Comportamento de um pórtico espacial em concreto armado sob ações
sísmicas com concrete damage plasticity
Behavior of space frame in reinforcement concrete under seismic load with
concrete damage plasticity
DOI:10.34117/bjdv6n10-276
Recebimento dos originais: 13/09/2020 Aceitação para publicação: 14/10/2020
Patrick de Oliveira Batista da Costa
Formação Acadêmica mais alta: Graduação em Engenharia Civil Instituição: Fundação Hermínio Ometto - Uniararas
Endereço: Av. Dr. Maximiliano Baruto, 500 E-mail: ecivilpatrick@yahoo.com
Rúbia Mara Bosse
Formação Acadêmica mais alta: Mestre em Engenharia Civil Instituição: SET/EESC/USP
Endereço: Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 E-mail: rubiambosse@gmail.com
Gustavo de Miranda Saleme Gidrão
Formação Acadêmica mais alta: Doutor em Engenharia Civil Instituição: SET/EESC/USP
Endereço: Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 E-mail: gustavo.gidrao@gmail.com
RESUMO
O território brasileiro é considerado estável do ponto de vista tectônico de acordo com a norma de sismos, ABNT NBR 15421:2006, visto que está localizado em região de intraplaca, propriamente na região central da Placa Sul-Americana, ao passo que a ocorrência de sismos não é frequente quando comparada a regiões de borda de placa, como por exemplo o Chile. Embora os terremotos de intraplaca sejam raros, são possíveis sua decorrência, sendo capazes de liberar tensões ainda maiores do que os sismos de interplaca mesmo que não haja histórico de tremores anteriores. Além disso a norma de sismos ainda não apresenta características locais e específicas tais como as falhas neotectônicas, possíveis efeitos da sismicidade andina e sismos induzidos que podem aumentar o risco sísmico no país. Desse modo, o artigo propõe realizar uma análise determinística visando caracterizar a vulnerabilidade de uma estrutura espacial aporticada através da resposta temporal, i.e., através do registro histórico de aceleração de um sismo conhecido. Para esse efeito utilizará simulações numéricas com o uso do software ABAQUS considerando o modelo mecânico Concrete Damage Plasticity com o objetivo de melhorar a precisão do comportamento do material quase frágil. Espera-se identificar maiores danos e rótulas plásticas mais intensas entre as conexões viga-pilar da estrutura.
ABSTRACT
The Brazilian territory is considered stable from the tectonic point of view according to the earthquake standard, ABNT NBR 15421: 2006, since it is located in the intraplate region, properly in the central region of the South American Plate, whereas the occurrence of earthquakes are not frequent when compared to regions with board edge, such as Chile. Although intra-plate earthquakes are rare, they are possible as a result, being capable of releasing tensions even greater than inter-plate earthquakes even if there is no history of previous tremors. Furthermore, the earthquake norm does not yet have local and specific characteristics such as neotectonic faults, possible effects of Andean seismicity and induced earthquakes that can increase the seismic risk in the country. Thus, the article proposes to carry out a deterministic analysis aiming to characterize the vulnerability of an apportioned spatial structure through the temporal response, i.e., through the historical acceleration record of a known earthquake. For this purpose, it will use numerical simulations using the ABAQUS software considering the concrete model Concrete Damaged Plasticity in order to improve the accuracy of the behavior of the almost fragile material. It is expected to identify greater damage and more intense plastic between the beam-column connections of the structure.
Keywords: Earthquakes, Concrete Damage Plasticity, Nonlinear dynamic analysis.
1 INTRODUÇÃO
O Brasil é considerado um território estável do ponto de vista tectônico, pois está localizado em região intraplaca, propriamente na região central da Placa Sul-Americana, ao passo que a ocorrência de sismos não é frequente quando comparada a regiões de borda de placa, como por exemplo o Chile. Para que se consiga fazer uma comparação, no Brasil ocorre um sismo de magnitude 5 a cada cinco anos em média, enquanto na região andina, sismos de magnitude 5 ocorrem em média duas vezes por semana (ASSUMPÇÃO et al., 2016).
