About Solution of Contact Problem for Semi-Plane with Elastic Stringer

Ա Ա Ա ՈՒԹ ՈՒ Ա Ա Ա Ա Ա Ղ Ա

61, №1, 2008

539.3

. ., . .

Ключевые слова: , , , ,

.

Keywords: contact, stringer, integral equation, functional equation, infinite system.

. . Ա , . . Ա

Ֆ - ,

,

[1]- ,

: Ա

: Ա

,

Ֆ :

K.L.Aghayan, E.Kh.Grigoryan

About Solution of Contact Problem for Semi-Plane with Elastic Stringer

The new approach to the solution of singular integro-differential equation in finite interval is showed at example of contact problem for elastic semi-plane [1] by Fourier transformation and Wiener-Hopf method. The solution is obtained in the form of power series with segregated singularities. The definition of coefficients is reduced to the system of regular infinite system of linear algebraic equations with simple structure in regard to residue of Fourier’s transformant of unknown contact strains.

, [1],

- .

.

.

( , ) ,

. ,

. . [1], [2]

( )

.

, - , [3],

.

-,

. [4]

( ),

( , , )

.

. -,

.

1968 . . . [1]

, ( )

.

-, ,

.

,

. ,

,

. , [1]

,

.

, ,

[6,7,8],

[1,3]

. [9,10]

,

. -

– .

[1]. , [9,10],

,

,

. ,

.

1.

[1].

[

−

a

,

a

]

( )

h

,

P

. [1,2]

,

,

[1]

( )

_{( )}

∫

∫

−

<

<

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

τ

−

λ

=

−

τ

π

a

a

a

x

a

x

a

ds

s

P

ds

x

s

s

,

,

1

_*

(1.1)

:

( )

∫

−

=

τ

a

a

P

dx

x

. (1.2)

( )

x

τ

– ,

(

)

1 2 2 2 *

1

2

hE

E

−

ν

=

λ

. (1.3)

1

E

– ,

h

– ,

E

₂–

,

ν

₂– .

(1.1)

τ

( )

x

[1]:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2

1 1 2 2

,

,

,

x

x

x

x

x

x

x

τ

= τ

+ τ

τ − = −τ

τ

= τ −

(1.4)

(1.4) (1.1) (1.2) ,

(

ϑ

( )

x

– ):

( )

(

) ( )

∫

_⎢⎣

⎡

_⎥⎦

⎤

τ

=

λ

∫

ϑ

−

τ

<

<

+

−

−

π

a a

a

x

ds

s

s

x

ds

s

x

s

x

s

0 0 2 *

2

,

0

,

1

1

1

(1.5)

( )

(

) ( )

∫

∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

τ

−

ϑ

−

λ

=

τ

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

+

−

π

a a

ds

s

x

s

P

ds

s

x

s

x

s

0 0 1 * 1

,

2

1

1

1

(1.6)

( )

∫

τ

=

a

P

ds

s

0

2

2

. (1.7)

,

(1.5) (1.6) (1.7).

(1.5)-(1.7)

v

,

x

ae

ae

s

=

u

=

0

<

v

<

∞

.

( )

( ) (

v

v

) ( )

( )

v

(

v

)

,

1

1

1

1

1

2 2 2 -v -v

∞

<

<

∞

−

+

−

−

λϑ

=

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

−

π

+ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − −

∫

∫

g

du

e

u

q

u

du

u

q

e

e

u u u (1.8)

( )

( )

(

v

) ( )

( ) (

v

v

)

,

2

v

1

1

1

1

1

1 1 1 -v -v

∞

<

<

∞

−

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

ϑ

−

−

λϑ

=

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

+

−

π

+ ∞ ∞ − − ∞ ∞ − −

∫

∫

g

du

e

u

q

u

a

P

du

u

q

e

e

u u u (1.9)

( )

∫

∞ ∞ −

−

₌

_λ

₌

_λ

a

a

P

du

e

u

q

₂ u

2

,

*

,

(

1.10)

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )2

( )

,

,

, 0

v

v

v ,

v

1

u

j j j j

j

j j j

ae

q

u

q

u

u q

u

du

x

g

g

g

dx

−

+

τ

=

= ϑ −

⎡

_μ

⎤

= ϑ

= ⎢

⎥

− ν

⎢

⎥

⎣

⎦

( )

,

0

2

x

u

– ,

u

₂( )2

( )

x

,

0

u

₂( )1

( )

x

,

0

–

, .

(1.8) (1.9) ,

-:

( )

(

)

( )

+

( )

α

α

−

λ

=

α

−

α

λ

+

α

⋅

πα

− − − +

2 2

2 2

2

th

q

q

i

q

i

i

g

(

−

1

<

Im

α

<

0

)

, (1.12)

( )

(

)

+

( )

α

α

⋅

λ

=

α

−

α

λ

+

α

⋅

πα

− − +

1 1

1

2

2

cth

i

g

a

P

i

q

q

, (1.13)

( )

( )

( )

( )

(

1

,

2

)

,

=

α

=

α

α

=

α

_∫

∞

_∫

∞ −

α + +

∞ ∞ −

α − −

j

du

e

g

g

du

e

q

q

_{j j} i u _{j j} i u

(1.14)

,

τ

+

σ

=

α

i

( )

α

−

j

q

Im

α

<

0

,

g

+_j

( )

α

–

Im

α

>

−

1

,

( ) ( )

1

1

u

O

q

−

=

,

g

+_j

( )

u

=

O

( )

e

−u

u

→

∞

. ,

τ

_j

( )

ax

( )

ax

g

_j

(

1

−

x

)

−12

x

→

1

[11,1],

( )

α

~

α

−12

,

+

( )

α

~

α

−12

,

(

=

1

,

2

)

−

j

g

q

_{j j}

(

1.15)

∞

→

α

.

, (1.10) (1.14)

( )

i

P

a

q

₂−

−

=

2

. (

1.16)

2. - (1.12) (1.13)

- [12].

( ) (

α

=

1

,

2

)

−

j

q

_j

Im

α

≥

0

[9,10].

(1.12). ,

q

₂−

( )

α

0

Im

α

<

,

g

₂+

( )

α

–

Im

α

>

−

1

.

q

₂−

( )

α

,

Im

α

<

0

.

, (1.16),

q

₂−

( )

−

i

,

g

₂+

( )

α

Im

α

>

−

1

(

2

)

0

th

πα

=

α

=

0

, (1.12) ,

α

=

0

( )

α

−

2

q

. ,

α

=

i

(

i

)

q

₂−

α

−

. ,

α

=

i

th

(

πα

2

)

,

( )

i

g

₂+ , (1.12) ,

q

₂−

( )

i

. ,

( )

i

q

₂−

g

₂+

( )

2

i

,

th

(

πα

2

)

=

0

α

=

2

i

,

α

=

2

i

( )

α

−

2

q

.

α

=

3

i

.

( )

i

g

₂+

3

,

th

(

πα

2

)

,

q

₂−

(

α

−

i

)

,

q

₂−

( )

α

(

0

,

1

,

2

,...

)

2

=

=

α

ni

n

, , .

(1.12).

(

2

)

th

πα

, :

(

πα

)

=

( )

α

=

−

( )

α

⋅

+

( )

α

2 2

2

2

K

K

K

th

, (2.1)

( )

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

α

Γ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

α

Γ

=

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

α

Γ

α

=

α

+

−

2

1

2

2

2

1

,

2

1

2

2

2

1

2 2

i

i

K

i

i

K

, (2.2)

( )

α

Γ

– - .

,

K

₂+

( )

α

Im

α

>

−

1

,

( )

α

−

2

K

Im

α

<

0

. , (2.2) ,

( )

( )

( )

( )

12 2

2 1

2

α

=

α

,

α

=

α

− −

+

O

K

O

K

α

→

∞

.

(2.1) (1.12),

( ) ( )

(

_{( )}

)

( )

_{( )}

( )

_{( ) (}

,

1

Im

0

)

2 2

2 2

2 2 2

2

_α

−

<

α

<

α

=

α

α

−

λ

−

α

α

−

α

λ

+

α

α

− − ₊ −₊ +₊

−

K

g

i

K

i

q

K

i

q

q

K

, (2.3)

, ,

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

,

1

Im

0 ,

L

K

q

F

F

ig

K

L

− − − − − + +

+ + +

α =

α

α + λφ α − λ

α = λ

α − λφ α −

−

α

α =

α

− <

α <

(2.4)

( )

2

( )

_{( )}

( )

2

( )

_{( )}

2

( )

_{( )}

2 2

2 2 2

,

,

0

0

q

i

q

i

q

i

F

F

K

K

K

−

− +

+ + +

−

−

−

α =

α =

−

α

α

α

α

(2.5)

( )

2

(

_{( )}

)

( )

( )

2 2 2

2

.

q

i

K

−

+ −

+

α −

φ α =

= φ α + φ α

α

α

(2.6)

( )

α

+

2

F

φ

₂+

( )

α

Im

( )

α

>

−

1

,

F

₂−

( )

α

φ

₂−

( )

α

( )

0

Im

α

<

. :

( )

( )

,

Im

0

0

2

2

α

=

φ

α

<

φ

∫

∞ −

α −

du

e

u

i u , (2.7)

( )

( )

,

Im

1

0 2

1

α

=

φ

α

>

−

φ

∫

∞

α +

du

e

u

i u , (2.8)

( )

( )

,

1

0

2

1

2

2

=

_π

φ

α

α

−

<

τ

<

φ

∫

∞ + τ

∞ − τ

α −

i

i

u i

d

e

u

. (2.9)

,

K

₂+

( )

α

=

O

( )

α

−12

,

q

₂−

( )

α

=

O

( )

α

−12

α

→

∞

∞

→

σ

. , (2.9) ,

φ

₂

( )

u

=

O

( )

ln

u

u

→

0

.

(2.7) (2.8) ,

φ

₂±

( )

α

=

O

(

α

−1

ln

α

)

α

→

∞

.

, (2.4),

∞

→

α

, ,

L

₂−

( )

α

=

O

( )

1

∞

→

α

,

Im

( )

α

<

0

L

₂+

( )

α

=

O

( )

1

α

→

∞

,

Im

( )

α

>

−

1

. ,

, (2.4)

( ) ( )

_{2 2}

( )

₂

( )

₂

,

Im

0

2

α

α

+

λ

φ

α

−

λ

α

=

α

<

− − − −

a

F

q

K

, (2.10)

( )

₂

( )

₂

( )

₂

( )

₂

,

Im

1

2

α

−

λ

φ

α

−

α

α

=

α

>

−

λ

+ + + +

a

K

g

i

F

, (2.11)

2

a

– ,

(1.16).

, (2.6)

( )

α

−

2

q

,

α

=

0

,

α

=

(

2

n

−

1

) (

i

n

=

1

,

2

,...

)

( )

α

φ

₂ .

φ

₂+

( )

α

Im

α

>

−

1

,

( )

α

φ

−

2 [13]:

( )

( )

_{( )}

_∑

∞

₍

₎

₍

₍

( )

₎

_{) ( )}

= + − + − −

+

−

α

+

−

α

−

=

α

φ

0 2 2 1 2 2 2

2

1

2

1

2

0

n n

ni

K

n

i

n

iA

K

i

q

, (2.12) ( )

( )

(

α

−

(

+

)

) (

α

−

)

=

(

α

−

) ( )

α

=

− → α − + → α − 2 2 2 1 2 2

1

lim

i

2

n

1

q

i

lim

2

ni

q

A

ni i n n . (2.13)

(2.12) (2.10), (2.5)

( )

_{( )}

₍

₎

₍

₍

( )

₎

_{) ( )}

_{( )}

α

+

+

−

α

+

α

λ

=

α

∞ ₋

= + − − −

∑

2 2 0 2 2 1 2 2

2

1

2

1

2

K

a

ni

K

n

i

n

A

K

i

q

n n . (2.14)

, ,

A

₋( )2₁m

q

₂−

( )

α

(

0

,

1

,

2

,...

)

2

=

=

α

mi

m

, (2.13) (2.14)

( )

₍

₎

,...

2

,

1

,

0

2 1

=

−

n

A

n :

( ) ( ) ( )

(

)(

)

( )

∑

∞ =

β

=

+

−

+

Χ

β

λ

+

Χ

0 2 2 2 2

,

2

1

2

1

4

n m n m m

m

n

n

(2.15)

( )

₍

₍

₎

₎

( )

,...

2

,

1

,

0

,

1

2

2 2 2 2

1

=

+

Χ

=

+

−

a

K

i

m

m

A

m _m (2.16)

( )

(

)

( )

_,

₁

_,

₂

_,...

4

1

1

!

2

!

!

1

2

1

2

1

2 1 2 2

2

_⎟

_β

₌

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

+

+

=

β

₋

m

m

m

m

m

m m

m ( ) ( )

_{( )}

,

1

,

1

2 2

0

=

β

m

=

O

β

m

→

∞

. ( 2.17)

, (1.12)

(2.15) .

(

)

_⎪⎩

⎪

⎨

[

(

) ( )

]

⎧

=

ψ

−

+

ψ

=

π

=

+

−

+

∑

∞

=

3

1

2

1

2

,

1

,

2

,...

0

,

2

2

1

2

1

1

2

0

m

m

m

m

m

n

n

n

(2.18)

( )

z

ψ

– - .

(2.15), (2.16), (2.14) (1.16)

a

₂

( )

(

)(

)

1

0

2

2

1

1

2

2

1

2

− ∞

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

Χ

λ

−

π

=

∑

n

n

n

n

a

P

ia

. (2.19)

(2.19) (2.14),

( )

x

2

τ

:

( )

_{( )}

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

2

2 2

2 2

2 ₂

2 2

0

1 2

2

2

1

0

,

m

m m

m _m

m

ia

a

i

a

x

x

a

m

a

x

x

a

∞ =

Γ

+

⋅

_⎡

_⎤

⎛ ⎞

τ

=

+

_⎣

Χ − β

_⎦

_{⎜ ⎟}

π

−

π

β Γ

+

⎝ ⎠

≤ <

∑

(2.20)

( )2

₍

=

₀

_,

₁

_,

₂

_,...

₎

Χ

_m

m

– (2.15),

a

₂

(2.19).

, (2.20)

(

)

( )

( )

(

1

( )

)

,

1

0

2

1

0 1 0

0 0

<

<

−

α

Γ

−

−

ϑ

=

α

α

Γ

α

−

α

Γ

π

− α α

− α

− ∞

+ −

∞ − −

∫

c

i

e

e

u

d

e

i

i

i

i u i u u i ic

ic

. (2.21)

(2.15) (2.18)

( ) ( )

(

Χ

−

β

) (

=

−

)

→

∞

m

m

m

O

m

m

ln

,

1 2

2

. (2.22)

, (2.20)

0

≤

x

≤

a

, . .

( )

x

2

τ

.

0

=

λ

( )

Χ

( )_m2

=

β

( )_m2

(

m

=

0

,

1

,

2

,...

)

. (2.19) (2.20)

( )

2 2

2

x

=

P

π

a

−

x

τ

. (2.23)

3. - (1.13),

q

₁−

( )

α

0

Im

α

<

,

g

₁+

( )

α

–

Im

α

>

−

1

.

(

2

)

cth

πα

(

πα

)

=

( )

α

=

−

( )

α

⋅

+

( )

α

1 1

1

2

cth

K

K

K

, (3.1)

(1.13) :

( )

( ) ( )

( )

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

(

)

1

1 1 1 1 1

1

1 1 1

2

,

1

Im

0 ,

2

ig

P

L

K

q

F

a

K

P

F

L

a

+

− − − + −

+

+ + +

α

λ

α =

α

α + λφ α −

α =

+

α

λ

+

α − λφ α =

α

− <

α <

(3.2)

( )

[

₋

( )

]

−1 ₊

( )

[

₊

( )

]

−1

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

1 1

1 1 1

1

1

1

,

,

0

0

F

F

K

K

K

− +

+ + +

α =

α =

−

α

α

α

α

(3.4)

( )

(

_{( )}

)

=

φ

( )

α

+

φ

( )

α

α

α

−

α

=

α

Φ

+ −

+ −

1 1

1 1 1

K

i

q

, (3.5)

( )

α

±

2

K

(2.2).

( )

α

−

( )

α

φ

−

( )

α

−

1 1

1

,

F

,

K

Im

α

<

0

,

( )

α

+

( )

α

φ

+

( )

α

+

1 1

1

,

F

,

K

–

Im

α

>

−

1

. , (2.2) (3.3) ,

( )

( )

12

1

0

± ±

_α

₌

_α

K

α

→

∞

. (1.15)

(3.5) ,

φ

₁

( )

σ

=

O

(

( )

σ

σ

−1

)

σ

→

∞

.

