Professor
:
Aluno(a):
1
a
Lista de Exercícios
(atualizada em 29 de janeiro de 2008)
Questão 1.
Encontre uma primitiva para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
a)
Z
√
2 +
1
x
3
dx
b)
Z
x
4dx
c)
Z
x
3+ sen
x
dx
d)
Z
1
x
+
e
x
dx
e)
Z
e
2xdx
f)
Z
cos (3
x
)
dx
g)
Z
e
−xdx
h)
Z
1
1 +
x
2dx
i)
Z
x
3+
x
+ 1
1 +
x
2dx
Questão 2.
Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
1.
Z
3
x
23
√
x
3−
1
dx
2.
Z
e
1x
+ 2
x
2dx
3.
Z
arcsen
x
2
√
1
−
x
2dx
4.
Z p
5
t
4+
t
2dt
5.
Z
e
xe
2x+ 36
dx
6.
Z
dt
t
ln
t
7.
Z
e
2x+ 2
4·
e
2xdx
8.
Z
8
x
2·
p
6
x
3+ 5
dx
9.
Z
sen
12(2
x
)
·
cos (2
x
)
dx
10.
Z
sec
2(5
x
+ 3)
dx
11.
Z
sen
x
(9
−
cos
x
)
3dx
12.
Z
sen 2
x
(7
−
sen
2x
)
3dx
13.
Z
x
2( sen 2
x
3+ 5
x
2)
dx
14.
Z
x
(1 + 4
x
2)
2dx
15.
Z
sen
2x
·
cos
x dx
16.
Z
sen
2x
·
cos
3x dx
18.
Z
sen (2
x
)
p
1 + cos
2x dx
19.
Z
tg
x
·
sec
2x dx
20.
Z
tg
3x
·
sec
2x dx
21.
Z
−
2
p
cos
2x
−
sen
2x
·
sen (2
x
)
dx
22.
Z
2
x
−
3
dx
23.
Z
x
x
+ 1
dx
24.
Z
2
x
+ 3
x
+ 1
dx
25.
Z
x
2x
+ 1
dx
26.
Z
2
4 +
x
2dx
27.
Z
1
2 + 5
x
2dx
28.
Z
x
5 +
x
2dx
29.
Z
3
x
+ 2
1 +
x
2dx
30.
Z
x
x
2+ 2
x
+ 3
dx
31.
Z
2
x
x
4+ 2
x
2+ 1
dx
32.
Z
1
x
2+
x
+ 1
dx
Questão 3.
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
a)
Z
x
sen (5
x
)
dx
b)
Z
te
4tdt
c)
Z
(
x
+ 1) cos 2
x dx
d)
Z
e
xcos
x
2
dx
e)
Z
ln
x dx
f)
Z
ln (1
−
x
)
dx
g)
Z
x
ln
x dx
h)
Z
ln (
ax
+
b
)
√
ax
+
b
dx
i)
Z
x
sec
2x dx
j)
Z
x
·
arctg
x dx
k)
Z
sec
3x dx
l)
Z
cossec
3x dx
m)
Z
√
x
ln
x dx
n)
Z
ln (
x
2+ 1)
dx
o)
Z
x
2ln
x dx
p)
Z
(
x
−
1) sec
2x dx
q)
Z
x
( ln
x
)
2dx
r)
Z
e
−2xsen
x dx
s)
Z
x
3e
x2dx
t)
Z
x
3cos (
x
2)
dx
u)
Z
e
−xcos 2
x dx
v)
Z
x
2sen
x dx
w)
Z
x
sec
x
tg
x dx
Questão 4.
Calcule as integrais das seguintes funções racionais.
a)
Z
x
−
1
x
3+
x
2−
4
x
−
4
dx
b)
Z
3
x
32
x
3−
x
2−
2
x
+ 1
dx
c)
Z
1
x
3−
4
x
2dx
d)
Z
x
3+ 2
x
2+ 4
2
x
2−
2
dx
Questão 5.
