 + 1 F3=1 DMF (3) nulo DEN (2) L - F3=1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
31 13 21 12 11=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
=
=
=
=
=
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⋅⋅⋅⋅
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+
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
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⋅⋅⋅⋅
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⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
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⋅⋅⋅⋅
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E
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E
A
E
L
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δδ
δ
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δ
δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
I
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⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
+
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+
+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
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0
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1
2
0
2
1
3
0
3
33 2 32 23 3 22δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
Lembrando que um coeficiente de rigidez é na verdade uma força que aplicada na direção de um grau de liberdade causa uma deformação unitária nesta direção, mantidas todas as demais fixas. Assim, basta impor uma deformação unitária em cada uma das equações acima mantendo as outras duas nulas e serão obtidos alguns dos coeficientes de rigidez de rigidez do elemento (a condição de deformações nulas nas direções uL4, uL5 e uL6 é assegurada
pelo engaste).
Impondo uL1 = 1; uL2 = 0 e uL3 = 0; obtém-se: S1 = EA/L; S2 = 0; S3 = 0
Estes coeficientes são devidos à imposição de um deslocamento unitário na direção uL1,
portanto pode-se escrever em lugar de S1, S11, em lugar de S2, S21 e em lugar de S3, S31.
Impondo uL1 = 0; uL2 = 1 e uL3 = 0; obtém-se: S1 = 0; S2 = 12EI/L3; S3 = 6EI/L2
Ou, de forma análoga, S12 = 0; S22 = 12EI/L3; S32 = 6EI/L2, pois estes coeficientes
são devidos à um deslocamento unitário na direção uL2.
=
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⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
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⋅⋅⋅⋅
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⋅⋅⋅⋅
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+
+
3 3 2 2 1 2 3 2 2 3 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 3 1 1 3 2 1 3 3 33 2 32 1 31 30 2 3 23 2 22 1 21 20 1 3 13 2 12 1 11 102
0
2
3
0
0
0
2
0
0
2
3
0
0
0
0
0
L L L L L L L L Lu
S
I
E
L
S
I
E
L
S
u
S
I
E
L
S
I
E
L
S
u
S
S
S
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L
u
S
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L
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S
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L
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S
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S
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δ
δδ
δ
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δδ
δ
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δ
δ
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δ
δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
δ
δδ
δ
Impondo uL1 = 0; uL2 = 0 e uL3 = 1; obtém-se: S1 = 0; S2 = 6EI/L2; S3 = 4EI/L
Ou: S13 = 0; S23 = 6EI/L2; S33 = 4EI/L
Assim ficam determinados todos os coeficientes chamados SJJ, ou seja, os coeficientes
que surgem no nó “J” (esforços) devido à imposição de deformações unitárias neste mesmo nó.
Resta agora determinar os coeficientes que surgem no nó “K” devido à imposição de deformações unitárias no nó “J”, ou SKJ, os coeficientes que surgem no nó “K” devido à
imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SKK, e os coeficientes que surgem no nó
“J” devido à imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SJK.
Antes porém, alguns comentários são importantes. Analisando os coeficientes já determinados pode-se observar que os efeitos causados por deformações axiais interferem nos efeitos causados por deformações de flexão, e vice-versa, ou seja, as deformações axiais e de flexão são independentes, desde que sejam verificados pequenos deslocamentos na estrutura (caso contrário a estrutura apresentará efeitos de segunda ordem, não contemplados no estudo desta disciplina).
Outra observação que se faz é com relação à simetria dos coeficientes, S23 = S32. Esta é
uma característica das matrizes de rigidez (e de flexibilidade também) em geral, elas são simétricas, portanto pode-se dizer que SJK = SKJ.
Com estas observações pode-se prosseguir na determinação dos demais coeficientes de rigidez, da seguinte maneira: inicialmente, por equilíbrio do elemento serão determinados os coeficientes SJK, na seqüência, por simetria serão determinados os coeficientes SKJ e por fim,
Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKJ à partir de SJJ: (mais 09 coeficientes): SL41 = - SL11 SL42 = 0 SL43 = 0 SL51 = 0 SL52 = - SL22 SL53 = - SL23 SL61 = 0 SL62 = - SL32 + SL22.L SL63 = - SL33 + SL23.L SL5J SL6J SL4J E-A-I SL32 SL12 uL2=1 SL42 SL52 SL22 SL62 K J L SL65 SL35 SL15 K J L E-A-I SL55 SL25 uL5=1 SL45 SL13 SL43 E-A-I SL53 SL23 SL63 SL33 L K J uL3=1 SL16 SL46 E-A-I SL56 SL26 SL66 SL36 L K J uL6=1 SL64 SL34 SL14 uL4=1 SL44 E-A-I SL54 SL24 L K J SL11 uL1=1 SL41 E-A-I SL51 SL21 SL61 SL31 L K J
u
L1= 1
u
L4= 1
u
L2= 1
u
L5= 1
u
L3= 1
u
L6= 1
Por simetria encontram-se os coeficientes SJK = SKJ: (mais 09 coeficientes):
Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKK à partir de SJK: (mais 09 coeficientes):
Assim, fica determinada a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano:
Para este elemento pode-se agora definir uma correlação entre ações (forças) e deslocamentos: SL14 = SL41 SL15 = SL51 SL16 = SL61 SL24 = SL42 SL25 = SL52 SL26 = SL62 SL34 = SL43 SL35 = SL53 SL36 = SL63 SL2K SL3K SL1K SL44 = - SL14 SL45 = 0 SL46 = 0 SL54 = 0 SL55 = - SL25 SL56 = - SL26 SL64 = 0 SL65 = - SL35 + SL25.L SL66 = - SL36 + SL26.L SL5K SL6K SL4K
[[[[ ]]]]
−
−
−
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L
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L
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L
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L
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L
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L
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L
EI
L
EI
L
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L
EI
L
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L
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L
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4
6
0
2
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2
6
0
4
6
0
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3(2.18)
Apesar de deduzido para o sistema de coordenadas locais, esta expressão é geral, portanto válida também para o sistema de coordenadas globais assim como para outros elementos.
