Congruˆencia e an´eis z

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uff.math@gmail.com

‡

1 Congruˆencia e an ´eis zn. 3

1.1 Congruˆencias m´odulo n . . . 3

1.2 Propriedades b´asicas de congruˆencia . . . 6

1.3 Pequeno teorema de Fermat . . . 11

1.4 An´eis zn. . . 15

1.4.1 Teorema de Wilson . . . 19

1.5 Aplica¸c˜oes de congruˆencias . . . 23

1.6 Congruˆencia e divisibilidade . . . 23

2

Congruˆencia e an ´eis z _n .

Esse texto ainda n˜ao se encontra na sua vers˜ao final, sendo, por enquanto, cons- titu´ıdo apenas de anota¸c˜oes informais. Sugest˜oes para melhoria do texto, corre¸c˜oes da parte matem´atica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com.

1.1 Congruˆencias m ´odulo n

m

Defini ¸c ˜ao 1. Sejam n≥2, a, b ∈Z, dizemos quea ´e congruente a b m´odulo n se n|(a−b) e denotamos por a≡ b mod n. Caso a n˜ao seja congruente `a b mod n escrevemos a6≡b mod n.

Se fizermos n=1 ent˜ao para quaisquer a, b inteiros valeria a≡b mod 1

pois 1|a−b, por isso a restri¸c˜ao de tomar n >1.

b

Propriedade 1. A congruˆencia ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em Z. ê Demonstra ¸c ˜ao.

• A congruˆencia m´odulo n ´e reflexiva, a≡a mod n, pois n|(a−a) =0.

3

• A congruˆencia m´odulo n ´e sim ´etrica, se a≡ b mod n ent˜ao b≡ a mod n, pois se a≡b mod n, temos n|(a−b) implicando n|(b−a)logo b≡a mod n.

• A congruˆencia m´odulo n ´e transitiva, se a≡b mod n e b≡c mod n ent˜ao a ≡c mod n. Se a ≡b mod n temos n|(a−b) e com b≡ c mod n segue n|(b−c) de onde segue que n|(a−b+b−c=a−c) logo n|(a−c) implicando a≡c mod n.

b

Propriedade 2. a≡ b mod n⇔ a e b possuem o mesmo resto na divis˜ao euclidiana por n.

êDemonstra ¸c ˜ao. ⇒. Supondo a≡b mod n, tem-sen|a−b.Podemos escrever que a = qn+r e b = q⁰n+r⁰ , suponha por absurdo que r 6= r⁰, da´ı um deles ´e maior, supondo sem perda de generalidade que r⁰ > r tem-se 0 < r⁰ −r < n

a−b=q(n−n⁰) +r−r⁰ ⇒r⁰−r=q(n−n⁰) + (b−a) ent˜ao n|(r⁰−r) o que ´e absurdo .

⇐ . Se a e b possuem o mesmo resto ent˜ao a = qn+r e b = q⁰n+r, logo a−b= (q−q⁰)n de onde segue que n|a−b da´ı a≡b modn.

Classe residual m ´odulo n

Vimos que a congruˆencia m´odulo n ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em Z, vamos ver agora qual a classe de um inteiro a na congruˆencia m´odulo n

a={x ∈Z|x ≡a mod n}={x∈Z|n|(x−a)}

logo ´e o conjunto dos elementos x de Z tais que x e a deixam o mesmo resto na divis˜ao por n.

b

Propriedade 3. Seja n ≥ 2. Para cada a ∈ Z existe um ´unico r ∈ Z com 0≤ r≤n−1 tal que a=r, logo com a rela¸c˜ao de equivalˆencia m´odulo n temos

n classes residuais distintas k com k∈[0, n−1]_N Z=

n−1

[

k=0

k.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Dado a ∈Z, pela divis˜ao euclidiana por n temos um ´unico r∈Z com 0≤r≤n−1 e q∈Z tal que

a=qn+r, a−r=qn, n|a−r, a≡r mod n, a=r

logo temos a existˆencia, vamos mostrar agora a unicidade, sendo r e s inteiros tais que r = s ambos no intervalo [0, n−1]_N o m´aximo da diferen¸ca poss´ıvel entre r e s ´e n−1 (se s = 0 e r = n−1) e o m´ınimo ´e −(n+1) (se r = 0 e s = n−1) logo

−n−1≤r−s≤n−1 e como temos que r=s temos que n|(r−s) por´em no intervalo de valores que r−s assume apenas 0 ´e divis´ıvel por n logo r−s=0, r=s.

