Fundamentos de Telecomunicações 2003/04

(1)

EXAME

Fevereiro

5,

2004

Duração: 120 minutos

Número: __________ Nome: ___________________________________________

Pretende contabilizar as notas dos testes? sim

❐

não

❐

Assinatura

A resolução do exame é feita no enunciado que acaba de lhe ser distribuído. Não se esqueça de preencher todos os cabeçalhos com a sua identificação. Identifique com o seu número e no local apropriado todas as folhas de resposta ao exame. Leia com atenção os enunciados de todos os problemas. Sendo necessário desenhar gráficos, não se esqueça de os legendar completamente. Justifique as suas respostas. Note que quem corrige tem de ficar convencido de que quem responde sabe, de facto, o que está a fazer.

Bom trabalho!

PARTE I

PARTE I ---- 10 valores

10 valores

I-1.

Considere a fonte A, cujos símbolos e respectivas probabilidades de ocorrência se definem na tabela seguinte.

m1 m2 m3 m4 m5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

a)

Quanto vale a entropia da fonte A? 1

b)

Determine um código de Huffman que represente a fonte A.

c)

Quanto vale a eficiência do código obtido em b)?

I-2.

Considere o sinal de banda lateral dupla

( )

t Ac

( ) (

t cos2 fct c

)

Ac

( ) (

t sin 2 fct c

)

s = α π +θ + β π +θ

onde α

( )

t e β

( )

t têm largura de banda B_α e B_β, respectivamente, B_α<B_β <<f_c.

a)

Qual é o valor da largura de banda de s

( )

t ?

b)

Determine a expressão das componentes em fase e em quadratura de s

( )

t .

c)

Determine a expressão da envolvente e da fase de s

( )

t .

I-3.

Considere o sinal de FM x_c

( )

t =A_ccos

(

2πf_ct+Φ

( )

t

)

. Suponha que o sinal

modulante tem largura de banda B e que verifica x

( )

t ≤1. Suponha ainda que B<<f_∆<<f_c. A potência de transmissão é P_T=P_x_cG, onde

c

x

P e G são a potência do sinal de FM e o ganho de potência do emissor, respectivamente. O canal introduz ruído branco aditivo com densidade espectral de potência S_w

( )

f =η/2. A atenuação de potência no canal de

transmissão é determinada pelo parâmetro λ. 1

( )

32 . 3 1 . 0

log₂ ≅− ; log

( )

αβ =log

( )

α +log

( )

β

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

☺

A preencher apenas por quem não compareceu ao exame de 17 de Janeiro de 2004

(2)

c

A G λ f_∆ η

100 mV 10 dB 0.1 dB/Km 500 KHz 2×10-12 W/Hz

a)

Usando os dados da tabela acima, calcule 2

(i)

A potência de transmissão (em dBW).

(ii)

A largura de banda de transmissão (em MHz).

(iii)

A potência do ruído na banda de transmissão (em dBW).

b)

Assuma que o receptor tem um limiar de SNR_R ≥γ_th =10dB. Calcule a distância máxima emissor – receptor que este sistema de transmissão em FM suporta (em Km).

I-4.

Considere um sistema de transmissão digital quaternário que usa para sinalização os sinais da figura seguinte.

a)

Calcule os parâmetros α_i :ϕ_i

( )

t =α_is_i

( )

t =1,i=1,_K,4.

b)

Especifique um subconjunto de sinais

{ }

( )

N 4

1 j j t ₌≤ φ = Φ de

{ }

ϕ_i

( )

t 4_i₌₁que constitua uma base ortonormada do espaço gerado pelos sinais

{ }

s_i

( )

t 4_i₌₁. Qual é a dimensão deste espaço?

c)

Represente os sinais

{ }

s_i

( )

t 4_i₌₁ no espaço gerado pela base .Φ

d)

Suponha que os símbolos quaternários são equiprováveis. Admita que o ruído de canal é branco e gaussiano. Represente as regiões óptimas de decisão (mínima probabilidade de erro) sobre a figura que usou para responder a c).

2 3 . 0 2 log ≅ 0 0 0 0 1 -1 2 4 2 4 1 2 34 1 2 34 t t t t s1(t) s2(t) s3(t) s4(t)

(3)

EXAME

Fevereiro

5,

2004

Duração: 120 minutos

Número: __________ Nome: ___________________________________________

PARTE II

PARTE II ---- 6 valores

6 valores

Resolva apenas dois (à sua escolha) dos problemas seguintes

II-1.

Considere um sistema de transmissão digital de sinais vídeo v

( ) ( )

t :v t ≤1 (Volt), com largura de banda B=4.2MHz. O sinal correspondente a uma imagem (frame) tem a duração T=1/32s. Cada imagem é amostrada ao ritmo de Nyquist, sendo as amostras (pixels) quantizadas em M níveis de cinzento e codificadas em palavras binárias de comprimento fixo ν. A potência do ruído de quantização deste sistema de digitalização é limitada, ou seja, P 49.2dBW.

