Solução. A distância máxima entre dois vértices é a diagonal do paralelepípedo.

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

LISTA DE PRISMAS – 2012 - GABARITO

1) (PUC) Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6cm. Calcule a distância máxima entre dois vértices deste paralelepípedo.

Solução. A distância máxima entre dois vértices é a diagonal do paralelepípedo.

cm 7 49 36 13 36 9 4

² 6

² 3

² 2

d          

2) Um prisma hexagonal regular tem a área da base igual a 96 3 cm². Calcular a área lateral sabendo que sua altura é igual ao apótema da base.

Solução. No prisma hexagonal regular a base é formada por seis triângulos equiláteros. Como a área da base é informada, temos:

cm 8 3 64

l 192 2 96

3 l.3 4 96

3 l.6 3 96 A

4 3 6 l

A ^{2 2}

base 2

base        

 



 





 





 



 

.

O apótema do hexágono é a altura de um dos triângulos equiláteros que o forma. Esta medida coincide com a altura do prisma. Utilizando a fórmula da área lateral, temos:

  ^hl     ^{8.6 4 3 6 32. 3 192 3 cm ²}

6 ) lateral (A cm

3 4 apótema ) isma (Pr altura

cm 3 2 4

3 8 2 ) 3l hexágono ( apótema













 



 











 .

3) Calcular as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que são proporcionais aos números 5, 8, 10, e que sua diagonal mede 63cm.

Solução. Considerando a, b, c as dimensões do paralelepípedo e utilizando a proporcionalidade indicada, temos:

 



 





































 

 







 

 

 









cm 21 10 c

cm 21 8 b

cm 21 5 a 21 21

. 21 21 21 21 21 21 3 k 63

63 21 k3 65

²k 189 63

²k 100

²k64 63 ²k25

diagonal

²c

²b

²a diagonal k10

c k8 b

k5 a

.

4) Determinar a diagonal de um paralelepípedo sendo 62cm² sua área total e 10cm a soma de suas dimensões.

Solução. A área total do paralelepípedo é dada por A

T

= 2(ab + bc + ac), onde a, b, c são as dimensões. A soma das dimensões será a + b + c = 10. Utilizando as operações algébricas dos produtos notáveis, temos:

cm38 d32 100² d62

²d

²c²b 100

²a²d 62²c

²b²a )²10(

62 A

bc2 ac2 ab2 A

10c ba

bc2 ac2 ab2² c²b

²a)²c ba(

T T









 

 







 

 



 





















.

5) Calcular o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144 m², sabendo-se que sua área lateral é igual ao dobro da área da base.

Solução. No prisma quadrangular regular, as bases são quadrados. As dimensões são, pois a, a, b. Utilizando a condição informada, temos:

³m 108 )18 )(6(

)ab ).(a ( b²).

a(

h.

A V

²m 2 18 36 2 ab ²a ab2

²a

²a2 ab4 A.2 ab4 A

A

²a A

m6 36 a 36

²a

²m 4 36 A 144 144 A4 144 A2 A.2 A2

A

A A2 A

B

B Lateral Lateral

B

B B

B B B

Lateral

Lateral B T





























 

 





























 

 







.

6) Quais as dimensões de um paralelepípedo retângulo se a soma de duas delas é 25m, o volume 900m³ e a área total

600m²?

Solução. Considere as dimensões a, b, c, onde a + b = 25m. Utilizando as fórmulas conhecidas, temos:

 



 











 



 









 



 

 



 







 



 









 















 

 









 



 

















































 



 











 

 











 

 









15 10 25 a 2 10

5 b 25

10 15 25 a 2 15

5 b 25 2

25 25 2

600 625 b 25

)1(

2

) 150 )(1 (4 625 b 25

0 150 b25

²b 150 )b 150 25(b

ab

b 25 a 25 b a 6 ab 900

25 b a

6 c 0 )²6 c(

0 36 c12

²c 0 900 c 300

²c25

300 )25(

c c 300 900 )b c a(c

900

c ab 900 900 900 abc

V abc V

300 bc ac 600 ab

A

)bc ac ab(2 A

T T

.