Embora os terremotos de intraplaca sejam raros contudo eles são possíveis sendo capaz de liberar tensões ainda maiores do que os sismos interplaca, a exemplo do estado de Virgínia, na costa leste dos Estados Unidos onde sofreu um tremor de magnitude de 5,8 no dia 23/08/2011. Entretanto não havia histórico de tremores com magnitude acima de 5 naquele estado.
De acordo com o IAG-USP os dois maiores sismos do Brasil ocorreram em 1955: um na região de Porto dos Gaúchos com epicentro a 370 km ao norte de Cuiabá (MT) com magnitude de 6,2, e o outro com magnitude de 6,1 com epicentro no mar à 300 km de Vitória (ES).
Baseado nos resultados do projeto mundial GSHAP (Global Seismic Hazard Assessment Program), em 2006 a ABNT publica a NBR 15421 trazendo a consideração das ações sísmicas nos projetos de novas estruturas, dividindo o território brasileiro em 5 zonas sísmicas com acelerações máximas horizontais características (PGA, Peak Ground Acceleration) variando de 2,5 % g (Zona 0) à 15 % g (Zona 4) sendo esta, a máxima considerada com a probabilidade de 10% de serem ultrapassadas no sentido mais desfavorável durante um período de 50 anos, i.e., um período de retorno
de 475 anos.
Segundo Miranda (2015), a norma sísmica brasileira classifica Zona 0 (quase a totalidade do território brasileiro), i.e., sem perigo considerável, regiões que apresentam notável sismicidade, enquanto deveriam contemplar acelerações máximas horizontais de até 5 % g (ASSUMPÇÃO, 2015). Os estados do Ceará e Rio Grande do Norte podem estar sujeitos a acelerações acima da norma, como é o caso da Falha de Samambaia na cidade de João Câmara (RN), que em 1986 deve ter atingido uma aceleração da ordem de 20 % g e outros municípios susceptíveis a abalos sísmicos frequentes como Pacajus e Irauçuba, ambos no Ceará.
A norma ainda não apresenta características locais e específicas tais como as falhas neotectônicas, possíveis efeitos da sismicidade andina , sismos induzidos por atividades de mineração, explosões subterrâneas, extração de líquidos, injeção de fluídos sob alta pressão e enchimentos de reservatórios que podem chegar a magnitudes consideráveis, a exemplo o Porto Colômbia-Volta Grande (MG) com M 4,2.
Do ponto de vista sismológico visto anteriormente, as regiões brasileiras podem ter um perigo sísmico ampliado consideravelmente. Sendo o risco sísmico o produto do perigo sísmico com a vulnerabilidade sísmica, i.e., a fragilidade das estruturas das edificações, salienta-se que a má qualidade dos serviços e materiais somados aos sistemas construtivos podem elevar o Brasil a um cenário de risco sísmico ainda mais preocupante.
A análise do perigo sísmico pode ser feita probabilisticamente, no entanto este artigo delineou o estudo da vulnerabilidade sísmica através do método determinístico (DATTA, 2010), esmiuçando o comportamento estrutural de uma edificação submetida a um sismo histórico internacional bem conhecido, i.e., o El Centro (ocorrido em 18 de Maio de 1940 no Imperial Valley, Califórnia) com característica um pouco distinta com relação aos sismos no Brasil no que diz respeito ao espectro de resposta, não obstante, conforme a Figura 1 apresenta a seguir é razoável dizer que o PGA de 0,319 g do El Centro não são impossíveis aqui em território nacional devido a sismos oriundos de região intraplaca, o que sugere o desenvolvimento de novos espectros de resposta de projetos mais específicos para cada região.
Figura 1 – Seismic Hazard (GLOBAL EARTHQUAKE MODEL,2019)
2 FORMULAÇÃO NUMÉRICA
2.1 ANÁLISE DINÂMICA
Os sismos se encaixam em um problema de dinâmica estrutural de acordo com a Figura 2 abaixo, pois as frequências do carregamento são próximas ou pouco maiores do que a primeira frequência natural da estrutura para um período médio a longo de duração, deixando o problema mais crítico do ponto de vista de ressonância, período no qual as solicitações dinâmicas são altamente amplificadas.
