Modelos longitudinais para momentos de inovação em psicoterapia

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Escola de Ciˆencias

Departamento de Matemática e Aplicações

Gina da Silva Voss

Modelos Longitudinais para

Momentos de Inovac¸ ˜ao em Psicoterapia

Dissertac¸˜ao de Mestrado Mestrado em Estat´ıstica

Trabalho efetuado sob a orientac¸˜ao da

Professora Doutora In ˆes Pereira Silva Cunha de Sousa

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A G R A D E C I M E N T O S

Foi longo o percurso e, sozinha, nunca o teria percorrido.

André, meu amor, meu companheiro, agradeço-te, do fundo do meu coração, todo o amor, paciência, carinho, e palavras doces, que me incentivaram e deram-me forças para nunca desistir ou pensar que não conseguiria. Sem ti, nada seria poss´ıvel, teu amor e força são a base de nossa fam´ılia e, juntos, superarmos todas as dificuldades. Esse mestrado é nosso! Nossa conquista. Obrigada sempre por estares ao meu lado.

E, ao falarmos de fam´ılia, Nadja, sis, o que seria de mim sem tuas palavras? Tua capaci-dade incr´ıvel de trazer-me para a realicapaci-dade fez de mim a pessoa que sou hoje. Agradeço sempre por ter nascido tua irmã e estar longe de ti d ói todos os dias. Obrigada também pelo seu olhar minucioso no texto e por todas as v´ırgulas nos locais corretos.

Agradeço a todos os amigos, os que estão do lado de lá do oceano e os que estão aqui, mais pr óximos. O carinho e força de vocês sempre me animam e fazem-me sorrir. Sou a pessoa de maior sorte do mundo, pois tenho os melhores amigos. Saudades de todos, sempre.

Agradeço, de forma p óstuma, ao Mestre Ari, que me ensinou três palavras que levo comigo: paciência, tolerância e perseverança. Sempre. Obrigada Mestre por teres passado em minha vida.

Agradec¸o aos meus professores, que viram o meu desespero com as integrais e, ainda assim, incentivaram-me a continuar e, hoje, com o texto pronto, tenho o mais sincero cari-nho por todos. Obrigada por toda a ajuda nesse camicari-nho, e desculpem todas as perguntas bobas.

Agradeço em especial a minha orientadora, que, com muita paciência e determinação, não deixou o desespero da brasileira tomar conta e manteve um ritmo de trabalho puxado, pelo qual s ó tenho a agradecer. Obrigada por todas as oportunidades professora Inês!

Por fim, agradec¸o Deus por guiar-me e dar-me forc¸as para continuar.

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R E S U M O

O paciente diagnosticado com depressão/ansiedade, submetido ao tratamento com sess ões de terapia, passa por mudanças psicol ógicas e comportamentais, as quais foram denomi-nadas momentos de inovação (MIs). A motivação desse estudo foi estudar como esses momentos de inovação contribuem para a melhora do paciente. Para tal, usamos os mo-delos longitudinais, onde se leva em consideração a correlação existente entre as medidas de um mesmo indiv´ıduo. O objetivo principal é a aplicação de modelos longitudinais para a análise dos momentos de inovação em sess ões de psicoterapia, e suas relaç ões com outras variáveis de interesse (sintomatologia, aliança paciente - terapeuta e retornos ao problema). Os dados do presente estudo, são provenientes de um serviço de psicologia da cidade de Braga - PT, na qual foram observados 63 pacientes diagnosticados com de-pressão/ansiedade, ao longo de 20 sess ões de terapia, e, em cada sessão, recolheram-se informaç ões sobre a sintomatologia (OQ10), a aliança que se forma entre paciente-terapeuta (WAI), os momentos de inovação (MIs) e os retornos ao problema (RPMs). As sess ões de terapia foram realizadas pelos métodos cognitivo ou narrativo, onde analisamos a sua in-fluência sobre as variáveis psicoterapêuticas. Ap ós as análises, conclu´ımos que as variáveis psicoterapêuticas estão a influenciar umas às outras, com exceção dos RPMs como predito-res da sintomatologia e da aliança paciente-terapeuta. Os momentos de inovação foram di-vididos em dois grupos (high e low) e analisamos a sua influência na sintomatologia OQ10. Os MI.high são significativos para explicar a sintomatologia, enquanto que os MI.low não o são.

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A B S T R A C T

The patient diagnosed with depression/anxiety, submitted to treatment with therapy sessions, undergoes psychological and behavioral changes, which are called moments of innovation (MIs). The motivation of this study was to study how these moments of in-novation contribute to the improvement of the patient. For this, we use the longitudinal models, which take into account the correlation between measurements of the same indi-vidual. The main objective is the application of longitudinal models for the analysis of moments of innovation in sessions of psychotherapy, and their relations with other varia-bles of interest (symptomatology, patient - therapist alliance and returns to the problem). The data from the present study come from a psychology service in the city of Braga - PT, in which 63 patients diagnosed with depression/anxiety were observed during 20 sessions of therapy, and in each session, information was collected about the symptomatology (OQ10), the alliance that forms between patient-therapist (WAI), moments of innovation (MIs) and returns to the problem (RPMs). The sessions of therapy were carried out by the cognitive or narrative methods, we analyzed their influence on the psychotherapeutic variables. After the analysis, we conclude that the psychotherapeutic variables are influencing each other, except for the RPMs as predictors of the symptomatology and the patient-therapist alliance. The moments of innovation were divided into two groups (high and low) and we analyzed their influence on the symptomatology OQ10. The MI.high is significant to explain the symptomatology, whereas the MI.low is not.

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C O N T E ´U D O

1 i n t r o d u c¸ ˜ao 1

2 m o d e l o s pa r a d a d o s l o n g i t u d i na i s 5

2.1 Modelo linear m ´ultiplo 5

2.1.1 Estimação por verossimilhança 5

2.1.2 Critério de seleção 6

2.2 Modelo linear generalizado 6

2.2.1 Estimação por verossimilhança 7

2.3 Variograma 8

2.4 Modelos de Dados Longitudinais 10

2.4.1 Modelos lineares generalizados mistos 11

3 a n´alise explorat ´oria dos dados 13

3.1 An´alise descritiva dos dados 13

3.2 An´alise com dados transversais 15

3.2.1 Vari´avel resposta - OQ10 16

3.2.2 Vari´avel resposta - WAI 18

3.2.3 Vari´avel resposta - MI 21

3.2.4 Vari´avel resposta - RPM 22

3.2.5 Conclus ˜oes 24

4 a n´alise longitudinal por vari ´avel 27

4.1 Vari´avel resposta - OQ10 27

4.2 Vari´avel resposta - WAI 29

4.3 Vari´avel resposta - MI 32

4.4 Vari´avel resposta - RPM 33

4.5 Conclus ˜oes 35

5 va r i´aveis psicoterap ˆeuticas como preditores 39

5.1 Vari´avel resposta - OQ10 39

5.1.1 WAI como preditor de OQ10 39

5.1.2 MIs como preditores de OQ10 41

5.1.3 RPMs como preditores de OQ10 43

5.2 Vari´avel resposta - WAI 45

5.2.1 OQ10 como preditor de WAI 45

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5.2.2 MIs como preditores de WAI 47