Logo, as dimensões são: 6m, 10m e 15m.

7) (UFMG) Encontre todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1.

Solução. As distâncias podem ser de três tipos conforme indicadas na figura.

i) A distância entre os vértices que forma a aresta: d1 = 1;

ii) A diagonal de uma face: d

₂

 1  1  2 ; iii) A diagonal do cubo: d

₃

 1   1  1  3 .

8) Dois cubos têm volumes V e 2V. Se a aresta do menor é L, então quanto vale a aresta do maior em função de L?

Solução. Considere L’ a aresta do cubo maior. Escrevendo as fórmulas de seus volumes, temos:

 ^{3 3 3}

3

3 3 3 3

2L³L2'L L2V2'L

V2)maior(V 'LV2 'L)maior(V V)menor(V LV

L)menor(V





 

 



 

 







.

9) (PUC-RS) Um prisma quadrangular reto tem base retangular de dimensões x e y. Sua altura mede z e a área total é 4x

²

. Sabendo que z 2y, calcule o volume em função de x.

Solução. Escrevendo as fórmulas correspondentes, temos:

 

2

³x 2 .2 x 2 . .x x z.

y.

x V

4 0 x8 4

x5 y x3

2 x 4

x2 4

x5 y x3

4 x5 x3 4

²x 25 x3 4

²x 16

²x 9 x3 )2

(2

²)x 2 )(2 (4

²x 9 y x3

0

²x 2 xy 3

²y 2

²x 2

²y 2 xy 2 xy

²x 4 y) y2 ( )y 2(

x xy 2

²x 4 A

y2 z

) zy xz xy (2 A

T T

 

 



 



 



 





 



 







 

 



 

 

 

 



 





 







 























 



 













.

10) A calha da figura a seguir tem a forma de um prisma triangular reto. O ângulo ABC mede 90º, e as medidas citadas são internas e em metros. O volume máximo de água que a calha poderá conter, em metros cúbicos, é igual a:

Solução. As bases são triângulos retângulos isósceles. A altura será a medida 20m. Utilizando a fórmula do volume temos:

³m90 )20.(

2 V 9 2 9 2

)3).(

A 3(

h.

A V

base

base  



 

 



 









.

11) (UFSC) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. Calcule a terça parte do volume da caixa, em cm³.

Solução. As dimensões da caixa estão

mostradas. Cada lado do papelão perdeu 2cm

no total em suas dimensões. A altura da caixa é

a medida do quadrado que foi retirado.

Calculando o volume da caixa e sua terça parte, temos:

³ cm 3 64

192 3

³ V cm 192 ) 2 ).(

8 ).(

12 (

V      .

12) (UNIFOR) Um aquário com forma de paralelepípedo de faces retangulares tem 40cm de comprimento, 30cm de largura e 20cm de altura e contém água, que ocupa 2/3 de sua capacidade. Um objeto é mergulhado na água, de maneira que o conteúdo do aquário passa a ocupar 19600cm³. Qual volume, em centímetros cúbicos, do objeto?

Solução. A capacidade do aquário é o volume total V = (40).(30).(20) = 24000cm³. A parte ocupada é 2/3 desse volume. Logo, V(ocupada) = 2/3 de 24000cm³ = 16000cm³. O volume aumentado corresponde exatamente ao volume do objeto mergulhado. Logo o volume do objeto é V(objeto) = 19600m³ – 16000cm³ = 3500m³.

13) Se um prisma hexagonal regular de altura 6 cm possui volume igual a 1728 3 cm ³, calcule a área lateral.

Solução. O volume do prisma é o produto da área da base pela altura. A área lateral é a soma dos produtos das medidas das arestas pela altura do prisma. Utilizando as fórmulas convenientes, temos:

  ^{8. 3 6 288 3 cm ²}

6 ) lateral (A

cm 3 3 8 . 3 3 24 3 24 3 l 576 2 288

3 l.3 4 288

3 l.6 3 288 A

4 3 6 l A

² cm 3 6 288

3 A 1728 )6 .(

A 3 1728 6

h

3 1728 V

h.

A V

2 2

base 2 base

b b

b

























 



 





 





 



 









 



 









.