$

Corol ´ario 1. Se r ´e o resto da divis˜ao euclidiana de a por n ent˜ao a ≡ r mod n , e r ´e o menor valor natural que satisfaz essa propriedade.

m

Defini ¸c ˜ao 2(Conjunto das classes residuais m´odulon). O conjunto quociente de Z pela congruˆencia m´odulo n ´e representado por Z_n e ´e chamado de conjunto das classes residuais m´odulo n

Z_n={k, k∈I_n−1}.

m

Defini ¸c ˜ao 3 (Sistema completo de res´ıduos m´odulo m). Um conjunto A⊂Z

´e dito ser um sistema completo de res´ıduos m´odulo m, quando o resto dos seus elementos na divis˜ao por n s˜ao os n´umeros [0, n−1]_N e |A|=n.

b

Propriedade 4. Dados n n ´umeros inteiros consecutivos existe apenas um entre eles que ´e divis´ıvel por n .

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Unicidade

Dados n n ´umeros consecutivos {y+1, ..., y+n} a distˆancia m´axima entre eles ´e n−1 que acontece quando tomamos os n ´umeros extremos y+n e y+1

y+n−y−1=n−1.

Suponha por absurdo que existem 2 dois n ´umeros y₁ e y₂ nesse conjunto que sejam m ´ultiplos de n com y₂ > y₁ , existe p natural tal que y₂ = y₁ +p, onde 0< p < n, pelo fato de ambos serem m ´ultiplos de n, existem t₁, t₂ ∈Z tais que

y₂ =n.t₂ y₁=n.t₁

da´ı n.t₂ =nt₁+p ⇒n(t₂−t₁) =p portanto n|p o que ´e absurdo pois n˜ao existe n ´umero entre 0 e n que seja m ´ultiplo de n.

Existˆencia.

Temos y+1 = nq+r onde 0 ≤ r < n, portanto existe p ∈ N tal que p < n e r+p=n e da´ı y+1+p=nq+r+p=nq+n=n(q+1)< y+1+n,

y+1≤y+1+p≤y+n

o n ´umero y+1+p pertence ao conjunto {y+1, ..., y+n} e ´e divis´ıvel por n.

1.2 Propriedades b ´asicas de congruˆencia

b

Propriedade 5 (Soma). Se a≡b modn e c≡d modn ent˜ao a+c≡b+d modn.

ê Demonstra ¸c ˜ao. a−b=qn, c−d=q⁰.n logo a−b+c−d= (a+c) − (b+d) = (q+q⁰)n logo a+c≡b+d modn.

b

Propriedade 6 (Produto por constante). Se a ≡ b mod n ent˜ao a.c ≡ b.c modn onde c∈Z.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale a−b = q.n da´ı ca−cb = cqn implicando a.c ≡ b.c modn.

$

Corol ´ario 2. Se a ≡ b mod n e c ≡ d mod n ent˜ao t⁰a+tc ≡ t⁰b+td mod n onde t, t⁰ s˜ao inteiros , pois t⁰a≡t⁰b mod n e tc≡td mod n, aplicando propriedade de soma segue o resultado, em especial temos que

a−c≡b−d modn.

$

Corol ´ario 3 (Produto de congruˆencias). Se a ≡ b modn e c ≡ d modn ent˜ao a.c ≡ b.d mod n. Vale a.c ≡ b.c modn e b.c ≡ b.d modn logo por transitividade a.c≡b.d modn.

b

Propriedade 7 (Somat´orio de congruˆencias). Se a_k = b_k mod n ∀ k ∈ I_n

ent˜ao _n

X

k=1

a_k= Xn

k=1

b_k modn.

b

Propriedade 8 (Produt´orio de congruˆencias). Se a_k = b_k modn ∀ k ∈ I_n

ent˜ao _n

Y

k=1

a_k= Yn

k=1

b_k mod n.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n.

