NACIONAL. ENSINO SECUNDÁRIO 10.º, 11.º e 12.º ANOS. Matemática A

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EXAME

NACIONAL

PREPARAR O

D

ENSINO SECUNDÁRIO 10.º, 11.º e 12.º ANOS

Matemática A

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©AREAL EDIT ORES CAPÍTULO 0 Lógica, Estatística, Sucessões e Geometria LÓGICA 1. Proposições 6 Exercícios resolvidos 2. Condições 14 Exercícios resolvidos ESTATÍSTICA

1. Conceitos fundamentais da estatística 19

Exercícios resolvidos

2. Medidas de localização 20

3. Medidas de dispersão 22

4. Reta dos mínimos quadrados, amostras

bivariadas e coeficiente de correlação 29

SUCESSÕES

1. Propriedades elementares

de sucessões reais 35

2. Progressões aritméticas e geométricas 40

3. Limites de sucessões 43

GEOMETRIA ANALÍTICA

1. Geometria analítica no plano 49 Exercícios resolvidos

2. Cálculo vetorial no plano 59

3. Geometria analítica no espaço 69

4. Cálculo vetorial no espaço 77

5. Produtos escalar de vetores 81

6. Equações de planos no espaço 85

CAPÍTULO 1

Cálculo combinatório

1. Revisões sobre conjuntos 90

Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação

2. Introdução ao cálculo combinatório 93

3. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 107

Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação Exercícios propostos Itens de construção 112 Itens de seleção 118 CAPÍTULO 2 Probabilidades 1. Revisões 122 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação 2. Espaços de probabilidade 123 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação 3. Probabilidade condicionada. Acontecimentos independentes 127 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação Exercícios propostos Itens de construção 134 Itens de seleção 141 CAPÍTULO 3

Funções reais de variável real

1. Generalidades sobre funções 146

2. Estudo elementar de algumas funções 161

3. Operações algébricas com funções 170

4. Limites de funções reais de variável real 176

Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação 5. Continuidade 186 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação 6. Assíntotas 191 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação I S B N 9 7 8 - 9 8 9 - 7 6 7- 6 6 0 - 4

Índice

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7. Derivadas de funções reais de variável

real e aplicações 198

8. Estudo completo de funções reais

de variável real 215 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação Exercícios propostos Itens de construção 218 Itens de seleção 225 CAPÍTULO 4

Trigonometria e funções trigonométricas

1. Revisões 230

2. Fórmulas trigonométricas da soma,

da diferença e da duplicação 249

3. O limite notável lim

x → 0

sen _{_}x

x 250

4. Diferenciabilidade das funções seno, cosseno e tangente 252 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação Exercícios propostos Itens de construção 256 Itens de seleção 264 CAPÍTULO 5

Funções exponenciais e funções logarítmicas 1. Número de Neper 268 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação 2. Funções exponenciais 269 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação 3. Funções logarítmicas 280 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação

4. Limites notáveis envolvendo funções

exponenciais e logarítmicas 298 Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação Exercícios propostos Itens de construção 306 Itens de seleção 319 CAPÍTULO 6 Números complexos

1. Introdução aos números complexos 326 2. O corpo dos números complexos 326

3. Forma trigonométrica de um número complexo 332

4. Raízes n-ésimas de números complexos 340

5. Conjuntos de pontos definidos por condições sobre números complexos 347

Exercícios resolvidos Exercícios de aplicação Exercícios propostos Itens de construção 353 Itens de seleção 360 Provas Formulário 365 Provas-Modelo Prova-Modelo 1 366 Proposta de resolução Prova-Modelo 2 377 Proposta de resolução Prova-Modelo 3 389 Proposta de resolução Provas Oficiais 2020 – 1.ª Fase 401 Proposta de resolução Soluções 416

Este ícone indica que o exercício deve ser resolvido com recurso à calculadora gráfica.

(4)

3

186

PREPARAR O EXAME NACIONAL / MATEMÁTICA A 12

Continuidade num ponto

Seja f uma função real de variável real e a um ponto do respetivo domínio. A função f é contínua em a quando existe lim

x → a f (x) . Continuidade num subconjunto do respetivo domínio

Seja f uma função real de variável real de domínio D f e A ⊂ D f . Diz-se que:

• f é contínua no conjunto A quando f é contínua em todos os pontos de A . • f é contínua quando f é contínua em todos os pontos de D f .

