Funções & Relações. 0. Códigos. 1. Relações, Domínios & Limites. 2. Funções & Relações. 3. Funções como Tabelas. 4. Funções como Fórmulas. 0.

(1)

Funções & Relações

0. Códigos

1. Relações, Domínios & Limites 2. Funções & Relações

3. Funções como Tabelas 4. Funções como Fórmulas

Estudaremos a definição de uma função e a conexão com suas relações, domínio e limites, visões algébricas e numéricas de funções.

[Instruções: Execute primeiramente a seção de recursos dos códigos. Apesar de nenhum resultado ser apresentado imediatamente, estas definições serão usadas posteriormente nesta área de trabalho]

0. Códigos

> restart; with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> Dominio := proc( SET ) local domain, k;

domain := {};

for k from 1 to nops(SET) do

domain := domain union {SET[k][1]};

od:

domain;

end proc:

> Alcance := proc( SET ) local range, k;

range := {};

for k from 1 to nops(SET) do range := range union {SET[k][2]};

od:

range;

end proc:

(2)

1. Relações, Domínios & Limites

Uma relação é um par de valores. Uma função é um tipo especial de relação onde o primeiro item só tem um segundo item equivalente.

> cores de frutas := {[maçã,vermelho],[banana,amarelo],[kiwi,verde], [cereja,vermelho],[limão,amarelo],[pera,verde]};

   



     

 

_ _ : , , , ,

, , , , lim , ,

,

cores de frutas maça vermelho banana amarelo kiwi verde cereja vermelho ão amrelo

pera verde



O primeiro elemento de cada par é uma fruta e o segundo elemento é a cor da fruta. O conjunto de todas as frutas é o domínio da relação e o conjunto de cores é o limite.

> Dominio(fruity_colors);

 fruity colors _ 1

1



> Alcance(fruity_colors);

 fruity colors _ 1

2



Vejamos mais alguns exemplos:

> Times de Futebol := { [Rio de Janeiro, Flamengo], [São Paulo, Santos], [Belo Horizonte, Cruzeiro],

[Porto Alegre,Gremio],[Bahia,Vitória] };

`\n domínio `= Dominio(%);

`\n alcance ` = Alcance(%%);

Error, missing operator or `;`

> Comidas típicas := { [America, cachorro-quente], [Mexico, Taco], [Japão, Sushi], [India,Naan],[Oriente_Médio,felafel],

[Brasil,Bife com Fritas] };

Error, missing operator or `;`

Logicamente, também podemos ter relações com números:

> arrumando_números := { seq([k, k^2], k = 1..9) };

(3)

                  



_ : 1,1 , 2, 4 , 3,9 , 4,16 , 5, 25 , 6,36 , 7, 49 , 8, 64 , 9,81 amarrando números 

 1, 2,3,4,5,6,7,8,9 

domínio 

 1,4,9,16, 25,36, 49,64,81 

alcance 

> arrumando_números := { seq([(k-2)^2, (k-4)^2], k = 1..7) };

           

   

_ : 1,1 , 1,9 , 0, 4 , 4,0 , 9,1 , 16, 4 , 25,9 amarrando números 

 0,1, 4,9,16,25 

domínio 

 ^0,1,4,9 

alcance 

2. Funções & Relações

Uma relação é qualquer par de valores. Uma função é um tipo especial de correspondência (relação) onde cada item selecionado num lado possui uma só relação com o segundo lado. O conjunto de cores das frutas é uma função porque para cada fruta está associado somente uma cor - mesmo que alguma fruta tenha a mesma cor de outra fruta.

> cores_de_fruta := { [maçã,vermelho],[banana,amarelo],[kiwi,verde], [cereja,vermelho],[limão,amarelo],[pera,verde]};

   



     

 

_ _ : , , , ,

, , , , lim , ,

,

cores de frutas maça vermelho banana amarelo kiwi verde cereja vermelho ão amrelo

pera verde



 ^, ^, ^, ^,lim ^, 

domínio  maça banana kiwi cereja ão pera

 ^, ^, 

alcance  amrelo verde vermelho

No próximo caso, estudaremos quando alguns dos valores do domínio têm mais do que um valor de alcance. Logo isso NÃO é uma função.

(4)

> Países e cidades := { [Canada, Toronto], [Canada, Montreal], [EUA, Nova_York],[ EUA, Los_Angeles], [Mexico, Guadalajara], [Japão, Osaka], [ Japão, Tokyo], [Russia, Moscou], [India, Bombay],[India, Delhi]};

   

 ^ ^

     

_ _ : , , , , , _ ,

, _ , , , , ,

, , , , ,

Países e cidades Canadá Toronto Canadá Montreal EUA Nova York EUA Los Angeles México Guadalajara Japão Tokyo

Rússia Moscou India Bombay India Delhil



 ^, ^, ^, ^, ^, 

domínio  Canadá México Japão Rússia India EUA





, _ , , , ,

, , ,

alcance Montreal Nova Angeles Guadalajara Toronto Osaka Tokyo Moscou Bombay Delhil



Observe bem esses conjuntos de números. No primeiro conjunto, cada valor de x tem apenas um valor de y. Mas isso não acontece no segundo exemplo. Uma função é uma relação pela qual cada membro do domínio está apenas associado a um membro do limite. Logo, o primeiro conjunto é uma função, enquanto o segundo não é.