$

Corol ´ario 4. Se a = b modm ent˜ao aⁿ = bⁿ modm pois Yn

k=1

a = Yn

k=1

b mod m.

b

Propriedade 9. Se a+c≡b+c mod n ent˜ao a≡b mod n ê Demonstra ¸c ˜ao. Pois a+c−b−c=a−b=q.n.

b

Propriedade 10. Se at≡bt mod n ent˜ao a≡b mod n mdc(t, n) .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale t(a−b) = q.n podemos dividir em ambos lados por mdc(t, n) da´ı

t

mc(t, n)(a−b) =q. n mdc(t, n)

como n

mdc(t, n) 6| t

mc(t, n) ent˜ao n

mdc(t, n)|(a−b) de onde segue o resultado.

$

Corol ´ario 5. Se mdc(t, n) =1 ent˜ao at ≡bt modn implica a≡b modn.

$

Corol ´ario 6. Seja mdc(t, n) = 1 . at ≡bt mod n ⇔ a ≡ b mod n. A parte

⇒) vem do corol´ario anterior e ⇐) j´a provamos.

Z

^{Exemplo 1. Se mdc(t, n) 6= 1 e at ≡ bt modn} podemos n˜ao ter a ≡ b mod n.

Como ´e o caso de 4.3≡2.3 mod 3 onde t =3=n, mdc(t, n) =3 e n˜ao vale 4≡2 mod 3 pois 3 6|(4−2) =2.

b

Propriedade 11. Se a≡b mod m e n|m ent˜ao a≡b mod n.

ê Demonstra ¸c ˜ao. a−b=q.m e m =t.n da´ı a−b=q.t.n que implica a≡b modn.

b

Propriedade 12(Uma rela¸c˜ao com mdc). Sea≡b mod ment˜aomdc(a, m) = mdc(b, m).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale que a−b=qm, da´ı a=b+q.m mdc(a, m) =mdc(b+q.m, m) =mdc(b, m).

b

Propriedade 13 (Uma rela¸c˜ao commmc). Se a≡b mod mk ∀ k∈In ent˜ao

a≡b modmmc(m_k)ⁿ₁.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale a−b = q_k.m_k, a−b ´e m ´ultiplo de cada m_k, logo o m´ınimo m ´ultiplo comum deve dividir ele, ent˜ao mmc(m_k)ⁿ₁|a−b implicando

a≡b modmmc(m_k)ⁿ₁.

b

Propriedade 14. Se a≡b (mod m) ent˜ao

f(a)≡f(b) (mod m) para qualquer polinˆomio f de coeficientes inteiros.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja

f(x) = Xn

k=0

a_kx^k com ak inteiro para todo k natural.

Se a ≡b (mod m) ent˜ao a^k ≡b^k (mod m) para todo k natural e ainda se para todoknatural a_k ´e inteiro, ent˜ao a_ka^k≡a_kb^k (mod m), aplicamos a soma em ambos lados com k variando de 0 at´e n, da´ı segue

Xn k=0

aka^k≡ Xn

k=0

akb^k (mod m) logo

f(a)≡f(b) (mod m) pois

f(a) = Xn

k=0

aka^k, f(b) = Xn

k=0

akb^k.

Z

^{Exemplo 2.} Calcular o valor de x tal que Xn

k=1

k!≡x mod 10 com n≥5.

Xn k=1

k! =1+2+6+24+ Xn

k=5

k! ≡3 mod 10.

b

Propriedade 15. Sejam m, n tais que mdc(m, n) = 1 . Se a≡ b mod m e a≡b modn ent˜ao a≡b modm.n.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se mdc(m, n) =1 ent˜ao existem x₀, y₀ ∈Z tais que mx₀+ny₀ =1

multiplicando por a−b segue

mx₀(a−b)

| {z }

t₁n

+ny₀(a−b)

| {z }

t₂m

= (a−b) isso implica que m.n|(a−b).

b

Propriedade 16. Duas pessoas X e Y tem idades x e y, com x > y, existe idade em que a pessoa X ter´a u vezes a idade de Y ⇔ x≡y modu−1.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Z

^{Exemplo 3.} Duas pessoas X e Y tem idades x e y, com x > y, queremos saber se existe alguma idade em que a pessoa X ter´a u vezes a idade de y e se sim, qual ´e essa idade.