Uma ação sísmica pode ser representada através da movimentação em sua base, i.e., uma vibração forçada por uma excitação dinâmica externa seja por força, deslocamento ou aceleração.
Define-se então a equação diferencial geral do movimento pelo Princípio d’Alembert para 1 grau de liberdade conforme a Equação 1 abaixo:
.. . .. B mu t + cu t + ku t = -m X t Eq. 1 Em que:
.. u t é a aceleração,
.u t é a velocidade, u t é a variação do deslocamento relativo
da massa em relação à base, m é a massa do sistema, c é o amortecimento viscoso,
.. B
-m X t é a
força externa excitadora, conforme apresentado na Figura 3.
Figura 3 – Oscilador SGL sujeito a excitação na base (SORIANO, 2014)
Pode-se escrever a Equação 1 para múltiplos graus de liberdade, com sistema estrutural forçado e não amortecido em forma matricial, conforme a Equação 2:
M
.. + k
= F Eq. 2 Em que:
M é a matriz de massa do sistema,
..
é o vetor de acelerações,
k é a matriz derigidez,
é o vetor de deslocamentos, F é o vetor de forças externas.Sabe-se que, com a presença do amortecimento (Coulomb, viscoso, histerese ou estrutural), o sistema passa a ser não conservativo, o que impede o aumento infinito dos deslocamentos.
No entanto com o amortecimento “nulo” o fator de amplificação dinâmica passa a ser em função apenas da frequência natural e da frequência excitadora do sistema. Sendo iguais a estrutura encontra-se em ressonância, i.e., há um aumento significante nas amplitudes podendo ocasionar danos estruturais consideráveis. O presente trabalho adota uma simplificação de modo a
desconsiderar o amortecimento com a finalidade de obter danos maiores na estrutura, verificando o seu comportamento.
Além do mais a matriz K é atualizada com o modelo Concrete Damage Plasticity (CDP) de acordo com as evoluções de dano e deformações plásticas ao longo da estrutura.
2.2 RESPOSTA TEMPORAL
A resposta temporal pode ser obtida por diferentes métodos: análise modal, integral de Duhamel e integração direta, conforme vistos na Figura 3, sendo apenas este último abordado no artigo.
A resolução da equação do movimento (Equação 2 ) será obtida no domínio do tempo pelo método de integração direta, i.e., discretizando o intervalo de tempo contínuo em uma série de tempos discretos sujeitos a condições iniciais como no caso o histórico de acelerações, de modo que a equação diferencial do movimento substitui-se por expressões finitas gerando um sistema de equações lineares facilitando o trabalho numérico.
Além dos comportamentos lineares, o método de integração direta recomenda-se para a resolução de comportamentos não lineares podendo ser classificado como explícito ou implícito.
O método explícito, i.e., método por diferença finita central é vantajoso pois resolve o sistema sem a inversão de matrizes obtendo um custo computacional menor, no entanto pode tornar condicionalmente estável com valores divergentes para passo muito grande de tempo como por exemplo elevado número de graus de liberdade (LIMA, 2014), sendo muito eficiente para propagação de ondas e processos descontínuos a curto prazo.
Logo, o método implícito é considerado incondicionalmente estável com solução numérica não divergente para elevados espaços de tempos, entretanto o método requer a inversão de matrizes, podendo ser resolvida pelo método iterativo de Newton-Raphson (ABAQUS, 2017), o que afinal pode resultar em um custo computacional maior.
Caracterizado por ser um método implícito, amplamente utilizado em integração numérica temporal, o método de β-Newmark também é chamado de regra trapezoidal que se baseia no arbítrio de aceleração média em cada espaçamento de tempo, devendo este ser evitado ou aprimorado em casos como análises muito longas ou análise não linear, i.e., por não considerar dissipação numérica, as oscilações espúrias, originadas propriamente do método dos elementos finitos, acabam não sendo dissipadas, comprometendo a resposta dinâmica da estrutura (SIQUEIRA, 2019).
