N(0) número de núcleos da espécie inicial no instante t=0. N(t) número de núcleos da espécie inicial no instante t. λ constante de decaimento

Lei

Lei do

do Decaimento

Decaimento Radioactivo

Radioactivo

Lei

Lei do

do Decaimento

Decaimento Radioactivo

Radioactivo

• Lei do decaimento(exponencial)

• N(0) número de núcleos da espécie inicial no instante t=0. • N(t) número de núcleos da espécie inicial no instante t. •λλλλ constante de decaimento ( ) ( ) dt N Ndt N t dt N t N dN Ndt λ λ λ λ ∆ = + = − ∆ ⇔ = −

↔ probabilidade de transformação elementar durante dt

↔ número médio de transformações (dum elemento) ocorridas em dt ↔ número médio de ocorrências na amostra com N elementos em dt

↔ variação na amostra em dt # n u cl íd eo s N (t )/ N (0 ) T1/2ττττ tempo (s) 1/e • T1/2 Meia vida (Período de semi-transformação)

( )

(0)

t

N t

=

N

e

−

λ

( ) ( 0 ) / ( 0 ) ( 0 ) / N N e N e N e λ τ τ λ λ − = − = = 1 / 2 1 / 2 ( ) ( 0 ) / 2 ln 2 0 , 6 9 3 N T N T λ λ = = = •τ=1/λτ=1/λτ=1/λτ=1/λ Vida média 1

Lei

Lei do

do Decaimento

Decaimento Radioactivo

Radioactivo

Lei

Lei do

do Decaimento

Decaimento Radioactivo

Radioactivo

# n u cl íd eo s N (t )/ N (0 ) λ λ λ

λgrande λ λ λ λmédio λ λ λ λpequeno

t (s)

( )

(0)

t

N t

=

N

e

−λ Influência da constante de decaimento sobre a evolução do número que núcleos “sobreviventes” em dado instante ( ) ( 0 ) / 1 N τ N e τ λ = = 1 / 2 1 / 2 ( ) ( 0 ) / 2 ln 2 N T N T λ = = 2

Notar: Se um dado sistema tem mais que um canal de decaimento, a taxa a que ele desaparece é a soma das taxas de cada um desses canais

A ct iv id ad e A (t )/ A (0 ) T_1/2ττττ tempo (s) 1/e

• Actividade A(t) = nº de transformações por unidade de tempo

• A(0) = λ N(0) =

= taxa de decaimentos em t=0 (actividade inicial)

Lei

Lei do

do Decaimento

Decaimento Radioactivo

Radioactivo

Lei

Lei do

do Decaimento

Decaimento Radioactivo

Radioactivo

Raramente medimos o número de átomos de uma amostra, N(t) – é difícil Mais acessível é observar as transformações que nela ocorrem, a sua variação temporal – através da detecção das emissões de radioactividade

α, βouγ ( ) (0) t dN N t N e dt λ λ =λ − = − t

e

A

t

A

(

)

=

(

0

)

−λ 3

Num sistema em cadeia …

Num sistema em cadeia …

Num sistema em cadeia …

Num sistema em cadeia …

• Frequentemente um nuclídeo radioactivo, pai, decai para um outro, o filho, tb/ radioactivo

• As actividades do “pai” e do “filho” : sistema de 2 equações diferenciais lineares de 1ª ordem

• NOTAR: Fala-se de EQUILÍBRIO quando é igual a actividade de diferentes membros da cadeia

N₁(t) Pai N₂(t) Filho N3Neto

estável 1 1 1

_N

dt

dN

₌

₋

_λ

1 1 2 2 2

_N

_N

dt

dN

₌

₋

_λ

₊

_λ

4 λλλλ1 λλλλ2

1 1( ) 1(0) t N t =N e−λ

(

1 2

)

1 2 1 2 1 ( ) (0) t t N t N λ e λ e λ λ λ − − = − −

(

1 2

)

2 1 2 1 2 2 1 ( ) (0) t t (0) t N t N λ e λ e λ N e λ λ λ − − − = − + − Soluções do sistema: - Condições iniciais... a) N₁(0)≠≠≠≠0eN₂(0)= 0 1 1( ) 1(0) t N t =N e−λ b) N1(0)≠≠≠≠0eN2(0)≠≠≠≠0 Actividades: A₁(t)=λλλλ₁N₁(t) A₂(t)= λλλλ₂N₂(t)

(

1 2

)

2 2 2 1 2 2 1 ( ) (0) t t (0) t A t A λ e λ e λ A eλ λ λ − − − = − + − 1 1( ) 1(0) t A t =A e−λ

(

1 2

)