⇒). Supondo que exista uma idade em que a pessoa X tem u vezes a idade de Y ent˜ao, existe p natural tal que

u(y+p) =x+p⇒uy−x=p(1−u)⇒p= x−uy u−1

vale que x+p, y+p >0 pois u > 0 por hip´otese, agora x+p e y+p devem ser inteiros

x+p=x+x−uy

u−1 = xu−x+x−uy

u−1 = xu−uy

u−1 = u(x−y) u−1 da mesma maneira

y+p=y+x−uy

u−1 = yu−y+x−uy

u−1 = x−y u−1

portanto u−1|(x−y), o fato de y+p ser inteiro, implica que p ´e inteiro pois y+p = n ∈ Z ⇒ p = n−y ∈ Z ent˜ao se o problema ´e sol´uvel vale que x ≡ y mod u−1.

⇐). Se vale x ≡y mod u−1 ent˜ao o problema ´e sol´uvel, pois existe t >0∈Z tal que x−y=t(u−1), tomamos p=t−y da´ı

u(y+p) =ut=u(x−y) u−1 e

x+p=x−y+t=x−y+(x−y)

u−1 = ux−uy−x+y(x−y)

u−1 = u(x−y)

u−1 =u(y+p) ent˜ao temos a solu¸c˜ao do problema.

1.3 Pequeno teorema de Fermat

F Teorema 1 (Pequeno Teorema de Fermat). Sejam, p um n ´umero primo e a um n ´umero inteiro. Ent˜ao,

a^p ≡a mod p.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos demonstrar primeiro para a natural por indu¸c˜ao, para a=0 temos

0^p=0≡0mod p.

Considerando agora v´alido para a

a^p ≡a mod p

, vamos demonstrar para a+1 temos (a+1)^p =

Xp k=0

p k

a^k = p

0

a⁰+ Xp−1

k=1

p k

a^k+

p p

a^p ≡1+a^p mod p onde abrimos o limite inferior e superior do somat´orio e usamos que P|

p k

para 1≤k≤p−1 usando a hip´otese temos

(a+1)^p ≡1+a^p ≡1+a mod p logo

(a+1)^p ≡1+a mod p .

Agora se a ´e um inteiro negativo e p primo ´ımpar, temos a <0, −a > 0, temos (−a)^p = −a^p ≡−a mod p

que ´e equivalente a

a^p ≡a mod p

, agora se a ´e inteiro negativo e p = 2 o ´unico primo par, temos a ≡ 0 mod 2 ou a≡1mod 2, no primeiro caso a² ≡0 ≡amod p, no segundo a² ≡ 1≡a mod p em ambos temos

a² ≡a mod2 logo a demonstra¸c˜ao est´a completa.

Z

^{Exemplo 4.} Mostre que 42|a⁷ −a. Pelo pequeno teorema de fermat temos que 7|a⁷−a, temos tamb´em que 2|a⁷−a, falta mostrar que 3|a⁷−a, mas a⁷−a= a(a⁶−1) =a(a³−1)(a³+1) =a(a−1)(a+1)(a²+a+1)(a²−a+1) como temos 3 consecutivos, ent˜ao seu produto ´e divis´ıvel por 6 .

b

Propriedade 17. Seja p primo. Se a^p≡b^p modp ent˜ao a^p ≡b^p modp². ê Demonstra ¸c ˜ao. Pelo pequeno teorema de fermat temos que a^p ≡ a modp , b^p ≡ b mod p e da hip´otese a^p ≡ b^p modp logo a ≡ b mod p ⇒ a^k ≡ b^k modp∀ k da´ı

b^p−a^p = (b−a) Xp−1

k=0

a^kb^p−1−k

Xp−1 k=0

a^kb^p−1−k ≡ Xp−1

k=0

a^ka^p−1−k ≡pa^p−1 ≡0 modp da´ı segue que p|(a−b) e p|

Xp−1 k=0

a^kb^p−1−k logo p²|(b^p−a^p).

