IV - Fractais. Referência Principal: Chaos K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke Springer (1997)

IV - Fractais

Referência Principal: Chaos

K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke

Springer (1997)

Geometria Fractal

Geometria euclideana descreve órbitas regulares

(periódicas e quase-periódicas)

Geometria fractal descreve órbitas caóticas

Características dos fractais:

• Estrutura complexa em várias escalas

• Repetição da estrutura em escalas diferentes

• Dimensão fractal (não inteira)

Conjunto de Cantor

Extremos de cada intervalo pertencem ao conjunto de Cantor K.

Outros pontos também, como ¼.

(

2/3

)

0 lim : nulo é K de o compriment O K K lim no restam que pontos dos conjunto o é K Cantor de conjunto O (2/3) é K intervalo do o compriment O (1/3) o compriment de intervalos 2 : K (1/3) o compriment de intervalos 2 : K (1/3) o compriment de intervalos 2 : K 1/3 o compriment de intervalos 2 : K n n n n n n n n n 3 3 3 2 2 2 1 → → ∞ → ∞ →

Conjunto de Cantor

Para os números entre 0 e 1, na base 3 r = a₁3−1 + a₂ 3−2 + a₃3−3 + ... + a_n 3−n + ... a_k = 0 ou 1 ou 2 a_k : dígito ternário de r r = 0. a₁ a₁ a₁...a_n ( Ponto fora de K ) 1/3 ⇒ r = 0. 1 0 0 ... a₁ = [1/3 × 3] = 1 a₂ = [0 x 3] = 0 a₃ = [0 x 3] = 0 ( Ponto fora de K ) 1/2 ⇒ r = 0.1111 ... = 0. 1_ a₁ = [1/2 × 3] = [1,5] = 1 a₂ = [0.5 × 3] = 1 a₃ = [0.5 × 3] = [1.5] = 1

Pontos em K

₁

_{= [0, 1 / 3] ∪ [2 / 3, 1]}

possuem a

₁

= 0 ou 2

Pontos em K

₂

= [0, 1 / 9] ∪ [2 / 9, 3 / 9]

∪ [6 / 9, 7 / 9] ∪ [8 / 9, 1]

Teorema: O conjunto de Cantor, K , consiste dos

números em [0, 1] que podem ser representados,

na base 3, apenas pelos dígitos 0 e 2.

Exemplo: r = 0.02 ∈ K

r = 0x3

-1

+ 2x3

−2

+ 0x3

-3

+ 2x3

-4

... =

2

9

(1+ 3

−2

+ 3

−4

+ ....) =

2

9

1

1−1 / 9

= 1 / 4

( Soma = a / (1 − q) )

contável. conjunto um é contáveis conjuntos dois de União contável. conjunto um é contável conjunto um de o Subconjunt contável. não : incontável Conjunto contável. nte infinitame conjunto ou finito conjunto : contável Conjunto naturais. números os com ência correspond em colocados ser podem elementos seus : contável nte infinitame Conjunto

Conjunto dos racionais 0 < m/n < 1 (m, n inteiros) é contável

O conjunto de pontos da figura é contável (ele está ordenado).

O conjunto dos racionais é um subconjunto do conjunto da figura → esse conjunto é ordenado.

Conjunto dos números do conjunto de Cantor K, com um número finito numa base 3, é contável.

Números correspondentes à extrema direita dos intervalos retirados.

2/3

2/9

8/9

Lista de números no conjunto de cantor K

Esse conjunto é incontável

2

ou

0

a

_ij

₌

incontável conjunto um é , K Portanto, lado. ao lista na está não r ) a de (contrário 2 ou 0 b ) a de (contrário 2 ou 0 b ) a de (contrário 2 ou 0 b ... b ... b b 0.b r , K r Número nn n 22 2 11 1 j 3 2 1 ∞ = = = = ∈

Mapa do Padeiro

branca)

região

a

e.

i.

meio,

do

terço

o

subtraido

(

Cantor

de

conjunto

:

Atrator

!

bastante

afastam

se

iteração

a

após

,

2

/

1

y

e

1/2

y

próximos,

pontos

Dois

o.

descontínu

Mapa

1

1/2

para

1)

-y

2

,

3

2

3

x

(

2

/

1

y

0

para

)

y

2

,

3

x

(

y)