2 2 1 2 1 ( ) (0) t t A t A λ e λ eλ λ λ − − = − − 1 1( ) 1(0) t A t =A e−λ

Num sistema em cadeia …

Num sistema em cadeia …

Num sistema em cadeia …

Num sistema em cadeia …

5

• Se

λλλλ

₁<<

λλλλ

2(i.e., ττττ1>>ττττ2) o decréscimo de actividade do pai ao

longo de algumas vidas médias do filho é desprezável

Obs.: Admita-se partir de

uma amostra pura de “1”, i.e.,N₂(0)=0

“Equilíbrio secular”

“Equilíbrio secular”

“Equilíbrio secular”

“Equilíbrio secular”

(

)

(

)

1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( ) (0) (0) 1 ( ) , t t t N t N e e N e A N N t A Mais N N λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − = − − ≅ − = → = = Equilíbrio Secular Equilíbrio Secular Activity 5 10 15 20 0.5 1 1.5 2 226 Ra 222 _Rn 226 _{Ra +} 222 _Rn Time (h) Outro exemplo: veja-se a actividade da amostra ! 6

“Equilíbrio transitório”

“Equilíbrio transitório”

“Equilíbrio transitório”

“Equilíbrio transitório”

• Se

λλλλ

₁<

λλλλ

₂(ou seja, τ1>τ2) resulta o “Equilíbrio Transitório”

(

2 1

)

2 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) lim 1 ( ) t t A t N A t N e A t A t λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − →∞ = = = − − = ≈ −

A espécie 2 evolui com as características da espécie 1 (como se

tivesseλiouτ1); uma solução sempre “transitória”

7

Outra

Outra situaçãosituação……

• Sendo

λλλλ

₁>

λλλλ

₂ não ocorre equilíbrio, mas o pai (1) desaparece depressa • A actividade do filho começa por crescer

e decresce depois

• Para tempos longos, t>>1/λ₁ resulta 1 2

2 1 1 2 ( ) (0) t N t N λ e λ λ λ − ≅ − 8

IRRADIAÇÃO DE UMA AMOSTRA IRRADIAÇÃO DE UMA AMOSTRA IRRADIAÇÃO DE UMA AMOSTRA IRRADIAÇÃO DE UMA AMOSTRA

• Considere um feixe de partículas de intensidadeI

NOTAR:_{II = #} = # partículaspartículas / (/ (unidadeunidade de tempo de tempo ××unidadeunidade de de áreaárea))

• Admita uma amostra com um dado nuclídeo sujeita a esse feixe • Sendo σσσσa secção eficaz para a reacção de absorção, resulta:

Taxa de formação: R = N0 σσσσI

• Admita-se que o nuclídeo formado pela absorção da partícula é radioactivo e decai à taxa λλλλ1

• Variação da população desse nuclídeo 1 :

dN1 = Rdt -λλλλ1N1dt • Integrando:

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 t t R N t e A t N t R e λ λ λ λ − − = − = = − 1 1( ) 1 t<<τ A t≅R tλ 1 1( ) t>>τ A t ≅R 9 Estatística

Estatística no no decaimentodecaimento radioactivoradioactivo Estatística

Estatística no no decaimentodecaimento radioactivoradioactivo

• λ ≠λ ≠λ ≠λ ≠0 não obriga a que uma dada transição se dê …

• Estatística de pequenos números: probabilidade de observar o número k de eventos num dado intervalo de tempo, fixo, se em média ocorrerem nesse tempo λλλλe os eventos forem independentes

• Probabilidade de ocorrerem n eventos

10

• Probabilidade de ocorrência durante∆t = λλλλ∆∆∆∆t

na amostra _{( )} ( ) ! n N t N t e P n n

λ

λ

∆ − ∆ =

• Para n grande, a distribuição de Poisson

tende paraa distribuiçãodistribuição de GAUSSde GAUSS

2 1 ( ) ( ) exp 2 2 N t n P n N t N t λ λ π λ  _{∆ −}  = −  ∆ ∆   2 n N t N t

λ

σ

λ

= ∆ = ∆ Distribuição de POISSON Média Média Variância Variância

Decaimento radioactivo e leis de conservação Decaimento radioactivo e leis de conservação Decaimento radioactivo e leis de conservação Decaimento radioactivo e leis de conservação

-Conservação do momento linear⇒recúo do núcleo restante

-Conservação da energia total ⇒ massas determinam as

condições de estabilidade em cada processo

Q = energia em excesso = = Ecin(produtos)

-Conservação da carga eléctrica

Ex.:β+_⇒p+ →_n(o)_{+ e}+₊ ν(o)

-Conservação do momento angular

Ex.: o fotão tem momento angular 1

11 ( ) _{X Y a} ( _b) X → +Y a +b ⇒ p
→ p
+ p
+p

[

( )

]

0 Processo expontâneo X Y a b Q M M M M Q = − + + > ⇔ Condições

Condições energéticasenergéticas nosnos decaimentosdecaimentos ααααααααe e ββββββββ Condições