Resolva as seguintes integrais
a)
Z
15
x
2+ 3
x
−
4
dx
b)
Z
15
x
2+ 4
x
+ 9
dx
c)
Z
1
2
x
2+ 6
x
−
2
dx
d)
Z
x
x
2+ 4
x
−
5
dx
e)
Z
x
−
3
x
2−
2
x
+ 5
dx
f)
Z
3
x
33
x
2+ 18
x
+ 27
dx
Questão 6.
Resolva as integrais abaixo que envolvem funções trigonométricas.
a)
Z
sen 2
x
cos
x
dx
b)
Z
sen (
ωe
+ 8)
dω
c)
Z
sen
3(2
x
+ 1)
dx
d)
Z
cos
5(3
−
3
x
)
dx
e)
Z
2
x
sen
4(
x
2−
1)
dx
f)
Z
tg
3x
cos
4x dx
g)
Z
cos
4x dx
h)
Z
tg
4x dx
i)
Z
sen
2x
cos
4x
dx
j)
Z
sen 3
x
·
cos 5
x dx
k)
Z
sen (
ωt
)
·
sen (
ωt
+
θ
)
dt
l)
Z
cos
3x
Questão 7.
Resolva as integrais irracionais.
a)
Z
dx
√
x
(
√
x
+ 4
√
4x
+ 3)
b)
Z
√
4x
2 +
√
x
dx
c)
Z
√
x
+ 1
2 +
√
x
+ 1
dx
d)
Z
1
x
√
1
−
x
dx
e)
Z
1
−
√
x
1 +
√
x
dx
f)
Z
x
x
+
√
x
−
1
dx
g)
Z
dx
x
√
9
−
x
2h)
Z
√
x
2−
16
x
2dx
i)
Z
x
2È
1
−
(
x
−
1)
2dx
j)
Z
dx
x
2√
x
2+ 9
k)
Z
1
√
x
2−
2
x
−
8
dx
l)
Z
1
√
x
2+ 2
x
+ 10
dx
m)
Z
1
√
−
x
2−
3
x
+ 4
dx
n)
Z
1
√
x
2−
x
+ 2
dx
o)
Z
x
+ 1
√
x
2−
4
x
+ 1
dx
p)
Z
x
−
2
√
x
2−
2
x
+ 3
dx
r)
Z
dx
x
√
x
2−
1
Questão 8.
Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
a)
Z
sen (
x
2+ 4
x
−
6)
(
x
+ 2)
−1dx
b)
Z
√
ln
x
+ 1
x
dx
c)
Z
ln
x
2x
dx
d)
Z
√
x
ln
x dx
e)
Z
x
2arctg
x dx
f)
Z
ln (
x
+
p
1 +
x
2)
dx
g)
Z
x
sec
2x dx
h)
Z
x
−
1
2
x
2+ 4
x
+ 20
dx
i)
Z
dx
√
x
2+ 2
x
j)
Z
x
+ 1
x
2+ 4
x
−
7
dx
k)
Z
dx
√
−
x
2+ 2
x
l)
Z
4
x
2+ 3
x
+ 1
x
3+
x
2dx
m)
Z
arcsen
x dx
n)
Z
ln (
x
2+ 2
x
−
8)
dx
o)
Z
tg
x
ln (
cosx
)
dx
p)
Z
ln (
p
x
2+ 2
x
)
dx
q)
Z
√
1
−
x
2x
2dx
r)
Z
cos
x
1 + cos
x
dx
s)
Z
sen
2(2
x
)
·
cos
(2
x
)
dx
Questão 9.