5.2.3 RPMs como preditores de WAI 48

5.3 Vari´avel resposta - MI 49

5.3.1 OQ10 como preditor de MIs 49

5.3.2 WAI como preditor de MIs 51

5.4 Vari´avel resposta - RPM 53

5.4.1 OQ10 como preditor de RPMs 53

5.4.2 WAI como preditor de RPMs 55

6 e f e i t o s d o s m o m e n t o s d e i n ova c¸ ˜ao 59

7 c o n s i d e r a c¸ ˜oes finais 63

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L I S TA D E F I G U R A S

Figura 1 Influˆencia das vari´aveis em estudo. 3

Figura 2 Exemplo de um variograma. 9

Figura 3 Boxplot das vari´aveis OQ10 e WAI. 13

Figura 4 Boxplot das vari´aveis de interesse. 15

Figura 5 Gráfico de dispersão variável OQ10. 17

Figura 6 Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado. 17 Figura 7 Variograma dos res´ıduos do modelo ajustado. 18

Figura 8 Gráfico de dispersão variável WAI. 19

Figura 9 Gráfico dos res´ıduos do modelo ajustado. 20 Figura 10 Variograma dos res´ıduos do modelo ajustado. 20 Figura 11 Gráfico de dispersão variável MI.prop. 21 Figura 12 Gráfico dos res´ıduos do modelo ajustado. 22 Figura 13 Gráfico de dispersão variável RPM.prop. 23 Figura 14 Gráfico dos res´ıduos do modelo ajustado. 24 Figura 15 Gráfico OQ10 x session (regressão longitudinal). 28

Figura 16 Variograma te ´orico vs. emp´ırico OQ10. 29

Figura 17 Gr´afico WAI x session (regress˜ao longitudinal). 31

Figura 18 Variograma te ´orico vs. emp´ırico WAI. 31

Figura 19 Gráfico MI.prop x session (regressão longitudinal). 33 Figura 20 Gráfico RPM.prop x session (regressão longitudinal). 34

Figura 21 Gr´afico WAI x OQ10 (good outcome). 40

Figura 22 Gr´afico WAI x OQ10 (poor outcome). 41

Figura 23 Gr´afico MIs x OQ10 (good outcome). 42

Figura 24 Gr´afico MIs x OQ10 (poor outcome). 43

Figura 25 Gr´afico RPMs x OQ10 (good outcome). 44

Figura 26 Gr´afico RPMs x OQ10 (poor outcome). 45

Figura 27 Gr´afico WAI x OQ10. 46

Figura 28 Gr´afico WAI x MIs. 48

Figura 29 Gr´afico WAI x RPMs. 49

Figura 30 Gr´afico MIs x OQ10. 50

Figura 31 Gr´afico MIs x WAI (good outcome). 52

Figura 32 Gr´afico MIs x WAI (poor outcome). 52

Figura 33 Gr´afico RPMs x OQ10 (good outcome). 54

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Figura 34 Gr´afico RPMs x OQ10 (poor outcome). 54

Figura 35 Gr´afico RPMs x WAI (good outcome). 56

Figura 36 Gr´afico RPMs x WAI (poor outcome). 56

Figura 37 Influˆencia das vari´aveis umas nas outras. 58

Figura 38 Gr´afico OQ10 x MI.high.perc. 60

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L I S TA D E TA B E L A S

Tabela 1 Vari´aveis observadas. 14

Tabela 2 Modelos para efeitos fixos. 15

Tabela 3 Output do modelo de regressão linear para a var. OQ10. 16 Tabela 4 Output do modelo de regressão linear para a var. WAI. 19 Tabela 5 Output do modelo de regressão linear para a var. MI. 21 Tabela 6 Output do modelo de regressão linear para a var. RPM. 23 Tabela 7 Modelos com melhor ajustamento para dados transversais. 25 Tabela 8 Comparação de modelos longitudinais para a var. OQ10. 27 Tabela 9 Output do Modelo III de regressão longitudinal para a var. OQ10. 28 Tabela 10 Comparação de modelos longitudinais para a var. WAI. 30 Tabela 11 Output do Modelo I I I de regressão longitudinal para a var. WAI. 30 Tabela 12 Comparação de modelos longitudinais para a var. MI. 32 Tabela 13 Output do Modelo I I de regressão longitudinal para a var. MI. 32 Tabela 14 Comparação de modelos longitudinais para a var. RPM. 34 Tabela 15 Output do Modelo I I de regressão longitudinal para a var. RPM. 34 Tabela 16 Modelos com melhor ajustamento para dados longitudinais. 36

Tabela 17 An´alise do efeito da vari´avel treat. 36

Tabela 18 An´alise do efeito da vari´avel outcome. 37

Tabela 19 Output do Modelo sem interaç ão (WAI preditor de OQ10). 40 Tabela 20 Output do Modelo com interaç ão (MI preditor de OQ10). 42 Tabela 21 Output do Modelo sem interaç ão (RPM preditor de OQ10). 44 Tabela 22 Output do Modelo sem interaç ão (OQ10 preditor de WAI). 46 Tabela 23 Output do Modelo sem interaç ão (MI preditor de WAI). 47 Tabela 24 Output do Modelo sem interaç ão (RPM preditor de WAI). 48 Tabela 25 Output do Modelo com interaç ão (OQ10 preditor de MIs). 50 Tabela 26 Output do Modelo com interaç ão (WAI preditor de MIs). 51 Tabela 27 Output do Modelo com interaç ão (OQ10 preditor de RPMs). 53 Tabela 28 Output do Modelo com interaç ão (WAI preditor de RPMs). 55 Tabela 29 Output do Modelo high.1 (MI.high.perc preditor de OQ10). 60 Tabela 30 Output do Modelo low.1 (MI.low.perc preditor de OQ10). 60