Com o mesmo procedimento adotado, ou então calculando inicialmente a matriz de flexibilidade e posteriormente invertendo-a pode-se determinar as matrizes de rigidez de outros elementos estruturais, como o de uma viga, o de uma treliça, entre outros, como pode ser observado na Tabela 2.1
Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares
TRELIÇA
VIGA
3 MÉTODO DA RIGIDEZ
3.1 Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano
Até agora os tópicos vistos limitaram-se ao sistema de coordenadas locais. Entretanto, nas estruturas em geral os elementos constituintes não possuem uma mesma inclinação (vigas e pilares, por exemplo) o que faz com que o sistema local de um não coincida com o sistema local de outro, sendo então necessário rescrever as matrizes de rigidez dos elementos em função de um único sistema de coordenadas, o global. Isto será feito com auxílio de uma matriz chamada matriz de rotação, que será deduzida a seguir, para um elemento de pórtico plano.
Seja, portanto, um elemento de pórtico plano, cujos nós tem, conforme já citado, três graus de liberdade, representado abaixo:
Onde θ é o ângulo do eixo global para o eixo local, positivo no sentido anti-horário;
[uL] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local e
[uG] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema global.
Decompondo [uG] na direção [uL], tem-se:
XG YG uG1 uG2 uG3 J uG4 uG5 uG6 K
Sistema Local Sistema Global
uL4 uL5 uL6 K YL uL1 uL2 uL3 J θ θ θ θ(+) XL
Estas equações pode ser escritas de forma matricial conforme segue:
ou,
(3.1)
onde [R] é a matriz de rotação do elemento do sistema global para o local. À partir de (3.1) é possível escrever:
como [R] é uma matriz ortogonal:
logo, (3.2) G3 L3 G2 G1 L2 G2 G1 L1
u
=
u
cos
u
sen
u
-
=
u
s
u
cos
u
=
u
:
J
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o
Para
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θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
en
G6 L6 G5 G4 L5 G5 G4 L4u
=
u
cos
u
sen
u
-
=
u
s
u
cos
u
=
u
:
K
nó
o
Para
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
+
+
+
+
⋅⋅⋅⋅
en
⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
−
−
−
−
=
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=
G6 G5 G4 G3 G2 G1 L6 L5 L4 L3 L2 L1u
u
u
u
u
u
1
0
0
0
0
0
0
cos
0
0
0
0
cos
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos
0
0
0
0
cos
u
u
u
u
u
u
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sen
sen
sen
sen
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
u
L=
=
=
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R
⋅⋅⋅⋅
u
G[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
-1[[[[ ]]]]
L GR
u
u
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⋅⋅⋅⋅
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
R
-1=
R
T=
=
=
[[[[ ]]]]
u
G=
=
=
=
[[[[ ]]]]
R
T⋅⋅⋅⋅
[[[[ ]]]]
u
LO mesmo resutado obtido com a utilização da matriz de rotação inversa ou transposta poderá ser obtido com a simples utilização da matriz de rotação, desde que se considere o ângulo com sinal negativo (- θθθθ)
3.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - SG
À partir da expressão dada em (2.18) que informa as ações nas extremidades do elemento devido aos deslocamentos nodais, apenas (supondo o elemento sem carga), pode-se dizer que:
(3.3)
e
(3.4)
Assim como os deslocamentos globais e locais, as ações locais e globais também correlacionam-se pela matriz de rotação [R] pelas seguintes expressões:
(3.5)
(3.6)
Substituindo (3.1) em (3.3) tem-se:
(3.7)
Pré-multiplicando (3.7) por [RT], tem-se:
[[[[
A
L]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
=
=
=
=
S
L⋅⋅⋅⋅
u
L[[[[
A
G]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
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S
G⋅⋅⋅⋅
u
G[[[[
A
L]]]] [[[[ ]]]] [[[[
=
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=
R
⋅⋅⋅⋅
A
G]]]]
[[[[
]]]]
[[[[ ]]]]
T[[[[
L]]]]
GR
A
A
=
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
[[[[
A
L]]]]
=
=
=
=
[[[[ ]]]]
S
L⋅⋅⋅⋅
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
R
⋅⋅⋅⋅
u
G(3.8)
como,
(3.9)
Substituindo (3.4) em (3.9) tem-se:
(3.10)
Simplificando a expressão (3.10) resulta:
(3.11)
3.3 Vetor de ações nodais equivalentes
Até o presente momento estudou-se a correlação entre deslocamentos nodais e ações aplicadas nos nós de um elemento estrutural. Esta correlação é expressa no sistema local, conforme já citado, da seguinte forma:
Ou seja, conhecidos os deslocamentos dos nós é possível determinar as ações atuantes nestes nós e vice-versa.
