Ա Ա Ա Ո Թ Ո Ա Ա Ա Ա Ա Ղ Ա
63, №4, 2010
539.3
. .
л ы л : , , ё ,
.
Key words: semi-infinite beam, punch, generalized functions, integral equations.
Ա . .
Ա
Ա
( – ) :
, :
–
( Ֆ II )
( ) :
:
, :
Aghayan K.L.
The bending of two semi-infinite beams on the edge of elastic half-plane with flat punch
The contact problem of bending of two semi-infinite beams (plates in the condition of cylindrical bending) free lying on the border of elastic half-plane is considered. The bending is carriying out by symmetrically located , with regard to beams, rigid, smooth punch with plane foundation in the framework of classical theory of beam bending. The problem solution is brought to the system of two integral equations concerning contact stresses under the punch ( Fredholm equation of II type with continuous kernel) and deformation of boundary points of half-plane between beams (singular equation with Cauchy kernel).The solution of given equations are brought to quasicomplete regular infinite system of linear algebraic equations. It is shown that in the boundary points of punch the concentrated force and concentrated moment are appeared.
, . И
, .
( II )
( ).
. ,
.
( ),
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ё
.
-
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.
,
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[1-5],
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. 1.
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,
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∞
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a
,
∞
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.
. 1
( )
x
p
q
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x
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( )( )
x
q
x
q
x
q
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q
b
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x
q
x
q
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x
x
q
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q
x
q
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N
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x
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x
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P
b a
b
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± ±
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ϑ
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−
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,
,
(1.1)
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W
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+
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x
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– ,ϑ
( )
x
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3
0 3
,
d W
D
N x
P x
x
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−
− ∞ < < ∞
(1.3)0 0 0
E
J
D
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0– ё ,J
0– .D
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E
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012
(
1
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0–,
ν
0– ё )., E ν
b
− −a a b
0 P y
x
0, 0
(1.3) :
0 0 0
0,
x a x a x a
W
=± ±=
W
′
=± ±=
W
′′
=± ±=
W
→
0
x
→
∞
(1.4)(1.2)
, (1.4) (1.1), :
(
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)
(
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)
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3
0 3
,
b b
b b
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D
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x b
x b
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q
x
x
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⎡
⎣
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⎦
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⎣
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⎦
+
+
+
− ∞ < < ∞
(1.5)
b
Q
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0 2 0 2 0 0
0 0
0 0
,
b b
x b x b
x b x b
d W
d W
dW
dW
Q
D
D
M
D
D
dx
= +dx
=− −dx
= +dx
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=
(1.6), (1.5)
0
x b
W
=±=
. (1.7)(1.5) (1.3),
( )
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( )( )
(
) (
)
(
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b b
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q
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⎣
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x b
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⎤
+
M
⎡
⎣
δ + −δ −
x b
x b
⎤
⎦
, (1.8),
x
=
±
b
b
Q
M
b. , (1.8),
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x
(
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b
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q
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−
,
−
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,
,Q
bb
M
,
[1,2].,
q x
( )
,
Q
b,
M
b,
( )
x
p
(1.8)..
[6]:
( )
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, 0
1
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x
d
x
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,
x
,
dx
E
s
x
ν
π
∞
−∞
−
= −
=
− ∞ < < ∞
−
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(1.9)( )
,
0
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x
– ,Е
–,
ν
– .:
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( ) ( )
,
.