Logo a^p ≡b^p mod p².

b

Propriedade 18. Se mdc(a, p) =1 ent˜ao

a^p−1≡1 mod p com p primo.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Se mdc(a, p) =1 ent˜ao existem x₀, y₀∈Z tais que ax₀+py₀ =1 olhando modp tem-se

ax₀ ≡1. Do pequeno teorema de Fermat temos que

a^p ≡a modp multiplicando por x₀ em ambos lados segue

a^p−1ax₀ ≡ax₀ modp, isto ´e,

a^p−1≡1 mod p.

Z

^{Exemplo 5.} Calcule o resto da divis˜ao de 1458³³³ por 11. Aplicaremos congruˆencia, primeiro verificamos que 1458 = 11.132+6 da´ı 1458 ≡ 6 mod 11 o que implica

1458³³³ ≡6³³³ mod 11

agora aplicamos o pequeno teorema de Fermat de onde sabemos que 6¹⁰ ≡ 1 mod 11, pois 11 ´e primo e mdc(6,11) = 1, escrevemos 333 = 330+3 = 10.33+3

logo

6³³³ ≡(6¹⁰)³³.6³ =36.6 mod 11 por´em 36≡3 mod 11 e da´ı

3.6≡18≡7 mod 11

e conclu´ımos que 1458³³³≡7 mod 11 e por isso deixa resto 7 na divis˜ao por 11.

Z

^{Exemplo 6.} Calcule o resto da divis˜ao de 7¹⁵⁸ por 13 . Usamos que mdc(7,13) =1, podemos usar que

a^p−1≡1 mod p com p=13 e a=7, logo

7¹² ≡1 mod 13

158 =12.13+2 logo

7¹⁵⁸≡(|{z}7¹²

≡1

)¹³.7² =49=3.13+10≡10 mod 13, logo o resto da divis˜ao ´e 13 .

Z

^{Exemplo 7. Descobrir N 6=} 0 um n ´umero de trˆes d´ıgitos tal que N² = N+b.10³, sendo que N ´e um n ´umero par .

Tomamos N=a₂a₁a₀=a₂10²+a₁.10+a₀ logo

(a₂10²+a₁.10+a₀)² =a₂10²+a₁.10+a₀+b.10³

tomando a congruˆencia mod 10, tem-se

a²₀ ≡a₀ mod 10

com a₀ par podemos verificar que a₀ = 0 ou a₀ = 6, se a₀ = 0 podemos concluir tomando congruˆencias mod 10² e mod 10³ quea₁ =a₂ =0 logo N=0 o que n˜ao queremos. Ent˜ao a₀=6, tomando congruˆencia mod 10² segue

N² ≡(a₁.10+6)² =a₁.10+6 mod 10²

da´ı expandindo o termo ao quadrado e anulando termos m ´ultiplos de 10² segue 2.6.a₁.10+6² ≡2a₁.10+6² ≡a₁.10+6 mod 10² ⇒a₁.10≡−30≡70 mod 10² o que implica a₁ =7 . Agora analisando mod 10³ segue

N² ≡(a₂.10²+76)² =a₂10²+76≡ expandindo o quadrado e usando mod 10³, tem-se

≡2a₂.10².|{z}76

70+6

+76² ≡|{z}6.2

10+2

a₂.10²+76²≡2.a₂.10²+76² ≡a₂10²+76⇒ a₂10² ≡76−76²= −5700≡−700≡300 mod 10²

por isso a₂ =3 e temos portanto que N=376 , seu quadrado ´e N² =141 376.

1.4 An ´eis z

_n

.

m

Defini ¸c ˜ao 4(Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao emZ_n). Sejamn≥2, a, b∈Z, definimos a adi¸c˜ao + como a opera¸c˜ao que faz

a+b=a+b

e a multiplica¸c˜ao . como

a.b=a.b.

