Topografia Exercícios de Trigonometria

Topografia

Exercícios de Trigonometria

Agronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil

Prof. Luiz Miguel de Barros

1) Some os ângulos.

A) 19°23’15” + 72°21’12” (graus centesimais)

R: 91°44’27”

B) 37°54’56” + 41°14’28” (graus sexagesimais)

R: 79°09’24”

Exercícios

2) Subtraia os ângulos

A) 255°23’15” – 183°68’44” (graus centesimais)

R: 71°54’71”

B) 315°00’08” – 30°51’19” (graus sexagemais)

R: 284°08’49”

Exercícios

3) Solucione a equação e transforme o resultado de forma longa para a

forma decimal.

A) 35°12’43” + 50°29’20” (graus sexagesimais)

R: 85°42’03” = 85,750833°

B) 35°12’55” + 50°29’45” (graus centesimais)

R: 85°42’00” = 85,4200°

C) 56°49’55” – 30°56’45” (graus sexagesimais)

R: 25°53’10” = 25,886111°

D) 56°49’55” – 30°56’45”(graus centesimais)

R: 25°93’10” = 25,9310°

Exercícios

4) No triângulo abaixo determine as relações solicitadas.

Exercícios

1/2 √3/2 1/√3 1/2 √3/2 √3

5) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na

outra margem, segundo um ângulo de 56°00’00”. Afastando-se 20,00

m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de

35°00’00”. Calcule a largura do rio.

Exercícios

Tg 35° = CO/CA Tg 35° = h/(d+20) 0,700 = h/(d+20) 0,700 (d+20) = h 0,700d +14 = h Tg 56° = h/d 1,48 = (0,7d +14)/d 1,48d = 0,7d +14 1,48d – 0,7d = 14 0,78d = 14 d = 14/0,78 = 17,948m h = 0,700d +14 h = 0,700(17,948) +14 h = 26,563 m

6) Determine a distâncias entre os extremos da lago (lado AC),

conforme os dados da figura abaixo.

Exercícios

a/senA = b/senB 254,09/sen52°42’51” = b/sen88°56’44” 254,09/0,795623 = b/0,999830 (319,359) . 0,999830 = b b = 319,304 m

7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

Exercícios

cosA = (b2 _{+ c}2 _–a2_)/2bc cosA = (52 _{+ 5}2 _{– 5,40}2_)/2.5.5 cosA = (25 + 25 – 29,16)/50 cosA = 20.84/50 cosA = 0,4168 A= 65,3672777 = 65°22’02” a/senA = b/senB 5,40/sen65°22’02” = 5/senB 5,40/0,908998 = 5/senB senB = 5/(5,40/0,908998) senB = 0,841648 B = 57,314583 = 57°18’52” A + B + C = 180° C = 180° - A – B C = 180° - 65,367277 – 57,314583 C = 57.31814 = 57°19’05”

7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

Exercícios

cosA = (b2 _{+ c}2 _–a2_)/2bc cosA = (52 _{+ 4}2 _{– 5,20}2_)/2.5.4 cosA = (25 + 16 – 27,04)/40 cosA = 16,96/40 cosA = 0,349 A= 69,573837 = 69°34’26” A + B + C = 180° C = 180° - A – B C = 180° - 69,573837 – 64,300323 C = 46.12584 = 46°07’33” cosB = (a2 _{+ c}2 _–b2_)/2ac cosB = (5,22 _{+ 4}2 _{– 5}2_{)/2.(5,2).(4)} cosB = (27,04 + 16 – 25)/41,6 cosB = 18,04/41,6 cosB = 0,433654 B= 64,300323 = 64°18’01”

7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

Exercícios

cosA = (b2 _{+ c}2 _–a2_)/2bc cosA = (42 _{+ 6,1}2 _{– 5.6}2_)/2.6,1.4 cosA = (16 + 37,21 – 31,36)/48,8 cosA = 21,85/48,8 cosA = 0,447746 A= 63,400838 = 63°24’03” a/senA = b/senB 5,6/sen63°24’03” = 4/senB 5,6/0,894161 = 4/senB senB = 4/(5,6/0,894161) senB = 0,635641 B = 39,467589 = 39°28’03” A + B + C = 180° C = 180° - A – B C = 180° - 63,400838 – 39,467589 C = 77,132028= 77°07’55”

8) Determine as dimensões da base e da altura de um triângulo

retângulo, que possui como valor para a tangente 2 m e área 25 m

2

_.