V
x
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x
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x
−
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<
∞
(1.10)( )
x
V
(1.9),W
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x
– (1.2),( )
x
[
(
x
a
) (
x
a
)
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( )
x
g
=
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+
−
ϑ
−
V
(1.11)(1.5), (1.9) (1.10) ,
:
( ) ( )
3( )
( )
( )( )
( )( )
0
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2
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b b
b b
D
− σ
i
W
σ =
M
σ
b
σ +
Q
b
σ −
q
−σ −
q
σ
(1.12)( )
(
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( )( )
( )( )
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V
σ = −
2 1
− ν
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−sgn
σ
q
−aσ +
q
aσ
(1.13)( )
σ
=
W
( ) ( )
σ
+
g
σ
f
( )
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∞σ
−∞
σ =
∫
− ∞ < σ < ∞
. (1.12) (1.13) (1.14),(
)
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
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* 3
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cos
sin
,
a a
b b
q
q
Q
b
M
b
q
q
i
g
−
− +
⎡
⎤
λ + σ
⎣
σ +
σ = λ
⎦
⎡
⎣
σ +
σ
σ +
⎤
⎦
⎡
⎤
+λ
⎣
σ +
σ + λ σ
⎦
σ
(1.15)( )a
( )
( )b( )
( )( )
q
±σ =
q
±σ +
q
±σ
.,
(
2)
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E
1
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1
;
E
2 1
λ =
− ν
− ν
λ =
− ν
. (1.16)(1.15) (1.11),
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
(
)
(
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c a
s b c c
a
b c c
q
x
q
x
q
s
q
s K
x
s ds
K
s
x g s ds
M
K
x b
K
x b
s
x
Q
K
x b
K
x b
x
∞
− − +
−∞
−
⎡
⎤
+
= λ
⎣
+
⎦
−
−
λ
⎡
⎤
′
′
−
⎢
+
−
⎥
+ λ
⎡
⎣
+ −
−
⎤
⎦
+
π
⎣
−
⎦
+λ
⎡
⎣
− +
+
⎤
⎦
− ∞ < < ∞
∫
∫
(1.17)( )
( )
3( )
( )
30 0
cos
sin
1
,
c s
x d
x d
K
x
K
x
∞
σ
σ
∞σ
σ
=
= −λ
π
∫
λ + σ
∫
λ + σ
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q
( ) ( )
x
=
q
−
x
)
,( )
a
b
x
∈
,
q
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x
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q
( )+( )
x
(1.17),II
q
( )+( )
x
:( )
( )
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( ) ( )
( )
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*
2 1
1
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,
,
b a
a a
b b
q
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s ds
K t x
g t dt
t
x
M f
x
Q f x
a
x
b
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−
λ
⎡
⎤
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−
⎢
+
⎥
+
π
⎣
−
⎦
+λ
+ λ
< <
∫
∫
(1.19)( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
1 2
,
;
,
,
,
,
.
c c s
c c
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K
x
s
K
x
s
K t x
K t
x
f x
R x b
f
x
K
x b
K
x b
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+
=
−
′
′
=
=
− −
+
(1.20),
x
∈ −
(
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,
)
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( )−a( )
x
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q
( )a( )
x
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0
, (1.17)( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
*
1 2
1
,
,
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b a
a a
b b
R x s q
s ds
K t x
g s ds
t
x
Q f x
M f
x
a
x
a
+
−
λ
⎡
⎤
λ
−
⎢
+
⎥
+
π
⎣
−
⎦
+λ
+ λ
=
− < <
∫
∫
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x
s
K
t
x
f
x
R
,
,
,
,
1f
2( )
x
(1.20).(1.19) (1.2) ,
( )
( )
0
2
2
b b
a
Q
=
P
−
∫
q
+x dx
, b(
)
( )b( )
b
M
x b q
x dx
∞=
∫
−
(1.22),
(1.19) ( II ) (1.21) (
) (1.22).
(1.19) (1.21)
q
+( )
x
g
( )
x
,( )
( )
x
q
b (1.17),x
∈
(
+
b
,
∞
)
.2. (1.19)–(1.22) .
