NOTAS DE AULAS DE PRÉ-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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Câmpus Curitiba

Diretoria de Graduação e Educação Profissional

Departamento Acadêmico de Matemática

SILVANA HEIDEMANN ROCHA

NOTAS DE AULAS DE

PRÉ-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

• Sistematização de Conjunto

• Sistematização dos Conjuntos Numéricos

o Conjunto dos Números Naturais (

N

) o Conjunto dos Números Inteiros (

Z

) o Conjunto dos Números Racionais (

Q

) o Conjunto dos Números Irracionais (

R−Q

) o Conjunto dos Números Reais (

R

)

o Conjunto dos Números Complexos (

C

)

• Estudo dos Números Reais

• Sistemas de Coordenadas

• Relação Binária

• Função Real de uma Variável Real

• Gráfico de Função Real de uma Variável Real

• Funções Trigonométricas Hiperbólicas

Curitiba 2018

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Caro(a) estudante,

Estas notas de aulas têm o objetivo de auxiliá-lo(a) na revisão de conteúdos básicos para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, elas não o(a) dispensa de consultar livros.

Caso você encontre erros de quaisquer tipos ou tenha sugestões a fazer, favor comunicar-me; assim, poderei aperfeiçoar o material.

O conteúdo deste material pode ser usado por qualquer pessoa, desde que seja citada a fonte.

Grata por sua colaboração e bom estudo.

Profª Silvana Heidemann Rocha

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SUMÁRIO PARTE 1 1 INTRODUÇÃO SOBRE CONJUNTO

1.1 NOÇÃO DE CONJUNTO

1.2 FORMAS DE REPRESENTAR UM CONJUNTO 1.3 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA (∈, ∉ ) 1.4 CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA 1.5 CONJUNTOS IMPORTANTES 1.5.1 Conjunto Vazio 1.5.2 Conjunto Unitário 1.5.3 Conjunto Universo 1.6 CONJUNTOS IGUAIS 1.7 CONJUNTOS DISJUNTOS

1.8 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO ( ,  ) 1.9 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO 1.10 PAR ORDENADO

1.11 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 1.11.1 União (  )

1.11.2 Interseção (  ) 1.11.3 Diferença ( − ) 1.11.4 Complementar ( c ) 1.11.5 Produto Cartesiano (



)

1.12 PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS, 1.13 PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO

2 CONJUNTOS NUMÉRICOS

2.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (

N

) 2.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (

Z

) 2.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (

Q

) 2.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (

R

−

Q

) 2.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (

R

)

2.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (

C

)

3 ESTUDO DOS NÚMEROS REAIS (

R

)

3.1 INTERVALOS

3.2 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 3.3 RAIZ QUADRADA EM R

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PARTE 2 1 SISTEMAS DE COORDENADAS

1.1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL OU SISTEMA LINEAR 1.1.1 Conceito e Representação

1.1.2 Comprimento de um Segmento Retilíneo Orientado 1.1.3 Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear 1.1.4 Vizinhança e Ponto de Acumulação, na Reta Real 1.2 SISTEMAS BIDIMENSIONAIS

1.2.1 Conceito, Tipos e Representações

1.2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal ou Plano Cartesiano

1.2.2.1 Distância entre Dois Pontos, no Plano Cartesiano

1.2.2.2 Vizinhança e Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano

2 INTRODUÇÃO À RELAÇÃO BINÁRIA E À FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL (Conceitos) 3 RELAÇÃO BINÁRIA

3.1 DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO

3.2.DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM DE UMA RELAÇÃO BINÁRIA 3.3 RELAÇÃO INVERSA

4 FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

4.1 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO

4.2 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 4.3 FUNÇÕES IGUAIS

4.4 REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 4.4.1 Diagrama de Venn

4.4.2 Gráfico

4.4.3 Função na Forma Explícita 4.4.4 Função na Forma Implícita 4.4.5 Função na Forma Paramétrica 4.5 CLASSIFICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO

4.5.1 Função Injetora, Função Sobrejetora, Função Bijetora 4.5.2 Função Par, Função Ímpar

4.5.3 Função Periódica 4.6 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

4.6.1 Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão 4.6.2 Multiplicação de uma Função por um Escalar

4.6.3 Composição de Duas Funções ou Função Composta 4.6.4 Inversão ou Função Inversa

4.7 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 4.7.1 Conceito, Definição e Representação, no Plano Cartesiano 4.7.2 Sinais e Zeros de uma Função

4.7.3 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento 4.7.4 Extremos Relativos e Extemos Absolutos 4.7.5 Translação e Reflexão de Gráfico

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PARTE 3

1 Funções Hiperbólicas Diretas 2 Funções Hiperbólicas Inversas

                                       a hiperbólic cossecante da argumento Função a hiperbólic secante da argumento Função a hiperbólic cotangente da argumento Função a hiperbólic tangente da argumento Função o hiperbólic cosseno do argumento Função o hiperbólic seno do argumento Função inversas a hiperbólic cossecante Função a hiperbólic secante Função a hiperbólic cotangente Função a hiperbólic tangente Função o hiperbólic cosseno Função o hiperbólic seno Função diretas as hiperbólic ricas Trigonomét 1                                                                                                                                                          ₌             etc integral Função derivada Função sinal Função inteiro menor Função inteiro maior Função modulares Funções funções Outras inversas diretas as hiperbólic ricas Trigonomét cossecante arco Função secante arco Função cotangente arco Função tangente arco Função cosseno arco função seno arco Função inversas cossecante Função secante Função cotangente Função tangente Função cosseno Função seno Função diretas circulares ricas Trigonomét a Logarítmic l Exponencia entes transcend Funções s Irracionai Q(x) P(x) ) ( as Fracionári cúbicas ou grau 3º s quadrática ou grau 2º Afim Linear grau 1º Constante is) (polinomia Inteiras Racionais algébricas Funções s elementare Funções 1 x f

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PARTE 1

1 INTRODUÇÃO SOBRE CONJUNTO 1.1 Noção de conjunto

Em Matemática, existem várias teorias sobre conjuntos, por exemplo, a teoria ingênua de conjuntos e a teoria axiomática de conjuntos. Em geral, essas teorias adotam o termo "conjunto" como um conceito primitivo, isto é, um termo que não se define. Entretanto, intuitivamente, o termo "conjunto" significa agrupamento, classe ou coleção de elementos.