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I N T R O D U C¸ ˜A O

Depressão é uma doença grave, de carácter psicol ógico, que afeta diferentes tipos de pessoas, sendo que, cada indiv´ıduo é afetado de maneira única. Os danos causados geram impacto direto e profundo na vida do paciente e seus familiares. A Organização Mundial de Sa úde classifica a depressão como o maior contribuinte da incapacidade para a ativi-dade produtiva, registando, em 2015, 7,5% de todos os anos vividos com incapaciativi-dade (DGS, 2016). Em 2013, com o 1o Estudo Epidemiol ógico Nacional de Sa úde Mental (parte

integrante do World Mental Health Survey Initiative, da Organização Mundial de Sa úde e da Harvard University), conseguiu-se olhar a depressão em n úmeros. Portugal tem a 4o posição dentre os 34 pa´ıses participantes do estudo, estando atrás do Brasil, EUA e Irlanda do Norte (Ciências Médicas,2013). Estudos de acompanhamento demonstram que até 30%

dos indiv´ıduos com depressão ainda se encontram deprimidos ap ós um ano, 18% ap ós dois anos e 12% ap ós cinco anos (Powell et al., 2008) . Segundo a Direção-Geral da Sa úde

(DGS,2016), em Portugal Continental cerca de 7,98% dos utentes inscritos ativos possuem

registro de perturbaç ões depressivas entre 2011 e 2014, lembrado, porém, que 50-70% dos indiv´ıduos que sofrem de depressão não são diagnosticados e não estão a ser tratados. De 2011a 2014 o consumo de fármacos antidepressivos aumentou cerca de 25%.

Para casos mais graves de depressão, a psicoterapia é associada à administração de fármacos. Enquanto os antidepressivos tratam os sintomas, a psicoterapia tem um efeito mais durador, notando-se a ausência de sintomas da doença por longos per´ıodos ap ós o término do tratamento (Mufson e Wright, 2006). Nas sess ões de psicoterapia, o paciente

tem um papel ativo (diferente das consultas médicas tradicionais), e mudanças psicol ógicas e comportamentais são observadas ao longo das sess ões. Albert Ellis e Aaron Beck, res-ponsáveis por descrever os conceitos fundamentais da terapia cognitiva, conclu´ıram, na década de 60, que a depressão resulta de hábitos de pensamentos extremamente enraiza-dos. Eles observaram que o humor e comportamentos negativos eram usualmente resulta-dos de pensamentos e crenças distorcidas, ou seja, o paciente com depressão acredita que as coisas são piores do que realmente são. Muitos estudos apontam que a terapia cognitiva é eficaz no tratamento da depressão (Powell et al.,2008). Neste estudo, os pacientes foram

tratados com terapia cognitiva ou narrativa e analisamos sua influˆencia sobre as vari´aveis

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psicoterapˆeuticas.

Durante as sess ões de terapia, mudanças pessoais são esperadas na narrativa do paciente, pois a psicoterapia atua num n´ıvel mais profundo, onde as auto-narrativas problemáticas acabam por transformarem-se em auto-narrativas com mais esperança e auto-estima. Essas mudanças foram codificadas por Miguel M. Gonçalves e J. R. Silva, 2014, e denominadas

momentos de inovação. Foram classificadas em 5 tipos diferentes: action (A), protest (P), reflection (R), reconceptualization (RC), e performing change (PC), sendo que os tipos ac-tion (A), protest (P) e reflecac-tion (R) têm dois n´ıveis, 1 e 2. Atualmente, os MIs estão a ser divididos em dois grupos chamados de high (alto) e low (baixo). Os MI.high são compostos pelos seguintes tipos de MIs: action (A1), reflection (R1), protest (P1), reconceptualization (RC), e performing change (PC); enquanto os MI.low são formados pelos MIs: action (A2), reflection (R2), protest (P2).

Os dados do presente estudo, são provenientes de um serviço de Psicologia da cidade de Braga - PT, onde foram observados 63 pacientes diagnosticados com depressão e/ou ansiedade. Várias variáveis foram observadas, tais como: a sintomatologia (OQ10), ou ’n´ıvel’ em que se encontra da doença, é uma escala medida através de um questionário (Outcome Questionnaire 10.2)(Lambert et al., 2004) preenchido no in´ıcio de cada sessão de

terapia; a aliança paciente-terapeuta (WAI), significa o quanto o paciente e terapeuta ’se entendem’, sendo medida através de questionário ao final de cada sessão; e o outcome, que é medido através do questionário BDI - Beck Depression Inventory (Beck et al., 1961),

realizado no in´ıcio e no final do tratamento. A diferença dos valores dos questionários (BDIf im − BDIinicio) é que determina um poor outcome (onde o paciente não apresentou

melhora nos sintomas da depressão), ou um good outcome (o paciente apresentou melhora nos sintomas da depressão), sendo que este último determina o sucesso da terapia.

Estudos anteriores de Santos, M. M. Gonc¸alves et al.,2011apontaram que, para pacientes

com poor outcome, os momentos de inovação que mais ocorreram foram os tipos action e protest, sendo que os demais não tiveram ocorrências. Miguel M. Gonçalves, Mendes et al., 2012, que analisaram os efeitos para good e poor outcome, conclu´ıram que, em

confor-midade com estudos anteriores, a ocorrência de MIs tem um efeito sobre a melhora do paciente, com exceção do MI performing change (PC). Os MIs, reconceptualization e per-forming change - ao contrario dos outros tipos de MIs, que ocorrem ao longo de todas as sess ões - têm a propensão de ocorrerem mais a partir do meio do tratamento (aproximada-mente pela 8a. sessão) (Miguel M. Gonçalves, Mendes et al.,2012; Santos, M. Gonçalves et

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3

pode retornar à auto-narrativa negativa, e a isto chamamos de retornos ao problema (RPM). No nosso estudo, temos medidas repetidas das variáveis de um mesmo indiv´ıduo (20 sess ões de terapia) e existe a hip ótese delas terem uma correlação entre si, já que proveem do mesmo indiv´ıduo. Iremos testar essa hip ótese de correlação, e, se comprovada, um es-tudo longitudinal será necessário. As análises estat´ısticas foram realizadas com o aux´ılio do software R. Segundo Singer et al.,2017, estudos longitudinais têm interesse especial quando

o objetivo é avaliar tanto mudanças globais, quanto individuais, ao longo do tempo. Os modelos longitudinais conseguem absorver, juntamente com as covariáveis, a estrutura de correlação existente entre medidas de um mesmo indiv´ıduo. Estudos longitudinais permi-tem a distinção entre o grau de variação na variável resposta para um indiv´ıduo ao longo do tempo e a variação entre diferentes indiv´ıduos, aumentando a qualidade das interpretaç ões (Diggle et al.,2002). Este trabalho tem como prop ósito a aplicação de modelos longitudinais

para o estudo dos momentos de inovação em sess ões de psicoterapia, e de suas relaç ões com outras variáveis de interesse (sintomatologia, aliança paciente - terapeuta e retornos ao problema).

