LISTA DE EXERCÍCIOS 1 EDO II - MAP 0316

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LISTA DE EXERC´ICIOS 1 EDO II - MAP 0316

PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/∼PPLOPES/EDO2

Os exerc´ıcios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge Sotomayor. (S.X.Y) indica exerc´ıcio Y do cap´ıtulo X do livro do Sotomayor. (D.L.X.Y) indica exerc´ıcio Y do cap´ıtulo X do livro dos autores Claus Doering e Artur Lopes.

Exerc´ıcio 1 (S.1.1) Seja g(t) = 2

t2₋₁, |t| 6= 1.

a) Mostre que toda solu¸c˜ao de x0(t) = g(t) ´e da forma ϕ(t) = c + ln t − 1 t + 1 , onde c ∈ R.

b) Fa¸ca um esbo¸co destas solu¸c˜_{oes em Ω = {t ∈ R; |t| 6= 1} × R.} (Sugest˜ao: Note que g(t) = _t−11 − 1

t+1).

Exerc´ıcio 2 (S.1.2)

Seja f (x) = x2₂−1. Mostre que toda solu¸cão de x0= f (x) diferente das solu¸cões ϕ+≡ 1 e ϕ−≡ −1 é da forma:

ϕ(t) = 1 + ce

t

1 − cet, c 6= 0.

Qual é o intervalo máximo Ic de defini¸cão destas solu¸cões? Fa¸ca um esbo¸co geométrico das solu¸cões em Ω = R2

e compare com o exerc´ıcio anterior.

Exerc´ıcio 3 (S.1.5) Seja f : R → R.

a) As equa¸c˜oes da forma

x0 = fx t

, t 6= 0

são chamadas homogêneas. Prove que a mudan¸ca de variáveis x = yt transforma equa¸cões homogêneas em equa¸cões com variáveis separáveis.

b) Resolva a equa¸c˜ao

x0 =x + t

t , x(1) = 0. Exerc´ıcio 4 (S.1.6)

Encontre os valores de α e β para os quais

x0 = αtα+ βxβ

se transforma numa equa¸cão homogênea por meio de uma mudan¸ca de variáveis da forma x = ym.

Mostre que a mudan¸ca de vari´aveis x1−n_{= y transforma a equa¸}_c˜_{ao de Bernoulli}

dx

dt = a(t)x + c(t)x

n

numa equa¸c˜ao linear.

Exerc´ıcio 6 (S.1.9) A equa¸c˜ao do tipo

x0(t) = r(t)x2+ a(t)x + b(t) (∗)

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chama-se equa¸cão de Riccati. Suponha que os coeficientes da equa¸cão (∗) são fun¸cões cont´ınuas de t. Mostre que se ϕ1é uma solu¸cão da equa¸cão (∗), então ϕ = ϕ1+ ϕ2é solu¸cão da equa¸cão (∗) se, e somente se, ϕ2é uma solu¸cão

da equa¸c˜ao de Bernoulli (veja exerc´ıcio anterior)

y0= (a(t) + 2r(t)ϕ1(t)) y + r(t)y2.

Ache as solu¸c˜oes de

x0 =x t + t

3_x2_{− t}5

sabendo que esta equa¸c˜ao admite ϕ1(t) = t como solu¸c˜ao.

Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que n˜ao existe uma constante de Lipschitz nos dom´ınios indicados: a) f (t, x) = t |x|, |t| ≤ a, x ∈ Rn. b) f (t, x) = x13, |x| ≤ 1. c) f (t, x) = _x1, 1 ≤ x ≤ ∞. d) f (t, x) = x2 1x2, t + x3, x23, |x| ≤ b, |t| ≤ a. Exerc´ıcio 8 (S.1.12)

Seja f : R2_{→ R definida por f(x, y) =}_{p|y|. Considere a equa¸c˜ao diferencial} dy

dt = f (x, y) com a condi¸c˜ao inicial

y(0) = 0.

(i) Dê uma solu¸cão desta equa¸cão. (ii) Ela é única?

(iii) Caso a resposta de (ii) seja negativa, contradiz o Teorema de Picard? Justifique. Sugestão: Use o método de variáveis separáveis para encontrar a seguinte solu¸cão:

y(t) := ( x2 4, x ≥ 0 −x2 4, x ≤ 0 . Exerc´ıcio 9 (S.1.14) Seja f : R × Rn_{→ R}n _{de classe C}1

e suponhamos que ϕ : R → Rn _´_{e a solu¸}_c˜_{ao de}

x0= f (t, x), x(t0) = x0. (∗)

´

E poss´ıvel que exista t16= t0tal que ϕ(t0) = ϕ(t1), por´em ϕ0(t0) e ϕ0(t1) s˜ao linearmente independentes?

Sugest˜ao: Note que _dtd (tsen(t)) = tcos(t) + sen(t) e _dtd t2_{sen(t) = t}2

cos(t) + 2tsen(t). Seja ϕ : R → R2 _a

solu¸c˜_{ao de (∗) com f : R × R}2_{→ R}2 _{dada por}

f (t, (x, y)) = tcos(t) + sen(t), t2cos(t) + 2tsen(t) e condi¸c˜oes iniciais (x(0), y(0)) = (0, 0). Calcule ent˜ao ϕ(π), ϕ(2π), ϕ0(π) e ϕ0(2π).