É convencionado nomear os conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Os elementos ficam separados por vírgulas e delimitados entre chaves.

Exemplo (Ex.): A = { r, s, t }.

1.2 Formas de representar um conjunto

As representações mais comuns de um conjunto são feitas por uma propriedade de seus elementos, pela enumeração desses elementos, por diagramas e, quando possível, geometricamente.

Ex.: M = { x / x é o número de erros na página de um livro} (por uma propriedade)

M = {0, 1, 2, ..., n} (pela enumeração dos elementos)

M

(por diagrama)

Um conjunto é caracterizado pelos seus elementos e não pelo seu nome, nem pela forma de representar o conjunto, nem pela ordem dos elementos.

Ex.1: T = { 1, 3, 3, 5, 5, 5} = {1, 3, 5}

Ex.2: S = {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0}

Ainda, os elementos de um conjunto podem ser também conjuntos. Ex.: B = { 7, 1/2, 4, m, {2, 4, 7}, {a} }

0 1

2

(7)

1.3 Relação de pertinência

É convencionado usar os símbolos ∈ e ∉ para relacionar elementos com conjuntos, ainda que os elementos possam ser também conjuntos. Lê-se “pertence” para o símbolo ∈ e “não pertence” para ∉.

Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 2}, {{5}} }, tem-se:

1 ∈ P ; 2 ∈ P ; {1, 2} ∈ P ; {{5}} ∈ P ; 5 ∉ P ; {1} ∉ P ; {5} ∉ P

1.4 Correspondência biunívoca

É o tipo de correspondência entre dois conjuntos no qual cada elemento do primeiro conjunto é relacionado a um único elemento do segundo conjunto, e vice-versa. Ex.:

1.5 Conjuntos importantes

1.5.1 Conjunto Vazio ( ): É aquele que não possui elemento algum. Ex.: A =  ou A = { }.

Observação: O conjunto B = { } não é vazio, pois possui o elemento  .

1.5.2 Conjunto Unitário: é aquele que possui um único elemento. Ex.1: { 3 } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo algarismo 3)

Ex.2: { {5} } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo unitário 5).

Ex.3: { {6, 7} } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo par não-ordenado 6 e 7).

1.5.3 Conjunto Universo (U): é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos do assunto sob análise.

Ex.1: Num problema de geometria plana, o conjunto universo é um plano.

Ex.2: Em resolução de equação algébrica, o conjunto universo é um conjunto

numérico, geralmente.

Ex.3: Em Álgebra Linear, vários problemas são resolvidos no universo das matrizes

de ordem m × n (lê-se: 'm por n' ).

Senha 1 Senha 2 Senha 3 Senha 4 Pessoa A Pessoa B Pessoa C Pessoa D M N

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1.6 Conjuntos iguais

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A.

Em símbolos, tem-se: A=Bx,xA xB

Ex.: {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0} Observações:

▪ O símbolo  significa “para todo” ou “qualquer que seja”.

▪ Quando se escreve x , lê-se “para todo x ” , e refere-se a todos os elementos do conjunto universo em questão.

1.7 Conjuntos disjuntos

Dois conjuntos A e B são denominados conjuntos disjuntos quando não possuem elemento comum.

Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3} são conjuntos disjuntos, mas

M = {números pares} e A = {2, 4, 5} não são conjuntos disjuntos. 1.8 Subconjunto

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.

Denota-se por AB e lê-se “A está contido em B”.

Em símbolos, tem-se: ABx, xAxB.

A notação A B significa que A é subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B.

O símbolo  é denominado sinal de inclusão. Sua negação é  (lê-se: “não está contido”)

Quando A B também pode-se escrever B  A, que se lê “B contém A”.

Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 3}, {{5}} }, tem-se: ▪ {1}  P, pois 1



P;

▪ {1, 2}  P, pois 1P e 2P;

▪ {1, 3}  P, pois 3 P, mas { { 1, 3 } }  P, pois { 1, 3 }  P ;

▪  P, pois pode-se provar, matematicamente, que o vazio está contido em 

qualquer conjunto.

▪ { {{5}} }  P, pois {{5}}



P; ▪ {5}  P , pois 5  P;

▪ P  P, pois pode-se provar, matematicamente, que qualquer conjunto está contido em si mesmo.

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Observação:

Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer, tem-se:

a) (A B e B )A  A=B (propriedade anti-simétrica da inclusão )

b) (A B e B )C  AC (propriedade transitiva da inclusão)

1.9 Conjunto das partes de um conjunto

Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A (denotado por _{P(A) ) é o conjunto} formado por todos os subconjuntos de A.

Em símbolos, tem-se: P (A) = {X / X A}.

Observação: O número de elementos de A, denotado por n(A), é igual a 2n(A)

Ex.: M = { a, b, c}  P (M) = {  , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }, sendo o número de elementos de _{P (M) = 2}n(M)_{= 2}3_{= 8.}

1.10 Par ordenado

O par ordenado (a,b) é, por definição, igual ao par não-ordenado { {a}, {a,b} }. Em símbolos, tem-se: }} , { }, {{ ) , (a b a a b def= . Observações: • (a,b) = {{a},{a,b}}={{a,b},{a}}={{b,a},{a}} • (a,b) ={{a},{a,b}}(b,a)={{b},{a,b}} • (a,a) = {{ a }, {a,a}} = {{ a }, { a }}={ { a } }

• No par ordenado (a,b), a e b podem representar diversas estruturas matemáticas como, por exemplo, podem ser conjuntos, números, pares ordenados, matrizes, polinômios.

Ex.1: (3, (4, 5) ) = { {3}, { 3, {{4}, {4, 5} } } } = { {3}, { 3, (4, 5) } }

Ex.2: (1, -4)

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1.11 Operações com conjuntos 1.11.1 União ()

Dados dois conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por AB, é o conjunto

formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

Em notação matemática: AB={x/xA ou x B}.

Ex.: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então ST = {1, 2, 3, 5, 7}.

1.11.2 Interseção ()

Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B, denotada por AB, é o

conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Em notação matemática: AB={x/xA e x B}. Ex.: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então ST = {3, 5}.