Q

N ≤− 3 O sinal PCM é transmitido usando impulsos com factor

de decaímento α=0,5.

a)

Calcule os valores dos seguintes parâmetros:

(i)

frequência de amostragem,

(ii)

M,

(iii)

ν,

(iv)

taxa de transmissão.

b)

Usando resultados obtidos em a), calcule o valor da potência do ruído de quantização resultante.

c)

Calcule o valor mínimo da largura de banda necessária para que a transmissão do sinal de vídeo digitalizado seja imune à interferência inter – simbólica.

II-2.

Considere um sinal PAM, x_PAM

( )

t , constituído por uma sequência de impulsos rectangulares com duração T e amplitudes equiprováveis ±1. O canal introduz ruído aditivo branco gaussiano com espectro de potência η/2. O receptor é constituído por um filtro adaptado ao impulso rectangular usado, seguido de um circuito de amostragem que actua nos instantes óptimos. Seja Y a saída do amostrador em cada instante de amostragem. De acordo com as hipóteses possíveis:

N A Y : H N A Y : H 1 0 + = + − =

onde N é a variável aleatória que representa as amostras do ruído filtrado pelo filtro adaptado.

a)

Represente graficamente a resposta impulsional do filtro adaptado.

b)

Calcule a respectiva função de transferência.

c)

Calcule A e a variância de N.

d)

Determine a expressão da probabilidade de erro em termos das funções erfc(x) ou

( )

x Q .4 3 6 8 . 4 60 2 . 49 =− + + − , log2≅0.3, log3≅0.48 4

( )

x 2 Q 2 x erfc = INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

(4)

II-3.

Considere um código de blocos linear (2,5) definido pelo conjunto de palavras admissíveis X que codificam o conjunto de mensagens M de acordo com a tabela seguinte.

M X 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

a)

Quanto vale a distância deste código?

b)

Qual é o valor máximo do peso dos padrões de erro que este código

(i)

pode detectar?

(ii)

pode corrigir?

c)

Determine a matriz G geradora deste código.

(5)

EXAME

Fevereiro

5,

2004

Duração: 120 minutos

Número: __________ Nome: ___________________________________________

PARTE III

PARTE III ---- 4 valores

4 valores

Resolva apenas um (à sua escolha) dos problemas seguintes

III-1.

Suponha que x_PM

( )

t é uma portadora de amplitude A_c e frequência f_c modulada em fase pelo sinal x

( )

t , função amostra de um processo estacionário com espectro de potência

( )

. B 2 f rect 2 f S_x x       γ =

Assuma que f_c >>

( )

2π−1ϕ_∆ >>B, sendo válida a aproximação quase estacionária. O canal de transmissão introduz ruído branco aditivo com espectro de potência η/2, independente de

( )

t

x . Como sabe, o filtro de recepção (incluindo o limitador) produz o sinal

( )

t Acos

(

2 f t

( )

t

)

,

y = π _c +Φ_R

onde Φ_R

( )

t é o desvio instantâneo de fase do sinal que resulta da soma de x_PM

( )

t com o ruído passa – banda.

a)

Escreva a expressão do desvio instantâneo de frequência do sinal x_PM

( )

t .

b)

Assuma que o sinal y

( )

t é processado por um desmodulador de frequência, o qual produz a saída

( )

. dt t d 2 1 t ΦR π =

ψ Escreva a expressão da saída ψ

( )

t quando:

(i)

o ruído de canal é nulo;

(ii)

o emissor transmite a portadora não modulada.

c)

Nas condições de b), mostre que a relação sinal – ruído de saída é dada por . 2 A SNR 2 x 2 c D _η η ϕ = _∆

III-2.

Considere o conjunto de 4 sinais, todos com energia E, duração temporal T e portadora f_c: f_cT=n>>1,

( )

(

)

[ ]

    ∉ = ∈ π + π = T 0, t ; 0 7 , 5 , 3 , 1 m ; T 0, t ; 4 / m t f 2 cos T E 2 t s c m

Os símbolos correspondentes a estes sinais são equiprováveis 5. O canal adiciona ruído branco gaussiano com espectro de potência S_w

( )

f =η/2. Nestas condições, usando a base ortonormada 5 1,3,5,7 m , 4 m m= π = θ 2 1 4 sin 4 cosπ= π= INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

(6)

( )

(

)

[ ]

( )

sin

(

2 f t

)

, t

[ ]

0,T , T 2 t T 0, t , t f 2 cos T 2 t c 2 c 1 ∈ π − = φ ∈ π = φ

as regiões óptimas de decisão do receptor de mínima probabilidade de erro são as que se representam na figura seguinte.

Suponha que devido a uma falha do emissor, este passa a usar os sinais ortonormados

( )

t sin

( )

t cos

( )

t , t sin t cos t 2 1 2 2 1 1 φ θ + φ θ − = ϕ φ θ + φ θ = ϕ

onde θ corresponde a um desvio de fase determinístico, θ<π/4.

