COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE CONES - GABARITO
1. Uma torneira enche um funil cônico à razão de 100cm3/s, enquanto outra torneira o esvazia a razão de 28cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos, necessários para que o funil fique completamente cheio é correspondente a:
a) 2 x b) 3 c) 4 d) 5
Solução. Há mais fluxo de água entrando do que saindo. Logo, a diferença entre entrada e saída é de 100 28 72cm3 /s. O volume do cone em
centímetros é: 2 2 144 3
3 ) 12 ).(
36 ( 3
) 12 .(
) 6 ( 3
.
.r h cm
V . Para
encher totalmente esse cone são necessários s
s s cm
t cm 2
/ 1
2 / 72
144
3
3
.
2. Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8m. Então, a área total, em metros quadrados, vale:
a) 36π x b) 52π c) 16π d) 20π
Solução. Se o diâmetro vale 8m, então o raio mede 4m. Utilizando a fórmula da área total do cone, temos:
m g A
rg r A A A
t l
b
t )4.( 4.( )5)( 16 20 36 .
5 25 4 3
.
. 2
2 2
2
3. Uma ampulheta pode ser considerada como formada por 2 cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. A razão entre o volume do cilindro e o volume de um dos cones é:
a) 3 b) 5 c) 6 x d) 7 e) 8 Solução. As bases do cone e do cilindro coincidem e possuem o mesmo raio
“r”. A altura de um dos cones vale a metade da altura do cilindro. Logo,
.. 6 .. 6
6 ..
..
6 ..
3 )2/
.(.
..
2 2 2 2 2
2 2
hr hr hr hr V
hr V h
V r
hr V
cone cilindro cone
cilindro
.
4) Calcule o volume de um cone reto, sabendo que sua superfície lateral planificada é um setor circular de raio e ângulo central respectivamente medindo 24 cm e 45º.
a) 27 5 cm3 b) 27 7 cm3 x c) 25 7 cm3 d) 27 cm3
Solução. O comprimento do arco no setor circular é calculado pela fórmula sg.rad . Esta medida de
“s” será o comprimento do cone. Temos:
27 7
3 79 3.
79 567 3 24
3 6.
2
4 6 ).24(
º45 4 .
2 2
2
h V r r
rad s gs rad
5. Calcule a área da superfície lateral e a capacidade de um cone de revolução de altura 9 cm, sabendo que sua área lateral vale o dobro da área da sua base.
a) 50 cm2 e 80 cm3 b) 54 cm2 e 80 cm3 c) 52 cm2 e 81 cm3 d)
3 2 81
54 cm e cm x
Solução. O cone de revolução é gerado pela rotação do triângulo retângulo em torno de um eixo.
Utilizando as informações temos:
3 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3 .81 9.3 3.
3 ..
.54 36.
33.
..
2 33 36 2
36 3 108
324 9 2
2 0 0) 2(
0 2 ..2 . ..
..
hr cm V
cm gr
A r g
g g g
g
r g
el incompatív r
gr r rg r r r gr
A gr A
l b
l
6. Dois sólidos de formatos cilíndricos têm bases de mesmo raio R. De um deles, foi extraída uma parte cônica, que foi colada no outro, conforme mostra a figura abaixo. Aos dois sólidos resultantes, de mesma altura H, chamaremos de S1 e S2. Se V(S1) e V(S2) denotam, respectivamente, os volumes de S1 e S2, pode-se afirmar que:
a) V(S1) > V(S2) x
b) V(S1) + V(S2) = 2πR2 H c) V(S1) < V(S2)
d) V(S1) + V(S2) = 7πR2H/3
Solução. O sólido S1 possui volume igual ao volume do cilindro original de altura H subtraído do cone de altura (H - h). O sólido S2 possui volume igual à soma do cilindro de altura “h” com o cone de altura (H – h). As bases possuem o mesmo raio. Calculando e comparando esses volumes, temos:
) ( ) ( :
. 2
2 2
3 2 ) 2 ( . 3
) 2 ( ) .
. 2
2 2
3 2 ) 2 ( . 3
) 2 ( ) .
. 2
2 2
3 2 ) 2 ( . 3
) 2 ( ) .