1.11.3 Diferença ( − )

Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre A e B, denotada por A − B, é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

Em notação matemática: A− B = {x/xA e x B}

Ex.: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então S − T = {2} e T − S = {1, 7}.

1.11.4 Complementar de B em relação a A ( C A

B )

Dados dois conjuntos A e B, tal que B  A, o complementar de B em relação a A, denotado por C A B , é o conjunto A − B . Em notação matemática: C A B = A − B, com B  A .

Ex.1: D = {a, b, 2, 5, 10} e E = {a, b, 1, 2, 3, 5, 9, 10}, então D_EC =E− D = {1, 3, 9},

pois D  E .

Ex.2: S = {2, 3, 5} e T = {1, 3, 5, 7}, então S_TC não está definido, pois S T .

Ex3: 𝑀 = {a, d, -2, 1/3, 5} e 𝑁 = {d, a, 5, -2, 1/3}, então 𝑀_𝑁𝑐 = 𝑁_𝑀𝑐 = ∅ , pois 𝑀 = 𝑁.

Observação: A notação C

B representa o complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja, C

B = U − B. Alguns autores denotam o

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1.11.5 Produto cartesiano ()

Dados A e B dois conjuntos não-vazios. O produto cartesiano de A por B , denotado por A  B (lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B) é o conjunto cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B. Em notação matemática: A  B = { (x, y) / x  A e y  B }.

Ex.: Dados S = { a, 3, {1, 2} } e T = { 5, {6} }, tem-se:

a) S  T = { (a, 5), (a, {6}), (3, 5), (3, {6}), ({1,2}, 5), ( {1,2}, {6} ) } b) T  S = { (5, a), (5, 3), (5, {1,2}), ({6}, a), ({6}, 3), ({6}, {1,2}) }

Se A ou B for o conjunto vazio, define-se o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio.

Ex.: A   = ,   B =  ,    =  . Observações:

• A  BA  B  B  A.

• Se A e B são conjuntos finitos, com m e n elementos, respectivamente, então A  B é um conjunto finito com mn elementos.

• Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então A  B é um conjunto infinito.1

1.12 Propriedades das operações com conjuntos

Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer e U o conjunto universo, tem-se: i) AA= A ii) A =A iii) AU =U iv) AA= A v) A = vi) AU =A

1_{Conjunto finito é um conjunto que tem n elementos, sendo n um número natural. Um conjunto X é dito infinito}

se admitir subconjunto Y, com X Y, tal que X e Y possam ser colocados em correspondência biunívoca, isto é, f :X →Y é uma bijeção. Um conjunto infinito pode ser enumerável ou não. Um conjunto é dito

contável ou enumerável se puder ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números

naturais (

N

); caso contrário, o conjunto é não-contável ou não-enumerável. O conjunto

N

é infinito, pois, por

exemplo, admite o subconjunto P = {0, 2, 4, 6,...}

,

que pode ser colocado em correspondência biunívoca com

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vii) AB=BA (comutativa em relação à união) viii) (AB)C =A(BC)= ABC (associativa em relação à união) ix) AB=BA (comutativa em relação à interseção) x) A(BC)=(AB)C=ABC (associativa em relação à interseção) xi) A(BC)=(AB)(AC) (distributiva da união em relação à interseção) xii) A(BC)=(AB)(AC) (distributiva da intersecção em relação à união) xiii) A(B−C)=(AB)−(AC) (distributiva da interseção em relação à diferença) xiv) AC  A=, onde AC é o complementar de A em relação ao conjunto universo U.

xv) UC = e C =U

xvi) (AC)C = A

xvii) A−B= ABC

xviii)A−B=BC −AC

xix)(A )B C = AC BC (Primeira Lei de Morgan)

Generalização: C C _nC n i C i C n i i C n A A A A A A A A _ = =         =    = = ... ) ... ( ₁ ₂ 1 1 2 1





xx) (A )B C = AC BC (Segunda Lei de Morgan)

Generalização: C C _nC n i C i C n i i C n A A A A A A A A _ = =         =    = = ... ) ... ( ₁ ₂ 1 1 2 1





xxi) AB=(AC BC)C xxii) AB= A(B−(AB)= A(AC B) xxiii) AB=(AC BC)C xxiv) A=A(AB) xxv) A=A(AB) xxvi)A=(AB)(A−B) xxvii) A=(AB)(ABC)

xxviii)A B  A C BC  B C AC onde  significa ou. xxix) A B e C D (AC)(BD) , onde  é o produto cartesiano. xxx) A (BC)=(AB)(AC) (distributiva do produto cartesiano em relação à união) xxi)A  (BC)=(AB)(AC) (distributiva do produto cartesiano em relação à interseção) xxxii) (AB)(BC) AC. onde  significa e

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Observações:

• As propriedades das operações com conjuntos, enunciadas anteriormente, são demonstráveis no contexto da teoria de conjuntos mais usual (aquela que faz uso do Cálculo Proposicional Clássico L e do Cálculo de Predicados). Para demonstrar uma dessas propriedades, deve-se ater às definições da teoria em questão, respeitando-se à simbologia, às fórmulas, às regras de inferência, dentre outros.

Ex.: Prove a lei comutativa da união de conjuntos AB=BA.

Prova: BUA x A x B x B x A x B A x x s conj dois de união da definição c L l Clássico oposiciona Cálculo verdades tabelas conforme s conj dois de união da definição c          



.' onforme Pr do .' onforme ) ( ) ( ) ( ) ( , Logo, AB=BA.

Tabela verdade da disjunção  (ou)

do Cálculo Proposicional Clássico L (Cálculo L) A  B

V V V V V F F V V F F F 1ºpasso 3º passo 2º passo

Notas: 1) V=verdade, F=falsidade. 2) A e B são fórmulas do Cálculo L. 3) A indicação “1º, 2º, 3º passos” na última linha da tabela serve apenas para indicar a ordem em que a tabela deve ser preenchida. 4) Essa última linha não faz parte de uma tabela verdade do Cálculo L.