(x,

B

2 1

<

>

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤

<

+

≤

≤

=

y

Alligood Chaos

Atrator fractal:

conjunto de Cantor

(n → ∞)

Contração em x Expanção em y

Alligood Chaos

Atrator Fractal

Atrator para n → ∞

Alligood Chaos

Atrator Fractal

Atrator para

n → ∞

Alligood Chaos

Fractal no

Mapa da Tenda

)

,

1

(

T

pois

-x

lim

)

9

/

8

,

9

/

7

(

)

2/9

1/9,

(

x

)

,

1

(

T

pois

-x

lim

)

2/3

1/3,

(

x

-x

lim

)

,

1

(

)

0

,

(

x

1/2

x

para

)

x

-1

(

3

1/2

x

para

x

3

T

3 2 3 3

∞

∈

∞

→

⇒

∈

∞

∈

∞

→

⇒

∈

∞

→

⇒

∞

∞

∈

⎩

⎨

⎧

>

≤

∪

∪

Alligood Chaos

x)

y,

0.3

x

-

(1.4

y)

(x,

f

Hénon

de

Mapa

2

+

=

Atrator Fractal

Alligood Chaos

fractal

é

bacias

entre

Fronteira

1)}

(0.3,

0.3),

(1,

{

periódica

órbita

e

:

Atratores

x)

y,

0.3

x

-

(1.39

y)

(x,

f

Hénon

de

Mapa

2

∞

−

=

Alligood Chaos

5- Cálculo da Dimensão de Contagem de Caixas

Objetivo:

Introduzir algorítmo para quantificar a

dimensão de um atrator caótico

) 1/ ( C ) ( N : d for dimensão a Se ) 1/ ( C ) ( N com coberto ser pode Retângulo 1/ C ) ( N 1/ caixa da largura da depende N, caixas, de Número intervalo) do depende C constante ( largura de caixas ) 1/ ( C por coberto 1] [0, Intervalo 1/n largura de caixas n 8 por coberto 8] [0, Intervalo 1/n largura de caixas n por coberto 1] [0, Intervalo d 2

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

= = =

caixas

)

1/

(

C

N

arbitrário

lado

de

Quadrado

caixas

49

4

)

1/7

1

(

4

N

e

1/7

1/n

7

n

1/n

lados

de

caixas

)

1/

(

4

N

por

coberto

2

lados

de

quadrado

:

Exemplo

2 2 2

ε

ε

ε

ε

=

×

=

=

=

=

⇒

=

=

=

)

1/

(

ln

)

(

N

ln

lim

)

caixa

de

(

Dimensão

:

Definição

!

inteiro

ser

não

pode

d

)

1/

(

C

)

(

N

lados

de

caixas

N

por

coberto

for

ele

se

d

é

conjunto

um

de

dimensão

A

0 d

ε

ε

ε

ε

ε

ε →

=

=

Alligood Chaos

)

x

,

y

0.3

x

-

1.4

(

)

y

,

x

(

f

Hénon

de

Atrator

2

+

=

Atrator ocupa 76 das 256 caixas.

Alligood Chaos

Alligood Chaos

Cálculo da Dimensão de Caixa para o Atrator de Hénon

Dimensão de Correlação ( útil para dados experimentais ) Órbita S = { v₀, v₁,...v_N} do mapa f em Rn.

Pr oporção de pares de pontos da órbita cujas distâncias são maiores que r > 0

C ( r ) = lim

N → ∞

{ pares { v_i, v_j} : v_i, v_j ∈ S_N, v_i−v_j < r { pares { v_i, v_j} : v_i, v_j ∈ S_N}

0 ≤ C ≤ 1 para 0 < r < ∞

Se C( r ) ≈ rd, d é a dimensão de correlação da órbita

Definição:

d ≡ dim _cor = lim

r → ∞

logC (r ) log( r )

Alligood Chaos

Cálculo da Dimensão para o Atrator de Hénon Com a Dimensão de Correlação

1

)

(K

dim

0

...

631

.

0

3

ln

2

ln

3

ln

n

2

ln

n

lim

3

ln

2

ln

lim

)

K

(

dim

1/3

largura

de

intervalos

2

K

Cantor

de

conjunto

do

Dimensão

n n n n n n

<

<

=

=

=

=

∞ → ∞ →