Figura 1: Influˆencia das vari´aveis em estudo.

A estrutura que apresentamos é dividida em 6 cap´ıtulos: teoria sobre modelos para dados longitudinais, análise explorat ória dos dados, análise longitudinal por variável, variáveis psicoterapêuticas como preditores, efeitos dos momentos de inovação, e consideraç ões fi-nais. Nos modelos para dados longitudinais apresentamos os modelos te óricos dos mo-delos lineares gerais para dados longitudinais. A análise explorat ória dos dados compre-ende a análise descritiva da amostra e o estudo preliminar dos dados como observaç ões independentes (não levando em conta a correlação entre as respostas de um mesmo in-div´ıduo), também chamada de análise transversal. Neste primeiro momento, as variáveis explicativas usadas foram: os tipos de tratamentos (cognitivo e narrativo), o outcome (poor

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e good), e o tempo (session). As variáveis resposta usadas foram o OQ10 (sintomatolo-gia), o WAI (aliança), os MIs (momentos de inovação), e os RPMs (retorno ao problema). Com os res´ıduos desses modelos lineares, realizamos um variograma para a verificação da existência, ou não, de uma estrutura de correlação, o que leva ao cap´ıtulo seguinte: análise longitudinal por variável. Nesse cap´ıtulo, as quatro variáveis resposta (OQ10, WAI, MI e RPM) foram analisadas com modelos longitudinais, onde a estrutura de correlação é le-vada em conta no modelo estat´ıstico. Ap ós essa análise por variáveis de interesse como variáveis resposta, adicionamos nos modelos as variáveis psicoterapêuticas uma a uma como variáveis explicativas, para, assim, analisarmos a sua influência sobre a variável res-posta (cap´ıtulo variáveis psicoterapêuticas como preditores). No cap´ıtulo 6, analisamos as influências dos momentos de inovação sobre a sintomatologia (OQ10) com eles divididos nos grupos: MI.high (A2, R2, P2, RC e PC) e MI.low (A1, R1 e P1). E, no cap´ıtulo final, apresentamos as consideraç ões finais sobre todas as análises realizadas, ou seja, como as variáveis estão a interagir umas com as outras.

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2

M O D E L O S PA R A D A D O S L O N G I T U D I N A I S

2.1 m o d e l o l i n e a r m´ultiplo

Neste estudo estamos a investigar a relação existente entre as variáveis psicoterapêuticas, e a técnica estat´ıstica recomendada é a análise de regressão. Quando analisamos os dados transversalmente (considerando independência das observaç ões), utilizamos modelos de regressão m últipla. Os modelos de regressão m últipla possuem a seguinte estrutura:

Y =Xβ+ε,

onde, Y é um vetor coluna (n x 1) com os valores da variável resposta para as observaç ões,

X é uma matriz (n x (p+1)) com os valores das variáveis explicativas, β é um vetor com

os (p+1) coeficientes do modelo e ε ´e um vetor (n x 1) em que ε∼ MV N(0, σ2I) e inde-pendentes e identicamente distribu´ıdos (i.i.d.) (Faria, 2016b). Os parˆametros do modelo a

estimar s˜ao ent˜ao θ= β, σ2

Y=       Y1 Y2 .. . Yn       X =       1 X11 X21 · · · Xp1 1 X12 X22 · · · Xp2 .. . ... 1 X1n X2n · · · Xpn       β=       β0 β₁ .. . βp       ε=       ε1 ε2 .. . εn      

2.1.1 Estimação por verossimilhança

Os parâmetros do modelo ( ˆθ) são estimados pelo método da máxima verossimilhança, onde se maximiza o logaritmo da equação de verossimilhança:

L(θ|y1, ..., yn) = n

∏

i=1 f(yi|θ) L(θ|y1, ..., yn) = n

∏

i=1 1 √ 2πσ2exp − 1 2σ2(yi−Xβ) 2 5

(19)

ln(L(θ)) =l(θ) l(θ) = n

∑

i=1 ln(f(yi|θ)) l(θ) = n

∑

i=1 ln 1 √ 2πσ2exp − 1 2σ2(yi−Xβ) 2 l(θ) = n

∑

i=1 −1 2 ln 2πσ 2₋ 1 2σ2 (yi−Xβ) 2 ,

logo, ˆθ é chamado de estimador de máxima verossimilhança para os parâmetros.

2.1.2 Critério de seleção

A determinação do modelo que melhor se ajusta aos dados é realizada com base no critério de Akaike (AIC),

AIC =2p−2log(L(bθ|y)),

onde p representa o n úmero de parâmetros estimados e log(L(bθ|y)) é o log do máximo da verossimilhança do modelo estimado. O modelo de melhor ajustamento é o que apre-sentar menor score AIC, salientando que o score AIC é ordinal e que, sozinho, não tem qualquer significado, eles são uma simples maneira de classificar os modelos (Snipes e Taylor, 2014). Caso os valores do AIC tenham diferença m´ınima (menos de 5 valores de

diferença entre eles), usamos o valor da verossimilhança como critério (o modelo com maior verossimilhança apresenta melhor ajustamento).

2.2 m o d e l o l i n e a r g e n e r a l i z a d o

No caso das variáveis resposta momentos de inovação (MI) e retornos ao problema (RPM), elas são apresentadas em proporç ões, Yi ∼ Binomial(1, πi), e usamos um modelo

linear generalizado, onde modelamos a razão de chances de ocorrência de MIs e RPMs. O modelo linear generalizado descrito por Turkman e G. Silva, 2000, é apresentado da

seguinte forma:

(20)

2.2. Modelo linear generalizado 7

onde, ηi é o preditor linear, xi é o vetor das covariáveis (1 x (p+1)), e β é o vetor dos

parâmetros (1 x(p+1)). A função de ligação g(µ_i)usada é a logit:

g(µi) =ln(

πi

1−πi

)

g(µi) =ηi

onde, πi é a probabilidade de sucesso P(Yi = 1). O (₁−πiπi) é chamado odd ratio ou razão de chances. A probabilidade de sucesso está relacionada com o vetor xi da seguinte

maneira:

πi =

exp(xT_i β)

1+exp(xT_i β)

2.2.1 Estimação por verossimilhança

As variáveis resposta seguem uma distribuição Binomial, Yi ∼ Binomial(1, πi), cuja

função de distribuição é dada por:

f(yi|xi) =πy_ii(1−πi)(1−yi)

A função de verossimilhança, como função de β, é:

L(β|y1, ..., yn) = n

∏

i=1 f(yi|θ) L(β|y1, ..., yn) = n

∏

i=1 π_iyi(1−πi)(1−yi)

Ao aplicarmos o logaritmo, temos:

ln(L(β)) =l(β) l(β) = n

∑

i=1 ln(f(yi|β)) l(β) = n

∑

i=1 ln πy_ii(1−π_i)(1−yi) l(β) = n

∑

i=1 yiln πi 1−πi +ln(1+πi)

(21)

A estimação dos parâmetros ( ˆβ) é realizada maximizando o logaritmo da equação de verossimilhança.