• Em Matemática, o processo de demonstração (de uma propriedade, teorema, lema, proposição, corolário, dentre outros) não é único. Na prática, muitos autores mesclam o uso da linguagem formal da teoria em questão com o uso da linguagem materna dos seus interlocutores, a fim de se fazerem compreender por aqueles que não estão habituados à linguagem formal daquela teoria. Ao desenvolver um processo de demonstração, deve-se estar atento para não contradizer a ideia que deseja provar.

• Provar algo, mesmo em Matemática, é convencer o interlocutor, por meio do uso da razão, a respeito de uma ideia.

Tabela verdade da bicondicional 

do Cálculo Proposicional Clássico L (Cálculo L) A  B V V V V F F F F V F V F 1º 3º 2º Tabela verdade ) (A  B  (B  A) V V V V V V V V V F V F V V F V V V V V F F F F V F F F 1º 3º 2º 5º 2º 4º 1º

Nota: Comparam-se os passos 3º e 4º para compor o 5º (conclusão). Como os resultados do 5º passo (conclusão) foram todos V (verdadeiro), então a fórmula ((A B)  (B A)) é uma tautologia, ou seja, as fórmula (A B) e (B A) são equivalentes.

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1.13 Partição de um conjunto

Definição: Os subconjuntos A1, A2, ..., An formam uma partição do conjunto U se: i) Ai  ,  i = 1, 2, ..., n

ii) Ai Aj = , para i  j (ou seja, Ai e Aj são conjuntos disjuntos), com j = 1, 2, ..., n.

iii) A U n i i = =



1 Ex: Em resumo:

Uma partição de um conjunto U é uma coleção de subconjuntos não-vazios e disjuntos de U, cujas uniões são iguais a U.

A1 A3 A2 An ... An-1 U

Sendo a, b e c elementos de

N

,tem-se:

a + b = b + a (comutativa da adição)

(a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição)

a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro da adição)

a∙b = b∙a (comutativa da multiplicação)

(a∙b) ∙c = a∙(b∙c) (associativa da multiplicação)

a∙1 =1∙a = a (elemento neutro da multiplicação)

a∙(b + c) = a∙b + a∙c (distributiva da multiplicação em relação à adição) Observação 1:

Historicamente, numa visão eurocêntrica sobre a história da humanidade, aceita-se que o número zero foi inventado aproximadamente 800 anos depois de Cristo, na Índia, e sua invenção foi motivada pela necessidade de representar a linha vazia do ábaco. Entretanto, há evidências arqueológicas de que outros povos, além dos hindus, tinham um símbolo para representar o nada. Acredita-se que os gregos antigos não conseguiram inventar o zero, pois não admitiam, filosoficamente, a lógica de criar algo para representar o conceito de "nada". (BOYER, C. B., 1996; BYERS, W., 2007)

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A criação dos números naturais foi motivada pela necessidade de contagem, sendo que o ser humano efetua processos de contagem desde a idade antiga. Aqui, em Cálculo Diferencial e Integral 1, será assumido que o zero pertence ao conjunto dos números naturais, embora exista, na matemática, controvérsia a respeito do zero ser ou não um número natural. Sobre a origem dos números negativos, racionais, irracionais, reais e complexos, ver:

• BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo, SP: Edgar Blücher, 1974 (489 p.) • GARBI, G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997 (258 p.)

• BYERS, W. How mathematicians think: using ambiguity, contradiction, and paradox to create mathematics. New Jersey (USA): Princeton University Press, 2007 (415 p.)

• MOTA, B. M. Estatuto da matemática em Portugal nos séculos XVI e XVII. Lisboa, Portugal: Fundação Calouste Gulbenkian. Fundação para a Ciência e a Tecnologia. Ministério de Ciência, Tecnologia e Ensino Superior, 2011 (636 p.)

Observação 2:

Sendo a e b números naturais quaisquer, pode-se entender que o conjunto dos números naturais não é fechado para a subtração ou que a subtração não é uma operação definida em N.

Pelo raciocínio de N não ser fechado para a subtração, resolver, por exemplo, a equação x – 3 = 5, no universo dos números naturais, é admitir a operação de subtração em N e daí usar o método da tentativa, substituindo-se todos os números naturais em "x" até encontrar um que satisfaça a equação. Nesse caso, o conjunto solução é S = { 8 }. Pelo raciocínio de que a subtração não é uma operação definida em N, somente a adição e a multiplicação, a expressão a − b não tem significado em

N

, pois não existe em N o simétrico aditivo de b, de modo a escrever que x – 3 = 5 equivale a x + (–3) = 5. Por esse raciocínio, em N, a equação x + (–3) = 5 não faz sentido, uma vez que –3 é um elemento estranho ao universo dos números naturais. Nesse caso, a solução da equação é escrever "não faz sentido tal equação em N, pois somente as operações de adição e multiplicação estão definidas em N e, ao se admitir que x – 3 = 5 equivale a x + (–3) = 5, no universo dos números naturais, incorre-se em um absurdo, uma vez que o elemento –3 não pertence ao conjunto dos números naturais".

Por sua vez, resolver a equação x + 3 = 1, em N, tem-se S = ∅ , uma vez que pelo método da tentativa não há número natural que satisfaça essa equação.

"conjunto dos números inteiros", "conjunto dos números racionais", "conjunto dos

números irracionais", "conjunto dos números reais", "conjunto dos números complexos"

-

constituem ampliações do conjunto dos números naturais, a fim de solucionar problemas históricos ou lógicos que motivaram essas ampliações (BYERS, W., 2007).

(17)

+ ∗

= {1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros positivos)

ℤ

− ∗

= {..., -3, -2, -1} (conjunto dos inteiros negativos) No conjunto dos números inteiros, são definidas duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, e, ainda, admite-se a existência de elemento simétrico aditivo ou oposto. Em símbolos: a

Z

,( a− )

Z

, tal que a+ a(− )=0. O símbolo  significa “existe”.

Devido à existência, em

Z

, de elemento simétrico para a adição é possível definir a operação de subtração, em

Z

, estabelecendo que a

Z

,b

Z

, tem-se a−b=a+( b− ).

O conjunto

Z

é fechado em relação à adição, à multiplicação e à subtração, mas não em relação à divisão.