Use a substituição trigonométrica
t
= tg
x
2
e resolva as integrais a seguir:
a)
Z
1 + sen
x
sen
x
(1 + cos
x
)
dx
b)
Z
2
sen
x
+ tg
x
dx
c)
Z
1 + cos
x
1
−
sen
x
dx
d)
Z
1
3 + sen 2
x
dx
e)
Z
dx
3 + sen
x
+ cos
x
f)
Z
e
x4 sen (
e
x)
−
3 cos (
e
x)
dx
g)
Z
cos
x
1 + cos
x
dx
h)
Z
dx
Respostas
Questão 2
1. 3
2(
x3−1) 2 3 +c
2. −e 1
x−21
x+ c
3. ( arcsenx) 2
4 +
c
4. 1
15(5t
2
+ 1)
3 2+c
5. 1
6arctg
ex6
+c
6. ln ( ln|t|) +c
7. 1
10
e2x
+ 2
5+c8. 8
27 6
x3+ 5
3 2+c9. 1
3( sen (2
x)) 3 2+c
10. 1
5tg (5x+ 3) +c
11. − 1
2 (9− cosx)2 +c
12. 1
2(7 + sen2x)2+c
13. −1
6 cos (2x
3
) +x5+c
14. − 1
8·(4x2+ 1)+c
15. sen 3x
3 +c
16. sen 3x
3 −
sen5x
5 +c
17. sen 4
x
4 −
sen6 x
6 +
c
18. −2
3(1 + cos
2 x)
3 2 +c
19. tg 2x
2 +c
20. tg 4x
4 +c
21. 2
3cos
3 2(2x) +c
22. 2 ln|x−3|+c
23. x− ln|x+ 1|+c
24. 2x+ ln|x+ 1|+c
25. x 2
2 −x+ ln|x+ 1|+c
26. arctg
x 2
+c
27. √
10 10 · arctg
√10x
2
+c
28. 1
2·ln|5 +
x2|+c
29. 3
2·ln|x
2
+ 1|+ 2 arctgx+c
30. 1
2ln|x
2
+ 2x+ 3| −√1
2arctg
x+ 1 √2
+c
31. − 1 x2+ 1+
c
32. 2 √
3 3 arctg
2√3x+√3 3
+c
33. 1
4arctg (
x4) +c
Questão 3
a)−xcos (5x)
5 +
sen (5x)
25 +c
b) e
4t
4
t−14
+c
c) 1
2sen (2x) (x+ 1) + cos (2x)
4 +c
d) 2 5sen
x2
ex+45e
x
cos
x 2
+c
e)x( ln|x| −1) +c
f) ln|x−1| ·(x−1)−x+c
g)x
2
2
ln|x| −1
2
+c
h) 2·
√ax
+b a ( ln|
ax+b| −2) +c
i)xtgx+ ln|cosx|+c
j) x
2
2 arctgx−
x
2+ arctgx
2 +c
k) 1 2tg
xsecx+1
2ln|sec
x+ tgx|+c
l) −1 2 cotg
xcossecx+1
2ln|cossec
x− cotgx|+c
m) 2 3x
3
2 ln|x| −4
9x
3 2+c
n)xln (x2
+ 1)−2x+ 2 arctgx+c
o) x
3
3
lnx−1
3
+c
p)(x−1) tgx+ ln|cosx|+c
q) x
2
2
( ln|x|)2
− ln|x|+1 2
+c
r)− e−2x
5 ( cosx+ 2 senx) +c
s) e
x2
2 (
x2−1) +c
t) 1 2(x
2
sen (x2) + cos (x2)) +c
u) e
−x
5 (2 sen (2x)− cos (2x)) +c v)−x2
cosx+ 2xsenx+ 2 cosx+c
Questão 4
a) 1 12 ln|
x−2|+2
3ln|
x+ 1| −3
4 ln|
x+ 2|+c
b) 3 2x−
1 4ln
x−12
−12 ln|x+ 1|+ 3
2ln|x−1|+c
c) 1 16ln
x−x4 + 14x+c
d) x
2
4 +x+ ln
x−1x+ 1
4
É