3 ) 2 ( . 3
. . . . 2 3
. . . . . . 3 3
) .(
. . . ) (
3 ) 2 ( . 3
. . . . 2 3
. . . . . . 3 3
) .(
. . . ) (
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
1
S V S V Logo
ok h H h h H H H
h h H H
h r h
H iii r
absurdo h
H h h H H H
h h H H
h r h
H ii r
absurdo h
H h h H H H
h h H H
h r h
H i r
H h r H r h r h
r H r h r h
H h r
r S
V
h H r h r H r h
r H r H r h
H H r
r S
V
7. Seja g a geratriz de um cone circular reto inscrito num cilindro circular reto de mesma área lateral, base e altura. O volume V desse cone é:
a) V = g3 / 24 b) V = g3 / 8 x c) V = g3 / 12 d) V = 2g3 / 3 e) V = 3g3 / 2 Solução. As áreas laterais do cone e do cilindro são as mesmas.
8 . )2)(4 )(3(
))(
3(
3 2/.
23 . 3
..
2 3 4 4 4 ..2 2
..2 ..
..
3 2 2
2
2 2 2 2
2 2
g g g g hr g
V
g g g g g
h g g r h hr hr gr
A gr A
cilindro l
cone l
8. Construa um copo de papel! Recorte um círculo de papel de diâmetro igual a 12 cm. Divida-o em três partes iguais e cole cada parte, conforme indicado na figura. Pronto! Você fez três
copos de papel!
Qual das ilustrações a seguir melhor representa as dimensões dos copos construídos seguindo as instruções acima?
Solução. A operação descrita para cada copo é representada na figura. O comprimento de arco do setor será o perímetro da base do cone e o raio do setor será a geratriz.
Calculando o raio do cone, temos:
cmr cmg r
r rad s gs rad
2 6 3
4.2
3 4 ).6( 2 3 º120 2 .
9. O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
a) 9 e 8 b) 8 e 6 x c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e 8
Solução. Utilizando as fórmulas conhecidas relacionando raio, geratriz e altura do cone, temos:
h m r
m h
h h h h
h V r h h h
h r g h
el incompatív h
g h
h h g h
h h h
h g h
h gh g
h h gh g g h h
gh g g
h gh r g
h r g
h r g
3 8 )6(
4 3 4 6
6 )8 )(
27 16 (
) 128 )(
27 ( 27
128 16 3
4. 3 3 128
. 3
4 6 8 2 5 3
3 5
6 0 8 2
3 5 6
8 2 6
64 2 )3(
2
) 5 )(3 (4 2 0 2
5 2 3
0 4 2
4 4 2 4
2 2
3 3 3 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
10. A base de um cone equilátero foi pintada com 10 latas de tinta, cada uma contendo 1,8 litros de tinta.
Nessas condições, para pintar a área lateral desse cone a quantidade de tinta necessária, em litros, é igual a:
a) 18 b) 27 c) 30 d) 36 x e) 40
Solução. No cone eqüilátero a geratriz mede o dobro do raio. A área lateral do cone será:
b
l rg r r r A
A . . . .(2 )2(. 2)2.
Isto é, se foram gastos (10)(1,8 litros) = 18 litros de tinta para pintar a base e a área lateral vale o dobro então serão gastos 2.(18 litros) = 36 litros de tinta.
11. Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento R 2 e lado AB de comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a:
a) 3
2 R
b) R3 c) R3 3
4 x d) 2R3 e) 3R3
Solução. O sólido gerado é a parte cinza de um cilindro com raio da base equivalente a altura do triângulo e altura equivalente à medida da base do triângulo. O volume pedido será a diferença entre o volume do cilindro e dos dois cones formados.
3 R . 4 3
R . 2 R . 6 3
R . R 2
. 2 V
3 R . 2 3
R 2 . 3
H . 2 r.
V . 2
R . 2 ) R 2 .(
R . H . r.
V
R R R 2 R
2 R h
3 3
3 3
3 sólido
3 3
2 cone
3 2
2 cilindro
2 2 2 2
12. Em uma mineração, com o uso de esteira rolante, é formado um monte cônico de minério, cuja razão entre o raio da base e a altura se mantém constante. Se a altura do monte for aumentada em 30%, então, o aumento de volume do minério ficará mais próximo de:
a) 60% b) 150% c) 90% 120% x
Solução. Considerando “r” o raio da base e “h” a altura do monte cônico as relações pedidas serão:
% 120 20 ,1 197 ,1 3
. .