No universo dos números inteiros, exceto o 1 e o -1, o inverso de um número inteiro q não existe, isto é, 

q 1

Z

se q

Z

− {-1, 1}.

Z

,tem-se:

a + b = b + a (comutativa da adição)

(a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição)

a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro da adição)

a + (-a) = 0 (simétrico aditivo ou oposto)

a∙b = b∙a (comutativa da multiplicação)

(a∙b) ∙c = a∙(b∙c) (associativa da multiplicação)

a∙1 = 1∙a = a (elemento neutro da multiplicação)

(18)

Observação:

Sendo a e b números inteiros quaisquer, pode-se entender que o conjunto dos números inteiros não é fechado para a divisão ou que a divisão não é uma operação definida em Z.

Pelo raciocínio de Z não ser fechado para a divisão, resolver, por exemplo, a equação 𝑥

3

= 4

, no universo dos números inteiros, é admitir a operação de divisão em Z e

daí usar o método da tentativa, substituindo-se todos os números inteiros em "x" até encontrar um que satisfaça a equação. Nesse caso, o conjunto solução é S = { 12 }.

Pelo raciocínio de que a divisão não é uma operação definida em Z, somente a adição, a subtração e a multiplicação, a expressão 𝑝

𝑞 não tem significado em Z, pois,

geralmente, não existe em Z o inverso multiplicativo de 𝑞, de modo a escrever que 𝑝

𝑞

equivale a

0 ) (− = + b a b a

(elemento simétrico aditivo ou oposto)

b a d c d c b a_ ₌ _ (comutativa da multiplicação) ) ( ) ( f e d c b a f e d c b a   =   (associativa da multiplicação) 𝑎 𝑏∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 𝑏 = 𝑎

𝑏 (elemento neutro da multiplicação)

1 =  a b b a , com 0 b a

(elemento inverso para a multiplicação)

f e b a d c b a f e d c b a  +  = +

(20)

Devido à existência de inverso multiplicativo (em símbolos:   b a

Q

e 0 b a ,   a b

Q

tal que  =1 a b b a

), define-se em

Q

*, com

Q

* =

Q

– {0}, a operação de divisão, estabelecendo-se

que c d b a d c b a  = : para  b a

Q

* e  d c

Q

*. Caso =0 b a , então b a 0 : = d c , se 0 d c .

Todo número racional

b a

pode ser representado por um número decimal. Para isso, basta dividir o numerador a pelo denominador b . O número decimal obtido pode ter uma quantidade finita de algarismo (decimal exata) ou ter uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente (dízima periódica).

Todavia, os números decimais com uma quantidade infinita de algarismos não-periódicos (dízimas não-periódicas) não podem ser obtidos por meio da divisão de dois números inteiros. Por isso, as dízimas não-periódicas não são consideradas números racionais, mas números irracionais.

Se  b a

Q

e 𝑛 ∈ ℕ − {0, 1}, nem sempre n b a

é racional. Assim, a operação de radiciação não é definida em

Q

. O conjunto dos números reais (

R

) supera esse impedimento.

(21)

2.4 Conjunto dos números irracionais (

R − Q

)

Os números irracionais são dízimas não-periódicas; isto é, números com infinitas casas decimas que não apresentam período.

Exemplos:

a) 2 =1,4142136... b) 4 =

5 1,495348...

c)  =3,141592... (𝜋 = Comprimento de uma circunferência / diâmetro dessa circunferência) d) e = 2,718281... (e é o número de Euler, obtido a partir de lim

𝑥⟶∞(1 + 1 𝑥) 𝑥 ) e) 1,010010001... f) log₂5 g) sen 40° Observação:

Se a é um número irracional e b é um número racional, então a +b, a b, b a

e

a b

(22)

2.5 Conjunto dos números reais (

R

)

O conjunto dos números reais tem como elementos todos os números racionais e todos os números irracionais.

Em símbolos:

R

=

Q

 (

R

−

Q

).

Como

N  Z  Q

, então os números naturais e os inteiros também são considerados números reais.

Geometricamente, os números reais podem ser representados por uma reta contínua, denominada reta real.

Dentre os conjuntos numéricos estudados até aqui, o conjunto dos números reais é o único que possui representação geométrica por uma reta contínua. Os conjuntos

N

,

Z

,

Q

e (

R

–

Q

) são representados geometricamente por um conjunto de pontos espaçados

entre si. Você sabe dizer por quê?

A reta real é representada pela figura e, nela, podem ser localizados todos os números racionais e irracionais, por meio de uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os elementos de

R

.

R

, tem-se:

a b b a+ = + (comutativa da adição) ) ( ) (a+b +c=a+ b+c (associativa da adição)

𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 (elemento neutro da adição)

0 )

(− =

+ a

a (simétrico aditivo ou oposto)

a b b a =  (comutativa da multiplicação) ) ( ) (ab c=a bc (associativa da multiplicação)

𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎 (elemento neutro da multiplicação)

1 1 = 

a

a , com a0 (inverso para a multiplicação)

c a b a c b

a( + )=  +  (distributiva da multiplicação em relação à adição)

(23)

Observações:

• Como



𝑎 ∈

R

e 𝑏 ∈

a

− , com a R₊, também resultam em números reais.

• Se o índice da raiz (𝑛) for um número natural par, maior ou igual a 2, os radicais da forma n

a

− , com a∈ ℝ₊∗_{, não resultam em números reais. Por exemplo,} ₋₁_

R

, pois ∄ 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥2 = −1. O conjunto dos números complexos (

C

) contorna o obstáculo da radiciação de índice par e radicando negativo.

Assim, o conjunto dos números reais é fechado para a adição, a multiplicação, a subtração e a potenciação, mas não é fechado para a radiciação. No caso da divisão, só há fechamento em

R

*.

(24)

2.6 Conjunto dos números complexos (

C

)

Pode-se definir o conjunto dos números complexos como o conjunto dos pares ordenados (𝑥, 𝑦), com 𝑥 ∈ 𝑅 e 𝑦 ∈ 𝑅, para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação conforme abaixo.