(
)
1
,
1,
x
= α +
x
a
t
=
at
α =
b a
−
π
(2.1)(
x
1t
1 )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 *
1 1 1 1
0 1
1 1
1
,
,
1
,
0
q x
R x s q s ds
aK t x
t
x
g t dt
F x
x
π
−
λ
⎡
⎤
− λα
+
⎢
+
⎥
×
π
⎣
− α −
⎦
×
=
< < π
∫
∫
(2.2)( ) ( )
( )
( )
( )
1 *
2 1 2
0 1
1 2
1
,
,
,
1
1
R
x s q s ds
aK
t x
t
x
g t dt
F x
x
π
−
λ
⎡
⎤
λα
+
⎢
+
⎥
×
π
⎣
−
⎦
×
=
− < <
∫
∫
(2.3)
q x
1( )
=
q
( )+(
α
x
+
a
)
,
g t
1( )
=
g at
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
,
,
,
1,
,
R x s
=
R
α + α +
x
a
s
a
K t x
=
K
α α +
t
x
a
( )
(
)
( )
(
)
2
,
,
,
2,
,
R
x s
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R ax
α +
s
a
K
t x
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K at ax
(2.4)( )
(
)
(
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1 b 1 b 2
,
2 b 1 b 2F x
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x
a
+ λ
M f
α +
x
a
F x
= λ
Q f
α + λ
x
M f
α
x
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( ) (
)
1 2q
+x
∼
x a
−
−x
→
a
+
0
,( )
(
)
1 2
2 2
V
x
∼
a
−
x
−x
→
±
a
∓
0
, (2.5) (2.2) (2.3)( )
1 2 11 0 0 1
1
2
ncos
, 0
, 0
1 2
n
q x
A x
a
n a
nx
x
∞ ε −
=
=
+
+
∑
< < π
< ε <
(2.6)( )
2(
)
( )
1 2 2
1 2 1 2
1
1
,
1
1, 0
1 2
n n
n
g t
n
b
t
T
t
t
∞ −
−ε
− =
=
∑
−
− < <
< ε <
(2.7){ } { }
∞= ∞
=0 1 0
0
,
B
,
a
n n,
b
n nA
–
, ,( )
cos
(
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) (
0,1, 2,...
)
k
T
x
=
k
x
k
=
– II .( )
1
F x
(2.2)[ ]
0,
π
. ,(2.6) (2.7) (2.2)
( )
(
)
( )
(
2)
(
)
1
1
2 2
1
1
1
1
,
1,
0,1, 2,...
1
1
n n
n
x
x
T s
ds
x
n
s
x
s
x
+
−
− −
= −
>
=
π
∫
−
−
−
, (2.8)2 * 0 1
2
n nA
a
n
b
∞ −ε
=
= λ
α
∑
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{ }
∞ =0 n na
{ }
b
n ∞n=1:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 12 1
0 1
21 22 2
1 1
,
0,1, 2,...
,
1, 2,...
k kn n kn n k
n n
k
kn n kn n k
n n
a
R
a
R
b
c
k
b
R
a
R
b
c
k
∞ ∞ = = ∞ ∞ = =
+
+
=
=
+
+
=
=
∑
∑
∑
∑
(2.10)( )
( )
( )(
)
( )
(
)
( )
( )(
)
( )
( )
( ) 2 2 2 2 11 1 0 0 2 * 2 12 1 1 0 1 * 1 2 21 2 1
2
0 1
1
21 2
2 2 2
*
1 0
22
2
cos
,
cos
2
1
1
1
1
cos
2
1
cos
,
1
2
1
,
cos
2
on kn k n kn k n kkn k on n
kn
R
kxdx R x s
nsds
R
x
x
kxdx
n
a
kxdx K t x
t
T
t dt
n
R
k
x U
x dx R
x s
nsds
k
R
a
π π π ε π − − ε − π ε − − εδ −
λα
=
π
ρ
λ
⎡
⎤
=
⎢
α +
− − α −
⎥
+
⎣
⎦
π
ρ
λ
+
−
π
ρ
αλ
=
ρ δ −
−
λ
= −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
(
)
( )
2 1 1 1 2 2 22 2 2 2 1
1 1
1
x U
nx dx K
t x
,
1
t
T
nt dt
n
− − − ε − −−
−
∫
∫
(2.11) ( )( )
( )
( ) 2
( )
( )
( )
1 0 1
1 0
0 0
1
2 2 2
0 2 2 2
*
1 0
,
2
2
cos
0,
,
2
1
1,
k k k nR x s
A
c
F x
a A
ds
kxdx
k
x
s
R
x s
k
c
A
ds
F x
x U
x dx k
s
π π π ε − −⎡
⎤
=
⎢
−
− λ
⎥
= ∞
πρ
⎣
⎦
⎡
⎤
=
⎢
λα
−
⎥
−
= ∞
λ
⎣
⎦
∫
∫
∫
∫
(2.12)
δ
ik– ,( )
(
)
(
) (
)
1
sin
arccos
sin arccos
1, 2,...
k
U
−x
=
k
x
x
k
=
–
,
1
a
α = α
, 10 k
k
kε
ρ =
+ δ
. (2.13), (2.10)
{
}
∞=0
cos
nx
n( )
0,
π
{
1( )
}
1 n n
U
−x
∞=
(
−
1,1
)
(
)
1 2 2
1
−
x
,(2.8).