2.2.2 Critério de seleção

Para determinarmos o modelo que melhor se ajustou aos dados nos modelos lineares ge-neralizados, utilizamos os res´ıduos deviance como critério de seleção. Os res´ıduos deviance são utilizados para detectar os erros no ajustamento do modelo, medindo a discrepância entre o modelo saturado e o modelo restrito (Souza,2006):

D∗(y, ˆµ) = −2(lM(ˆβM) −lS(ˆβS)) =

D(y, ˆµ) φ

onde: lM(ˆβM) →log-verossimilhanc¸a do modelo saturado;

lS(ˆβS) →log-verossimilhanc¸a do modelo investigado;

D∗(y, ˆµ) →deviance reduzido; D(y, ˆµ) →res´ıduos deviance.

Como modelo saturado, Turkman e G. Silva,2000, consideram o modelo linear

generali-zado sem a estrutura linear η= X β, as estimativas de máxima verossimilhança dos µi são

as pr óprias observaç ões, isto é ˆµi =yi. O modelo saturado ajusta-se exatamente aos dados,

reproduzindo os pr ´oprios dados.

No modelo binomial (que é o caso das variáveis MI e RPM), D∗(y, ˆµ) =D(y, ˆµ), nos ca-sos em que D∗(y, ˆµ)depende do parâmetro de dispersão φ, podemos considerar D∗(y, ˆµ) ∼ χ2_n−pquando φ→0 (Faria,2016a).

2.3 va r i o g r a m a

O variograma é uma representação de poss´ıvel existência de correlação entre observaç ões de um mesmo indiv´ıduo. Segundo Mello,2004, ele representa uma função de semivariâncias

em relação às respectivas distâncias temporais. A semivâriancia é definida como a metade da variância de diferenças entre observaç ões de uma variável aleat ória, Y, separadas por uma distância u:

V(u) = 1

2E[(Y(t) −Y(t−u))

2_]

Na prática, o variograma te órico é aplicado aos res´ıduos do modelo de regressão com dados transversais:

(22)

2.3. Variograma 9

V(u) = 1

2E[(r(t) −r(t−u))

2_]_,

onde, V(u) é a função variograma e r(t) =Y(t) −Yˆ(t).

Para estimarmos o variograma a partir dos dados ( ˆV(u) - variograma emp´ırico) temos que calcular todos os valores vijil:

vijil =

1

2(rij−ril)

2_,

onde rij ´e o res´ıduo preliminar para a m´edia da resposta j no indiv´ıduo i. Definido vijil,

temos que ˆV(u) ´e a m´edia de todos os valores vijil tal que|ti j−til| ≈u (Sousa,2016).

Figura 2: Exemplo de um variograma.

A Figura 2, representa um exemplo de um variograma emp´ırico. Observamos que as diferentes variâncias, somadas, formam a variância de Yi j. A distância até a primeira linha

tracejada (τ2_{) é a variância não explicada (erro de medição), a distância entre as duas linhas}

tracejadas (σ2) é a variância dentro do indiv´ıduo, e a distância entre a linha tracejada e a linha cont´ınua superior (ν2) é a variância entre os indiv´ıduos, logo

ˆ

(23)

Quando a linha do variograma (Figura 2) for horizontal, ou aproximada, temos que a correlação dentro do indiv´ıduo tende a ser constante, i.e., não está a variar em função da distância temporal (u) (Sousa, 2016), logo, caso contrário, se a linha está a variar com a

distância temporal, há evidências da existência de uma estrutura de correlação dentro do indiv´ıduo e será necessário a aplicação de técnicas estat´ısticas que absorvam as mesmas, tal como os modelos longitudinais.

2.4 m o d e l o s d e d a d o s l o n g i t u d i na i s

Ao considerarmos que existe uma correlação entre as respostas de um mesmo indiv´ıduo ao longo do tempo, os modelos longitudinais são os que conseguem incorporar essas informaç ões e melhor ajustar-se ao dados. Os modelos longitudinais (ou modelos mis-tos) contêm efeitos fixos, efeitos aleat órios e um erro. A variável resposta segue uma distribuição multivariada:

Yi ∼ MV N(Xiβ, Vi)

em que Yi é o vetor (ni x 1) de observaç ões para o indiv´ıduo i, Xi é a matriz de desenho

(ni x (p+1)) com as vari´aveis explicativas para o indiv´ıduo i, β ´e o vetor ((p+1)x 1) dos

parâmetros do modelo, e Vi é uma matriz (nix ni), com valores não nulos e com parâmetros,

isto é, a matriz é a matriz de variâncias/covariâncias de medidas do indiv´ıduo i (Diggle et al.,2002). Quando consideramos a variância constante para todos os tempos, temos que:

V_i =σ2W_i, sendo σ2 a variância entre os tempos e W_i a matriz correlação entre os tempos. Na análise longitudinal, quatro modelos foram testados:

• Modelo I (Compound Symmetry):

Yi j= Xi jβ+Ui+Zi j

onde: Xi jβ→E[Yi j];

Ui →efeito aleat ´orio do indiv´ıduo, Ui ∼N(0, ν2);

Zi j →erro de medida, Zi j ∼ N(0, τ2).

• Modelo II (Random Intercept and Slope):

(24)

2.4. Modelos de Dados Longitudinais 11

U_i1 →efeito aleat ´orio do indiv´ıduo; U2

iti j →interação entre o efeito aleat ório do indiv´ıduo com o tempo;

Zi j →erro de medida, Zi j ∼ N(0, τ2); U1 i U_i2 ∼BV N(0, ν₁2 ν12 ν₂2 ).

• Modelo III (Param´etrico longitudinal exponencial): Yi j = Xi jβ+Ui+Wi(ti j) +Zi j

Ui → efeito aleat ´orio do indiv´ıduo, Ui ∼N(0, ν2);

Wi(ti j) →estrutura de correlac¸˜ao exponencial temporal, var(Wi(ti j)) =σ2; Zi j →erro de medida, Zi j ∼ N(0, τ2).

Para correlac¸˜ao exponencial temos: cor((Wi|ti j),(Wi|tik)) = ρ(u) = exp n −1 φ t_ik−t_ij o , com u=tik−tij.