Tomando dois elementos (a, b) e (c, d) de

R

2, com

R

2 =

R



R

, tem-se: i) igualdade: (a, b) = (c, d)  a = c e b = d

ii) adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) iii) multiplicação: (a, b)·(c, d) = (a·c − b·d, a·d + b·c)

Todo número complexo z = (a, b) pode ser escrito sob a forma algébrica

z = a + b∙ 𝑖, onde 𝑖 é denominada "unidade imaginária" e é definida como 𝑖 = − , com 1

1

2 =−

i .

É esse significado da unidade imaginária que justifica a definição da multiplicação, em

C

, como dada no item iii, anteriormente, pois:

) , ( ) ( ) ).(

(a+bi c+di =ac+adi+bci+bdi2 =ac−bd+ ad+bci = ac−bd ad+bc

Nos livros de engenharia, é usual denotar-se a unidade imaginária por j, obtendo-se, por exemplo, z =a+bj.

Observações:

• O conjunto dos números complexos C não é igual ao conjunto

R

2_{, uma vez}

que, pela definição de conjuntos iguais, os elementos de

C

e de

R

2_deveriam

ser os mesmos, mas não são. Por exemplo: (𝑎, 𝑏) ∈

C

significa que a componente 𝑏 está sendo multiplicada pela unidade imaginária, ou seja, (𝑎, 𝑏) é apenas uma forma de representar o número complexo 𝑎 + 𝑏𝑖. A forma de representar um número complexo por meio de um par ordenado é útil quando deseja-se representar geometricamente tal número complexo. • Geometricamente, os números complexos são representados num plano

denominado plano de Argand-Gauss que é conceitualmente diferente do plano cartesiano e do plano polar, embora os três planos tenham aparências semelhantes.

• Um número complexo 𝑧, além de poder ser representado na forma algébrica 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, pode ser representado, ainda, na forma trigonométrica, dada por

(25)

) .

(cos 

 isen

z= + , bem como, na forma exponencial  i

e

z=  , nas quais 𝜌 e 𝜃 representam as coordenadas polares de 𝑧 .

• A definição de módulo de um número complexo é diferente da definição de módulo de um número real, mas preserva a mesma ideia geométrica de "distância entre o número e a origem do sistema".

• A definição de radiciação de um número complexo é diferente da definição de radiciação de um número real, embora preserve a mesma ideia de ser a operação inversa da potenciação.

• Deve-se estar atendo com as propriedades de radiciação para os números complexos, pois nem sempre elas são as mesmas propriedades válidas para a radiciação de números reais.

C

Sendo z1, z2 e z3 elementos de

C

, tem-se:

z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa aditiva)

(z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) (associativa aditiva) z + (0,0) = (0,0) + z = z (elemento neutro aditivo) z + (-z) = (0,0) (elemento simétrico aditivo ou oposto)

z1∙ z2 = z2∙ z1 (comutativa multiplicativa)

(z1 ∙ z2) ∙ z3 = z1 ∙ (z2 ∙ z3) (associativa multiplicativa) z ∙ (1,0) = (1,0) ∙ z = z (elemento neutro multiplicativo) z ∙ ( ₂ ₂ , ₂ ₂) b a b b a a + −

+ = (1,0) , com z = (𝑎, 𝑏) (elemento inverso multiplicativo) z1 ∙ ( z2 + z3) = z1∙ z2 + z1∙z3 (distributiva da multiplicação em relação à adição)

(26)

,3, - 2 , i, -i }, se U =

C

(conjunto dos números complexos), com i = −1

2) (PESQUISA) Quais os conjuntos de números existentes, atualmente? Nomine-os, conceitue-os e indique as principais propriedades de cada um deles.

Sugestão: consulte o sítio eletrônico

<https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural>, (Wikipedia, "número natural") consultando cada conjunto de números indicados na aba à direita.

3) (PESQUISA) Pesquise na internet os seguintes temas:

a) "Teoria ingênua dos conjuntos" e "teoria axiomática dos conjuntos"

Sugestão: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos>

b) Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha

Sugestão: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel>

c) "Axiomas de Peano" e "Teoria da aritmética de primeira ordem". Sugestão: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano>

(27)

3 ESTUDO DOS NÚMEROS REAIS 3.1 Intervalos

Intervalo é um subconjunto dos números reais. Exemplos:

 

a,b , (𝑎, 𝑏), [a,b) e (a,b]

que são, respectivamente, denominados "intervalo fechado", "intervalo aberto", "intervalo fechado à esquerda e aberto à direita", "intervalo aberto à esquerda e fechado à direita". Os intervalos

 

a,b , (𝑎, 𝑏), [a,b) e (a,b] são também denominados "intervalos limitados"2_{. Em cada um desses intervalos, o número} _{𝑎 é denominado "ínfimo" ou} "extremo inferior" do intervalo, e o número 𝑏 é denominado "supremo" ou "extremo superior". O ínfimo e o supremo podem pertencer ou não ao intervalo.

Os intervalos (-, b], (-,b), [a, +) , (a, +) e (-, +) são denominados "intervalos ilimitados". Os intervalos (-, b] e (-,b), por exemplo, podem ser denominados também "intervalos limitados superiormente". Analogamente, os intervalos [a, +) e (a, +) são "intervalos limitados inferiormente".

3.2 Valor absoluto ou módulo de um número real

Definição: Para todo 𝑥 ∈

R

, o módulo de 𝑥, denotado por x , é definido por

     = 0 x se x -0 x se x x

De acordo com a definição anterior, para todo 𝑥 ∈

R

, tem-se x 0.

Propriedades de módulo em

R

Resolva os exercícios 22 e 23 da lista de exercícios de Pré-Cálculo Diferencial e Integral, ao final destas notas de aulas, e sintetize as propriedades de módulo de números reais.

Compare a definição de módulo em

R

com a definição de módulo em

C.

2

Um subconjunto X dos números reais (X R) é limitado superiormente quando existe

X x x b R

b /  ,   . Essa afirmação é equivalente a dizer X (−,b]. Cada número real b com essa propriedade é denominado cota superior de X. A menor das cotas superiores é denominada supremo ou extremo superior. Analogamente, X R é limitado inferiormente quando existe aR/ ax, xX. Essa afirmação é equivalente a dizer X  a[ +, ). Cada número real 𝑎 com essa propriedade é denominado

cota inferior de X. A maior das cotas inferiores é denominada ínfimo ou extremo inferior. Se X R for limitado superiormente e inferiormente, diz-que X é limitado, ou seja, quando existem a e b tais que

] , [ab X  .