(2.10) ,
( )12 kn
R
(2.11)( )
( )
2(
)
(
)
2 1 2 * 12 1 2 1
1
cos
1
2
,
1
n b a knt
t
k
t
R
dt
a
n
t
−
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−
−
β −
λ β
= −
β = α
π
∫
−
.( )
( )
( )(
)
(
( ))
2
* *
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1
0
2
2
1
, ch
2
1
n n
kn
R
e
ds
e
n
n
n
χ
− − − − χ
ε ε
λ β
λ β
≤
=
−
χ = β
π
∫
π
−
. (2.14)(2.10) [5,9] ,
, , (2.10), ,
(
0
)
λ
< < ∞
λ
.(2.10) (1.22), (1.23) (2.9),
{ } { }
a
n n 0,
b
n n 1,
Q M
b,
b∞ ∞
= =
A
0. И, (1.8),
– (2.6) (1.17).
x
, (1.15) ,x
→ ∞
:( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
4 2 6 8
0 2
6
60
2
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2
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0, 2
b b b
b j j
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j
− − −
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λ
−
+
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πλ
πλ
=
∫
=
(2.15)
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x
-. И (2.15)
Q
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M
bq
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x
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0
, . ., ( ),
, .
, (1.19),
( )
1( ) ( )
( )
2( ) (
)
0
,
b b0
1
Q M
Q
M
q x
K x s q s ds
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x
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x
b
b
=
∫
+
+
< <
(3.1)( )
( ) ( )
30
cos
cos
2
,
x
s
K x s
d
∞
σ
σ
λ
=
σ
π
∫
λ + σ
( )
( )
( )
( ) ( )
30
sin
cos
2
,1 ,
Q M
x
f
x
K x
f
x
d
∞
σ
σ
σ
λ
=
=
σ
π
∫
λ + σ
. (3.2)b
Q
M
b (1.22) :(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
(
)
* * *
0 2 2 2 1 3 1 2 2
2 1 0
0
1 1
* 1
0 0
1
_
3
2
1
1
2
,
2
,
1, 2
b M
b b
j j j j j
Q P
A
B
I
B
A
I
B
A
I
M
bP
B
B Q P
A
I
x q
x dx
B
q
x dx
B
j
= +
+
−
−
+ +
+
+
=
− +
=
∫
=
∫
=
( )
2( )
(
)
( )
( )
*
1 3
0
cos
sin
2
cos
I
x
x d
∞
σ
σ − λ
σ
=
σ
σ
( )
( )
( )
*
2 3
0
1 sin 2
cos 2
I
x
d
∞
+
σ − σ
σ
λ
=
σ
π
∫
λ + σ
( )
(
( )
)
( )
(
)
2 *
3 3 3 2
0
sin 2
6 cos
I
x
d
∞
⎡
σ
σ
σ
⎤
λ ⎢
⎥
=
+
σ
⎢
⎥
π
σ λ + σ
λ + σ
⎣
⎦
∫
( )
1
q x
– (3.1)b Q
−1 b=
1,
M
a=
0
,q
2( )
x
–0
a
Q
=
,b M
−2 b=
1
. И (3.1), (3.1),x
≥
1
..2 ,
–
Q
bM
bλ
.-0,2 0,2 0,6 1 1,4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
.2
λ
0.5 1 5 10 30 100 500b
Q
0.3232 0.2999 0.2674 0.2564 0.2584 0.2657 0.2763b
M
0.2283 0.1781 0.1226 0.0976 0.0755 0.0542 0.0331,
λ
, . .,
Q
b ,,
M
b . И,
„ ” .
( )
0 bq x
P
x
500
λ =
100
λ =
10
λ =
0.5
И
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E-mail: karo-aga@mechins.sci.am
