INVARIANÇA, CONJUNTOS LIMITES E ESTABILIDADE EM SISTEMAS SEMI-DINÂMICOS GERADOS POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS FUNCIONAIS RETARDADAS AUTÔNOMAS

Texto

(1))). NGTITUIO. DE. GNCIAS MATEMÁTICAS. 1L.C.M.S.C.. INVARIANÇA, EM. |. SISTEMAS. EQUAÇÕES. LIMITES. CONJUNTOS. SEMI-DINAÂMICOS. DIFERENCIAIS. E. SÃO. e 6. c ESTABILIDADE. GERADOS. FUNCIONAIS. DE. POR. RETARDADAS. AUTÔNOMAS. Rosa Lucia Sverzut Baroni. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO SÃO CARLOS. —-. SÃO PAULO. BRASIL. j. x á.

(2) UNIVERSIDADE DE &. —. INSTITUTO. DE. CIÊNCIAS. SÃO. PAULO. MATEMÁTICAS. DE. SÃO. CARLOS. G. INVARIANÇA, EM. CONJUNTOS. SISTEMAS. EQUAÇÕES. LIMITES. SEMI-DINÂMICOS. DIFERENCIAIS. E. ESTABILIDADE. GERADOS. FUNCIONAIS. POR. RETARDADAS. AUTÔNOMAS. Rosa Lucia Sverzut Baroni. "Oriêntador:Prof.Dr.Josêe Geraldo. Dos. Reis. apresentada ao Instituto de Ciências Matêématicas de São Carlos, da Universidade de São Paulo, para obtenção do título Tesê. de Doutor em. Ciências (Matematica). Departamento de Matemática São Carlos 198%.

(3) hos meus. Carlos Eduardo. filhos e. Luis Felipe.

(4) AGRADECIMENTOS. Prof. Dr. Jose Geraldo Dos Reis pela orienta ção segura e confiança em nos depositada, fatores que contribuiram muito para que este trabalho se realizasse. Ao Prof. Dr. Antonio Fernandes Ize pélo apoio Ao. e. atenção que sempre nos dispensou desde. ciais. no. criticas. I.C.M.S.C.. ho Prof. Dr. Waldyr Muniz Oliva pelas colegas. I.C.M.S.C.. do. Matemática da Faculdade de. A. Departamento de. Filosofia, Ciências e. e. Letras. incentivo. secretaria de Pos-Gra com pela dedicação e solicitude. Sonia, Beth. duação do I.C.M.S.C. me. e. Laura da. atenderam.. Nossos agradecimentos. tambem. indiretamente colaboraram para. trabalho.. valiosas. dificeis.. nos momentos. ou. e do. Ribeirão Preto pela amizade, compreensão. que sempre. ini. oportunas sugestoes apresentadas.. e. Aos. de. os momentos. a. aqueles que. realização. direta des te.

(5) SUMMARY. This work is devoted to the study of Dynamical Systems. defined In. Autonomous Retarded. by. general,. then,. we. we. Functional Differential Equations.. don't have backward continuation of solutions. must work with Semy-Dynamical Systems.. There is an extensive. literature. on. Semy-Dynamical. usually, it is supposed that the phase space is of finite dimension or, at least, locally compact, wich it is not. Systems but,. the case here, because. we. work with an. infinite dimensional. space.. try to present all the concepts of the cbassical theory of Dynamical Systems like, for instance, trajectories, invariant sets, critical and periodic points, limit sets , recursiveness, dispersiveness, attraction and stability of sets. We also prove a theorem about existence of periodic solution for equations in Rº that lives S* invariant. We.

(6) [NDI. CE. Página. Introdução Notações Cap.. |.. O. e. ec. o. e. oe oeooeoeoasaoseoooeoooo. ooooeoooeo. oo. eoo oo oo oo ooo. eeoeoes. 1. aoaoososo. 3. ........ 5. e e[eoeoeeoseoeoeoseee ooo eos eo os saoos oosóoooeooosoocooscoo Sistemas. Dinâmicos gerados por Equações. Semi. Diferenciais Funcionais Retardadas. AutOonomas. l. Sistemas Dinâmicos .eccccrocceececececoceceaececo. 2. Pontos de Equilíbrio, Pontos Periodicos Invariança ..c.ccecocoeroere. e. existência. 3. Teorema sobre. de. cacos. caeecocececeos. 5. 1). soluções periódicas +,. não. triviais. (O. em. Cap.ll. Conjuntos Limites. e. AA. ([-r,0],S!) .icicicccc. Conjuntos Minimais. cc. aa.... 26 1:. l. Conjuntos Limites ..c.ecocsceocecececocecececececoereo. 35. 2. Conceitos Recursivos ..cceserdcoceacecceececesececes. 51. 3. Conjuntos Minimais bh,. ..cecoerecececrecoecosceececaceroe. 57. Conceitos Dispersivos. Cap.tlIl. Teoria. de. ..vcccececerceeocececeevase0.... Estabi lidade ..ccocecorooeeerececerreceseer!. l. Atratores. *. .............. ."..... .................. ooo eae ocooeseeoeoeoooseoeo. e.... 2. Estabi li dade. 3. Estabi lidade Relativa ..cccecece. Bibliografia. e. caco.. Te oe. oco. oosoecoeoe. seco. 66. 7) 71. 85. 9h. ocecacocac eae ecrocececcecececreceececeaeeecece. 10h.

(7) INTRODUÇÃO. "Até fins do século 19,. ciais esteve e. a. soluções.... estudo das Equações Diferen-. mais voltado para as resoluções de. foi por volta de 1875,. meçaram. o. com. Peano, Lipschitz. e. certas equações Picard,. aparecer trabalhos provando existencia Ao. mesmo. tempo, Poincarê. e. e. Lyapunov começaram. com um. Muitos avanços. litativa [5] um. e. das Equações. Nemytskii. e. Stepanov. desenvolvimento maior. na. [12]. teoria. e os. à. de de. de. se. solu fase. feitos. na. teoria qua. trabalhos. de. Birkhoff. importantes foram. Diferenciais. co. unicidade. outro aspecto, assumindo a existência ções e explorando as propriedades topologicas do espaço para se determinar o comportamento das soluções. preocupar. que. serviram de referência dos Sistemas. para. Dinâmicos(S.D.).. principais motivações para o estudo dos S.D. é que êles descrevem completamente uma certa classe de Equações os Diferenciais e nossa particular preocupação foi explorar S.D. gerados por Equaçoes Diferenciais Funcionais Retardadas Au tônomas (E.D.F.R.A.). Em geral, para este tipo de equações dife renciais, não temos extensão à esquerda das soluções e trabalha mos entao com os Sistemas Semi Dinâmicos (S.S.D.). Embora ja exista uma teoria para S.S.D., em toda lite ratura por nós consultada, em geral se admite dimensão finita ou compacidade local do espaço de fase, o que não ocorre no nos “Uma. das. caso, pois, sempre trabalharemos em Cy" Por outro lado, o fato da aplicação solução nº compacta em alguns casos, nos permite conclusões que podem válidas para S.S.D. em geral. so. ser não. ser. Varios resultados foram conseguidos fazendo-se, certas.

(8) mudanças e algumas adaptações. ções,. foram necessárias. em. certas defini. conjunto relativamente denso. como por exemplo na de. e. movi. recorrentes.. mentos. primeiro capítulo introduzimos os S.S.D. gerados por E.D.F.R.A. e apresentamos alguns conceitos básicos, como por exemplo os de trajetoria, ponto de equilibrio, ponto periódico e No. invariança. Neste capítulo ainda demonstramos. existêncio onde S'(a) fixos. em. =. soluções periódicas não triviais. (x-e:R| |lx|l= a), utilizando. cones.. obtivemos de. de. no. ÊÉste é um dos. a. um. teorema. sobre. C([-r,0o],S'(a)) teoria de pontos em. resultados mais importantes. que. nosso trabalho pois, embora existam vários exemplos. S.S.D. gerados por E.D.F.R.A. para. variantes, isto todavia soluções periódicas. em. não. implica,. C([-r,o],. os em. são in quais as esferas ,. geral, a existência. de. RO).. Capítulo |l e dedicado aos conjuntos limites e min aos conceitos recursivos e dispersivos. Os conjuntos tim O. mais. e. são limite prolongacional) conjuntos de grande interesse, podendo ser usados, por exemplo, na caracterização de certos conceitos recursivos, conjuntos mi nimais e estabi lidade. A desenvolvida teoria de atração e estabi li dade esta no Capítulo Il! e introduzimos os conceitos de atração de uma maneira diferente, porém equivalente à teoria clâssica e à con tes. (Omega. limite, prolongamento. e. veniência maior desta colocação foi a obtenção de resultados que comgeralmente estão provados apenas para espaços localmente pactos,. Finalmente devemos ressaltar que o estudo realizado nes te trabalho é valido para S.S.D. que, embora não gerados por E,D.F.R.A., tenham propriedades semelhantes a êéstes..

(9) NOTAÇÕES. Durante todo. texto serão seguidas as seguintes. o. nota. ções:. IN. =. dos numeros conjunto J. naturais.. R. =. conjunto dos números. reais.. =. = ; nao negativos. conjunto dos numeros reais. =. conjunto dos numeros reais não positivos.. =. n-esfera. =. n-bola. R. +. R S. n. E. :. :. d(M,0). =. d(M,N). =. le-vil. inf. (Cl. inf. ([a(M,09)]. vem). |. gen). =. fechodo conjunto. =. interior. DA. =. fronteira. Ga. =. complementar do conjunto. A o. A. do do. A. conjunto conjunto. vizinhança de raio Dizemos que A vizinhança tal que McUcA.. S(M,e€). =. &é. U. ' |. A. A. A. conjunto. E. do. do. conjunto. M. M.. se. existe: aberto.

(10) CAPÍTULO. DINÂMICOS. SISTEMAS. SEMI. EQUAÇÕES. DIFERENCIAIS. RETARDADAS. 1.. Seja. uma. l.l:. T(x,0). (b). Tmín(x,t. FUNCIONAIS. AUTONOMAS. par. O. espaço topológico.. um. «XX. 1. ),t. em. Sistema Dinâmico (S.D.) sem. um. x R com. X. Vxex (axioma. x,. =. é. (X,m). aplicação definida. (a). POR. GERADOS. DINÂMICOS. SISTEMAS. Definição. |. 2. ). =. em. e que. X. satisfaz:. identidade). da. m(x,t +t 2 ),. valores. e. WVxex. tt,. ;. 1. t 2 ER (axioma. 1. |. de. grupo). (c). O. contínua (axioma. é. nT. espaço. X. eée. continuidade).. da. Quando trabalhamos. então. Sistema. um. vimento é. específico para t Se. T(M,T). =. MCX. (mn(x,t)|] As. e. >. e. a. mT. ou. aplicação invés. ao. R. (S.S.D.). Assim,. Dinâmico. Semi. R*. em. essencialmente trocando. do S.D.. fase. chamado espaço de. O. por Rº. R. ou. t. <<. ou. Rº. de. de R, temos. S.S.D.. o ;. E. fase.. Oo. difere. desenvol-. O.. TcR, indicamos por. xeM. e. teT).. propriedades seguintes. são de. fácil] demonstração..