(x−1)3 x+ 1
+cQuestão 5
a)3 ln
x−1x+ 4
+cb)3√5 arctg
x + 2 √ 5 +c c) √ 13 52 ln xx+ 3+ 3 +−√√1313 +cd) 1
6ln|x−1|+ 5
6ln|x+ 5|+c
e) 1 2ln|x
2
−2x+ 5| −arctg
x
−1 2
+c
f)
x2
2 −6x+ 27 ln|x+ 3|+ 27
x+ 3+c
Questão 6
a)−2 cosx+c
b)−1ecos (ωe+ 8) +c
c)−1
2cos (2x+ 1) + 1 6cos
3
(2x+ 1) +c
d)−1
3[ sen (3−3
x)−2
3 sen
3
(3−3x) +1
5sen
5
(3−3x)] +c
e) 3x
2
8 −
sen (2x2 −2)
4 +
sen (4x2 −4)
32 +c
f) sen 4x 4 + c g) 1 4[ 3x
2 + sen (2
x) + sen (4x)
8 ] +
c
h) 1 3tg
3
x− tgx+x+c
i) 1 3tg
3 x+c
j) 1 2[−
cos (8x)
8 +
cos (2x) 2 ] +c
k) cos (θ)
2 [
t− sen (2ωt)
2ω ] +
sen (θ) 2ω sen
2
(ωt) +c
l)−13cossec3x+ cossecx+c
Questão 7
a)3 2 ln|
4 √x
+ 3| −1
2 ln|
4 √x
+ 1|+c
b) 4 3
4 √
x3 −8√4x
+ 8√2 arctg
√4x √2
+c
c)x−4√x+ 1 + 8 ln|√x+ 1 + 2|+c
d) ln
1−√
1−x
1 +√1−x
+ce)−x+ 4√x−4 ln|√x+ 1|+c
f)x−2√x−1+ ln|x+√x−1|+2 √
3 3 arctg
2√x −1 + 1√ 3
+c g)1 3 ln 3−√9−x x +ch) ln
x+√x2 −16−√x2 −16
x + c
i)3 2 arcsen (
x−1)− √
−x2+ 2x
2 −(
x−5) +c
j)−19 √x2+ 9
x + c
k) ln|x−1 +√x2
−2x−8|+c
l) ln|√x2+ 2x+ 10 +x+ 1|+c
m) arcsen
2x+ 3 5
+c
n) ln
√x2−x+ 2 +
x−1
2
+c
o)√x2
−4x+ 1 + 3 ln|x−2 +√x2
−4x+ 1|+c
p)√x2
−2x+ 3− ln|√x2
−2x+ 3 +x−1|+c
r)arccos
1x
+c
Questão 8
a)−1
2cos (
x2+ 4x−6) +c
b) 2 3( ln|x|)
3
2+ ln|x|+c
c)( ln|x|)2
+c
d) 2 3
x 3
2[ ln|x| −2
3] +
c
e) x
3
3 arctg|
x| −x 2
6 + 1 6ln|
x2
+ 1|+c
f)x·ln|x+√x2+ 1
| −√x2+ 1 +c
g)x· tgx+ ln|cosx|+c
h) 1ln|x2+ 2x+ 10| −1arctg (x+ 1) +c
j) 11−
√
11
22 ln|x+ 2−
√
11|+11 +
√
11
22 ln|x+ 2 +
√
11|+c
k) arcsen (x−1) +c
l)2 ln
x+ 1x
−x1+cm)xarcsenx+√1−x2+c
n)xln (x2+ 2x−8)−2x−2 ln|x−2|+ 4 ln|x+ 4|+c
o)−12[ ln (cosx)]2+c
p)xln (√x2
+ 2x)−x+ ln|x+ 2|+c
q)− √
1−x2
Questão 9
a)1 4 tg
2
x
2
+ tg
x2
+1 2ln
tg (x2)
+cb) ln
tgx
2
−1 2 tg
2
x
2
+c
c)−2 ln
tgx
2
−1
− 2tg
x
2
−1+ ln
tg2
x2
+ 1
+c
d)
√
2 4 arctg
3 tgx+ 12√2
+c
e) ln
tg
x 2
+ 1
+cf) 1 5ln
tg
ex2 − 1 3
tg
ex2 + 3
+cg)−tg
x
2
+ 2 arctg
tg
x2
+c
h) √2 14arctg
3 tg
x2
−1√
14