(28)

3.3 Raiz quadrada em R

Definição: Para um número real não-negativo 𝑥 , a raiz quadrada de 𝑥, denotada por √𝑥, é um número real não-negativo 𝑎, tal que 𝑎2 _{= 𝑥.}

Em linguagem matemática, tem-se:

𝑥 ∈

R

+

,

√

𝑥 = 𝑎 ⟺ 𝑎2 = 𝑥, 𝑎 ∈

R

+

Exemplos:

a) No universo dos números reais, resolva a equação 𝑥2 _{= 4} Solução: 𝑥2 _{= 4 ⇒ √𝑥}2 _{= √4 ⇒ |𝑥| = 2 ⇒ {} −𝑥 = 2, se 𝑥 < 0 ou 𝑥 = 2, se 𝑥 > 0 ⇒ { 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2 Portanto, S = {−2, 2 }

b) No universo dos números reais, resolva a equação

3𝑥(𝑥 − 2) −

4

5 = 2(𝑥

2

2

_{− 6𝑥 + 20}

⇒

𝑥

2

−

4₅

= 20 ⇒

𝑥

2

−

4₅

+

4 5

= 20

+

4 5

|𝑥|

=

2√130 5

⇒

{

−𝑥 =

2√130₅

, 𝑥 < 0

𝑥 =

2√130 5

, 𝑥 > 0

⇒

{

𝑥 = −

2√130₅

𝑥 =

2√130 5 Portanto, S =

{−

2√130 5

,

2√130 5 }

(30)

PARTE 2 1 SISTEMAS DE COORDENADAS

Conceito: Sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma correspondência recíproca entre pontos geométricos e números reais.

Esses sistemas são usados para investigação analítica (que procede por análise) de propriedades geométricas, por exemplo, determinar a equação de uma curva geométrica.

1.1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL OU SISTEMA LINEAR 1.1.1 Conceito e Representação

No sistema linear, um ponto pode mover-se livremente sobre a reta dos números reais, denominada simplesmente de reta real.

A reta real representa geometricamente o espaço de dimensão um. Por convenção, a orientação positiva da reta é da esquerda para a direita, sendo O um ponto fixo sobre essa reta. O ponto O é denominado origem do sistema e a reta real orientada é denominada eixo.

A distância de um ponto P à origem O é x vezes o comprimento adotado como unidade de medida na escala do eixo. Se P localiza-se à direita da origem, x é positivo. Se P localiza-se à esquerda da origem, x é negativo.

Nessa correspondência entre o ponto P e o número real x, diz-se que: • P tem coordenada (x);

• P é a representação geométrica ou gráfica do número real x; • A coordenada (x) é a representação analítica de P;

• Há correspondência biunívoca entre ponto geométrico e número real, ou seja, a cada número real corresponde um e único ponto sobre o eixo, e a cada ponto sobre o eixo corresponde um e único número real.

Geralmente escreve-se, juntos, o ponto P e sua coordenada x, assim: P(x).

A origem O tem coordenada 0 (zero) e o ponto A, correspondente à unidade de comprimento adotada (escala), tem coordenada 1.

Ex.: A O P 0 1

R

x

(31)

1.1.2 Comprimento de um Segmento Retilíneo Orientado

Num sistema linear, o comprimento do segmento retilíneo orientado P1P2, determinado

por dois pontos dados P₁(x₁) e P₂(x₂), é obtido, tanto em grandeza como em sinal, subtraindo-se da coordenada da extremidade P2 a coordenada do ponto inicial P1. Assim:

1 2 2

1P x x P = −

1.1.3 Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear

A distância d entre dois pontos dados P₁(x₁) e P₂(x₂) é definida como o valor absoluto do comprimento do segmento retilíneo orientado, determinado por esses dois pontos. Assim: 1 2 2 1P x x P d= = −

1.1.3 Ponto de Acumulação e Vizinhança, na Reta Real

Um número a , com a

R

, chama-se ponto de acumulação do conjunto X, com

X

R

,quando todo intervalo aberto (a− a, +), de centro em a , contém algum ponto

xX , diferente de a ; onde  > 0 é o raio do intervalo.

Se a é ponto de acumulação à direita do conjunto X, então todo intervalo [ a , a +  ), com  >0, contém algum ponto de X diferente de a . Analogamente, se a é ponto de

acumulação à esquerda do conjunto X, então todo intervalo ( a -  , a ], com  > 0,

contém algum ponto de X diferente de a.

A condição “ a é ponto de acumulação de X” exprime-se simbolicamente por:

      −   0, x X /0 x a ,

onde x− a  , equivalente a a− < x < a +  ou a - < x −a <  ou, ainda, a x )

,

( − +

 a a , representa a vizinhança de raio  do ponto a .

Geometricamente, tem-se: a ) (

R

X

(32)

1.2 SISTEMAS BIDIMENSIONAIS

1.2.1 Conceito, Tipos e Representações

Um sistema bidimensional é um sistema no qual um ponto pode se mover livremente para todas as posições de um plano.

Para localizar um ponto, num plano, é necessário um sistema de coordenadas. Os sistemas bidimensionais mais comuns são: o sistema cartesiano perpendicular, o sistema cartesiano oblíquo e o sistema de coordenadas polares.

Em Cálculo Diferencial e Integral 1, o enfoque é dado ao estudo de relações e de funções caracterizadas sobre um sistema cartesiano perpendicular. Esse sistema é denominado, ainda, sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou plano

cartesiano.

O sistema de coordenadas polares (ou sistema polar ou plano polar), o sistema cartesiano oblíquo e os sistemas tridimensionais de coordenadas são estudados em outras disciplinas.

(a) Plano Cartesiano (b) Plano Polar

(33)

1.2.2 Sistema Cartesiano Perpendicular ou Plano Cartesiano

Esse sistema é formado por duas retas orientadas, denominadas eixos

coordenados, perpendiculares entre si. O ponto O, de intersecção entre os eixos

coordenados, é denominado origem do sistema. Veja a figura 2, adiante.