, (2.7)-(2.9)

φ

₁±

( )

α

₁

( )

A

O

(

2

ln

)

i

± −

φ α =

+

α

α

α

∓

(3.6)

∞

→

α

,

( )

,

1

0

2

1

1

α

α

−

<

τ

<

φ

π

=

τ

_∫

+∞

∞ − τ

d

A

i

i

. (3.7)

(3.6) ,

(3.2) , ,

L

₁−

( )

α

=

O

( )

α

−1

α

→

∞

,

Im

α

<

0

( )

( )

1 1

− +

_α

₌

_α

O

L

–

α

→

∞

,

Im

α

>

−

1

. ,

, (3.2)

( )

( )

1 2

0

L

+

α =

L

−

α ≡

.

q

₁−

( )

α

:

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

,

Im

0

0

1

2

_{1 1}

1 1

1

_α

_α

α

<

λ

+

α

α

φ

λ

−

=

α

₋− _{+ −}

−

K

K

a

P

K

q

. (3.8)

φ

₁−

( )

α

(3.5). c ,

( )

α

−

2

q

, (1.13) ,

( )

α

−

1

q

Im

α

≥

0

(

2

−

1

)

,

=

1

,

2

,

3

,...

=

α

n

i

n

, . (3.5) ,

(

0

,

1

,

2

,...

)

2

=

=

α

ni

n

( )

α

φ

−

1

[13]

( )

1

( )

_{( )}

₍

(21

_{) ( )}

1) 1

1

1

0

2

2

1

2

n

n

q

i

A

K

ni

ni K

ni

− ∞ −

− −

+ +

=

−

φ α =

+

α

∑

α −

, (3.9)

( )

₍

₎

( )

( )

2 1

1 1 ₂

lim

_{2 1} 1

,

1, 2,...

n

-ni n i

A

₋ −

q

i

q

−

n

α= α→ −

(3.9) (3.8) (3.10),

(2 1)

₍

₁

_,

₂

_,...

₎

1

=

− −

n

A

n : ( ) ( ) ( )

(

1

2

)

2

1

( )

,

1

,

2

,...

4

1 1

1

1

_β

₌

−

λ

=

+

−

Χ

β

λ

+

Χ

∑

m

m

m

n

n

m n m

m (3.11)

( )

(

)

(

)

(

)

,

2

,

3

,...

1

4

1

1

!

1

2

!

!

1

2

2

1

1 2 1

1

β

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

β

_{− −}

m

m

m

m

m

m

m m

m

( )

₌

_β

( )

₌

_{( )}

_→

_∞

β

₁1

1

2

,

_m1

O

1

,

m

(3.12)

( )

_{( )}

₂

( )1

_,

₁

_,

₂

_,...

1 1 1 2

1

=

Χ

=

+ −

−

ia

K

mi

m

A

m _m

(3.13)

1

a

(3.8)

( )

(

)

1 1 1 1

1

2

4

2

1

2

− ∞ =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

Χ

λ

+

λ

+

π

=

∑

n n

n

n

a

P

a

. (3.14)

(3.12) :

( )

(

)

1

1

2

1

1

2

2

1 2

2

1

2

2

1, 2,... ,

n

m

m

n n

m

m

m

∞ =

⎡

⎛

⎞

⎛ ⎞

⎤

=

_⎢

ψ

+ ψ

_⎜

+

_⎟

− ψ

_{⎜ ⎟}

+ γ

_⎥

− +

−

⎣

⎝

⎠

⎝ ⎠

⎦

=

∑

(3.15)

...

5772

.

0

=

γ

– ,

ψ

( )

z

– - .

( )

{ }

∞

=

Χ

1 ₁

m

m (3.11), (3.8), (3.9), (3.13) (3.14)

(1.13)

q

₁−

( )

α

. ,

( )

x

1

τ

. ,

( )

_{( )} ( )

₍

₍

₎

₎

2 1

1 1 0 1 1 1 2 2 0

1

2

1

1

2

2

2

∞ + −

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

λ

+

Χ

β

π

+

−

π

λ

=

τ

∑

m m m m

a

x

i

m

K

m

c

a

x

a

x

c

x

(

0

≤

x

<

1

)

, (3.16)

( )

∑

∞ =

Χ

−

=

1 1 0

2

1

1

n n

n

c

. (3.17)

( )

₍

₎

,...

2

,

1

,

0

1

=

Χ

_m

m

– (3.11),

a

₁

(3.14).

(3.6) (3.8), ,

( ) ( )

⎥

=

(

)

→

∞

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

λ

+

Χ

β

−

m

m

m

O

m

c

a

m m

,

ln

1

2

2 0 1 1

1 _(3.18)

, (3.3) (3.18) , (3.16)

a

x

≤

≤

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