• Modelo IV (Param´etrico longitudinal gaussiano): Yi j = Xi jβ+Ui+Wi(ti j) +Zi j

Ui → efeito aleat ´orio do indiv´ıduo, Ui ∼N(0, ν2);

Wi(ti j) →estrutura de correlac¸˜ao gaussiana temporal, var(Wi(ti j)) =σ2; Zi j →erro de medida, Zi j ∼ N(0, τ2).

Para correlac¸˜ao gaussiana temos: cor((Wi|ti j),(Wi|tik)) = ρ(u) = exp n

−_φ1|tik−tij|2

o , com u=t_ik−tij.

2.4.1 Modelos lineares generalizados mistos

Para as variáveis apresentadas em proporção (MIs e RPMs) usamos modelos lineares gene-ralizados mistos, e apenas conseguimos testar os modelos Compound Symmetry e Random Intercept and Slope por raz ões computacionais. Nos modelos lineares generalizados mistos com função de ligação logit modelamos a razão de chances de ocorrência de MIs e RPMs e não o valor total como anteriormente.

(25)

A função de ligação logit é dada por: g(µi j) = ln(

πi j

1−πi j), sendo g(µi j) = ηi j, onde, πi j ´e a probabilidade de sucesso do indiv´ıduo i no tempo j (P(Y_{i j} = 1)). O ( πi j

1−πi j) ´e chamado odd ratio ou raz˜ao de chances.

Os modelos testados s˜ao:

• Modelo linear generalizado misto I (C. Symmetry):

ηi j = Xi jβ+Ui+Zi j onde: ηi j →ln _π i j 1−πi j ; Xi jβ→E[Yi j];

Ui →efeito aleat ´orio do indiv´ıduo, Ui ∼N(0, ν2);

Zi j →erro de medida, Zi j ∼ N(0, τ2).

• Modelo linear generalizado misto II (Random Intercept and Slop):

η_{i j} =X_{i j}β+U_i1+U2_iti j+Zi j onde: ηi j →ln πi j 1−πi j ; Xi jβ→E[Yi j];

U_i1 →efeito aleat ´orio do indiv´ıduo;

U_i2ti j →interação entre o efeito aleat ório do indiv´ıduo com o tempo;

Zi j →erro de medida, Zi j ∼ N(0, τ2); U1 i U_i2 ∼BV N(0, ν₁2 ν12 ν₂2 ) 2.4.2 Critério de seleção

A escolha do modelo longitudinal que melhor se ajustou aos dados foi realizada através do menor valor de AIC (critério de Akaike - seção 2.1.2), do maior valor da máxima verossimilhança, e através da análise gráfica do variograma te órico. Para os modelos line-ares generalizados mistos, o modelo com menor função desvio (seção2.2.2) é o de melhor ajustamento.

(26)

3

A N ´A L I S E E X P L O R AT ´O R I A D O S D A D O S

3.1 a n´alise descritiva dos dados

Os dados analisados neste estudo são provenientes de 63 pacientes de um serviço de Psicologia situada na cidade de Braga - Portugal. Por protocolo, em Portugal, o trata-mento psicoterápico é de 20 sess ões, a realizarem-se uma vez por semana. Assim sendo, temos o acompanhamento dos pacientes ao longo das 20 sess ões de terapia, com as mes-mas variáveis observadas em 20 momentos temporais sequenciais. Diversas variáveis fo-ram observadas, mas as quatro variáveis psicoterapêuticas de interesse são: OQ10, que é a sintomatologia do paciente; WAI, a aliança paciente - terapeuta; MI, que representa os momentos de inovação que ocorreram na sessão; e RPM, que são os retornos ao problema.

(a) OQ10

(b) WAI

Figura 3: Boxplot das vari´aveis OQ10 e WAI.

A sintomatologia (OQ10), ’n´ıvel’ em que se encontra da doença, é uma variável cont´ınua e sua escala, nesta amostra, varia de 0 a 39 valores. A aliança paciente-terapeuta (WAI),

(27)

é uma variável cont´ınua, de escala variando de 27 a 60 valores para esta amostra (Figura 3). A variável momentos de inovação (MI) é uma proporção do n úmero de palavras que formam o total de MIs para o total de palavras da sessão.

MI.prop= # total de palavras que formam os MIs

# total de palavras da sess˜ao

Numa sessão de terapia, na qual ocorram momentos de inovação, o paciente ainda pode ter um retorno ao problema (RPM). É uma variável cont´ınua, apresentada em proporção (RPM.prop), onde representa o n úmero de RPMs ocorridos em relação ao n úmero total de MIs ocorridos. Devido ao processo moroso de identificação dos MIs, apenas 16 indiv´ıduos possuem as variáveis momentos de inovação (MIs) e retornos ao problema (RPMs).

Tabela 1: Vari´aveis observadas.

Vari´avel

OQ10 sintomatologia

WAI alianc¸a paciente-terapeuta

MI.total n úmero de momentos de inovação ocorridos

MI.prop proporção que representa os momentos de inovação na sessão MI.high momentos de inovação dos tipos: A1, R1, P1, RC, PC

MI.low momentos de inovac¸˜ao dos tipos: A2, R2, P2

RPM.prop proporção de retornos ao problema em relação aos MIs ocorridos na sessão treat tratamento psicoterapêutico utilizado

1→CBT (cognitivo) 2→NT (narrativo) outcome Question´ario BDI

0→ poor outcome 1→ good outcome session vari´avel tempo

total.words n ´umero total de palavras na sess˜ao

Os pacientes observados foram tratados com dois métodos distintos de terapia: a cognitiva e a narrativa. Do total, 29 tiveram tratamento pelo método cognitivo e 34 pelo método narrativo, não tendo valores faltantes. Para a variável outcome, 12 pacientes apresentaram good outcome ao final do tratamento, e 28 poor outcome, sendo que tivemos 23 valores em falta (indiv´ıduos que não foram a última sessão de terapia ou não responderam ao ques-tionário BDI por motivos desconhecidos) (Figura4).

(28)

3.2. An´alise com dados transversais 15

Figura 4: Boxplot das vari´aveis de interesse.

3.2 a n´alise com dados transversais

Ap ós a análise descritiva dos dados, analisamos as quatro variáveis de maior interesse in-dividualmente, como variáveis resposta (OQ10, WAI, MI e RPM). Num primeiro momento, tratamos todas as observaç ões como independentes (dados transversais) e, conforme resul-tado do ajustamento dos modelos, uma análise dos res´ıduos foi feita para a análise do variograma emp´ırico.

Tabela 2: Modelos para efeitos fixos.