Caso fique claro que estamos operando em Z_n algumas vezes iremos omitir a barra sobre o elemento b, escrevendo apenas b.

b

Propriedade 19. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao n˜ao dependem dos representantes das classes residuais.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se a≡a⁰ mod n e b≡b⁰ mod n ent˜ao

a+b≡a⁰ +b⁰ mod n⇔a+b=a⁰ +b⁰ ⇔a+b=a+b=a⁰+b⁰ =a⁰ +b⁰. O mesmo para o produto.

Simbolizaremos a estrutura (Z_n,+, .), isto ´e, o conjunto Z_n munido das opera¸c˜oes definidas acima apenas como Z_n. Denotaremos Tal conjunto por Z_n ou z_n .

b

Propriedade 20. Z_n ´e um anel comutativo com unidade.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Propriedades da adi¸c˜ao

• Existe elemento neutro 0, tal que 0+m=m pois 0+m =0+m=m.

• Existˆencia do sim´etrico. Para a existe −a tal que a+ −a = 0. Se se a ≤ n ent˜ao existe t ∈ N tal que a+t =n e da´ı a+t =0 =a+t, portanto −a =t, se a > n , a ´e representado por b onde b < n e aplicamos o mesmo processo anterior.

• Comutatividade a+b=a+b=b+a=b+a.

• Associatividade

(a+b) +c= (a+b) +c=a+ (b+c) =a+ (b+c) =a+ (b+c).

Temos com isso um grupo abeliano (Z_n,+). Vejamos agora as propriedades da multiplica¸c˜ao

• Existe elemento neutro 1, tal que 1.m =m pois 1.m=1.m=m.

• Comutatividade a.b=a.b=b.a=b.a.

• Associatividade

(a.b).c= (a.b).c=a.(b.c) =a.(b.c) =a.(b.c).

Agora a propriedade que relaciona a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, a distributividade.

•

(a+b)c= (a+b)c=ac+bc=ac+bc=a.c+b.c

b

Propriedade 21. Um elemento a∈Z_n ´e invert´ıvel ⇔ mdc(a, n) =1.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒). Se a∈Z_n ´e invert´ıvel ent˜ao existe b∈Z_n tal queab =1, da´ı a.b ≡1 mod n⇒ n|ab−1⇒ tn =ab−1 para algum t ∈Z, (−t)n+ab =1 da´ı mdc(a, n) =1.

⇐). Se mdc(a, n) =1, ent˜ao existem x, y ∈ Z tais que ax+ny =1, olhando em z_n, ax=1 portanto a ´e invert´ıvel.

b

Propriedade 22. m gera Z_n ⇔ m ´e invert´ıvel em Z_n. ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒). Se m gera Z_n ent˜ao existe n∈N tal que n.m =1, portanto m ´e invert´ıvel.

⇐). Se m ´e invert´ıvel ent˜ao mdc(m, n) = 1 da´ı existem x₀, y₀ ∈ Z tais que x₀m+y₀n=1, sendo t um elemento arbitr´ario de Z tem-se

tx₀m+ty₀n=t

olhando sobre a congruˆencia mod n tem-se (tx₀)m =t, portanto m gera Z_n.

b

Propriedade 23. Z_n ´e corpo ⇔ n ´e primo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒). Vamos usar a contrapositiva de z_n ´e corpo ent˜ao n ´e primo que ´e: sen n˜ao ´e primo ent˜ao z_n n˜ao ´e corpo. Se n n˜ao ´e primo ent˜ao existem a, b∈Z tais que a.b =n com 1< a, b < n, da´ı

ab =n=0

coma, b fora da classe do 0, da´ı Z_n n˜ao ´e dom´ınio , n˜ao vale a lei do corte, portanto Z_n n˜ao ´e corpo.