Com a intenção de aprimorar o método de β-Newmark, i.e., controlar frequências indesejadas garantindo uma dissipação numérica mais adequada nos modos mais altos e não afetar tanto os modos inferiores na integração, o método de integração direta utilizado neste trabalho foi o Hilber-Hughes-Taylor (HHT), também conhecido como método alfa, disponível em ABAQUS CAE® (ABAQUS, 2017).
O método de HHT utiliza algumas equações de diferenças finitas semelhantes, porém com algumas modificações e acréscimos, sendo as equações 3 e 4 a seguir as funções da aceleração (Equação 5) assumindo incremento no tempo :
•• •• 2 • n+1 n n n n+1 h χ = χ + h χ + 1- 2β + 2β 2χ
χ
Eq. 3
• • •• •• n+1= n+ h 1 - γ n+ γ n+1χ
χ
χ
χ
Eq. 4Em que: h é o intervalo de tempo utilizado nas análises, com valores fixos iguais a β=0,25 e γ=0,50, de acordo com (PAULTRE, 2010).
• •• n+1 n+1 n+1 n+1 M χ + Cχ
+ Κ χ = F Eq. 5A equação 5 é alterada pelo método de HHT conforme a equação 6 abaixo:
•• • • ~ n+1 n n+1 n+1 n+1 n Μ χC + 1 + α Cχ - αCχ + 1 + α Κχ - αΚχ = F t Eq. 6 Em que:
~ n+1 n t = t + 1 + α h Eq. 7A equação 7 acima refere-se a incrementação no intervalo de tempo h considerando o controle adequado da dissipação numérica na força externa excitadora.
Os parâmetros γ , β e α apresentados nas equações 8 e 9 a seguir fornecem a estabilidade e o controle da dissipação numérica, garantindo as características desejáveis do integrador de tempo.
1 - 2α γ = 2 Eq. 8
2 1 - α β = 4 Eq. 9 Em que: -1 α ,03 , visto que para α =0, o método HHT se reduz para o método de
β-Newmark, i.e., sem dissipação numérica. Além disso, diminuindo α significa aumentar a dissipação numérica. Sendo α = -1
3 , ocorre a máxima dissipação numérica.
2.3 CONCRETE DAMAGE PLASTICITY
Neste artigo o modelo utilizado por retratar a não linearidade física do concreto é o mesmo já implementado em ABAQUS CAE® que vincula os conceitos de plasticidade com o dano (JOHNSON, 2006; WAHALATHANTRI et al., 2011, JANKOWIAK e LODYGOWSKI, 2005). O modelo assume dois modelos de falha conforme pode-se observar na figura 4 a seguir: ruptura por tração (4.a) e esmagamento por compressão (4.b).
Figura 4 - Resposta do concreto à carga uniaxial em tração (a) e compressão (b) (ABAQUS CAE®,2013)
Em que: εplt e pl c
ε são as deformações plásticas de tração e compressão respectivamente; εelt
e εelc as deformações elásticas de tração e compressão respectivamente; E o módulo de 0
compreendidos entre
0,1 ; σ a máxima tensão de tração e seu respectivo limite de elasticidade; t0 c0σ sendo o limite de elasticidade para compressão axial e σc,u a máxima tensão de compressão.