(11) Propriedades: (a). (UM,. (b). m(NM,,. t)C Nm(M,,t);. i. (c). T(M-N,t). teR. S.D.. CR,. teR.. ;. ni. M,NOX. ;. teR.. tal. oxoXx. 7º (x)=. que. nx, t). transição. de. R+ (através. aplicação. a. ;. determina duas outras aplicações:. aplicação. a. fixo,. é. xeX. M;eX;T. ;. M;CX. n(N,t). -. (X,mT). aplicação. é chamada. se. > n(M,t). fixo,. é. T). j. Um. se. Too. =. UT). ,. Tm1:. x. X. tal que de x). :. Tt,. (t)=n(x,t). aplicação movimento Uma vez que e contínua, as aplicações de transição movimento são contínuas e um resultado imediato é o seguinte:. e chamada. TM. e. Teorema 1.1:. ím(x,t) Prova:. |. a. Ts O. cionais ções:. «tá b). xeX. é compacto e. CR. Então. intervalo. conjunto. conexo.. conjunto acima. O. o. f[a,b]. imagem, pela. é a. que é compacto e conexo.. trabalhar Dinâmicos gerados por Equações Diferenciais. nosso. Semi com. do. [a,bD]. e. Basta observar que. aplicação. Sistemas. Sejam. objetivo,. Retardamento. e. a. partir. de. agora,. ê. Autónomas. Passemos então às. com. Fun-. defini-.

(12) Sejam. c,. =. onde. tgecí[-r,0]. |.|. R”. em. ,. <. Rº). |. coma norma [|6&||. sempre indicar por. Para cada t. x(t+0). A. d. métrica. a. >0. e. x: [-r,A) > Rº. fi:. Uma. Ch,. >?. O. <t. e. definida. Cc,. x(t). =. a. +. RO. por. R". Definimos por Equação Diferencial equação. à. +. f(x).. função x: [-r,A). (1.1) se existir. em. -reoso). [-r,0]. x,. aplicação. a. Funcional Retardada Autonoma (E.D.F.R.A) (1.1). |. função contínua.. uma. -r<O< O.. ,. Seja. supíle(0)|. =. .. [0,A), definimos. e. aplicações contínuas. de Banach das. Vamos. [1. < &,. H. [lol] <n). norma usual do R”.. Sejam. =. ,. 0<. e. om. uma. denota. pela norma. x, (0). «r. C([-r,0] R)ãêão espaço. [-r,o]. de. 0. > R",. derivada de xem. contínua, [0,A). e. é uma. solução. x(t)=f(x,). de. para. <A. Vamos. agora formular. o. de. acima.. problema da função. inicial. Pa. ra as E.D.F.R.A. Sejam. Cy. e f como. x(t). =. O. problema. f(x.). (1.2). consiste em determinar uma função x, contínua em Í[-r,A) e ferenciável em [0,A), satisfazendo as seguintes condições:. di.

(13) x,. EC,. =. x,. 5;. tal. Uma e. função. x(t,d). .;. Vamos. f(x.). =. €. [0,A). solução de (1.2). e chamada. x. t. para. em. [-r,A). seguintes notaçõoes para indicar esta solução:. podemos usar as. x(t,0,0). x(t). e. x, (0,9). ;. x, (9).. ;. seja uma função contínua, que conjuntos limitados e também que sem f. sempre supor que. leva conjuntos limitados. em. pre vale alguma condição de unicidade relativamente ao problema da. inicial, isto e,. função. x(t). se. e. y(t) são duas soluções defi-. intervalo comum [-r,6), 0<ó<m , com x o então x(t) = y(t) , vte [-r,5), Em particular, tudo isto , tido se f satisfaz uma condição de Lipschitz. nidas. algum. em. =yX o. é. ,. garan-. Admitiremos também que as soluções existam para t + &., Em [13] são dadas algumas condiçoes para as quais as soluções são definidas no futuro. Uma. E.D.F.R.A., sob as condições acima. unicidade. relação às condiçoes iniciais, gera. tinuidade. e. S.S.D.. seguinte forma:. da. Tomamos. seja,. =. X. mT(g,t). são. à. CX. R*t. solução que. é a. Devemos. em. nm:. e. C,. tenha con-. e que. trabalhar. >. Cc,. tal que. na origem. em R*. pois,. vale em. TÍ6b,t). =. um. x, (6),. ou. 4d. geral,. não temos. exten. esquerda das soluções.. [3],. Em. pg.. lhes que (CyT) define A. didade,. partir. vamos. nos. de. um. 13.4,. é. mostrado. com. deta. S.S.D. espaço de fase serã Cy e, por ao S.S.D. (CyoT) simplesmente por. agora,. referir. teor.. I4h4,. o. como TT..

(14) Assim,. T. sempre indicará Devemos. R$, as. em. observar. definições. S.S.D. gerado por. um. também. que,. uma. trabalharemos sempre. como. trajetória, invariança,. de. E.D.F.R.A. de equi. ponto. lfí-. brio, ponto periíodico, conjuntos limites, conceitos recursivos e estabilidade serão colocadas apenas para t > O, embora na teoria geral de S.D. sejam dadas para teR. Um dos conceitos mais elementares é o seguinte: Definição 1.2: Seja. trajetória. chamado. $eC,. de. 4. Notemos que. conjunto. O. (ím(6,t)] t. Yvíd)=. >. 0). &é. .. 7Y(d). = tm,. (R*) e. portanto. conjunto co. é um. nexo. Os. 1.1. lemas. 1.2. ;. sultados que não valem,. e. 1.3. que daremos.. geral, para S.S.D.. em. a. seguir, são re. que não sejam. gera. dos por E.D.F.R.A.. TF, r, Lema. t. 1.1: Seja. T(V,[r,=)) Prova:. é. leva. em. Cy 1. e. 1. da. equação. Então. voe o. v. e. conjunto. então conjunto limitado do R” , funções limitadas com derivadas limi. um. conjunto de portanto é equicontínuo &E. ||m(6,t)]|leH <H,. relativamente compacto.. Como f. T(V,[r,%=)). tadas cada. que. retardamento. r é o. onde. >. tal. VeC,. um. ee[-r,0]. em. [-r,0]. .. Além. disso,. t>r). para. é limiconjunto fTm(6,t)(0)|] dev, tado em R' e portanto relativamente compacto. Logo, pelo Teorema de Arzelãá-Áscoli, o conjunto T(V, [r,=)) é relativamente compac. to.. ;. o.

(15) 10". 1.2:. Lema. Então. dec, tal. Seja. trajetória. a. de. VtzO.. H <H,. <«. conjunto relativamente compacto.. um. &e. À. |Iní(d,t) |]. que. x. Prova:. escrever. Podemos. y(6) =(n(6d,t) Pelo teorema. |. 1.1. é. B. ,. Utn(d,t) |t. t <r). <. 0. compacto. e. ti vamente compacto, bastando tomar é relativamente compacto. Lema. 1.3:. Seja. Ch". Então. VIE. o. Prova: Seja VC tn (V) = (n(d,t)] T. t. .-. Lema. dos. 1.4:. e um. limitado. Pelo. Cc,. |. =. y(g). l<n. <. H,. operador compacto. t. 1.1,-conjunto. lema. relativamente compacto. é. E V). seguinte. lema. em. c,-. Logo. V. de M,. V, Vt>T.. que para toda E. V,. utilizado, principalmente. muito. MCC, compacto e. Sejam. Prova: Basta usar paço de Hausdorff. tal. e. na. atratores.. vizinhança. tTígt,t)Ee. um. suponhamos que |HNn(g,t). nº. operador. dg. e. rela-. e. (d).Logo BUB,. =. V. 1.1, B,. lema. compacto.. e. teoria. x,. fixo. pelo. B USB,. =. :. O. da. >r. t. r). >. Vn>n,. o e. existe. T. Então. Y(6d). =. $d. E. T(6Q,V)>. tais que, para ca. Cy. tal. O. que. UM é compacto.. seguinte resultado topologico:Sejam M. €. X. compacto.Se. uma. sequência (x n JC. vizinhança V de M, existe então toda subsequência. ponto de acumulação. em M.. X. n. x,. o. E. N. tal. ). de. Cx). um. es. x. é. que tem.

(16) "1. 2.. PONTOS. EQUILÍBRIO;. DE. primeiramente apresentar. Vamos. vara. definição. à. Teorema. 2.1:. eum. >. %. Prova:. O. pontos. Se. à e. tais. que. equilíbrio. de. pontos periódicos.. e. >. 0. ,. A,=. (se. G,=. (s -reRkRl. n(6,t,). =. definimos. Rº| nígo,t). =. T(d,t. re. s,. os +. le-. teorema que nos. Cu então existemum subgrupo aditivo. T(6,t). t. um. INVARIANÇA.. E. se. e. 6. C. ER. somente se. conjuntos. s)). A,). ;. facil mostrar que:. É. (i) ss,» 5s,€. (ii). (iii). s. e um G. 3;. s,. +. E. A. =. >5S. s. -. s. s, EA. N.. Mostremos. t. de R.. subgrupo. NR,. ou. seja,. e,lise A,. Assim, SE. De. A.. s. fechado. A, e. (v) A,=. ne. =>. A. »5s,€. (iv) 6,. agora que se t. A,. t. é. O. esese(G,, <. Oem. Re. de G, em R*.. traço. então n.s. lol,. GG,”. G,, para todo. E. então. G, = Gy.. fato:. set, = 3. de. Para cada. e. PERIÓDICOS. PONTOS. Isle. mím(g,t), O-t). “=>sec6k&. o”. logo. A, =. 6.. = n(o,t). =. mímlo,t. |s|),. t C 6.... +. n(g,t+|s|)— n(6,0)= T(6,t O-t). =. níg,0. +. +. (O-t)). |s|)->|sle. AGA.