14) A figura abaixo representa um prisma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas medem AB =10, DC = 6, AD = 4 e AE =10. O plano determinado pelos pontos A, H e G secciona o prisma determinando um quadrilátero. Calcule a área desse quadrilátero.

Solução. Para calcular a área do quadrilátero é preciso determinar as bases não paralelas que serão utilizadas no cálculo da altura da figura. Na figura do prisma o plano determina na face ADEG um triângulo retângulo AGD com catetos 4 e 10 e hipotenusa “x”. Temos:

29 2 116 100

16 x

² 10

² 4

²

x        .

Com esse valor determinamos a altura do trapézio e sua área.

 

  ^{4 7 ( 8 ).}   ^{4 7 32 7}

2 . 6 h 10

2 . b rea B

´ A

7 4 112 4

116 h

4

² 29 2

² h

² 2

² h

² x



 



 



 

 



 



  





















15) Uma barra de chocolate, na forma de paralelepípedo retângulo, de dimensões 60cm, 40cm e 5cm, é derretida para fazer chocolate com crocante. Para isso, ao chocolate derretido é acrescentado 25% do seu volume em castanhas, nozes e açúcar caramelizado. Com essa mistura, quantas barrinhas na forma de prismas hexagonais, de aresta da base medindo 2cm e altura 10cm, podem ser feitas aproximadamente? (Considere 3  1 , 73 ).

Solução. O volume inicial da barra é V(i) = (60).(40).(5) = 12000cm³. Há conservação de volume após o derretimento da barra. O volume é acrescentado de 25% de V(i) = 12000/4 = 3000cm³. O volume final é V(f) = 15000cm³.

Calculando o volume da barrinha na forma de prisma hexagonal e verificando quantas podem ser feitas, temos:

 

barrinhas

³ 144 cm 8, 103

³ cm 15000 : feitas ser Podem )ii

³ cm 8, 103 ) 73, 1(

60 3 60 ) 10 .(

3 6 h.

A ) barrinha (V cm

10 h

² cm 3 4 6

3 6 )2(

4 3 6 l

)i A _base

2 2

base















 



 





 





 



 







 



 

.

16) Uma indústria produz e comercializa um recipiente, sem tampa, no formato de um prisma reto de altura 8m, cuja base é um hexágono regular de lado 2m. O custo de produção de cada m² desse recipiente é de R$2,00. Sabendo-se que a indústria agrega um lucro de 15% na venda de cada unidade, qual é o valor de venda de cada recipiente? (Use 3  1 , 7 ).

Solução. Calculando a área total do prisma sem considerar a tampa, temos:

26, 244

$R 40, 212

$R )15, 1(:

Venda )iii

40, 212

$R

²m 2, 106

²m /00 ,2$

R:

Custo )ii

²m 2, 106 2, 10 96 )7,1 (6 96:

Total

²m 96 )16 (6 )2 8(6 ) lateral (A

²m 3 4 6

3 6 )8(

4 3 6 l )i A

2 2

base



















 



 











 





 



 







 



 

.

17) Calcular o volume de um prisma triangular regular de 5 3 cm de altura, sabendo-se que a área lateral excede a área da base de 56 3 cm ² .

Solução. O prisma triangular regular possui como base triângulos equiláteros. Calculando as medidas das arestas da base, temos:

 

 

  ^{4( ).( 15 ) 60 cm ³}

4 )3 )(

5 )(

16 3 ( 4 5.

3 )4 V (

³ cm 11760 ) 15 ).(

784 4 (

)3 )(

5 )(

3136 3 ( 4 5.

3 ) 56 V (

cm 2 4 8 2

52 l 60

cm 2 56 112 2

52 l 60

2 52 60 2

2704 60 2

896 3600 60 2

) 224 )(

1(

4 )² 60 ( l 60

0 224 l.

60

²l 224

²l l.

60 3 4 56

3 3 l .l.

15 3 .l.

15 3 5 ).l .(

3 A

4 3 A l

2 2

2 1

2

Lateral 2 base





 







 



 





 







 



 

 



 





 





 



 

 

 

 



 





















 



 











.