Teorema

Dada uma função real de variável real f de domínio D f , contínua em a ∈ D f e tal que f (a) ≠ 0

(respeti-vamente, f (a) _{> 0 ou f}(a) _{< 0 ), existe uma vizinhança V de a tal que f não se anula (respetivamente, f} é positiva ou f é negativa) em V _{∩ D}f .

Atenção

FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO E NUM SUBCONJUNTO DO RESPETIVO

DOMÍNIO

5.1

CONTINUIDADE

5

Seja f uma função real de variável real e a _{∈ ℝ .}

• Se a é um ponto que não pertence ao domínio de f , não faz sentido estudar a continuidade da função nesse ponto.

• Se a é um ponto isolado do domínio de f , a função é contínua nesse ponto, pois lim

x → a f (x) = f (a) . • Se a é um ponto do domínio de f e f não é contínua em a , diz-se que f é descontinua nesse ponto.

Atenção

Dadas as funções reais de variável real f_{: D}f → ℝ e g: D g → ℝ , contínuas num ponto a , também são

contínuas em a as funções f _{+ g , f − g , f × g e}__ f

g se g (a) ≠ 0 .

Consequências

• As funções polinomiais e racionais são contínuas. • As potências de expoente racional são contínuas. • As funções seno e cosseno são contínuas.

• A função tangente é contínua.

Sejam f e g duas funções reais de variável real e a ∈ D g ∘ f . Se f é contínua em a e g é contínua em f (a)

então a função composta g ∘ f é contínua em a .

CONTINUIDADE DA SOMA, DIFERENÇA, PRODUTO, QUOCIENTE

E COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES CONTÍNUAS

5.2

Funções Reais

de Variável

Real

(5)

3

187

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

31.

Para um certo valor de k , é contínua em ℝ , a função g definida por

g (x) ₌ ⎧

⎪

⎨

⎪

⎩ xk − x − k + 1 __________ x _{− 1} se x < 1 2 se x = 1 x − 1 ____ √__x _{− 1} se x > 1 Determina o valor de k .

A função g é contínua em _{ℝ , logo é contínua em todos os pontos do seu domínio, nomeadamente,} em x _{= 1 .}

Assim, sabe-se que existe _lim

x → 1 g (x) , ou seja, g (1) = lim x → 1 − g (x) . Tem-se: • g (1) _{= 2} • _lim x → 1 − g (x) = lim _x_{→ 1}− ( xk − x − k + 1 _________ x − 1 ) = 0 _ 0 lim _x_{→ 1}−

(

k (x − 1) − x + 1 __________ x − 1

)

= lim x → 1 −

(

k (x − 1) ______ x − 1

)

+ lim x → 1 − ( − x + 1 _____ x − 1 ) = = lim _x → 1 − (k) + lim _x_{→ 1}−

(

− (x _{− 1}) ______ x − 1

)

= k + lim x → 1 − (− 1) = k + (− 1) = k − 1 Portanto, k _{− 1 = 2 , ou seja, k = 3 .}

32.

Considera a função h , de domínio ℝ , definida por

h (x) = ⎧

⎪

⎨

⎪

⎩ x 2 + 7x + 12 _________ _3x + 9 se x > − 3 1 __ ₃ se x = − 3 x + 3 _____ √______{− 3 − x} se x < − 3

Estuda a continuidade da função h , no seu domínio, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. Estudar a continuidade de uma função consiste em analisar a continuidade em cada ponto do seu domínio.

• No intervalo _{] − ∞, − 3 [ a função h é contínua por se tratar do quociente entre duas funções} contí-nuas cujo denominador não se anula nesse intervalo:

– uma função polinomial definida por x _{↦ x + 3 contínua em ℝ e, em particular, contínua} em _{] − ∞, − 3 [ ;}

– uma função definida por x ↦ √______{− 3 − x contínua em ] − ∞, − 3 [ (por se tratar de uma função}

composta da função raiz quadrada com uma função afim).