Modelos E[Y_i] = X_iβ

Modelo 01 E[Yi j] =β0+β1outcome∗session

Modelo 02 E[Yi j] =β0+β1outcome+β2session

Modelo 03 E[Yi j] =β0+β1treat∗session

Modelo 04 E[Yi j] =β0+β1treat+β2session

Modelo 05 E[Yi j] =β0+β1outcome∗session+β2treat

Modelo 06 E[Yi j] =β0+β1treat∗session+β2outcome

Modelo 07 E[Yi j] =β0+β1outcome+β2treat+β3session

Modelo 08 E[Yi j] =β0+β1session

(29)

Foram testados vários modelos para cada variável resposta com diversas combinaç ões de variáveis explicativas e suas interaç ões (Tabela2). Esses modelos foram testados para saber-mos quais os efeitos estatisticamente significativos. As variáveis explicativas são outcome, com dois tratamentos good outcome e poor outcome; treat, com tratamentos cognitivo e narrativo; e session, que representa o tempo (as 20 sess ões de terapia realizadas).

3.2.1 Vari´avel resposta - OQ10

Ao analisarmos a variável que representa a sintomatologia do paciente (OQ10), conside-ramos as observaç ões independentes entre si e realizamos uma análise de regressão linear m últipla com os diferentes modelos representados na Tabela 2. O modelo 09, contendo interaç ões das duas variáveis (outcome e treat) com o tempo (variável session) apresentou a interação treat∗session como sendo não significativa (p-valor = 0,106 > α = 0,05, não se rejeita H0). Sendo assim, o modelo 05: E[Yi j] = β0+β1outcome∗session+β2treat foi

o que obteve o melhor ajustamento. A Tabela 3apresenta os resultados encontrados para esse modelo, que possui um R2 = 0,261 (está a explicar 26% da variabilidade dos dados). Nota-se que a variável outcome (p-valor = 0,529 > α = 0,05, não se rejeita H0) não

apre-senta diferença estat´ıstica entre os seus dois n´ıveis (poor e good) no in´ıcio do tratamento psicoterapêutico, isto é, podemos considerar que todos os pacientes encontravam-se num mesmo ’n´ıvel’ de depressão/ansiedade. A interação outcome∗session (p-valor = < 0,0001

< α = 0,05, rejeita-se H0) ´e altamente significativa, por conseguinte, o OQ10, est´a a variar

com o passar das sess ões de terapia, e esse efeito é diferente para o good e poor outcome. Na Figura5, essa diferença do good outcome ao longo das sess ões de terapia nota-se de ma-neira n´ıtida. Podemos ver que o OQ10 para good outcome está a diminuir com o passar das sess ões, enquanto o OQ10 para poor outcome mantém-se praticamente sem alteração, ou seja, a psicoterapia está apresentando resultados positivos na sintomatologia do paciente para aqueles que terminaram com good outcome.

Tabela 3: Output do modelo de regress˜ao linear para a var. OQ10.

Coeficientes Estimativas Desvio Padr˜ao t value P-valor

β0 22,883 0,963 23,759 <0,0001

β1 outcome2 (poor) 0,690 1,096 0,629 0,5294

β2 session -0,756 0,082 -9,192 <0,0001

β3 treat2 (narrativo) 1,545 0,498 3,105 0,0020

β4 outcome2*session 0,691 0,097 7,133 <0,0001

A vari´avel treat (p-valor = 0,002 < α = 0,05, rejeita-se H0) tem diferenc¸a estat´ıstica

(30)

Figura 5: Gráfico de dispersão variável OQ10.

Figura 6: Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado.

narrativo apresentam valores 1,545 vezes mais altos de OQ10 que os pacientes com trata-mento cognitivo, mas, como sua interação com o tempo não foi significativa, essa diferença entre tratamentos mantém-se constante ao longo das sess ões de terapia. Na Figura 6, onde

(31)

os res´ıduos deveriam apresentarem-se de forma aleat ória, observa-se a existência de um padrão, logo, um estudo longitudinal se faz necessário. O variograma (Figura 7), feito com os res´ıduos da regressão linear m últipla apresentada na Tabela 3, mostra que apro-ximadamente 1₄ da variância é erro de medição (erro aleat ório), sendo a variância entre os indiv´ıduos a maior parte da variância total. Já na variância dentro dos indiv´ıduos, a linha do variograma apresenta um padrão crescente com o aumento da distância tempo-ral, indicando que, ap ós retirarmos a influência das covariáveis, ainda temos presente uma estrutura de correlação entre medidas de um mesmo indiv´ıduo. Consequentemente, um estudo longitudinal é necessário.

Figura 7: Variograma dos res´ıduos do modelo ajustado.

3.2.2 Vari´avel resposta - WAI

A variável WAI, que representa a aliança paciente - terapeuta, foi analisada como variável resposta com os modelos da Tabela 2, e obteve, como melhor ajustamento, o modelo 07: E[Yi j] = β0+β1outcome+β2treat+β3session. As interaç ões testadas (outcome∗session e

treat∗session) não se mostraram significativas para WAI (p-valor>α= 0,05, não se rejeita H0). A aliança paciente - terapeuta está a aumentar no decorrer das sess ões, e pacientes

com good outcome têm maior aliança, assim como pacientes com terapia cognitiva. Os re-sultados do ajustamento da regressão linear estão apresentados na Tabela4.

(32)

Tabela 4: Output do modelo de regress˜ao linear para a var. WAI.

β0 50,790 0,685 74,128 <0,0001

β1 outcome2 (poor) -2,475 0,538 -4,601 <0,0001 β2 treat2 (narrativo) -1,391 0,487 -2,858 0,0044

β3 session 0,278 0,042 6,547 <0,0001

Figura 8: Gráfico de dispersão variável WAI.

A variável outcome apresenta diferença entre seus n´ıveis (good e poor), assim como a variável treat (cognitivo e narrativo). Contudo, lembrando que suas interaç ões com o tempo (session) não são significativas, sabemos que o seu efeito ao longo das sess ões é o mesmo para good e poor outcome, e para os tratamentos cognitivo e narrativo (Figura8).

Os res´ıduos (Figura 9) não se apresentam de forma aleat ória (nota-se um padrão) suge-rindo uma aplicação de modelos longitudinais. No variograma (Figura 10), continuamos com aproximadamente 1₄ de erro de medição, mas a variância entre indiv´ıduos é consi-deravelmente maior que a variância dentro do pr óprio indiv´ıduo. A linha do variograma apresenta crescimento ao aumentarmos a distância temporal, indicando a existência de uma estrutura de correlação que depende da distância temporal das medidas e consequente ne-cessidade de uma análise longitudinal.