Supondo que o receptor se mantém inalterado, i.e., tal como foi desenhado para a base

( ) ( )

{

φ₁ t,φ₂ t

}

, determine a expressão da probabilidade de erro em termos das funções erfc(x) ou Q

( )

x .6 6

( )

x 2 Q 2 x erfc = 1 φ 2 φ 1 s 3 s 5 s s₇ 1 Z 3 Z 5 Z Z₇

(7)

FORMULÁRIO Notação    _≤ =       contrário caso , 0 2 / T t , 1 T t rect     ≤ − =       contrário caso , 0 T t , T t 1 T t tri

( )

x x sin x sinc π π = Identidades trigonométricas

( )

θ −

( )

− θ = θ exp j exp j sin

2j 2cosθ=exp

( )

jθ +exp

( )

−jθ

(

α−β

)

−

(

α+β

)

= β

αsin cos cos

sin

2 2cosαcosβ=cos

(

α−β

)

+cos

(

α+β

)

(

α−β

)

+

(

α+β

)

= β

αcos sin sin

sin 2

(

α±β

)

=sinαcosβ±sinβcosα

sin cos

(

α±β

)

=cosαcosβ_msinαsinβ

( )

θ + = θ 1 cos2 cos 2 2 2sin2θ=1−cos

( )

2θ

( )

θ = θ θcos sin 2 sin 2

Série de Fourier de sinal periódico com período T0=1/f0

( )

∑

+∞ −∞ = π = n 0 n t nf 2 j e c t s s

( )

t e j2 nf tdt, n _K, 1,0,1,_K T 1 c 0 T 0 0 n = − π − =

∫

( )

∑

∫

+∞ −∞ = = = n 2 n T 2 0 s s t dt c T 1 0 P Transformada de Fourier

( )

+∞

_∫

( )

∞ − π = Sf ej2 ft df t s

( )

∫

( )

+∞ ∞ − π − = s t e j2 ft dt f S

( )

_∫

( )

∫

+∞ ∞ − +∞ ∞ − = = s t 2dt Sf 2df s E

Transformadas de Fourier úteis

( )

fT sinc T T t rect ↔      Tsinc

( )

fT T t tri ↔ 2     

( )

B 2 f rect 2B 1 Bt 2 sinc       ↔

( )

B 2 f tri 2B 1 Bt 2 sinc2       ↔

(

)

₂

_{( )}

₂ f 2 2 t exp π + α α ↔ α −

(8)

Teoria da Informação Entropia 0≤H

( )

A ≤log₂M Desigualdade de Kraft 2 1 M 1 i li ≤

∑

= − Variáveis Aleatórias

fdp gaussiana de média m e variância σ2

( )

(

)

∞< <+∞         σ − − πσ = − , - u 2 m u exp 2 u f 2 2 2 / 1 2 X Desigualdade de Chebishev

{

}

2 m X Pr − ≥εσ ≤ε− Função de erro complementar

( )

+∞

_∫

( )

− π = x 2 du u exp 2 x erfc Função Q

( )

+∞

_∫

(

−

)

π = x 2_/₂_du u exp 2 1 x Q

Ruído Passa – Banda

( )

t A

( )

t cos

(

2 f t

( )

t

)

N

( ) (

t cos2 f t

)

N

( ) (

t sin 2 f t

)

N = _N π _c +Φ_N = _I π _c − _Q π _c

( )

              − +       + η = T c T c N B f f rect B f f rect 2 f S

( )

_      η = = T N N B f rect f S f S _I _Q

Relação Sinal – Ruído de Recepção

ruído de potência recebida sinal de potência P P SNR N R

R = = (medidas na saída do filtro de recepção)

Relação Sinal – Ruído de Detecção

mensagem de ausência na sinal de potência ruído de ausência na sinal de potência P P SNR o N o

D = = (medidas na saída do receptor)

Saída do receptor coerente de AM: componente em fase do sinal recebido Saída do detector de envolvente: envolvente do sinal recebido

Saída do receptor de PM: desvio instantâneo de fase do sinal recebido Saída do receptor de FM: desvio instantâneo de frequência do sinal recebido

(9)

Transmissão Digital Sinal PAM

( )

∑

(

)

+∞ −∞ = − = k b kp t kT a t x

Espectro de Potência do Sinal PAM

( ) ( )

∑

( )

∞ + −∞ = π − = n fnT 2 j a b 2 x R n e b T f P f S

Capacidade do canal aditivo gaussiano _

     η + = B P 1 log B C ₂

Códigos de Blocos Lineares (k,n)

mensagem binária - m:(1×k) palavra do código binário - x:(1×n)

[

b0 bn−k−1

]

= m L x matriz geradora - G:

(

k×n

)

mG x= com G=

[

I_k P

]

, P:

(

k×

(

n−k

)