(17) 12. Por outro lado, e. ê 6, , existe portanto o €. e. como. o. ns. 6,. como. (0). *=. existe. ,. s >. neN suficientemente G. G. Cc. o. .. t+ns. então. t+. Assim,. G6,.. tal. grande. T(d,. Logo. em. O. que. n(6,. ns) =. ,. t. <. O. se. t+. ns,. +. ns. +jo|),. C G,. 6. => O € 6, => Finalmente, diante destes resultados, podemos concluir. E.. e€E. ,. ns +g0 €. a ocorrer duas situações: ou 6, = (0) e neste caso = (e então colocamos = (0) e aplicação para > e um subgrupo aditivo fesatisfazer o teorema), ou existem. que podem. &. T,. 1. 1. O. 2%. chado. Agora. ese togo mando s. G. de. taís. (RR. que. T(6,t) = nT(d, o limite para. t<. (0). para. 0. €. G. para. t. >». basta mostrarmos que para t = s E G., então s € G,, V t>. t+ |s|l),V t+ 2,, temos. O. X*). G&. À. 6,. ,. Temos que. = (6,. 6,. cc. 6. ,. A.. t>2.. T(6,2). Ccomomtr =. mn(g,. é à +. contínua, to-. |s|). então. e. E 6,. O. teorema que acabamos de demonstrar nos leva às seguin-. tes definiçoes: Definição 2.1]: Segundo as notações. anterior, seja. do teorema. Hº. (a). G. =. fo),. Se à. =. 0. Se. Y(d). chamada. e. trajetória. não auto. intercepta. vel. (b) com. e. G. é. cíclico,. Y(d) é chamada. trajetória periódica. . r período primitivo. .º. (c). Se. À=0. (d). Se. 24. >?0. *. eGs=iR eG. eé. ,. de. cíclico,. chamado ponto Y(d). é. crítico.. dita ser levada. à. um. ciclo..

(18) 13. (e). )4>0 eG=. Se. R,. crítico. Tendo. em. vista as definições acima. teorema seguinte que. teoria.. da. dita ser levada. e. YyY(d). Devemos. ponto. a un. enunciar. podemos. bastante importante no desenvolvimento obtidos observar também que os resultados é. neste teorema são próprios para os S.S.D., não valendo para S.D. em geral. (vide [12], teorema 2.09, pg. 331). Teorema. 2.2:. (a). v(d). (b). Se. e não. y(d). (b). dec "oe. Seja. é. Yv(d). os. Então. auto interceptável auto. o. e. Y(d). se. y(6). não é compacto.. interceptâvel, então 1. e homeomorfo a. S. ;. periódico. é. com. período primitivo.. (b). Yv(6). MO.. (b). vy(d). e. do à. um. vy(d). é. ponto. crítico.. (b). e. homeomorfo. à. a. sobre. &. do. e. ponto. crítico.. seis se v(6). e. leva. a. um. ciclo. homeomorfo. fatorização canônica Y(d).. se. figura. a. E. Primeiramente consideremos. Prova: memos. homeomorfo a (À). da. se. 7Yv(g6). aplicação. víg). é. levado. auto interceptâável.To T,. ,. que e. contínua.

(19) Rí/v relação. A. t. v. te “. g. +. respectiva classe. fica determinada. gof. =. To. Todas as. so,. g. e. l-. ê. G. e é. s. de. Se. +. y(d). t.v 5 A. levado. &. crítico,. tre si. Assim, ;. levado. é. à. ET(9;t)R'/v =. e. *. portanto. ou g. e. sobre. dis-. e além. R. +. /v. E. -. e. figura um. então. à =. então. a. ponto. um. 0. e. &. G. do. +. si,. 0. e. =R,. G. portanto to-. e. Assim RT/v. ê. > 0 ciclo, então n(0,s)>&==t --s EG, t-> &. À. homeomorfo. crítico,. então. à. à. figura. >. 0. t-seR, t>*. T(6,sS) E&=. homeomorfo. à =. um. Assim. .. - que Provamos entao. ,. sobre,. comutatividade,. a. Eet-seR. todos os elementos maiores ou iguais. (e). e. e como Ta. R' são equivalentes entre. T, t >. n. ponto. =n17(0,5). vs Ee> T(d,t). Logo t. cada. nt(o,t)= n(6,5)E>t-sei& para algum nehNe algum T > 0. Assim Ri /o. Se. .. Logo. y(d). Se. .. de. (9). a. =t. .. trajetória periódica,. é&e=— nT1(o6,t). ciclico.. seis.. Sº. a. elementos. homeomorfo. .. aplicações são contínuas é. s=t+nT,. dos os. equivalencia. vse—. Logo t. tvs. é. definida por a aplicação que leva. único impondo. de modo. r+y(d). homeomorfo. logo. &é. 1.. Se. e=>. de. s. na. cíclico.. R*. em. n17(d,t)=nt7T(o,s). f. &e—m. s R. equivalência. de. a. A. e ,. G. ou. e A. do =. R.. seja,. estão relacionados en-. 1. a. E. .. /n e- de fato um dos espaços sº , seis, e em particular, ele E compacto RR. homeomorfismo.. '. Como. os espaços acima sao mutua.

(20) 15. mente .não homeomorfos, Suponhamos. temos provado. agora que. ro. Então ? terceptável, t, *%, tal que tríg,t. ponto. Pela em. de. ]-. &. Tt,. seja compacto. eexiste :. |. )). o. não auto in. e. (t JCR +. sequência. converge necessáriamente para algum T(0,t). seja, existe t >0 que T($,t,) XY. 7Y(0), ou. —. razao, existe subsequência convergente de [m(g,t -t-1)) Y(d), isto é, existe s > tal que Td, t,- t- 1)> ní(6,s). mesma. O. T($,t,) = Tím(d,t, Tíd,t,) > mím(o,s), t+ limité, T(d,s. s+ t+. t. +. 1=t. 1). +. oque. terceptavel, então Vamos um. +. -. 1). =. nm(g,s. Exemplo. 2.1:. Seja. é. EC. =. |. um. exemplo de. =. |. Ô. é. 1. então. - 1,. Yy(6). não auto in. e. a. trajetória. que. detalhes, ver [9], pg.. (a). E. levada. 60.. equação. -x(t-1) [1-x2(+t)] -ê. solução. ([-1,0],. da equação. (2.1). disso,. além. e. $(0). que. =. RR”),. 1. Então. x(0,0)(t). portanto, para tais condições iniciais x, (0,9). nm,. do. então existe uma única equação (2.1) que depende continuamente de. (&QeCs=Cc. tal. como. unicidade. não é compacto e temos provado. Para maiores. X(t). x(0,49) da. lução. e. t+ 1), então + t+ 1). Pela. absurdo. Logo, se. é um. apresentar. t, x(t) =. se tomarmos. T(0,t). Consideremos. (2.1) Para todo. =. 7v(d). crítico.. ponto. 1),. -. Como. a. 7Y(d). ítem (b).. o. para. t. >|.. dQe€C,. =. 1,. V. temos. t. >. que. O. sor Q$. .. e.

(21) 16. Definição 2.2: t. >. ria. Mc. invariante se. é. Cc,. para todo. T(M,t)CN.. 0,. Y(gd). riante, o. conjunto. Um. Um. exemplo. de. qualquer. que pode. trivial &$. de. € Cy". conjunto invariante é Um. ser encontrado. outro exemplo [9]. em. de. Seja. Sº. pg. 326, ex. 3.1. ;. 2.2:. f(x,y,2)eRº. =. Consideremos. em. x+y. +272=. 2. seguinte sistema. R? o. XxX. (2.2). |. =. -x(t. - 1). y=x(t-. =. x(t). 1) +. de. y(t) x(t). y(t). -. trajetó-. conjunto inva. seguinte:. Exemplo. a. 1), E.D.F.R.A.:. z(t) z(t). ,. ê.

(22) 7. (x(t), y(t), z(t)) é uma solução ver que xX + yy+z27=0, Vt>0. Se. yº(t) inicial. (t). x?. ção. concluir que. z?(t). +. +. tal. d é. invariante,. x,. (É) E. MW. 2.1:. (a). O. conjunto vazio. (b). A. reunião. e a. a. 4$(0). se. é. vt. valores. tem. S?. em. conjunto Cc([-1,0], e C([-1,0], S?), então. ,. SS?). o. >O.. invariantes.. são. e Cc. fácil]. &é. e. 0,6). [-1,0], Rº),. c([-1,0], S?),. Lema. 7. sistema (2.2),. isto implica que constante. Assim, se uma condi ES? , voe [-1,0] podemos. (x,y,z)(t;. C(. seja,. ou. ?. que. solução. a. Vt>0.Noespaço Ms. ". do. intersecção. de. conjuntos invariantes são. in-. variantes. existe o menor conjunto invariante contendo (chamado envoltória invariante de M) e existe o maior ( chamado núcleo invariante de M), subconjunto invariante de. (c). Para cada. MCC,. ,. M. M. (d). Se. Prova:. Os. invariante, então. é. M. Ítens (a) que a. M. F=faccy|. mentos da famídia. Observa-se que ce. a. (b) são de prova imediata.. envoltória invariante de é a reunião núcleo invariante de. facil verificar T(M, R*) e o. e. invariante.. também é. M. F. é não. ACM. vazia pois. Oo. e. A. é. M. de. No. ítem. é. o. (c),. eé. conjunto. todos os. ele. invariante).. conjunto vazio sempre perten. F.. (d) Sejam. dem. sequência. (6,!. et, ,>0. CM. fixados arbitrariamente. Então. tal que. $d,>*>d. e. pela continuidade. existe de. Tt,.

(23) 18. Td to.) tanto. o. T(6,t,). Tb, t,) E M.. Como. logo. Para os S.D.. E tanto,. em. invariante, Td to) é invariante.. é. M. M. geral, mostra-se. que. €. M,. Vn e. por. invariante teor. 1.5). No enM. é. invariante (vide [4] , pg. 13, casos para os S.S.D. isto já não ocorre, nem mesmo para simples de S.S.D. gerados por Equações Diferenciais Ordinárias pois definimos invariança apenas no sentido positivo, ou seja, pa ra. t. 2O, 2.3: Consideremos. Exemplo na. é. Gn. a. seguinte equação ordinâria definida. reta: (2.3). Então. T(x o ,t). variante quando. e no. =. x. x =. o. e. -t. =x ». j. t>0,. o. e R.. O. ; [o,x o ] ePoinconjunto. Tx. entanto seu complementar não é, pois. +,. t. Devemos. invariante,. observar. - podemos nao. também que. garantir o. a. para. os. invariança. “. *. S.S.D., se de. o. M. resultados importantes, provas por serem bastante fáceis.. Enunciaremos alguns. tiremos as. x. e. ,t) M. +. O,. for. OM.. porem omi-.

(24) 19. Teorema. 2.h8:. ponentes conexas. 2.5:. Teorema. Definição 2.4:. Lema d =. conjunto fechado. Um. $. =. V*. s. 2.2:. níd,nt). ,. Vn. ". uma. suas. de. com. É. C. M. 0 tal EC,. Cy. e. que vT(6,t). e um. €>. invariante. ponto. Ee. de. M,. VOS. pa. t<. equi lIíbrio se. o.. >. dec. Se. e >. elemento. Um. cada. propriedade.. tem à mesma. de IM, existe. ra todo. nT(6,t). invariante EW>. é. C Cy. M. oO. —. o. e. T(d,t). ?. e NM. e. º. para algum t. >. então. O,. . . ,. Algumas. caracterizações. de. ponto. de. equilíbrio. são. da. seguinte teorema:. das no. Teorema. 2.6: Seja. C,-. E. &d. As. seguintes proposições são equivalen. tes: (a). $. (b). (gd). =. (c). (6). =. e. a. (d). um. ponto. 1. (n(d,t). <b,. existe sequência d =. equilíbrio.. de. T(d,t),. |]. at tt.). 2. b). para algum. t >0,. para cada n.. t,?. 0,. par. tal. (a,b),. que. com. e..

(25) 20. Prova: (a) (a) (c) (d). (bh). e. imediato.. (c). &é. imediato.. (d). Tomamos. (a). Seja. &=-. > = =. t>. tt). existe sequência ra cada n e existe. kt Alem. A. sequência. continuidade. t). T(6,k,. CC. t, meN,m>n,. < <k. t. fixado arbitrariamente. Sabemos que (05%) , t, + O, ta) que é = Tíb,t) pa k. EN tal que 0. t < (k,. < É. disso, existe k. t.. t. (k. t<«. <. ». para cada. tal. e. + 1). t,. ;. É. (k,. ,. de. T(6d,k,. t). tT(b,t).. +. Logo. agora demonstrar que os conceitos ponto crítico são equivalentes.. 2.7:. Prova:. Se. Assim, dados. G=R. definições 2.4. As. eum ponto. q&. t e))s=0e t,. outro lado, se homeomorfo a. t.. 1). +. TÍdb,t). t,. e. pela pois. = gd,. do, Vn.. =. Teorema. Logo. .*. que. Vamos. 1Íbrio. n. assim construida, converge para. tk, tt.) TT,. 1). +. E. ,. ç&. (4).. é. de. R,. e. togo. ponto. equilíbrio, então T(6,t) =d,. t?. t. >. crítico, À&d. de. equi. 2.l(c) são equivalentes.. 0, então. consequentemente. ponto. de. &. é. n($,t ) = víd,t ponto crítico.. pelo teorema 2.2. eEeponto de. Vt > O.. ).Por. (6), (6). equilíbrio (pelo. é. teorema.

(26) 2). anterior). 2.3:. Lema. se. não. &d. bertas Prova:. U. V. Como. disjuntos Tomemos. t,?. 0 (isto E, T($,t,) para algum (ge Cc, e é ponto de equilíbrio), então existem vizinhanças ade é e de T(d;t,) tais que e UNVv= A. T(U,t, )C. Se à É. V. =. Tí(b,t,). 4 É. e C,. contendo. e W,. W. V. Tíb,t,) respectivamente. w| Tív,t, ) e vl. dé. e. eUs (ve [(nto) 2 (VIA. W. Hausdorff, existem abertos. e de. disso, UN = fd, é vizinhança de à , é vizinhança de Td, t,) e T(U,t dC Ee T(U,t,) então E = Tb, t,) para algum Vel. Assim pois se E= m(v,t )e V.. U. aberto pois. é. U. W.. Além. V. V. U. V. +. outra caracterização. Uma. no. ponto. de. equilíbrio. é dada. seguinte teorema:. Teorema da. de. 2.8:. vizinhança. Prova:. elemento. Um. de. À&. tde. contem alguma. condição necessaria. A. Cy. é. é ponto de equi. Il. íibrio. trajetoria. imediata pois se. à é um. &toponto de. equilíbrio, y(d) = (dl). Suponhamos agora que ô não seja um pon to de equilíbrio. Então existe t, > tal que T(b,t,) od de Pelo lema anterior, existem vizinhanças abertas e disjuntas de T(9,t) tais que d e T(U,t Jc V. Assim, para cada ve não contém trajetória al guma pois se e portanto T(v,t, )e tal que Yty,) € U, então TíV ,tle U, V t> O. existisse y é O. U. V. V. U. U. Mas. isto. é uma. contradição pois. Tv, t,)€E. V. euNVvV=f,. ,.

(27) 22 2.9:. Teorema é. todos os pontos. de. de. equilíbrio. em. C. H. fechado.. 2.10: Sejam. Teorema. quando t +. vem. e. de. > T.. t. V. pelo teorema 2.8,. tais. Cc,. À. .. Logo. U. e um. d. contém. ponto. gq. líbrio... existe. Então. - ||. IInmp,t). que. e ponto de equi. vizinhança. U. TÍVW,t)eU,. que. à. Então é. = ,. Prova: Seja e. conjunto. O. T. T(U). =. trajetória. a. >. +00,. O. tal. Y(ín(y,T)). equilíbrio.. de. ER. definição mais clâssica para pontos periodicos. Uma a. &é. seguinte:. $ec, é dito periodico T(6,t) = n(d,t+ TT), vt O.. Definição 2.5:. T>0. tal. que. que. a. período. um. existir. se. NA. número. Um. chamado. ponto. Um. T. >. de. para. O. aplicação movimento. qual vale. seçg. e. (&. o. Tt,. a. igualdade acima. periódico,. é. e trajetoria. e. costume dizer. é. y(6) são periodicos.. Observações. (i). positivo. Se T. (il). é um. É >. satisfaz. O. equi. de. líbrio. condição. a. periodico se. e. q&. ponto. e. de. então todo número real. ,. ser período. somente se. existe. T. de $ . >. 0. tal. que. T1(6,T).. d =. (iii). periódico com período T mesmo período T, para todo. Se d é. periódico. de. Teorema 2.11: Se é e ponto. tão existe Além. >. O. disso, se. Tt. para algum. T. ne. N,. tal é um. que. T. 0, entao. > tt. TÍ(g,t). e. > O.. equilibrio,. periódico. mas não de. é o menor. período positivo. outro período qualquer. de à. ,. de d. en .. então t=nT.

(28) 23. Prova:. Tomamos. mostra-se que. T. disso,. T(d,T). =. (n*+. portanto. Alem. É. = 4. é. satisfaz. O. >. Tt. período. 0. de g)que é não. período. T. é. =. T(6,1). =. Tíg,n,T).. e seja, >. n(go,T -. 0. T. -. Te comoTêo. <. Logo. Definição 2.6:. período. Se. de. &. então. período. ne. de. nJT também. o. &. que. -. n T)=. temos uma. ,. IN.. equilíbrio, então. mas não de. período fundamental. chamado. é. e. seguinte definição:. a. periódico. é. (&. e. ,. tal. € N. ,. de d. nT) = Tím(g,n,T),t período de d. Mas. menor. teorema acima motiva. O. de à. para algum. nT. T =. e. nT. vazio. as condições do teorema.. período qualquer. é um. T.Como. ou. ». contradição.. menor. >. P. t. |. 1). - noT. 1. <T- ny. O. inf. =. O. para todo ne N, então existe n,. nT. nT<tT< é e. >. disso, se. Além. se TZ. =(t. P. o. primitivo.. ou. 2.12: Se de Cc, não é um ponto de equi líbrio, então as definiçoes 2.5 e 2.1(b) são equivalentes.. Teorema. definição 2.6. Como não é de equilíbrio, pelo teorema 2.11, existe o período primitivo T >0 e se Té um outro período de d , então T = nT, Prova:. Suponhamos que. seja periódico segundo. &. a. &. para algun. é. À =. e os. O. cíclico. e a. n(d,T+t),. =. mnT(6d,t). e. T+t>t. Como. tão. nelN. tT+t-t=. e. elementos. de. G. 2.1(b). Então que. =. G. t. se Como |. Logo. 1. t. 1. à =. Je. >t. n(69,t. 2. ). co segundo a. 2. Dt -t 1. =. Tíd,nT. 2. +. (À. e. ciclico. T($d,t). t>0,. =nT,. 2. é. e 6. O. (nT |nez. -t. são. definição 2.1(b) estã. Suponhamos agora que. t>. tTeG,. =. =. to). definição 2.6.. V. nel.. nT,. periódico segundo. Logo. &G. >. definição. a. portanto existe. e. T(b,t. t. (pelo teorema 2.1), en. 0. satisfeita.. nT>0=2t ;. O.. >. da forma. N€EZ '. t. V. ),. t.. >. se. e. tal. sómente. nT+t.,. =. 2. 1. O. t.. Te6G. ,. ou. seja,. É. é. periódi.

(29) 2h. 2.13:. Teorema com. períodos. ums sequência de pontos periódicos, (0 *0, ese existir subsequeência de (6,) conver. Se. )). t. ec,. gindo para. então. Prova: Podemos supor, Seja. t. >. Alem. disso,. [Img,t). =. [mk. +. t.. t,. [|. o. to). $,. [|. mn(g,t) -. nmlos. t.. +. k,. e. desigualdade acima se aproxima. de. logo. k.. +. T(6,t). geral não. Em. riódicos. 40, vVt. =. fechado,. é. Todavia, vale. Então Teorema. F. eé. F =. então y(d). a. =. Para. período. +. tt. le,. zero quando. é. verdade que. acontece. -. Oo. com. n. conjunto pontos. de. >*. d,. de. )1). + dd, o lado. é,. o.. >. Se. dg. e. 0. F. fd. ec,. e. periódico. fechado.. 2.15:. 1]. que. > d. .. d+. +. eb. direito. da. eo»,. dos. equi. pontos pe-. líbrio.. seguinte resultado:. o. Teorema 2.,lh: Sejan te maneira:. &. Md,k,. to) n. n. vY. como. t,. pois. =. =. equilíbrio.. de. generalidade, tal que. 0,. Como. pois. <. ponto. de. k, EN. e. Tb, kt). Para cada n,. é um. Qd. perda. sem. qualquer. 0. &é. (n(d,t)]. O. os S.D. em. €. d e. t. <. um. conjunto definido. da. seguin-. período. <. a). período primitivo. T. >. periódico. com. T).. geral, vale. que. com. .. O,.

(30) 25. v(d) e. =. vín(d,t)). válida se. 2.16:. Teorema. t. >. see. 0. Prova: Como. ou. À. somente se. A. sómente se. =. com. T(d,t. período. um. =. então. ,. s). +. é. YvY(d). n(6,0) € v(d) d =. vy(d). d. ponto periódico. e um. É. igualdade. Suponhamos que. seja,. dico. e. t ER. Todavia, para os S.S.D.,. V. ,. yín(o,t)). =. d =. = T(d,T),. t. con. Por outro lado, se à. imediata. Suponhamos entao que. é. > O.. crítico,. ponto. seja. algum s > o,. t+ s.logo;g. =. T. a. é. perioó. igualdade. 0. Temos. ponto periódico dois casos a considerar:. período. T,. dé. todo. crítico.. ou. Tím(d,t), s) para. +s.. t. crítico.. ou. válida para. é. ponto periódico. y(ín(d,t)),. igualdade. a. e. com. um. +. período fundamental. t<T.. (1). riodo T,. e. Como. (mím(d,t), s). Vvervíg). Assim, se. se Vv=. t,<. T.. ,. Se. Ve yvínm(o,t)). O€<t,<t, então T(6,t,) nb,t, +. Logo. y(d). então. mT(k,t). ec. vím(d,t)). (ii) t. >. T. Neste. O0<t<T.. Assim,. |. O. /À. s<T). =. t+ s)| 0€s<TI= (nd,. (1(6,. tanto. tem. &. também tem. pe. pelo teorema 2.15,. Yín(d,t)). Os. >. T. então t. t,. <«. T(6,t,). v. €T,. <«. T) € ,. t,. +. T<€t+T. vyYín(d,t)).. t. para algum t. <«. tT=t).. (tomando T. então. | teta. e. t,. <. taTL.. o. e. T+ t. portanto. (tomando. 1 =. t,. T).. +. t <T.. caso, existe. neN. tal. que. t. = nT +. t. ,. por-.

(31) 26. tT(6,t). m(d,nT. =. t). +. yíd)c. Yínldo,t)). 3.. &c. Y(d),. TRIVIAIS. e. (1i). (i). yín(g,t)).. =. v(d)c vín(d,t)),V t. temos que. Vt >0,. EXISTÊNCIA. SOBRE. TEOREMA. Yvínm(6,t)). (i). Assim por Como. m(d,t). Pelo caso. =. DE. igualdade. a. SOLUÇÕES. fica estabelecida.. PERIÓDICAS NÃO. C([-r,0], S*).. EM. Existem varios exemplos. S.S.D. gerados por E.D.F.R.A.. de. para os quais as esferas são invariantes. Entretanto. plica,. geral,. em. nem mesmo. soluções periódicas. teoria. (a). (b). o. caso. C([-r,0], Rº). em. ns=72?2,. satisfaz. cone se K. Se. eé. fechado d. cones, apresentamos. à K,.. d. não. espaço. de Banach.. às seguintes. condições:. E. um. não. existência. um. teorema que. trivial, Um. im de. a ga. quando temos. conjunto. K. CE. e. e convexo.. eK, então Age. (c) Para todo cer. Seja. a. isto. Neste parágrafo, usando. a. Definição 3.1: um. para. existência de solução periódica esfera invariante em Rº.. rante uma. em. pontos fixos. de. O.. >. £<. 0. >. O. emE, então. dg. K,. VA. e. -d. não podem ambos. perten.

(32) 27. Definição 3.2: um. KcE. observar que. Devemos. Definição 3.3: Àd. KcCcE. conjunto aberto. um. operador completamente contínuo. limitado. inf (lTÁ| entao. T. tem um. c([-r,0],. o. ". c(f-r,0]. auto vetor. em. Rº). O. Teorema. tem. um. auto. ud.. Tó =. 9G. e. a fronteira. com 0EeG, Se T:. 9GNK +. de K. é. e >. O,. ;. 2929GONKkK,.. ,. S'(a)= (xeR?. ;. :. |x|]. =. a). (a. >. 0). S*(a)).. Passemos então ao que é. CE,. G. geaGNnNKkI). :. ou não,. ou não.. adotar as seguintes notações:. Vamos.. C=. que. cone truncado. um. de. teor. 27.1).. um. e. linear. tal. u. 144,. pg. cone ou. um. intersecção. zero.. do. T:K > K,. existe constante ,. é a. vizinhança pode ser fechada. a. operador. Um. 3.1: ([11]. Teorema Sejam. se. cone truncado se. um. vizinhança convexa. cone com uma. vetor. é. principal objetivo deste paragrafo. seguinte teorema: 3.2: (Seja. TT. O. S.S.D. gerado pela E.D.F.R.A.. x(t) onde f:C + R? que valem as. &é. contínua. f(x.). =. e. leva limitado. seguintes condições:. em. limitado. Suponhamos.

(33) (i). (ii). invariante. e. C.. Existe. (iii). Se. e. 4. finito. numero. um. não é ponto de. C,. s'(a). Prova: C, que. existe. Como. então sempre. ;. CC. U. t>0. existe solução periodica. Então. o. defina. é. o. em. pontos. tm(6,t). não. C. Cc.. em. (0).. trivial. finito. 1ogk. equilíbrio. de. equilíbrio, então. de. Cc.. em. pontos. de equi. k <k ER,. possivel escolher. tom(ec $,. cone. um. numero. um. conjunto. =. de. com 2. (0). o, 2. 3. líbrio de. gh. que não contenha pontos de equi. em. modo. é. 2. À. líbrio. (0)) em. Ca". F=((x= (x,x)ERt 2. Seja. |. 1º. 0<kx<x <k2 x) 2. 1. Então podemos escrever que K. o. =(t(geC. Seja B(0,a). |. o cone. K. (0). truncado definido por. bola aberta. é a. de. Consideremos. A=(gpeC e. seja. G. |. =. F).. Ee. Id(t). AN B(0,2a). a em. =. K NB(0,a). C.. conjunto. o. |. raio. K. <a, ,. que é. para algun. aberto. e. t e. [-r,0]). limitado.. ;. onde.

(34) 29. 9GNB(0,a)=. disso,. Além. Mostremos que Temos que é d. É. KNC,. pois. G. aberto. O. 29G. KANT.. =. pois ec, E. KM 3E. CE. e. G. K. |g9(t)|]>a,. portanto. e. se dbekKkMNaG,. 3G, e. Vt. Além. então disso,. a, Vt. Logo |o(t)]= a, VtrywogekNC,. definida Consideremos a aplicação T:KNC, > [r o). |o(t)|s. eKkeentão. por. ft >r. min. =. tT(6d). mn(6,t). |. KNC,. Ee. contínua. Seja então. é,. que. > d. tt). níd,t vale. e. (iji),. "voltar". t,. limitada. 6.>. ce. mostremos que. tr(6,)). tal. KNC,. (6,2) C. ê. 7. admite subsequeência. TÍQ).. Seja. 6) (0). +. e. tomemos. e. mostrar que. denotar por. Vamos. que. E KNC,. 4d. Devemos. .. convergente para. e. eGe aberto.. pois B(0,a)CG. dA. seja,. T(6). t=TtT(d). e. isto. se. mostremos. de modo. sempre ocorre pois. solução atinge. uma. e +. suficientemente pequeno. 0. F. Notemos que. ou. =. o. que. T(6,t)(o)erF. cone, ela não. pode. "parar" pois não existe ponto de equilíbrio no cone. Como [0,t+ 6] é compacto, então é > T, uni formemen-. ou. nm,. n. te neste intervalo, que para. [lv(d,t). -. >. n,. e. ] k. dado. E > 0. 3. n,. = n. (€). E. tal. NmN. temos que. mg, ||. pois nn, sendo assim,. ra. tt,. n. seja,. ou. <. t. € (tt). t t+. < E, vt e o,t+ 6) . Logo o menor dos t >r para o qual T(6 -t) E. e. convergente para Assim, como. um &. nx. limitada. certo + d. ,. 1. KNC,. portanto admite subsequência. e. t. pa-. .. então. nT(d. nx. ,t Px. ). >. n(d,t) 1. e. |.

(35) por construção temos que. T(6,t). nt). =. >0 tal. T. Com. T(6,t). Logo. te se. t. =. em. Cc.. + T). t. > 2. esta assim. =. a. continuidade. aplicação. da. T: KNC a +C. o. por. +. T(IKANCICKNC,. e alêm. disso,. T. completamente. é. e. e. TtTÍO). KACGC,. então. compacto.. inf (f[T(g6)|| : $ EKNC) EKNC => T(9)E KNC, —M(+)l= a > O. Estamos então nas condiçoes do teor. 3.1] Temos. 9. de. então existe. t. contínuo pois, desde que T(g,t) e contínua em t ed contínua, então T é continuo e como TtT(69) > r, V$ E T é. &. = tm(T(d,t),T). Anãlogamen-. t fica provado t &eentão definimos operador. Então. teorema. mT(6,t). =. = nT(6,T(6)).. T(6). Logo. fazer pois. o. &€. tt.. >. a. se supusermos que. t+T, v(6,t) = T(d,t. Se. Tem. trivial. efeito,. t. que. nada mais temos. t. $*. ponto periodico não monstrado.. n(6,t).. +. ). k. .. t. Se. T(6, k rt”. tem. um. ainda que. auto vetor. &é. em. KNC. ou. seja, existe. IT). >. e. |. O. pois. portanto. tal. T. que. = lugll= Ilo|| => |u|="1. KNC então upd Mas Àd estão em Ke portanto =|. Logo é é ponto fixo de T, ou seja, T(g) = d. Como +. não pode ser ponto de equi líbrio, então d e periodico com perío. T(6). do. =. nu. e. .. Como. ud E. fundamental maior. uy. do que. zero..

(36) 31 3.1: Consideremos. Exemplo. X(t). 2y(e)x(t-n. =. equação. a. | o. | x(t-1)+. (1) yYít)=. Seja. f. f(d). C([-1,0],. :. 2. G. ax()x(t-)|. x(t-1)+ y(e-n| tal. Rº) >+R?. 4, (0)6 (DL. +. x(t) yº(t-1). que. (1). +. é, (-1)]. + (0)O (-1)[ d (-1). +. é, (-1)]. é. y(t) y2(t-1). +. é. (0)6I(-1). =. -2. onde à. =. Mostremos. 166). p=. '. < 2. | :. podemos. ;. Y.,... d(0). =. f(g). que:. 16 (0). EI. em. (-1)]. limitado. + 2. 16 (0)6 (-1)6,. +16,00) 6201). +. 219/00) 6201). 6-1]. <. 10. +/6 (0). escrever. t. leva limitado |. eI(-1). '. (1). f. 4, (0). éô,1.) Se. a). yte-n. J1g|[|*.. |. +. (-D1)|. 2/6 /(0)6 (-1)6. +. (1). +.

(37) 32. b)C,. C([-1,0], S). =. iniciais. X(t). Se. ficar da. x(t) y(t). =. x(t) x(t). que. xº(t). Assim. estão definidas. Cc,. em. +. invariante. é. y(t). y?º(t)=. kt;. yv(t). solução de (1),. k= constante,. disso, como estã definida. Além. então c). X(t). existem pontos. Não. -. no. e. fechado. f(d). Resolvendo. =. e. O. para. (. (&s=. x Y. ponto. x(t). =. x(t). =. x(t) y(t). =. eC,. 4. equação. x(t). =. yY(t)=. deve. ser. sera- ponto. y(t). Se A. equilíbrio. de. 0, ; (LI). Vt.. então pode. função. uma. limitado” C([-1,0],R2),. i t. e. em. C,. T(d,t)(0) ser escrita. lembrando que. constante,. equilíbrio se. de. Logo,. em. Cc.. em. |. d). permanecerã. futuro.. equilíbrio. de. i. portanto, para to-. e. inicial em C, ; a solução X(t) seja, Cc, e invariante.. ou. ;,. fácil ver. é. O, Vt > O.. =. condição. C,. condições. com. futuro.. no. e uma. +. as soluções. e. e. então. somente. não temos ponto de. percorre da. S*. se. equilíbrio.. quando t cresce.. seguinte maneira:. (t-n|. vt) [xte-1). +. yí(t-1))?. +. x?. -x(t) [(x(e-1). +. y(t-1))?2. +. x? (t-n1). |. um.

(38) 33. $eC,. Se. 3,. invariante. [(x(t-1) nal. y(t-1))?. +. T(d,t) S(0). T(6,t). disso,. Alem. y(t). de. então. +. y(t). tem. percorre. S*. e. existe. portanto,. E. Z. x?. (t-1)]. y, (4) (0). O, então x(t). >. sinal contrário sempre no. S' tal que. pois Cc.. e. tem mesmo. si. de. x(t),. seja. ou. ,. sentido horário.. S'. níb,t)(0).. UU. t>O. T(d,t)(0). vizinhança qualquer. dada uma. Ss!. como. Suponhamos agora que. Então. (0) x = (6). (0). + V. t*+%. quando. Z. existe. de Z,. T =. e. ,. T(V)>. O. +. tal. que. ve. ção constante -. EV. mtTÍ(6,t)(0). ,. Vt>T.. C, tal. que. Logo, pelo. teor.. Vo). VZ. = Z/,. €. 1,. 2.8,. [-1,0]. e. fun-. a. ponto. equilíbrio pois toda vizinhança V de y contém a trajetória vYín(o,T)). Mas isto é um absurdo pois contraria o ítem C) e portanto S'C U n(6,t) (0). de. t>O. Sendo assim, as condições. estão satisfeitas. (i), (ii). e. (iii). do. teor.3.2. portanto (1) admite solução periódica não. e. trivial. Observação: equi. líbrio. No. caso de S.S.D.. é é,. que para cada. i. =. 9. cc). d,. 1,2,...,n. com um ;,. numero. devemos temos que. finito. de. pontos. de. garantir adicionalmente é; É NR),. vVvyzi. $,. 3-2,.

(39) 3h. FINAIS. OBSERVAÇÕES. mas. 1.1; l.2. geral,. |,. relação ao Capítulo. Com. e. devemos. 1.3 não valem para os S.D.. mas valem. ressaltar. nem. que os Je. para os S.S.D.. para os casos específicos dos S.D. gerados. em. por. E.D.F.RJA.. Ja os teoremas. 2.1]. e. 2.2 não valem para. os. s.D.. mas ape. “nas para os S.S.D.. Não. encontramos, para os S.S.D., resultados. aos lemas 2.3 e teorema. 2.16, embora estes sejam válidos para. S.D. de maneira mais ampla, porém necessitamos triçaão por não termos extensão Ainda neste. vial. certas condiçoes, em. CL. à. a. ([-r,0], s!).. que é. impor alguma. os. res. esquerda das soluções. ,. capítulo se encontra. significativos do trabalho sob. simi lares. Oo. existência. um. teorema 3.2 de. dos o. resultados mais qual. garante;. solução periódica não. tri.

(40) 35. CAPÍTULO. LIMITES. CONJUNTOS. 1.. CONJUNTOS. E. 11. CONJUNTOS. MINIMAIS. LIMITES. conceitos mais importantes na teoria de S.D. eQ(d) cuja definição foi formalizada o de conjunto omega limite por G.D. Birkhoff [5]. Um. dos. Na. teoria clássica. vazio, compacto em. e. conexo se. mostra-se que. de S.D.. trajetoria. a. 7Y(d). é. QN(d). não. estiver contida. compacto. Todavia, para S.S.D. gerados por E.D.F.R.A. vimos. um. trajetoria limitada. é. obter este resultado. e. que toda podemos. relativamente compacta e portanto alguns outros assumindo apenas que. seja limitada. Outros conceitos importantes são os de prolongamento , formalizado por Taro Ura em [14] e limite prolongacional, inConceitos es troduzido por Auslander, Bhatia e Seibert em [2] tes que estão relacionados intimamente ..com a teoria de atração e. Yv(d). ;,. estabilidade. '. mos. Devemos. observar novamente que as definições que. são todas para o. O,. >3. enquanto que para. os. 5.D.. em. coloca-se para t > O, é acrescen adjetivo positivo, por exemplo, conjunto ômega limite posi. são dadas para. tado. t. dare geral ,. tt. E. R. e. quando. tivo. Definição 1.1: por. Se. de Cy definimos. o. conjunto. ômega. limite. de. &.

(41) 36. E (ve f. de. n(g). a. (t Jor,. existe sequência. |. Cy. t+. T(6,t). e. +. VV. n+. quando. ,. -J) ,. equivalentemente:;:. ou. 2(9). NOviv). =. ver(e)). |. Teorema 1.1: Para todo. e. À. Nfvín(go,n))]. =. Cy». ne 0,1,...). conjunto R(6). o. é. fechado. inva-. e. rFriante.. Prova:. sequência em k, existe sequência (et). Seja >. n. fN(d). (Cv,. %&*. supor,. Podemos. ,. t,. Tomemos. e”. =. >. 1,. Como. ;. V. perda. de. então. ||. t. k. noeoe T(d,t). *. generalidade, que n. >. para cada. V. Assim,. |,. quando. k.. .t+w- e. eo. [+. -mT(6,t. v. *?. VW,. k. para. eÃ > k. e. é ese. [eesno e DID. que t. Então. «. tal. cRt,. sem. ng, tI|| <1/k. vo. fN(|) é fechado.. Mostremos primeiramente que. «.. (|. rest DA >—>. 0. e. a 1 e. portanto. os. e. Ve. to). ntíg. e. míd,tT,). =. Pa. [9. —. —. Tomando. pd.. míd,t,. |.2:. Teorema Mm. >. ;. t). +. =. T.. =. t.. +. mím(d,t ),. t É). 2. temos. >O0. to tt +R,t o que Tt.. e. > m(V,t). TÍV,t)e N(g).. Logo. OM. é. ;. ;. ;. N(6). 2(6).. t. invariante. Sejam ve N(d) e - existe Je + fixados arbitrariamente. Então sequência. Mostremos agora que. d+. —. Oo. .e aa. +e. —". —. W. u“. Para todo. v(6). U. (4. <. Cy valem as seguintes propriedades:. 2(4).. NníT($,t)). para. t. > O,. 1.

(42) 37. Prova: (a). Se. 2(69).. U. existe. Ve N(gd),. t,. ve. seja, existe sequência. ou. t*. então. *&,. te Ri,. +. nk. +m. ve v(d), então ve. tal. Y(69). Logo. GC. (1) ER*. ve N(0). então. Pela unicidade. (b). Se. Tí(6,t). que. limite,. do. +. ). Nk. n(6,t) e. y =. T(6,t. subsequência. tn). UV. =. n(d,t).'. existe sequência fixado arbitrariamente.. t. to. tal. (tomando subsequência se for necessário). t.. -t> t>. O,. mín(9,E), TJ) Por que. TÍg6,t. +. +. e. àd. Teorema. |.4:. Se. Teorema. |.5:. Seja. pacto. Então é. .. assim. E. E.. Eenír(o,t)).. E. NíT(d,t)), então. é. (0),. Assim. E. |. numa mesma. estão. Logo. 3). tt. bastando tomar. trajetoria,. tal. TPAt+. tt.. então. Q(V).. =. Prova:. E. mTíbit)>. =. outro lado, se. t.). t para. Podemos supor que t,. > e. + E.. e. co. m(9,t+T). Teorema 1.3: Se n(69). -—. T,.. =. ta) que. T(69,t). que. todo. n. Se. Yy(9).. >. 0. ).. n(g).. Y(6) U. EeN(gd),. Se. =. /.. lim. que. existir. Se. TtTíg,t. tal. Seja t T,. +. ——. y(d).. Tíbd,t,) € vid), V n , então VE v(6). Por outrce lado, se Y(6), então existe sequência tv! em Y(g6) tal que q = lim Voo. Como. t. vervr(d). Seja. é um. F. d$. &Q(d). N(d). E€. conjunto invariante, então. tal. Cy. e um. é. ,. v(d) seja relativamente. conjunto não vazio, compacto. compacto pois. &. que. QNÍí6I)CF. subconjunto fechado. e. de. voer. com-. conexo. 7T(6). que. compacto. Tomemos. Como. tmíg,t)). subsequência. Cc. sequência (1 ]ER* tal que t, > &.. Y(d) que é relativamente compacto, então existe.. agora. tm(d,t, k )). uma. que converge para algum. ve vid)..

(43) 38. vazio. Finalmente, suponhamos N(d). mo. compactos Sejam. e. compacto, podemos escrever. e. disjuntos.. d(5E,P). <. 6/2). s(0,5/2). (E| d(E,Q). <. 5/2). EeEeP. tais. que. t,. abertas. *+%, T-?%º. T(6,t,). E. P. (teorema. |,. t,. >0. tal que d(P,Q)= ô,. e. e. respectivamente. Q. >. tt). <. ts. Tt). t,. <. Como. T,. R. em. +. >. para cada n.. ». são compactos nT(go,t )E. e como. existir. e. e. conexos pa-. S(P,8/2). T t <T,<T n. Deste modo, construimos. tn(d,T,)C d(sS(P,6/2)).. tome-. e. (1)!. e. T(d,7T,). e. E. e S(0Q,6/2). 1.1). Tíd,T, )€ sS(0,6/2), deve. 9(S(P,6/2)).. T($6,t.). Pet. com. =. general idade, que. sem perda de. (m(g,t)]|]. conjuntos. )€. os. S(P,6/2); T(b,T,) n. de. PUQ,. Co-. NQ(6). .. supor,. ra cada. e. seja conexo.. não. = Vo veQ. Entao existem sequencias. e. Podemos. T(6,T. é. (E|. vizinhanças disjuntas. Os. existe. Logo,. S(P,6/2). mos. QN(d). que. uma. tn(6,T ))eE v(g) que. é. e. ,tal. n. que. sequência. relativamente. (0,T, k )) convergente, ou pois seja, existe a tal que nT(d,T, k —J*>a e ae a(S(P,6/2)) este conjunto é fechado. Todavia, pela construção, observa-se que compacto, então. existe subsequência. tm. -. aenNn(gd),. pois. A. do. a. T-*?%,eisto hipótese. trajetória. do. e. um. absurdo pois a éPUQ.. guinte resultado:. é. N(k). é conexo.. teorema acima pode ser enfraquecida toman. apenas limitada pois, pelo lema. jetoria limitada. Logo. relativamente compacta.Deste. |,. 1.2, toda tra-. modo,. temos. o. se.

(44) 39. Corolário:. Se. (6). então pode. comentario. mesmo. ser feito para. ].6:. Teorema. tal. ||n(g9,t)]||. que. vazio, compacto. é não. O. é. gecC,. o. Seja. feito. e. <H,Vt20,. « H. conexo.. com. relação ao teorema 11,1.5,. seguinte teorema:. tal. $eCl,. que. de tão, para toda vizinhança que TÍG,t)EU, V t >T, ou seja, U. ||n(g,t)|]l< HH <H,Vt 0. En T =T(U)>0 NQ(d), existe tal VY. dínm(d,t), N(9)). > O,. quando. t + &,. Prova:. Então existem. >0. E. dím(d,t ), 2(0)) tm(o,t. >. e. vergente. em. Td, t, k. + d,* Por. ). n. ),. d(n(9,t, k. Teorema. Então. ). v(9),. d. ) o. >. e. é. 2(9))”Z&A. sequência. tt). Cc. quando. O,. Rº,. ou. para todo n. Como y(gd) Yy(d), existe subsequência. é. dínm(d,t. n1. d,. ),. E N(d). +. |. %-,. relativamente. Cc,. tal que. con-. que. então e. isto. é. um. absurdo.. n(g,t) || « H <H,Vt auto interceptável e>- n(9) c Yy(6). à E. que. e como. N(d)), k. >. rídt, o). seja, existe de (6) tal. construção,. t. t,? “,tais. ,. N(d)) + 0, quando. ,. ].7: Seja vy(d). E. )lc. compacto. dímid,t. dítv(g,t),. Suponhamos que. Y. o..

(45) = 40. Prova:. Se. (. vy(d). do. Assim,. L2(d9)C. |. 1.2,. ,. Níd)c y(d). Como. e—"=. y(d). Assim,. é. T(6). compacto. Vamos. é. YyY(d). e. | o.. D(g). e. ef. &. portanto fecha. y(6)UN(K).. ). relativamente compacto.. vio). =. Yv(6).. consequentemente auto interceptável.". e. definir conjuntos prolongamento. dec,. ,. limite prolongacional.. e. ”. definimos. o. conjunto prolonga. por. fuec,|. tt). =. é compacto e. yY(6)UN(A), então. Definição 1.2: Para cada. mento de. y(d). pois. yv(d) (. Pelo lema. ). interceptavel, então. auto. &é. =—=—. existem sequências. em R*. tais que $,. +. fé. ,). e. Td to). em. C,. ?. v.. ou equivalentemente:. Ninm(u,R?)|. D(6) =. e o. u. vizinhança. é. conjunto limite prolongacional. J(d) def. (ver,. tais. t. que. É. Y(6) C D(6). >º,. |. de. existem sequências. dd. *Àd. e. Tb t,). de 4) &. (+. |. por. + yr C. imediato que, para todo 4 EeCy 210) C JI(69) E D(9). e. em. C, e. ted. em IR*. Nípb(w)luer(6)).

(46) h1. Exemplo 1.1:. [2]. Consideremos. ferencial. As. A. o. (em. -. trajetorias .. origem. p. Para todo. p. unitario. e. Z. pg. 58. S.D. no plano, definido pela seguinte equação di-. coordenadas. polares):. (e. . sao mostradas na figura abaixo:. (0,0) e. Para todo. ,. 2. o. críticos. ((1,0)).. ponto (1,0) são pontos. (0,0),. temos que. NQ(p). =. [ (a,0), a > 0, temos que D(p) = y(p)U s*.. J(p). =. S'. =. círculo.

(47) h2. Lema. J(6)C. Então. Prova: t. E. é,. N. então. ,. tnon). + v. certa. forma,. omega. limite através. J(d). ,. U. t.. que. seja $ecC,.. e. de À).. sequências. + d. d,. de à +. então. mm. existe. , ,. existe. Td, tp) Ve. n,. n. E N. EN. que. tal. que. EemT(U,L[a,=)),. existe entre. de uma. ea trajetoria comparação. do. Vn2>N,. T(U,[a,=)).. o. conjunto. limite. conjunto prolongamento D(Qd) análoga à relação existente entre. 11,1.2.. tal. e,de. e o. 2(d). e. |.. >. então. ;. relação. longacional. como. e. vizinhança. é. existem. Td st). que. max. =. 19, *t,). teorema. [a,º)) |U. n>n. V. A. vado. fixado arbitrariamente. 0. à, dada vizinhança. *. UU,. >. Nínm(U,. tais. Tomando. Como. a. veJ(g). Se. > o. Como d. Seja. 1.1):. o. 7Y(d),. que pode. teorema. seguinte. prouma. conjunto. ser obser com. o.

(48) h3. Teorema. 1.9: Para todo. gQeC,, valem as seguintes proposições: H. vYlo)UJ(4).. (a). D(d9). (b). J(d). é. fechado. e. invariante.. (c). D(d). e. fechado. e. invariante.. (d). J(d) E. =. J(T(d,t)). para todo. t. > O.. Prova: (a). Y(íd)WOD(d). Como. Jíd)O D(d), então. e. Y(d)UJ(d)C. Seja agora. ve D(d). Então existem sequências. tt). tais. em R*. Se. t, To. Se. existir. Tí,. subsequência. tt,. Mostremos. cia. sequências. ;. VR. Logo. n. Pr que. >k.. rd,. UV,. (vílec,. e). ,. ralidade, para. e. CJ,. > v ? |. |. tal. t, k *?te. que. pela unicidade. J(d). primeiramente que. J(d) tal que. em. n(vs. e. |). k. em. '. limite,. do. então. R$, vu. T(g,t)e víg).. =. —VveJu(d)ur(d).. Assim, (b). ve J(d).. n(6,t). Td tt.). e. o. >=. $d,. então. ,. to” k ) *. k. que. 16,. D(O0).. ;. e. *. (tt. JeRT. tt, >k;". n. *?. tais. %&,. dv.) k. <. que. Podemos. 1/ke. ye. ve J(6) pois. e como. mo, V, +. to). |. ,. +, então. m. sequên. +om. n. e. sem perda de gene. dim, to),. ; PS (V,n tomando as sequências Assim,. tn>m. ,t. +d. supor, k. tv!. VE J(d), existem. Para cada k, como. k. quando. k. V.. fechado. Seja. é. &k. V). le tt). (4 to). n. +. <. 1/k temos que.

(49) kh. Mostremos. t>0. e. Tomando. T. +. (c). P(d). te pois. é. por. =. mTím(d. Se -. st) tn. intersecção. reunião. veJ(d), + >. t. Tt. Sejam VE. J(4). ), t). Vn,e. ;. Assim, mím(g. Para. conjuntos fechados. os. fixado. como. dd. +. S.S.D. definidos. 7v(4) e. D(d) pode e. D(g) é. *+. J(4). Podemos. então. bp, ou. em. e. 4d. n. ser. invarian. tais tt? arbitrariamente. d. nd,. Td tn). st), t.” t)=. 1,8,. 11. dois invariantes,. t>0. .. > mT(VW,t).. existem sequências. Seja. vv.. t. de. de. >vV. e. >—>m. n. fechado pois, pelo teorema. e. como. Td. t>0,. +. T(6 ,t) +. que. 1. T(y,t)E J(d).. escrito. (d). tais. co. tn. =. n. mig Tt) Então. invariante.. é. fixados arbitrariamente. Então existem sequências. dt,. >. d,. J(d). agora que. n(6,,t). que. su-. ntT(6,t).. +. veJínio,t)).. seja,. espaços localmente. ctos, mostra-se que D(g) e J(d) são compactos e conexos a hipótese de existir vizinhança V de que satisfaça Qd. compar-. impondo nm. (V,R*). compacto.. nosso caso,. No. espaço. como o. fase. de. ê. Cu nunca. ser relativamente compacto mas, sob certas ções, podemos ter TÍ(V,[r,º)) compacto, e é supondo isto T(V,R”). obtemos. pode. o. condi que. seguinte teorema:. Teorema 1.10: Sejam. Im, ,t) |]. «. H <H,. gde Cy. e. VyveV. vizinhança. V. e. t>r,.. de. Àd&. tais. Então J(4). que. e D(g). são.

(50) h5. compactos. Prova: ma. conexos.. e. Seja. P. n(V,[r,º)). =. (le-. relativamente compacto. que é. |, 1.1). U. é. vizinhança. de. à). Então J(d)cACP. J(6). é. fechado. P. compacto,. A= nNfín(U,[r,º))]. Seja. 1.1).. (lema 11,. Como. e. J(d).. do a compacidade de. Mostremos que D(6) é compacto. Seja. qualquer. de. vizinhança. tal que pelo. lema. J(d), de. que é compacto.. &N(d). e. víd,t)eW,. V. tais. que. D(g8). PNQ =$A2,. é. D(G). =. >. O. compacto,. Tomemos. WVeQ.. d, € (U(P)N v). J(d) são conexos”. e. DP(&0). R. Cc. +. de U(Q),. e. supor,. Então dé,. V. *. Pe. de. não. seja conexo.. Co. e. P. O. Q. d,. =. t,. e. d. tais. Td st). ,. de. vi. respectivamente.. Q. portanto existem. que. >. generalidade,. U(P)NV. de. tomar. e podemos. VveD(g) e. perda. sem. interior. =. d(íP,Q)>0. então. deD(d) (basta tomar (GerP.. (tt). D(g). U(P) e U(Q). supor que. Podemos. interior. yY(6)UJ(dA). T(W). T =. então existem compactos disjuntos. Temos que. o. 1.6, existe. 11l,. PUQ.. =. zinhanças disjuntas. quências. T.Logo. VW. primeiramente que. é compacto,. Como. e vamos. >. agora que. Suponhamos D(gd). Como. pelo teorema t. vizinhança ê fNÍ(6)EJ(g), então uma. W. |, l.à. Mostremos. mo. temos prova. e. que. o) se-. que. Td to). E U(o)=. n.. Assim, para cada n,. o. conjunto. n(6d. ,[0,t ]). ;. que é.

(51) h6. intercepta. conexo, T(6. que. 5). ocorrer. podem. U(P).. €. 9. 2. situações:. |. to compacto, pois. 9U(P). é. existe subsequência. da. construção,. EeEeD(d). Neste caso, como. ts, k. n(d,. |. S” J )+. J. T(6,s). então. ,. €. vY(d). Deste modo,. D(g). vYíd). e. é. D(gd). e. P. conjun. um. (6, k Ss, )). s, k. o. <<",. que con -. fato. de. k. (ts. de. 3. "3. [o,r]. auUíP). como. Yvíd)co. D(d).. temos. uma. agora que. vazios e. e. k.. vT(d,s. e. fechado,. é. en-. Y(ó) é conexo. como. contradição,. pois. JE. aU(P).. não. seja conexo. Então exis. conexo.. ví(dt)UJI(4A). compacto. tm. que. se. mostramos que. e. tem compactos não Como. Mas. que é. existe subsequência. º. vYíd)CE. Suponhamos. e. <r,. k. ntT(d,s). n(6,s Jeau(P). dEP. e. Ss. <«. que converge para algum. )]. Assim,. tão. O. r,V. >. n.. isto contradiz. e. ts. k ) tal. existe subsequeência. ss. ,. mnT(V,[r,º)) é compacto.. e. sequência. PUQ. =. Ee gu(P). (b). auU(P) N m(V,[r,m=)). Eegu(P)NTÍ(V,[r,%=)).. verge para algum Por. tal que. de fs ) n. fechado. tal. t.. Ss, <. <. o o ). n.. tn(6, k Ss, k JC. Neste caso, Então. (s. o. assim construida. sequência. Com a. existe subsequência. (a). 2 (ss). seja, existe. U(P), ou. e. J(6). disjuntos,. e. D(O). e. consequentemente. conexo. (teorema 11,. 1.5).. P. J(d) N(d). e Q,. tais. que. são compactos, é não. vazio,. J(6)= PUQ. então compacto.

(52) 47. disso,. Além. como. QNQ(6d). J(6). WC. então. ,. Temos que D(69). Y(6) UJ(69). =. (Y(UP)UQ. =. dE. Usando (Y()UPINQ N(PCP , podemos escrever: %*. e que. (T(I)UPINA. =. (Y(d)UN(G)UPINA. Y(6)N. Q. =. Logo. TÍGd,t)eQ.. que. vínmíd,t))CQ Mas. uma. =. TT). também que. (Y(9)UP)NQ. Q. PNQ. =£4. (6). =. U. 2(4). (vY(6)A QJU(PNA)A. =. E. ;. consequentemente NíT(d,t))CQ. vím(o,t)). é conexo.. D(d). e. assim, existe t > é, invariante (teorema 1,2.4), então. pois. BH,. Como. e. Yvín(o,t)). Nígd)C Q-P.. ou. 2(d9)crP.. Suponhamos que Logo. N(d) € P-Q. U. NíT(d,t)) contradição. N(d). QíT(6,t)), e. pois. Qeêe. c. onde Yín(6o,t)). 0. fechado. YíTn(6,t)). ca.. +. (E,I)C. 1,2:. Lema. 1.3: Seja. $ECc,. Lema. 1.h: Sejam. $,. (a). Se. v.E D($,). ;. para cada n, então. vebP(g).. (b). Se. VE J(d,). ,. para cada n, então. veJ(g).. para algum $EeC, , então (E,VICJ(E)N J(U). Consequentemente, D(E) = J(E), v EEN(g). A(O). ,. e. ve ní(g).. > o. vn +. e. J(9)E J(V).. Então. v.. Prova: ' (a) Suponhamos que, para cada n,. Então. existe vizinhança aberta. Como. q,. TV, dr?. subsequência como. U. Do, E. &. eU. dé. to, k YCU. aberto. T(U,JRP),. e é V. k.. tal. eé. V, E D($,) e U. de. tal. dé. vizinhança. que. vizinhança. V,. k. É. de cada. e. N(6)CP. Portanto temos. foi admitido que. Lema. Se. tal. que de. que. V. É D(d).. vá. T(U,R. , então existe. T(U,RT). $ k. ).. então. q.

(53) 48. Mas. tv.. k. entao. mos. p(d, k ). =. k. 16!. cf, k. k. Td sto) j Sejam. pois e. 8. [|. ke k. te). e. Pr. >—. ;. E,. 6,-. IlnméB. vn. T(U,R), para cada. E. k. k,. te-. e ;. N,. v. E J($,),. CR. +. tais ;. quando. et,. o. sz. assim. contradição.. uma. Para cada. (b). e. n. =t. GI1|. «. lo,. st). -. Il. E. J(6).. Logo. V. «. -—. .. que o. $$. ot. > d.. k. k. .. Pt?. e. .. e >> t, +. a Então. cs. - Il [|. seja, existem sequências. ou. &. e. T(8,, t n) )>. V. 116, - el]. not). - e. ll. +]. e. o el.. finalizar este parágrafo, vamos apresentar os con ceitos de prolongamento relativo e limite prolongacional retativo, os quais tem muita aplicação na teoria de estabilidade relativa. Para. Definição 1.3: Sejam Definimos otm,u). E. o. compacto. conjunto prolongamento U. tvec, deM e. o. MEeC,. |. UC,. e. de. qualquer. relativamente a. M. existem sequências. ft )ER*. tais. conjunto limite prolongacional. que de. dd,. M. (é Je. ?ttde. U. por. U. Tb tn). relativamente. +. à. q). U. por.

(54) h9. 1. i. de f. J(M,U ). VU. de. |. tais. que. imediato que. É. existem sequências. tvecC,. $,. McC H. |1.l]1:. qguintes. proposições:. Se. é compacto e. D(M,U). (b). D(M,U)cs Y(M)UJ(M,U).. Se. J(M,U). e. vizinhança. é. J(M),. J(M,U) =. J(M) =. €. ). U. e (ft Ye R* n. Tb to). e. +. |).. Se. H. então valem as se-. ,. invariantes.. e. for fechado,. U. vY(MNU)UJ(NM,U).. =. U. UCcC,. são fechados. (a). (c). +m. t,. ,. n. J(M,U)&CD(M,U).. Teorema. D(M,U). + d. (dg. de. onde. UlJ(69)] de. M. então. ,. D(M). D(M,U). =U(0D(69)|]. =. gen). D(M)se e. NM).. Prova (a). tomem os. ten d. n. primeiramente que D(M,U) invariante. Para isto, ED(M,U) e t >O fixados arbitrariamente. Então exis5. Mostremos. d. >. $. V. &é. o. EM. e. e. T. (6,. sequências. (dito). Então. T(d >T,).. T(V,t) te.. € D(M,U).. =. +. V.. mím($9 De. Mostremos. v.. CV. e. i Consideremos. tn),. de. a. to) + TV,. modo anãalogo. agora que. (t. J)JER'. e. que. enci sequência T,. t). e. mostra-se que. D(M,U). tais. deste. =. t. modo. J(M,U) é. fechado. Seja. t,. +. >. ,. invarian. tv!. se-. 0..

(55) 50. e tais. tal que UV, *? V. Para cada assim, existem sequências 16) CU e (t)oR*. quência. Pá. > eX. n. Como. (dd. )C. -. eM. M. s. ja, existe. [le elle le,. n. ll. nona tn)-. =. es. Ve D(M,U).. Logo. (b). (t JeR'. tais. T($ t,). +. quencia. (ft. y. Se. d, *. pois. n el]. n,. 0.. Assim. o. -. que. + VW. convergente. é. + dd.. tn. Sejam. pois. é. +. Como. U. d. ,. Ve J(M,U).. t>0,. +. ve Y(M). Logo agora que. fechado. e. d. =. n. outro lado, se. d. n. então. D(M,U). ,t) 'n. n(6,t),. >. limite. do &. e. existe subse-. Se tT(g nº. e. ,. y(M)U J(M,U).. U. (é!. |. C. U,. então. com $. gem. e. eU.. yvexy(MNU)UJ(M,U). Por. se. fechado.. é. fd )eU. para algum .$e M,. então. n,. ou. M,. n. análogo mostra-se que J(M,U). seja fechado. então VEJ(M,U) ou =n(6b,t),. e. te. eo.. contínua. Pela unicidade. assim,. e. em. e. ce ll. dn ?. t. =. :. c. n. tt“,. eTT. Ve D(M,U), >. ),. >. modo. que. Suponhamos.. et!. st) k. ao. + [16 -ol]|. tal que. ). dd. v=n(d,t) Se. k. || mégt) De. D(M,U), e. que. veD(M,U). Então existem sequências. Seja. >. que. de Tíd st.). +. $d,. fé. por. tal. deM. k. níg n. V. : subsequência, que conticompacto, existe. é. , nuaremos indicando. Então. É e M,e. para algum. ;. k. k,. D(M,U). em. Vvey(MNU)UJ(M,U),. então,. ou.

(56) 51. Ve =. VU. dh,. =. J(MU). ;e neste caso,. n(d,t). para algun. É. t>0.. e. caso,. Assim, basta tomar. Ve D(M,U).. -. :. J(M,U)C D(M,U).. D(M,U)C D(M). Seja. Então existem. vebD(M).. sequências (6, ! CC, e (rt JC Rº* tais que 0, * é e é vizinhança Tdi to) + v. Se $ EM, então $eU pois e. U. de M, e como. Hen é (6,) em do. deMNU. teremos que. e. imediato que. AEM e. t. =. Y(MNU)U. Logo. (c). t,. e. É. Neste. Ve D(M,U), ou vevr(MNU).. dn +. ||<. vn. E,. nE. tal. dado. >. no Assim, existe subsequência. E. que converge para. U. existe. ,. dd. análogo mostra-se que. O,. >. deste. e. (&. J(NM,U). =. modo. N. que de. ve D(M,U).. J(M).. mo-. De. NA,. observar que este teorema que acabamos de demonstrar é valido para os S.D., mas fizemos algumas mudanças nas hipóteses. Por exemplo, no Item (a) não necessitamos de hipótese Devemos. alguma sobre usamos. 2.. U. U. fechado. CONCEITOS. para os S.D.. e e. para os S.D.. é. usado é usado. de. com. U. ítem. No. (Db). invariante.. RECURSIVOS. Apresentaremos primeiramente. cursivo. fechado.. U. relação. segundo Poisson. a. e. outro,. a. partir. o. do. conceito. conjunto re qual obtemos estabi lida de. pontos não transgressores.. Definiremos ainda, neste parágrafo, estabi li dade segun. recorrentes. Birkhoff mostrou que movimentos recorrentes estã intimamente ligado ao. do Lagrange e movimentos. ceito. de. conjunto compacto minimal (vide [5]) proximo. parâgrafo.. e nos. mostraremos. isto. O. con de no.

(57) 52. Definição 2.1: conjunto BCC. tais. conjunto. Um. CC. recursivo. €. Cc,. TerR*. se, para cada. H. ,. com. t. existem. relação. >Te. ao. EB. d. T(d,t)EA.. que. Ae recursivo. Se. A. relação. com. a. Ele mesmo, dizemos que. A. auto. é. recursivo. 2.1:. Teorema. Definição 2.2:. guinte teorema que. (a). d&. (b). dada. é. vizinhança. =. A(O).. (e). vY(9). s. 2(0).. para todo. Corolario:. Se. É. ser. seguintes proposições são equivalentes:. as. de. U. Pe T>0, existe. e. O. existe. t. *. tal. |. que. t. >. T tal. que. teorema seguinte nos da. ficiente para limite.. T(6,t)eS(g,c0).. estavel segundo Poisson, então, para todo tambem o e.. Poisson estável, dizemos que Yy(gd) são Poisson estaveis.. trajetoria. omega. no. fácil demonstração:. à e. Se a. £>0,. nT(d,t). 0,. conceito acima estão. N(6).. v(). >. do. UU.. (ad). t. e. estável segundo Poisson.. de. (f). e de. del,. Se. Tíd,t)E (c). e. À. $eC,. caracterizaçõoes. Algumas. 2.2:. estavel segundo Poisson se o recursiva com relação a (4).. elemento. Um. toda vizinhança de. Teorema. ponto periodico,então (dle auto recursivo.. Se É é um. que uma. o. movimento. 4. e. condição necessária e su limitada seja igual ao conjunto. trajetória. uma. então Teorema 2.3: Para cada geC, H tal que vy(d) é limitada, v(6) = N(g) se e somente se à é um ponto crítico ou um ponto pe. riodico.. Prova: -. a. (. -. Ee) e. -. -. .. -.