a) Mostre que A∪B = (A\B)∪(B \A)∪(A∩B)

An´alise combinat´oria, probabilidade e

aplica¸c˜oes.

Professor Cristian F. Coletti Ver˜ao 2007.

Lista 2

11 de Janeiro de 2007

•. Entregar a lista no dia 18/01/07

1. a) Mostre que A∪B = (A\B)∪(B \A)∪(A∩B).

b) Mostre que B = (B∩A^c)∪(B∩A) c) Mostre que 1A∩B = 1A1B.

d) Seja (Ω,P) um espa¸co de probabilidade e A e B dois eventos. Mostre que se A⊂B, ent˜ao P[A]≤P[B].

2. Numa rea¸c˜ao nuclear uma determinada part´ıcula pode se decompor em 2 ou 3 sub- part´ıculas, ou n˜ao se decompor. Isto ocorre com probabilidade p², p³ e p¹. As novas part´ıculas comportam-se da mesma maneira e independentemente umas de outras, como na rea¸c˜ao anterior. Achar a distribui¸c˜ao do n´umero total de part´ıculas ap´os duas rea¸c˜oes.

3. Jogamos um dado equilibrado e logo jogamos tantas moedas equilibradas como indique o dado.

(a) Qual a probabilidade de obter k caras?

(b) Se foram obtidas 3 caras, qual a probabilidade do dado ter mostrado o n´umeron?

4. Jogamos 6 vezes de forma independente uma moeda equilibrada. Seja Y⁶ a diferen¸ca entre o n´umero de caras e coroas obtidas. Achar a distribui¸c˜ao deY⁶.

5. Uma moeda equilibrada ´e jogada repetidas vezes at´e obter 4 caras. Qual a probabilidade da quarta cara ter ocorrido no s´etimo lan¸camento?

6. Considere o seguinte ensaio de Bernouilli:

Uma moeda equilibrada ´e jogada; Cara ´e sucesso.

Calcule P[A]/P[B], sendo que:

A = Terceiro sucesso ocorre no quinto ensaio.

B = Em trˆes dos primeiros cinco ensaios ocorre sucesso.

Os ensaios s˜ao independentes.

1