Neste modelo elastoplástico admite-se a alteração da curva tensão-deformação uniaxial para curva tensão-deformação plástica de acordo com as equações abaixo:
pl t t 0 t t σ = (1 - d )E (ε - ε ) Eq. 10 pl c c 0 c c σ = (1- d )E (ε - ε ) Eq. 11
Para um carregamento cíclico uniaxial a variável d é representada pela degradação escalar que reduz o módulo de elasticidade conforme a equação abaixo:
el 0
E = (1 - d)E Eq. 12
Onde: E é o módulo de elasticidade danificado. Correlacionando com o tensor de tensões L
de Cauchy é possível generalizar para o caso multiaxial:
pl
el c c
σ = E : (ε - ε ) Eq. 13
3 ESTUDO DE CASO
O estudo analisa um edifício de concreto armado de 3 pavimentos modelados como pórtico espacial, desconsiderando o amortecimento. O pórtico apresenta um pé direito de 2,80 metros de altura, com 3 pavimentos, visto que o elemento laje não está sendo considerado nesta análise devido ao alto custo computacional. A figura 5 representa o modelo tridimensional (5.a) e sua respectiva planta baixa (5.b):
Figura 5 – Modelo tridimensional (a) e planta baixa (b)
Os dados do modelo quanto as suas características geométricas são representadas através da Tabela 1 a seguir:
Tabela 1 - Dados do Modelo
Componentes Material Massa Específica (Kg/m³) Seção Dimensão (cm)
Pilar Concreto 2500 Retangular 30 x 30
Viga Concreto 2500 Retangular 30 x 30
Armadura
longitudinal Aço 7500 Circular Φ 14
Cobrimento 3 cm
A estrutura viga-pilar foi definida como elemento de concreto sólido homogêneo, o tipo do elemento finito utilizado foi o C3D8R, i.e., elemento tridimensional de tensão constante com oito graus de liberdade com pontos de integração reduzidos de modo a otimizar o tempo de processamento, sendo toda a estrutura reforçada longitudinalmente com 4 barras de aço.
A armaduras longitudinais foram definidas como elementos de viga tipo B31, i.e., elemento finito espacial com nó linear adicionando a deformação transversal de cisalhamento, se comportando como uma viga de Timoshenko, totalmente embutidas dentro do concreto conforme ilustrado na Figura 6.a. As armaduras transversais não foram consideradas para este modelo com o intuito de simplificar a análise.
Foram aplicados os carregamentos permanentes para todos os elementos da estrutura (considerando = -9,81 m/s²). Os carregamentos foram aplicados na face inferior dos pilares, i.e.,
os pilares foram sujeitos a uma ação sísmica através do registro histórico de aceleração do terremoto El Centro-1940 com uma duração aproximada de 31 segundos. As condições de contorno foram aplicadas restringindo os graus de liberdade na direção Y-Y e X-X, sendo o carregamento sísmico propagado apenas na direção Z-Z de acordo com a figura 6.b.
Figura 6 – (a) Armaduras longitudinais embutidas no concreto (b) Condições de contorno
As ligações entre as regiões dos elementos foram definidas como restrição do tipo tie utilizado em ABAQUS CAE®, (Figura 7.a), i.e., as regiões são integradas com total aderência, permitido mesmo para formatos diferentes entre as malhas, com a finalidade de não haver movimento relativo entre elas. As malhas foram discretizadas em 75 milímetros para atender adequadamente as regiões de conexão, onde se espera o maior nível dano, sendo elas padronizadas para toda a estrutura (Figura 7.b). O tipo de ligação entre as regiões a se considerar, assim como o formato e o tamanho da malha são parâmetros essenciais que influenciam diretamente na precisão dos resultados, consequentemente no custo computacional.
É relevante enfatizar que para a resolução do problema foi utilizado uma máquina com sistema operacional Windows 7 Ultimate sem placa de vídeo com processador Intel® Core™ i5-2310 empregando 3 dos 4 núcleos disponíveis para melhorar o desempenho da análise que foi realizada através do prompt de comando. Apesar de todos esses ajustes e algumas simplificações com a finalidade de reduzir o custo computacional, o tempo gasto de análise da estrutura submetida ao sismo de 31 segundos foi de 8 horas.
Figura 7 – Ligações entre as regiões tipo tie (a) e malha generalizada (b)
Os dados de entrada no software ABAQUS CAE® com relação as propriedades dos materiais e parâmetros dos modelos constitutivos no regime elástico e plástico são observados na Tabela 2 e na Tabela 3 respectivamente. O modelo constitutivo do aço foi considerado perfeitamente plástico, admitindo tensão de escoamento igual a 500 Mpa. A resistência média a tração do concreto considerada foi de 2,10 MPa.