> ajustando números := { seq([k, k^2], k = 1..9) };

           

       

 

tan _ : 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 , 2, 25 , 6,36 , 7, 49 , 8, 64 , 9,81 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9

1,4,9,16,25,36, 49,64,81 ajus do números

domínio alcance



> ajustando números := { seq([(k-3)^2, (k-5)^2], k = 1..7) };

           

 ^ ^ 

 

tan _ : 1,1 , 4,16 , 1,9 , 0, 4 , 4,0 , 9,1 , 16, 4 0,1, 4,9,16

0,1, 4,9,16 ajus do números domínio

alcance



3. Funções como Tabelas

Funções também podem ser expressas como tabelas de valores. Os valores de x do domínio estão à esquerda e os valores de y do limite estão à direita.

> restart:

> f:= x -> 100-x^2:

array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..8] );

(5)

0 1 00

1 99

2 96

3 91

4 84

5 75

6 64

7 51

8 36

                           

> f:= x -> 2*floor(x/2): array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..8] );

0 0

1 0

2 2

3 2

4 4

5 4

6 6

7 6

8 8

 

 

 

> f:= x -> 2^x + 1; array( [[ k, f(k)] $ k = 1..8] );

(6)

: 2 1 1 3

2 5 3 9 4 1 7 5 33 6 65 7 1 29 8 257 f   x

x



 

 

 

Os valores não são necessariamente números inteiros.

> f:= x -> :

array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..8] );

Error, `:` unexpected

> f:= x -> evalf(sin(Pi/(x+3))):

array( [[ k, f(k)] $ k = 1..8] );

1 0.7071067813 2 0.5877852524 3 0.5000000002 4 0.4338837393 5 0.3826834325 6 0.3420201433 7 0.3090169944 8 0.2817325569

 

 

 

4. Funções como Fórmulas

A maioria das funções que veremos, por enquanto, podem ser expressas em algum tipo de fórmula.

Nesses casos, há uma entrada , x, e um resultado f(x). Para o valor de x, há um valor correspondente f(x).

(7)

> f := x -> 3*x^2 -10*x + 21;

`f(0)` = f(0);

`f(1)` = f(1);

`f(-1)` = f(-1);

`f(10)` = f(10);

`f(100)` = f(100);

`f(10000)` = f(10000);

: 3

2

10 21

(0) 21 (1) 14 ( 1) 34 (10) 221 (100) 29021

(10000) 299900021

f x x

f f f f f f

  



 



Funções apresentam-se em todos os tamanhos e formas.

> f := x -> (x^2 + 11)/(3*x^2 - 9);

`f(0)` = f(0);

`f(1)` = f(1);

`f(-1)` = f(-1);

`f(10)` = f(10);

`f(100)` = f(100);

`f(10000)` = f(10000);

2 2

: 11

3 9

(0) 11 9 (1) 2 ( 1) 2 (10) 37

97 (100) 3337

9997 33333337 (10000)

99999997 f x x

x f f f f f f

  



 



 



> f := x -> x - 3/(x^2 + 3);

`f(0)` = f(0);

(8)

`f(1)` = f(1);

`f(-1)` = f(-1);

`f(10)` = f(10);

`f(100)` = f(100);

`f(10000)` = f(10000);

2

: 3

3 (0) 1 (1) 1

4 ( 1) 7

4 (10) 2027

103 1000297 (100)

10003

1000000029997 (10000)

100000003

f x x

x f f f f f f

  







  



As funções também podem representar fórmulas científicas assim como funções matemáticas abstratas.

> Graus centígrados := F -> (5/9)*(F-32);

Graus centígrados(0); Graus centígrados( 212);

5 160

:

9 9

160 9 1 00

Graus centígrados  F  F 



> Metro 2 Centímetro := Metro -> Centímetro * 100;

Metro 2 Centímetro(1); Metro 2 Centímetro(2.5);

Metro 2 Centímetro(6);

(9)

2 : 100 1 00

1 00 1 00

Metro Centímetro Metro Centímetro Centímetro

Centímetro Centímetro

 

> Gramas 2Kg := gramas -> gramas*1000;

Gramas 2Kg(3000); Gramas 2Kg(10);

2 : 100

3000000 1 0000

Gramas Kg  Gramas  Gramas

Perceba que funções também podem ser avaliadas como constantes:

> f := x -> (x+3)/(x-5);

f(6); f(15); f(Q); f(qualquer valor);

: 3

5 9

9 5 3

5 _ 3

_ 5

f x x x

Q Q qualquer valor qualquer valor

  











> f := x -> 100*x^3 + 2000*x + 3000;

(10)

f(6); f(15); f(Q); f(qualquer valor);

3

3 3

: 100 2000 3000

36600 370500

100 2000 3000

100 _ 2000 _ 3000

f x x x

Q Q

qualquer valor qualquer valor

   

 

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