COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2008
PROVA DE MATEMÁTICA II – 2ª SÉRIE – TARDE COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________
NOTA:
NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______
ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.
NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.
QUESTÃO 1 (Valor: 0,5)
Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S =
5 1 3
0 2 0
4 1 4
e D =
3 1 2
0 3 0
3 5 5
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aijnos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aijrepresenta o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
Responda, justificando com cálculos:
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
Solução. A matriz representa quantos chopes foram pagos pelo elemento da linha para o elemento da coluna. O total bebido no fim de semana foi:
AMIGOS SÁBADO DOMINGO TOTAL ANTÔNIO 4 + 3 5 + 0 + 2 14 BERNARDO 1 + 2 + 1 5 + 3 + 1 13 CLÁUDIO 4 + 0 + 5 3 + 0 + 3 15
DIAS DE CONSUMO
Logo, Cláudio bebeu mais chope.
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
Utilizando uma seta () como a relação “pagou para” , temos:
i) Sábado:
3 4
A C
C A
ii) Domingo:
2 3
A C
C A
Conclusão: Em cada dia Antônio pagou um chope a mais. Logo, Cláudio ficou devendo 2 chopes a Antônio.
QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)
Dadas as matrizes A =
0 2 1
x e B =
1 4 3 y
, determine os valores de x e y, reais, tais que 2A + 3B =
12 5
7
11 .
Solução. Multiplicando os elementos de A por 2 e de B por 3, temos:
12
7 11 12
0 3 4 9 2 4 3 3 0 2 2 1 3
2 x -1 2x-3 5
y B y
A .
1
x 4 0 x 4
5 0 -2 5 0
1 -3 1 1 -3
Comparando os elementos, temos as equações: 4 + 3y = 7, implicando em 3y = 3 e y = 1. Fazendo o mesmo com 2x – 3 = 5, temos que 2x = 8 e x = 4.
QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)
Calcule x e y, reais, sabendo-se que
2 5 3 x
e
y 5
1
2 são matrizes inversas.
Solução. Se as matrizes X e Y são inversas, então: X.Y = Y.X = IDENTIDADE. Logo, multiplicamos as matrizes e igualamos à matriz identidade de ordem 2.
0 1
1 2
5 10 10
5 6 1
0 1 5
. 2 2 5 . 3
. x -1 0 -3 xy 0
y x
I y X Y Y
X Igualando os elementos
das matrizes, temos:
i) 6 – 5x = 1. Logo, 5x = 5 e x = 1.
ii) – 5 + 2y = 1. Logo, 2y = 6 e y = 3.
QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)
Determine o valor de x , real, na equação 4 29 1
3 1
2 0 5
0 4
x x
.
Solução. As barras paralelas indicam cálculo de determinantes.
i)
1 3 1
2 0 5
0 x 4
= (0 – 8 + 0) – (0 + 6x + 20) = - 6x - 28
ii) 4x 29 (4.2)(9.x)9x8
Igualando os determinantes, temos: - 6x – 28 = - 9x + 8. Logo, 9x – 6x = 28 + 8. Então 3x = 36 e x = 12. Os determinantes valem – 100.
2