⇐). Se n ´e primo, ent˜ao vale mdc(a, n) =1 para todo 0< a < n em Z, portanto pela propriedade anterior a invert´ıvel para todo elemento n˜ao nulo, portanto Z_n ´e corpo.

b

Propriedade 24. O quadrado de um n ´umero inteiro tem um dos seguintes algarismos de unidade {0,1,4,5,6,9}.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Analisamos em Z₁₀





















































a a²

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16=6 5 25=5 6 36 =6 7 49=9 8 64 =4 9 81=1





















































Z

^{Exemplo 8.} Pelo lema de Euclides mdc(a, b) = mdc(a, b−ta), tomamos a=k, b=n e t =1 da´ı mdc(k, n) =mdc(k, n−k) =1

tal fato pode ser usado em problemas para determinar inversos em um anel Z_n.

b

Propriedade 25. Em z_p com p primo, os ´unicos n´umeros que s˜ao inversos de si mesmos s˜ao p−1 e 1 .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja x² =1, ent˜ao (x−1)(x+1) = 0, o que implica x =1 ou x= −1≡p−1.

$

Corol ´ario 7. Em Z_p com p >2 primo, o ´unico elemento que possui ordem 2

´e p−1, j´a vimos que (p−1)(p−1) =1 o elemento 1 possui ordem 1.

Z

^{Exemplo 9. Quando n} n˜ao ´e primo, em Z_n podem existir outros elementos que n˜ao s˜ao 1 en−1 que satisfazem x² =1.Por exemplo em Z_4k+4vale (2k+2)² =1.

(2k+2)² =4k²+4k+1=4k(4k+4)

| {z }

=0

+1=1.

1.4.1 Teorema de Wilson

b

Propriedade 26 (Teorema de Wilson). p ´e primo ⇔

(p−1)!≡−1 mod p.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒). Para p=2 a propriedade vale, suponha ent˜ao p >2, p primo. Tome A={2≤k≤p−2, k∈N}, vale

p−2

Y

k=1

k≡1 mod p

pois para cada k∈A existe k⁰ 6=k∈A tal que k.k⁰ ≡1 mod p, da´ı Yp−1

k=1

k≡p−1≡−1 mod p ent˜ao

(p−1)!≡−1 mod p.

⇐).

Se n = st ´e composto ent˜ao vale (n−1)! ≡ 0 mod n pois s e t aparecem como fatores (se s˜ao distintos), caso sejam fatores iguais , inicialmente para n =4 temos

3! =3.2=6≡2 mod 4 e paras >2 vales²−1>2s logo (s²−1)! ≡0 mod s², pois se 2s aparecem como fator, em qualquer caso se n ´e composto n˜ao vale (n−1)!≡−1 mod n.

$

Corol ´ario 8. Vale que Yn

s=0

(s+1)p−1Y

k=sp+1

k≡(−1)ⁿ⁺¹ modp onde p ´e primo .

Yn

s=0

Yp−1 k=1

(k+sp)≡ Yn

s=0

Yp−1 k=1

(k)≡ Yn

s=0

(−1)≡(−1)ⁿ⁺¹ mod p

Z

^{Exemplo10. Z24possui ϕ(24) =ϕ(8.3) =ϕ(8)ϕ(3) = (23−22)(3−1) =4.2=}

8 elementos, que s˜ao os elementos n, tais que mdc(n,21) =1, 0< n <24, n∈N. Sendo

1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ,23

Todos elementos diferentes da identidade tem ordem 2, pois

5² =25=24+1, 7² =49=2.24+1, 11² =121 =5.24+1, 13² =169=7.24+1, 17² =289=12.24+1, 19² =361=15.24+1 e 23 sabemos que tem ordem 2.

Z

^{Exemplo 11. Z∗10} ´e um grupo c´ıclico. Z^∗₁₀ , possui ϕ(10) =4 elementos, eles s˜ao 1,3,7,9 pois 1.1=1, 3.7=21≡1 e 9.9=81≡1. O grupo ´e gerado por 3, pois

• 3² =9.

• 3³=9.3=27≡7

• 3⁴=3³.3=7.3=21 ≡1

Ent˜ao <3>=Z^∗₁₀. O n ´umero de divisores de 4 ´e 3, que s˜ao os n´umeros 1,2 e 4.