Exercícios

α

Tg a = a/b 2 = a/b a = 2b A = (a . b)/2 25 = (2b . b)/2 25 = b2 b = √25 b = 5 m a = 2b a = 2 . 5 = 10m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ABD

A + B + D = 180° B = 180° - A – D B = 180° - 94°19’40” – 33°59’08” B = 51°41’12” = 51,686666 b/senB = d/senD 322,54/sen51°41’12” = d/sen33°59’08” 322,54/0,784632 = d/0,558984 d = (322,54/0,784632).0,558984 d = 229,782 m

Usar Lei do seno para determinar distancia AB

Portanto distância entre AB é de 229,782m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ACD

A + C + D = 180° C = 180° - A – D C = 180° - 46°29’00” – 92°45’25” C = 40°45’35” = 40,759722 a/senA = c/senC a/sen46°29’00” = 322,54/sen92°45’25” a/0,725174 = 322,54/0,998842 d = (322,54/0,998842).0,725174 d = 234,168 m

Usar Lei do seno para determinar distancia CD

Portanto distância entre CD é de 234,168 m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ADE

A + D + E = 180° E = 180° - A – D

E = 180° - 46°29’00” – 33°59’08” E = 99°31’52” = 99,531111°

Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo BCE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.

E

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51°41’12”

A + B + E = 180° E = 180° - A – B

E = 180° - 47°50’40” – 51°41’12” E = 80°28’08” = 80,468888°

Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo CDE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.

E

E

O ângulo A para o triângulo ABE é (94°19’40” – 46°29’00”) portanto A = 47°50’40”

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51°41’12” e o lado AB com distância de 229,782 m. a/senA = e/senE a/sen47°50’40” = 229,782/sen80°28’08” a/0,741325 = 229,782/0,986196 a = (229,782/0,986196).0,741325 a = 172,727 m

E _{O ângulo A para o triângulo ABE é (94°19’40” –}

46°29’00”) portanto A = 47°50’40”

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo CDE, lembrando que o ângulo C já foi calculado, obtendo o valor de 40°45’35” e o lado CD com distância de 234,168 m. d/senD = e/senE d/sen58°46’17” = 234,168/sen80°28’08” d/0,855105 = 234,168/0,986196 d = (234,168/0,986196).0,855105 a = 203,041 m E

O ângulo D para o triângulo CDE é (92°45’25” – 33°59’08”) portanto D = 58°46’17”

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo BCE, lembrando que o ângulo E já foi calculado, obtendo o valor de 99°31’52” e o lado BE com distância de 172,727 m e o lado CE com distância de 203,041m. cosE = (b2 _{+ c}2 _{– e}2_)/2bc Cos99°31’52” = (172,727 2 _{+ 203,041} 2 _{– e}2_{)/2 x 172.727 x 203,041} -0,165583 = (29834,616 + 41225,648 – e2_)/70141,325 (-0,165583)x70141,325 = 71060,264 – e2 -11641,211 – 71060,264 = – e2 -82674,475 = – e2 _x(-1) e2 _{= 82674,475} e = √82674,475 e = 287,532 m

E Usar lei do cosseno para determinar o lado BC

Portanto distância entre BC é de 287,532 m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo

o croqui abaixo.

Exercícios

Portanto os lados do terreno possuem: AB = 229,782 m

BC = 287,532 m CD = 234,168 m DA = 322,54 m

Fórmulas

Teorema de Pitágoras

Hip

2

_{= Cat. Adj}

2

_{+ Cat. Opo.}

2

Seno senα = CO/H

Cosseno cosα = CA/H

Tangente tgα = CO/CA

a/sen A = b/sen

B = c/sen C

cos A = (b

2

_{+ c}

2

_{– a}

2

_)/2bc

cos B = (a

2

_{+ c}

2

_{– b}

2

_)/2ac

cos C = (a

2

_{+ b}

2

_{– c}

2

_)/2ab

P = a + b + c

p = (a + b + c)/2

A = √p.(p-a).(p-b).(p-c)