Tabela 2 – Propriedades elásticas dos materiais
Material E0 (GPa) fck (MPa) Coeficiente de Poisson
Concreto 2.15 30.0 0.2
Aço CA - 50 200.0 * 0.3
* A resistência a compressão do aço não foi considerada neste modelo. Tabela 3 – Propriedades plásticas do concreto
Material Ângulo de dilatação (°) Excentricidade f / fb0 c0 k Viscosidade
C 30 50 0.1 1.05 0.666 0.0001
* A resistência a compressão do aço não foi considerada neste modelo.
A figura 8 a seguir representa a relação constitutiva a compressão (8.a) e a tração (8.b) do concreto C30, obtido por indicações analíticas do CEB FIB 2010.
Figura 8 – Relação Constitutiva (a) Compressão no concreto C-30 (b) Tração no concreto C-30
3 RESULTADOS
A figura 9 apresenta a comparação de deslocamentos (a), velocidades (b), acelerações (c) entre o último pavimento com a base.
Pode-se verificar que o deslocamento do topo acompanha o deslocamento da base, ainda que o deslocamento do topo seja superior.
Os primeiros 5 segundos são os mais severos em termos de velocidade (9.b) e aceleração (9.c) sendo muito superiores a aceleração de conforto do vento 0,1m/s².
Figura 9 – Comparação Base e Topo (a) Deslocamentos (b) Velocidade (c) Aceleração
A figura 10 representa os danos por tração no concreto C 30, destacando-se que o início do dano ocorre no tempo 1,688 segundos. É possível verificar que o dano vai se estendendo ao longo do pórtico conforme o tempo vai aumentando (Figura 11).
As figuras 10 e 11 demostram a concentração de zonas danificadas nas conexões da coluna de vigas, indicando a formação de rótulas plásticas e danificação, conforme o esperado. Sendo assim, denota-se um efeito mais severo devido a desconsideração dos estribos.
0 5 10 15 20 25 30 35 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 Base Topo Tempo (s) Desloca me nto (m ) 0 5 10 15 20 25 30 35 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 Base Topo Tempo (s) Velocida de (m /s) 0 5 10 15 20 25 30 35 -3 -2 -1 0 1 2 3 Base Topo Tempo (s) Acelera ção (m /s²)
Ao final do tremor é observada extrema distorção dos elementos devido a alta danificação e plastificação.
Figura 10 – Dano por Tração em 1,688 s Figura 11 – Dano por tração em 30 s
A Figura 12 apresenta o envelope máximo da tensão de Von Mises nas armaduras nas conexões viga-pilar em 30 segundos de análise. Além disso não houve deformação plástica nas armaduras (Figura 13), o que demonstra que embora o concreto esteja extremamente danificado as armaduras não foram violadas ao regime elástico.
Figura 12 – Tensão de Von Mises nas armaduras Figura 13 – Deformação Plástica nas armaduras
4 CONCLUSÕES
O artigo focou na resposta dinâmica de um pórtico espacial com 3 pavimentos de concreto armado C-30, considerando apenas armaduras longitudinais, utilizando análise não linear com
plasticidade e dano acoplado para o concreto e plasticidade para as armaduras. Podendo ser destacados os seguintes pontos: o tremor é mais severo nos primeiros 5 segundos; a metodologia do CDP pode prever as regiões de rótula plástica e de danificação; ainda faltam ensaios para validar a metodologia, podendo ser uma prescrição de estudos futuros; os elementos se distorcem na etapa do tempo mais avançada do terremoto; provavelmente a falta de estribos aumentou a danificação na região de rótulas e corte.
O presente trabalho demonstra uma metodologia para avaliação de estruturas de concreto armado em situação de sismo, podendo ser útil para a comunidade de engenharia civil brasileira no que compete ao estudo dessas ações dinâmicas.
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