O eixo 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ ou, mais comumente, eixo x, é denominado eixo das abscissas; e o eixo 𝑂𝑦

⃗⃗⃗⃗⃗ , ou eixo y, é o eixo das ordenadas.

A orientação positiva do eixo x é para a direita, e a orientação positiva do eixo y é para cima.

Os eixos coordenados x e y dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário, conforme apresentado na figura 2, adiante.

Sobre o eixo das abscissas e à direita de O, marca-se o ponto A, correspondente à unidade de comprimento do eixo x. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima de O, marca-se o ponto B, correspondente à unidade de comprimento do eixo y. Os segmentos OA e OB representam as escalas utilizadas no eixo x e no eixo y, respectivamente.

Os segmentos OA e OB não necessitam ter exatamente a mesma medida, uma vez que x e y, geralmente, representam grandezas distintas, por exemplo, tempo e velocidade, tempo e deslocamento, lado e área. Como, em Matemática, x e y são grandezas quaisquer, é usual adotar a mesma escala para ambos os eixos coordenados. Essa escala é denominada escala identidade.

Figura 2 – Esquema de um Plano Cartesiano

1 A y x O I(+,+) II(-,+) III(-, -) IV (+,_) B 1

(34)

No plano cartesiano, cada ponto P pode ser, inequivocamente, localizado mediante um par ordenado (𝑥, 𝑦), onde 𝑥 é a abscissa de P e 𝑦 é a sua ordenada.

No par ordenado (𝑥, 𝑦), 𝑥 e 𝑦 não podem ser trocados de lugar, pois há uma relação de ordem no par. Os números reais 𝑥 e 𝑦 são denominados coordenadas

retangulares de P.

O módulo da abscissa 𝑥 representa a distância que P está do eixo 𝑦 e o módulo da ordenada 𝑦 representa a distância que P está do eixo 𝑥.

Figura 3 – Localização de um ponto P, no plano cartesiano

No plano cartesiano, para cada ponto distinto P, há um e apenas um par de coordenadas (𝑥, 𝑦). Inversamente, qualquer par de coordenadas (𝑥, 𝑦) determina um e apenas um ponto. Assim, no sistema cartesiano ortogonal, há uma correspondência biunívoca entre cada ponto geométrico e um par ordenado de números reais.

A localização de um ponto por meio de suas coordenadas é denominada gráfico

do ponto. Um gráfico de pontos é mais fácil de ser construído se for utilizado papel de

coordenadas retangulares (papel quadriculado).

Os pontos do plano cujas ordenadas são zero localizam-se sobre o eixo 𝑥, e os pontos cujas abscissas são zero localizam-se sobre o eixo 𝑦.

O x

y

P(x,y)

Px

(35)

1.2.2.1 Distância entre Dois Pontos, no Plano Cartesiano Exercício:

Num plano cartesiano, localize dois pontos P1(x1, y1) e P2 (x2, y2), onde x1, x2, y1 e

y2 são números reais quaisquer, e determine a distância entre P1 e P2.

Solução:

No triângulo P1MP2 tem-se: P1M = y2 − y1 e MP2 = x2 −x1 .

Atente-se ao conceito de distância entre dois pontos no sistema unidimensional, para não tomar, por exemplo, a distância entre P1 e M - dada pelo valor absoluto do comprimento do segmento orientado P1M - como negativa, já que, nesse caso, y2 − y1 0.

É comum o erro P₁M = y₂ −y₁.

Pelo teorema de Pitágoras, vem:

2 1 2P P = P1M 2+ 2 2 MP  P2P1 2= 2 1 2 y y − + x −2 x1 2 2 1 2P P = 2 1 2 ) (x −x + 2 1 2 ) (y −y , pois a2 =a2,a

R

. Fazendo d = P2P1 , vem: 2 1 2 2 1 2 ) ( ) (x x y y d = − + − . x y O x y O M Observação: Nesse caso, tem-se:

(36)

1.2.2.2 Bola aberta ou Vizinhança e Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano

a) Bola aberta ou vizinhança, no plano cartesiano

Sejam o ponto P0 e o número real



, com P0 (x0, y0) 

P0 contiver pelo menos um ponto P(x,y), com PX e P  P0.

Dizer que (x₀,y₀) é ponto de acumulação de X significa dizer que existem pontos

) ,

(37)

Considere a seguinte situação:

“Num dia de frio, um jovem ou uma jovem está, despreocupadamente, tomando seu banho, na água bem quente; e o banheiro enchendo-se de vapor de água. A mãe, impaciente, bate periodicamente à porta:

- Saia já desse banho. Já falei várias vezes: desligue o chuveiro!”

Para o jovem ou a jovem, o importante é prolongar o seu prazer, num banho bem quente; mas para a mãe, a preocupação é outra: as faturas de energia elétrica e de água que deverão ser pagas, dentro em breve. Aqui, está sendo considerado um chuveiro elétrico. Uma situação como essa pode ser analisada do ponto de vista quantitativo, a exemplo de muitas outras situações quotidianas.

Para uma análise quantitativa, primeiramente, liste as grandezas físicas envolvidas no problema em questão, com suas respectivas unidades de medida. Grandeza física, aqui, é tudo aquilo que pode ser medido, pesado ou comparado quantitativamente.

No problema acima, tem-se, por exemplo, as seguintes grandezas físicas e suas unidades de medida:

• Potência do chuveiro (em watts), • Temperatura da água (em ºC),

• Tempo que o chuveiro permanece ligado (em minuto), • Vazão da água (em m3_/minuto),

• Volume de água utilizada (em m3_),

• Energia consumida (em kwh),

• Valor a ser pago pela energia consumida (em $), • Valor a ser pago pela água utilizada (em $).

Numa situação ideal, algumas dessas grandezas podem ser consideradas

constantes e outras variáveis como, por exemplo:

Grandezas constantes Grandezas variáveis

Potência do chuveiro Volume de água

Temperatura da água Tempo que o chuveiro permanece ligado Vazão da água Energia consumida pelo chuveiro

- Valor pago pela energia consumida

- Valor pago pela água utilizada

É possível determinar um modelo matemático para representar essa situação. Nesse modelo, podem ser relacionadas diversas grandezas ou, no caso mais simples, apenas duas delas.