Ent˜ao ele possui apenas um grupo n˜ao trivial com 2 elementos, que ´e <9>, da´ı segue tamb´em que <3>=<7>=Z^∗₁₀.

Z

^{Exemplo 12. Z∗8} n˜ao ´e um grupo c´ıclico. O n´umero de elementos desse grupo ´e ϕ(8) =4, ent˜ao ele possui subgrupos com 1,2,4 elementos. Os elementos do grupo s˜ao

• Triviais 1 e 7.

• N˜ao triviais: 3 pois 3.3=9≡1.

• 5 pois 5.5=25≡1.

• Logo o grupo ´e {1,3,5,7}=Z^∗₈ n˜ao ´e c´ıclico.

Z

^{Exemplo 13. Z∗17} ´e um grupo c´ıclico. Tal grupo possui ϕ(17) =16 elementos, os divisores de 16 s˜ao 1,2,4,8,16, ele possui ent˜ao 5 subgrupos, com respectiva- mente 1,2,4,8,16 elementos.

• <1>={1} ´e subgrupo trivial

• 3 gera o grupo pois

3² =9 3³=10 3⁴=13 3⁵ =5 3⁶=15

3⁷ =11

3⁸ =16 3⁹ =14 3¹⁰ =8 3¹¹ =7 3¹²=4 3¹³ =12

3¹⁴ =2 3¹⁵ =6

• Possui ϕ²(17) =8 geradores. Que s˜ao dados por 3^s com mdc(16, s) =1.

3³=10 3⁵ =5 3⁷ =11 3⁹ =14

3¹¹ =7 3¹³ =12

3¹⁵ =6

• Subgrupos de ordem 8, temos que saber s tal quemdc(16, s) =2, tais valores s˜ao 2,6,10,14

3² =9 3⁶=15 3¹⁰ =11 3¹⁴ =2.

• Subgrupos de ordem 4, temos que saber os valores de stais que mdc(16, s) = 4, tais valores s˜ao 4 e 12 os elementos s˜ao

3⁴=13 3¹² =4.

• Subgrupos de ordem 2, mdc(16, s) =8, apenas para s =8 e o elemento ´e 3⁸ =16.

1.5 Aplica ¸c ˜ oes de congruˆencias 1.6 Congruˆencia e divisibilidade

Z

^{Exemplo 14.} o quadrado de um n ´umero deixa sempre resto 0,1 ou 4 na divis˜ao por 5. Analisamos pela seguinte tabela, usando congruˆencia mod 5 .

a 0 1 2 3 4

a² 0 1 4 4 1

Z

^{Exemplo 15.} Descobrir os valores de n tais que Xn

k=1

k! ´e quadrado perfeito . Por inspe¸c˜ao podemos observar que n=0,1,3 resultam tem 0,1,9 e os valores com n=2,4 n˜ao geram quadrados perfeitos, se n≥5 temos

Xn k=1

k! = X4

k=1

k! + Xn

k=5

k!≡ X4

k=1

k! mod 5 logo para os valores n≥5 n˜ao temos quadrados perfeitos.

Z

^{Exemplo 16.} Mostrar que 9|9|(10ⁿ+3.4ⁿ⁺²+5) para todo n natural. Em Z₉

val que 10ⁿ =1, da´ı temos

10ⁿ+3.4ⁿ⁺²+5=1+34ⁿ+5=6+3.4ⁿ =3(2+4ⁿ)

como 2+4ⁿ ≡ 2+1 = 3 mod 3 ent˜ao a express˜ao entre parentheses ´e divis´ıvel por 3 e a express˜ao pedida ´e divis´ıvel por 9.

Z

^{Exemplo 17.} Mostrar que para n ´ımpar vale 7|(2²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²).

Substituindo n=2s+1 ficamos com

2^4s+3+3^2s+3 = (2⁴)^s.8+9^s9.3≡2^s+ (−1)2^s ≡0 mod 7

onde usamos 16≡2 mod 7, 9≡2 mod 7,8≡1 mod 7 e 6≡−1 mod 7.