Condições energéticasenergéticas nosnos decaimentosdecaimentos ααααααααe e ββββββββ Decaimento

Decaimento

αααααααα

X(A, Z) →→→→Y(A–4, Z–2) + He(4,2)|núcleo Como o Y(A-4.Z-2) tem afinal 2 electrões a mais, resulta

Q = M (A,Z) – [ M(A–4, Z–2) + M(He) ]

12

Tendo o estado final dois corpos, a conservação de momento e de energia obriga a:

i) orientação relativa do movimento de

Y(A–4, Z–2) e da partícula alfa bem determinada (… qual será ?) ii) Energia cinética dos dois corpos

bem definida, i.e., espectro

Condições

Condições energéticasenergéticas nosnos decaimentosdecaimentos ααααααααe e ββββββββ Condições

Condições energéticasenergéticas nosnos decaimentosdecaimentos ααααααααe e ββββββββ

13 Decaimento Decaimentoββββββββ ββββββββ- _n→→→_{→p + e}-₊ νννν anti Q = [mn– mp– me]c2 Q = [m_n– M(1 1H)] c2

X(A, Z) →→→→Y(A, Z+1) + e-+ ννννanti

sai um e-, mas … falta um para o átomo Y ser neutro

Q = [M(A,Z) – M(A,Z+1)]c2

ββββββββ+ _{X(A, Z)} →→→→_{Y(A, Z–1) + e}+₊ νννν

sai um electrão (e-) e fica Y(A, Z–1) com Z-1 electrões

Q = [M(A,Z) – M(A,Z1) – 2m_e]c2

c.e

c.e.. X(A, Z) →→→→Y(A, Z–1) + νννν (p + e-→→→→n + νννν)

o e-que desaparece vem da nuvem electrónica

Q = [M(A,Z) – M(A,Z1)]c2

Condições

Condições energéticasenergéticas nosnos decaimentosdecaimentos ααααααααe e ββββββββ Condições

Condições energéticasenergéticas nosnos decaimentosdecaimentos ααααααααe e ββββββββ

14 DUAS SITUAÇÕES DIFERENTES

DUAS SITUAÇÕES DIFERENTES

a) a) ββββββββ- _n→→→→_{p + e}-₊ νννν anti Q = [mn– mp– me]c2 ββββββββ+ _{X(A, Z) →}→→_{→Y(A, Z–1) + e}+₊ νννν Q = [M(A,Z) – M(A,Z1) – 2me]c2 Estados

Estados finaisfinais de 3 de 3 corposcorpos::

impossível

impossível preverprever comocomo Q Q é

é distribuídodistribuído entre entre eleseles;;

espectros

espectros de de energiaenergia de de

ββββββββ-_e ββββββββ+_{sãosão descontínuosdescontínuos ! !}

b)

b) c.ec.e.. X(A, Z) →→→→Y(A, Z–1) + νννν Q = [M(A,Z) – M(A,Z1)]c2 Obs.:

Obs.: ApenasApenas 2 2 corposcorpos no no estadoestado final final

-- É É possívelpossível preverprever momentosmomentos ((iguaisiguais e e opostosopostos) de ) de Y eνννν

- Diferença de massas ⇒⇒⇒⇒ E_νννν≅≅≅≅Q (ννννleva quase toda a energia)

Q _Q

Alguma explicação para esta diferença ?

Mas

Mas quandoquando háhá estabilidadeestabilidade, , comocomo é é queque elaela surge ?surge ? Mas

Mas quandoquando háhá estabilidadeestabilidade, , comocomo é é queque elaela surge ?surge ?

15

•• O O modelomodelo dada GotaGota LíquidaLíquida contémcontém as “

as “forçasforças de de curtocurto alcancealcance” e de ” e de facto o

facto o comportamentocomportamento dada interacçãointeracção N

N--N (N (nucleãonucleão--nucleãonucleão) ) tem tem estaesta forma.forma.

B(MeV) 0

- 40

~1fm

0 r

•• IstoIsto devedeve--se a se a seremserem as as forçasforças emem presençapresença ““forçasforças de de trocatroca”” •• … … e e sabemossabemos atéaté tratartratar--se de se de trocatroca de de mesõesmesõesππππππππ

• PRINCÍPIO DA INCERTEZA pode escrever-se

• Assim pode violar-se a conservação durante

• Durante esse tempo a partícula de massa m pode, no máximo, deslocar-se até uma distância x

2 t mc ∆ _≃ ℏ 2 2 E t mc t ∆ ∆ = ∆ ≥ℏ

( )

2 x c t c mc = ∆ = ℏ

• Nas condições do problema, tal partícula poderá ter uma energia em repouso inferior a

• Ora o pião tem justamente massa de ~140 MeV/c2

2 200 . 200 1 c MeV fm mc MeV x fm = ℏ = =