• No intervalo _{] − 3, + ∞ [ a função h é contínua por se tratar de uma função racional.}

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(6)

3

188

PREPARAR O EXAME NACIONAL / MATEMÁTICA A 12

• Em x _{= − 3 :} – lim x → − 3 + h (x) = lim _x_{→ − 3}+ x 2 + 7x + 12 _________ 3x + 9 = 0 _ ₀ lim x → − 3 + (x + 3) (x + 4) __________ 3 (x + 3) = lim x → − 3 + x + 4 ____ 3 = 1 __ 3 = h (− 3) – lim x → − 3 − h (x) = lim _x_{→ − 3}− x + 3 _____ √______{− 3 − x} = 0 _ ₀ lim _x → − 3 − (x _{+ 3}) √______{− 3 − x} __________ √______{− 3 − x}2 = lim x → − 3 − (x _{+ 3}) √______{− 3 − x} __________ − (3 _{+ x}) = = lim _x_{→ − 3}− √_{_____}______{− 3 − x} − 1 = 0 ≠ h (− 3)

Assim, conclui-se que a função h é descontínua em x = − 3 . Deste modo, a função h é contínua em _ℝ\{− 3} .

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

36.

Seja f a função de domínio ℝ definida por

f (x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ √_______9 x 2_{− 18x} se x ≤ 0 1 __ x + 2 ___ 3x se_{x > 0} Estuda a continuidade da função f no ponto de abcissa zero.

37.

Para um certo valor de k , é contínua em ℝ , a função f definida por

f (x) = ⎧⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2x − 12 _______ √____x _{+ 3 − 3} se x > 6 k _{− x} se x ≤ 6 Determina o valor de k .

38.

Considera a função h , de domínio _{ℝ , definida por}

h (x) ₌ ⎧

⎪

⎨

⎪

⎩ (x + 1) 2 ______ x 2_{− 1} + 5 se x < − 1 3 se x = − 1 2 (x + 1) 2 + (x + 1)_{______________} (x + 1) 2 se_{x > − 1}

Estuda a continuidade da função h , no seu domínio, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

(7)

3

189

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

Teorema de Bolzano-Cauchy (ou Teorema dos valores intermédios)

Dada uma função real de variável real f , contínua num intervalo I _{= [a, b] , com a < b , para qualquer} valor k _{∈ ℝ do intervalo de extremos f}(a) e f (b) existe c _{∈ I tal que f}(c) _{= k .}

Simbolicamente, tem-se:

f é contínua em [a, b]

k _{∈ ℝ e f}(a) _{< k < f}(b) _{ou k ∈ ℝ e f}(b) _{< k < f}(a)

⎫ ⎬

⎭ ⇒ ∃ c ∈ ] a, b [ : f (c) = k

Graficamente, significa que:

Se f é uma função real de variável real, contínua em _{[a, b] e k um número real entre f}(a) e f (b) então a reta de equação y _{= k interseta o gráfico de f em pelo menos um ponto cuja a abcissa está entre a e b .}

Atenção

TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY

5.3

A necessidade da função f ser contínua no intervalo fechado _{[a, b] , exemplifica-se nas figuras} seguintes: y x a d k b O f(a) f(b) • f é contínua em _{[a, b] \}{ d} • k _{∈ ℝ e f}(a) _{< k < f}(b)

• não existe um c _{∈ ] a, b [ : f}(c) _{= k}

y x a d k b O f(a) f(b) • f é contínua em _{] a, b [} • k _{∈ ℝ e f}(a) _{< k < f}(b)

y x a k b O f(a) f(b) • f é contínua em _{[a, b [} • k _{∈ ℝ e f}(a) _{< k < f}(b)

y x a k b O f(a) f(b) • f é contínua em _{] a, b]} • k _{∈ ℝ e f}(a) _{< k < f}(b)

y x a k f b O f(a) f(b) _{• f é contínua em}_[a, b] • k _{∈ ℝ e f}(a) _{< k < f}(b)

• existe um c _{∈ ] a, b [ : f}(c) _{= k , para} qual-quer k entre f (a) e f (b)

Atenção