3 . 1 .
197 ,2
3 . .
3 . . 3
) 3, 1 ( ) . 3, 1 (
3 . .
3 . . 3
. .
3, 3, 1
1 3,
1 3, 0 3
. .
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1 1
2 1
1 2 1
1 2 1 2
2 2
1 1 2
1 2
1 1 1 2
1 2 1 1
2 2
2 1 1 1 1
1 2 1 1
h r
h r h
r
h r h
r h
r
h r h
r V
V Aumento V
r h r
r h r h k
r h h
k r h r h k r h k r
h V r
13. Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 da altura do cone, a razão entre o volume do prisma e o volume do cone é:
a) 2 x b) 3/2 c) 3 d) 5/2
Solução. Aplicando as fórmulas dos volumes de prisma e cone com as relações informadas, temos:
. 2 . 3 3
.2 3
. 3 .2
3 .2 3 . 2 3
2 :Pr
3 . 3 : .
hB hB hB
hB V V AV hBh
BA altura h isma
V hBhA BA
haltura Cone
cone prisma
b prisma base
b cone base
14. Um vasilhame em forma de cone, com vértice voltado para baixo e altura igual a h u.c., encontra-se cheio de dois líquidos imiscíveis, p e q, de modo que o líquido p ocupa a parte de baixo do vasilhame, e o líquido q, a parte de cima. Se o volume do líquido q é igual a 7/8 do volume do vasilhame, então a altura alcançada pelo líquido p, em u.c.,é igual a: (u.c. significa “unidades de comprimento”)
a) 1 7 2 b) h/8 c) h/2 x d) 2h/3 e) 1h 3 2 Solução. A razão entre volumes são proporcionais aos cubos das medidas
unidimensionais. Comparando os volumes do cone completo com o cone contendo o líquido “p”, temos:
2 2 1 8 8 1
8 8 7
3 3 3
3 h
h x x h x V V h x V V V V
V V
p
p
q
15. (UFRGS) Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela interseção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua superfície lateral, será obtido um setor circular cujo ângulo central tem medida x. Então:
a) x180º b) 180º x200º c) 200º x220º d) 220ºx240º e) x240ºx Solução. O comprimento “s” do arco do setor vale o perímetro da base do
cone. Calculando a geratriz e este comprimento de raio, temos:
180 .º 2 254 º
º º 2 º 180
.
2 2 2 2 2 .2
.2 .
.2
2 2
22 2
x x rad rad
r r x r r x r g
x s
r s
r r r r g
rad rad
rad
16. Uma mistura de leite batido com sorvete é servida em um copo, como na figura. Se na parte superior do copo há uma camada de espuma de 4cm de altura, então a porcentagem do volume do copo
ocupada pela espuma está melhor aproximada na alternativa:
a) 65% b) 60% c) 50% x d) 45% e) 70%
Solução. A altura do copo sem a espuma corresponde a 20 – 4 = 16cm. Considerando V o volume total e V’ o volume sem a espuma, expressa-se a razão entre os volume e os cubos das alturas.
V V
V V
V V V
V V V
V V
V V V
V V
espuma total baixo
% 50 488 ,0 512 ,0 '
512 ,0 ' )8,0 ' ( 5
4 20 16 20 16
' ' 3 3 3
3 3
17. (FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:
a) 144° b) 192° c) 240° d) 288° x e) 336°
Solução. A geratriz do cone será g 32 42 255. O perímetro da base vale o comprimento do raio
do setor. Logo, temos:
180 .º 6,1 288 º
º º 6,1 º 180
.
5 6,1 )4(
. 2 . . 2 . 2
x x
rad rad
g g r
s r s
rad rad
rad
.
18) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo =3, se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é:
a) 81/2 b) 27/2 c) 9/4 d) 27/4 x e) 81/4 Solução. A base é um quadrado e o raio do círculo inscrito vale a
metade da aresta do cubo. A altura do cone é equivalente a aresta do cubo. Utilizando as fórmulas correspondentes, temos:
