Noções Básicas
Esta disciplina auxilia em todas as outras áreas da Matemática. Isso porque veremos noções de lógica e de demonstrações matemáticas.
Numa visão bem geral, veremos:
Quais são as principais estruturas matemáticas, em especial, as estruturas discretas. Um exemplo de estrutura são os números inteiros.
Como interpretar afirmações matemáticas feitas sobre essas estruturas (e como escrevê-las). Um exemplo de afirmação: “Se a e b são números pares, então a+b é par”.
Como provar/demonstrar que uma afirmação matemática é verdadeira, seguindo um argumento lógico válido. Como exemplo, segue uma demonstração da afirmação anterior: “Sejam a=2m e b=2n, onde m e n são inteiros. Assim, a+b = 2m+2n = 2(m+n). Logo a+b é par. (Provado)”.
Nesta primeira aula, vamos dar apenas uma visão geral das principais estruturas matemáticas que estudaremos.
Estruturas Matemáticas
Pense nas estruturas matemáticas como “objetos” da matemática que podem “funcionar” de maneiras diferentes (ou seja, eles têm diferentes características) e que podem ser “combinados” para formar outros objetos mais complexos.
1. Números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais
Estas são as estruturas que vocês devem conhecer melhor, por isso, não vamos dar detalhes agora. Porém, veremos que a Matemática não estuda apenas números – ela estuda diversos tipos de outras estruturas.
2. Conjuntos e Tuplas
Conjuntos e tuplas são estruturas que podem ser vistas como “coleções” de outras estruturas. Porém, veremos que elas têm características distintas.
Uma definição informal de conjunto:
Um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos distintos.
Duas representações principais: o Entre chaves:
A = { 1, 2 } B = { 1, 3 }
o Diagramas de Euler-Venn:
Alguns conjuntos importantes (que você já deve conhecer): o N: conjunto dos números naturais
o Z: conjunto dos números inteiros o Q: conjunto dos números racionais o R: conjunto dos números reais
Duas características dos conjuntos que valem a pena ser destacadas: o A ordem dos elementos não importa. Exemplo:
{a,b} = {b,a}
o As repetições de elementos não são levadas em consideração. Exemplo: {a,b,b} = {a,b}
Definição informal das n-tuplas ou tuplas:
Uma n-tupla é uma coleção ordenada de objetos.
A tupla é uma generalização do conceito de “par ordenado”. A diferença é que ela pode ter mais de dois elementos e pode ser composta de qualquer outra estrutura além de números reais.
A principal representação das tuplas é listando os elementos entre parênteses: (1,2)
(4,a,5,1) (a, {1,2}, 4) (Z, <, +)
Diferente dos conjuntos, nas tuplas:
o A ordem dos elementos importa. Exemplo (considerando a b): (a,b) (b,a)
o As repetições de elementos importam. Exemplo: (a,b,b) (a,b)
Dependendo do contexto, as tuplas podem aparecer com outros nomes e outras representações. Veremos no decorrer da disciplina algumas dessas variações do conceito de tupla:
Cadeia (ou string): É uma tupla que só contém símbolos. Representada sem os parênteses (de delimitadores) e sem as vírgulas (separando os elementos).
Seqüência: É uma tupla que, geralmente, tem infinitos elementos retirados de um mesmo conjunto (só inteiros, por exemplo). Tem seu identificador representado entre chaves ou parênteses. Seus elementos podem ser representados entre parênteses ou sem delimitadores.
o Exemplo: seqüência dos números ímpares positivos: {an} = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... ou (an) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...)
o No exemplo, {an} ou (an) serve de identificador da sequência inteira. Além disso, a1 representa o primeiro elemento (ou seja, 1), a2 representa o segundo (3) e assim sucessivamente.
Vetor de coordenadas: Nome usado em Álgebra Linear como um quase-sinônimo de tupla.
3. Relações e Funções
Esses dois tipos de estruturas envolvem dois conjuntos quaisquer A (o domínio) e B (o contra-domínio). Relações e funções definem associações, cada uma envolvendo um elemento de A com um elemento de B.
Detalhe: A e B podem ser iguais
Uma relação (binária) de A em B pode associar elementos de A com elementos de B de qualquer forma.
Por exemplo:
Se chamarmos a relação acima de R, podemos escrever a R b para representar que um valor a está associado com b na relação. No exemplo acima, temos:
Se não existir a associação de a com b, podemos escrever a R b (com o R riscado). No exemplo acima, temos:
o a R 2, a R 3, a R 4, b R 3, b R 4, etc.
Vários conceitos que vocês aprenderam na matemática são relações:
o Igualdade (entre números, conjuntos, tuplas, etc.): veja que escrevemos com as notações a=b e ab.
o Menor/maior (entre números): podemos escrever, por exemplo, 1<2 e 3 2 (incomum, mas correto).
o Pertence (entre elemento e conjunto): como você deve lembrar, usamos os símbolos e para esta relação.
Já uma função de A em B é um tipo especial de relação binária que, para cada elemento de A, associa exatamente um elemento de B. Ao lado, damos um exemplo de função de X (domínio) em Y (contra-domínio).
Por outro lado, se faltar associação a um elemento do domínio ou se um elemento do domínio tiver duas associações, então não é uma função (mas continua sendo uma relação binária). Exemplo ao lado.
Você deve ter estudado funções com domínio e contra-domínio reais assim: o Definidas por meio de uma fórmula que, para cada x do domínio, associa
um f(x) no contradomínio. Exemplo:
f(x) = 3x2 + 12x + 11
Você também deve ter visto essas funções representadas com gráficos no plano cartesiano como esse:
No entanto, uma função não precisa ter fórmula e nem precisa ter um gráfico. Ela pode ser definida de qualquer forma que associe uma entrada (elemento do domínio) em uma saída (elemento do contradomínio).
Ao invés de uma fórmula, podemos dar uma tabela com a associação entre os valores. Exemplo: função n(x) das notas de uma turma:
x n(x)
Ken 2,5
Kay 7,0
Nat 5,0
Frank 8,5
Também podemos definir uma função com um programa para calcular o valor associado a cada entrada. Exemplo em Python:
Também pode ser o caso da função associar estruturas não numéricas e, neste caso, não fazer sentido um gráfico.
Como toda função f é uma relação, podemos escrever a f b para representar que a função (relação) f associa a com b. Porém, neste caso, é mais comum escrevermos f(a)=b, para dizer que, escolhido o a (de entrada), a função associa
def f(n):
o n(Ken) = 2,5 o n(Kay) = 7,0 o n(Nat) = 5,0 o n(Frank) = 8,5
Todas as operações matemáticas que você já viu são funções. Porém, em geral, elas recebem um par (2-tupla) como entrada. Exemplos:
o A adição (+) é uma função que recebe um par de números reais e retorna um número real. Assim, se representarmos a adição como uma função add, a equação 2+3=4 equivaleria a usar a notação add(2,3) = 4.
o A divisão (/) recebe um par de números reais, onde o segundo é diferente de 0, e retorna um número real.
o A união () recebe um par de conjuntos e retorna outro conjunto.
o Etc.
A propósito, em essência, um algoritmo (um programa) pode ser visto como uma maneira de definir como calcular uma função. Vamos exemplificar considerando um sistema de GPS (como o do Google Maps) para achar caminhos em uma cidade.
A ideia desses sistemas é que, dado um mapa de uma cidade e dados dois pontos (endereços) no mapa, ele calcula o caminho mais rápido entre os dois pontos. Podemos considerar, portanto, que esse sistema define uma função com essas características:
o Entrada: uma tripla (Mapa, ponto1, pontoN)
o Saída: uma tupla (ponto1, ponto2, ..., pontoN) que representa o caminho mais rápido do ponto 1 ao ponto N.
4. Novas Estruturas
Na Matemática, novas estruturas podem ser criadas por meio de uma definição. Uma definição cria uma nova estrutura na matemática, com um nome e uma descrição de como ela é construída a partir de estruturas mais simples.
Exemplo de definição:
Um grafo G é um par G=(V,E), onde V é um conjunto qualquer e E é um conjunto de pares de V.
A definição também pode vir acompanhada de propriedades básicas dessa estrutura, que chamaremos de axiomas. (Falaremos mais disso na próxima aula).
Observações Finais
De certa forma, nesta aula, generalizamos (tornamos mais amplos, digamos) os conceitos matemáticos que você já conhece (exemplo: relação engloba os conceitos de menor, igual, etc). De agora em diante, sugerimos que tente entender toda estrutura matemática em termos desses conceitos: a estrutura é uma relação, uma função, um conjunto, etc? Ou é uma combinação de várias estruturas menores? (Desafio: O que é uma matriz? Defina de duas maneiras).
Na verdade, muitos matemáticos já defenderam a ideia de que todas as estruturas acima podem ser definidas meramente a partir dos conjuntos. Pesquise no Wikipedia (em inglês) como representar, por exemplo, números naturais e pares ordenados (2-tuplas) como conjuntos. Não aprofundaremos isso, mas essa foi uma visão muito influente da matemática do último século.
“Não deixes de fazer bem a quem de direito, estando em tuas mãos a capacidade de fazê-lo. Não digas ao teu próximo: Vai, e volta amanhã que to darei, se o tens agora contigo." (Provérbios cap. 3, versos 27 e 28)