Seja f : R × Rn → Rn _{cont´ınua e Lipschitziana com respeito a segunda vari´}_{avel (Existe K > 0 tal que}

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ K kx − yk, para todo (t, x) e (t, y) ∈ R × Rn_{). Prove que dado (t}

0, x0) ∈ R × Rn existe

uma ´unica solu¸c˜ao de

x0(t) = f (t, x), x(t0) = x0,

definida em todo R.

Exerc´ıcio 11 (S.1.16) Seja f : Rn→ Rn _{de classe C}1

e suponhamos que ϕ : R → Rn ´e solu¸c˜ao de x0= f (x), x(t0) = x0.

a) ´E poss´ıvel que exista t16= t0 tal que ϕ(t0) = ϕ(t1), mas ϕ0(t0) 6= ϕ0(t1)?

b) Compare (a) com o exerc´ıcio 9.

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Seja f : R × Rn → Rn _{uma fun¸c˜}_{ao cont´ınua tal que f (t, x) = f (t + 1, x) e f |}

[0,1]×Rn ´e Lipschitziana. Prove que

toda solu¸cão ϕ(t, t0, x0) (da equa¸cão x0(t) = f (t, x(t)), x(t0) = x0) está definida para todo t ∈ R e ϕ(t, t0, x0) =

ϕ(t + 1, t0+ 1, x0).

Exerc´ıcio 13 (S.1.29) Seja H : Rn

→ Rn_{de classe C}1

. Seja f : R×Rn

→ Rn_{cont´ınua e Lipschitziana tal que f (t, H(x)) = DH(x).f (t, x)}

para todo (t, x) ∈ R × Rn_{. Se f ´}_{e Lipschtziana e ϕ(t, t}

0, x0) denota a solu¸c˜ao de x0= f (t, x) que passa por (t0, x0),

prove que

ϕ(t, t0, H(x0)) = H (ϕ(t, t0, x0)) .

Se X = (X1, X2, ..., Xn) é um campo vetorial de classe C1em Rne V é uma fun¸cão real diferenciável em Rn tal

quePn

i=1 ∂V

∂xi(x)Xi(x) ≤ 0 e V (x) ≥ |x|

2

para todo x ∈ Rn_{, prove que toda solu¸}_c˜_{ao de x}0_{= X(x), x(0) = x} 0, est´a

definida para todo t > 0.

Exerc´ıcio 15 (D.L.4.1)

Sejam f : E → Rnum campo cont´ınuo, em que E ⊂ Rn´_{e um aberto, I ⊂ R um intervalo com t}0∈ I e x : I → Rn

um caminho cont´ınuo e derivável tal que x(t) ∈ E para todo t ∈ I. Mostre que x é solu¸cão de x0 = f (x), com x(t0) = x0, se, e somente se, para qualquer t ∈ I vale

x(t) = x0+

ˆ t

t0

f (x(s))ds.

Seja f : E → Rn _{um campo de classe C}1

, em que E ⊂ Rn _´_{e um aberto. Dado y ∈ E, denotamos por I(y) o}

intervalo m´aximo da solu¸c˜ao da EDO

x0= f (x) x(0) = y .

Mostre que se s, t ∈ R e x ∈ R s˜ao tais que s, s + t ∈ I(x), ent˜ao t ∈ I (φ(s, x)).

Sejam f : E → Rn um campo de classe C1_{, em que E ⊂ R}n ´e um aberto. Seja x uma solu¸c˜ao definida em toda reta e tal que limt→∞x(t) = z0, em que z0∈ E. Mostre que f (z0) = 0.

Seja f : R → R um campo de classe C1com uma solu¸cão máxima n˜_{ao constante x : I → R de x}0= f (x) tal que a imagem x(I) é limitada. Mostre que:

a) I = R

b) x ´e estritamente mon´otona.

c) x(I) ´e um intervalo aberto limitado ]a, b[. d) f (a) = f (b) = 0.

Exerc´ıcio 19 (D.L. 4.7)

Seja x : I → Rn _{uma solu¸}_c˜_{ao m´}_{axima n˜}_{ao constante de x}0_{= f (x). Mostre que se x n˜}_{ao for injetora, ent˜}_ao:

1) O intervalo m´aximo da solu¸c˜ao ´_{e R.}

2) Existe uma constante T > 0 tal que x(t + T ) = x(t) para todo t ∈ R. Uma solu¸cão com as propriedades acima é chamada de periódica.

Exerc´ıcio 20 (D.L. 4.9) Seja f : Rn

→ Rn

um campo tal que hx, f (x)i = 0, para todo x ∈ R. Mostre que toda solu¸c˜ao m´axima x : I → Rn

de x0 = f (x) est´_{a definida para todo t ∈ R. Ou seja, mostre que o intervalo máximo de toda solu¸cão máxima é} igual a R.