(33)

(34)

3.2.3 Vari´avel resposta - MI

A variável momentos de inovação (MI) é apresentada como uma proporção do total de palavras da sessão, razão pela qual um modelo linear generalizado com função de ligação logit foi utilizado para a modelação da mesma. Foram testados todos os mode-los para a média (Tabela 2) e, o que melhor obteve ajustamento foi o com duas interaç ões (ln πi

1−πi

= β0+β1outcome∗session+β2treat∗session). Os resultados desde modelo s˜ao

apresentados na Tabela5.

Tabela 5: Output do modelo de regress˜ao linear para a var. MI.

Coeficientes Estimativas Desvio Padr˜ao z value P-valor

β0 -1,902 0,007 -264,979 <0,0001 β1outcome2 (poor) -0,426 0,007 -57,499 <0,0001 β2session 0,045 0,001 73,749 <0,0001 β3treat2 (narrativo) 0,521 0,008 66,558 <0,0001 β4outcome2*session -0,005 0,001 -8,026 <0,0001 β5treat2*session -0,016 0,001 -24,063 <0,0001

Figura 11: Gráfico de dispersão variável MI.prop.

Este modelo tem função desvio no valor de 165124,40 (sendo a mais baixa dentre todos os modelos testados), e todas as variáveis e suas interaç ões são altamente significativas (p-valor< α= 0,05, rejeita-se H0), isto é, temos diferença estat´ıstica entre os n´ıveis de

(35)

tra-Figura 12: Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado.

tamentos (treat) e nos n´ıveis de outcome. Com as interaç ões também sendo significativas, o efeito do tempo nos MIs difere para os tratamentos e para os outcomes (Figura 11). Os pacientes com poor outcome têm 0,51% menos chances de ocorrência de MIs que os paci-entes com good outcome. Para os pacipaci-entes com tratamento narrativo, esperamos 1,59% a menos de chances de ocorrerem MIs. A dispersão dos res´ıduos (Figura 12) apresenta-se mais aleat ória que os modelos anteriores, mas ainda nota-se um leve padrão que pode ser melhorado com a análise longitudinal. O variograma dos res´ıduos não pode ser realizado por não estar implementado computacionalmente.

3.2.4 Vari´avel resposta - RPM

A variável retorno ao problema (RPM) é uma proporção do n úmero de RPMs em relação ao n úmero de momentos de inovação (MI) numa mesma sessão. Por tratar-se de uma proporção, usamos um modelo linear generalizado com função de ligação logit para a análise transversal.

Ajustamos, para a média, os modelos apresentados na Tabela2e, o que apresentou me-nor função desvio (deviance = 719, 57) foi o modelo 09: ln

πi 1−πi

= β0+β1outcome∗

session+β2treat∗session. Na Tabela 6observa-se que os tratamentos diferem entre si (p-valor = < 0,0001 < _α = 0,05, rejeita-se H₀), assim como os outcomes poor e good tamb´em

(36)

diferem (p-valor =< 0,0001<_α= 0,05, rejeita-se H₀). Com ambas interac¸ ˜oes significativas: outcome2∗session (p-valor =< 0,0001 < _α= 0,05, rejeita-se H₀) e treat2∗session (p-valor = 0,003 < α = 0,05, rejeita-se H0), temos que o efeito do tempo nos RPMs diferem para

as categorias de tratamento (cognitivo e narrativo) e para outcome good e poor (Figura 13). Para cada sessão de terapia realizada, os pacientes com tratamento narrativo, diminuem a chances de ocorrência de RPMs em 3,25%, chegando a 20a sessão com probabilidades de ocorrência de RPMs pr óximas aos dos pacientes com tratamento cognitivo. Para os pacien-tes com poor outcome, a cada sessão realizada, a chance de ocorrerem RPMs é 4,18% a mais que os pacientes com good outcome.

Tabela 6: Output do modelo de regress˜ao linear para a var. RPM.

β0 -1,177 0,115 -10,246 < 0,0001 β1treat2 (narrativo) 0,571 0,123 4,646 < 0,0001 β2session -0,040 0,010 -3,807 0,0001 β3outcome2 (poor) -0,216 0,113 -1,909 0,0563 β4treat2*session -0,033 0,011 -3,012 0,0026 β5outcome2*session 0,041 0,010 3,928 < 0,0001

Figura 13: Gráfico de dispersão variável RPM.prop.

Os res´ıduos (Figura14) apresentaram um padrão bem vis´ıvel e uma análise com modelos longitudinais é indicada. O variograma dos res´ıduos não pode ser realizado por não estar

(37)

implementado computacionalmente.

3.2.5 Conclus˜oes

A variável explicativa treat apresentou diferença estat´ıstica entre os seus dois tratamentos (cognitivo e narrativo) para todas as variáveis respostas (OQ10, WAI, MI e RPM). Porém, a interação treat∗session s ó foi significativa para as variáveis MI e RPM, ou seja, o efeito do tempo nos MIs e RPMs é diferente para os tratamentos cognitivo e narrativo. Já a variável outcome não se mostrou estatisticamente significativa (poor vs. good) para as variáveis res-posta OQ10 e RPM, mas, para as outras variáveis (WAI e MI), temos diferenças entre good outcome e poor outcome no in´ıcio do tratamento. Suas interaç ões são significativas para as variáveis OQ10, MI e RPM, ou seja, o efeito do tempo sobre OQ10, MI e RPM diferem para good e poor outcome.

Conclu´ımos que, para os quatro modelos (apresentados na Tabela7), com dados tratados como observaç ões independentes (sem correlação entre medidas de um mesmo indiv´ıduo), ainda observamos correlação nos res´ıduos. Nos variogramas apresentados (Figuras7,10), realizados com os res´ıduos dos modelos ajustados, há presença de correlação entre medi-das de um mesmo indiv´ıduo. Os modelos longitudinais têm em conta uma estrutura de correlação entre medidas de um mesmo indiv´ıduo e é o nosso pr óximo passo na análise

(38)

dos dados neste estudo.

Tabela 7: Modelos com melhor ajustamento para dados transversais.

Var. Resposta E[Yi] =Xiβ

OQ10 E[Yi j] =β0+β1outcome∗session+β2treat

WAI E[Yi j] =β0+β1outcome+β2treat+β3session

MI ln πi

1−πi

=β0+β1treat∗session+β2outcome∗session

RPM ln πi

1−πi

(39)

(40)

4

A N ´A L I S E L O N G I T U D I N A L P O R VA R I ´A V E L

Ap ós a análise com dados transversais e a constatação de uma correlação entre medidas de um mesmo indiv´ıduo, análises com modelos longitudinais foram realizadas. Testamos quatro modelos longitudinais descritos na seção2.4, e na parte fixa de cada modelo longi-tudinal foram usados os modelos determinados na análise transversal para cada variável resposta.

4.1 va r i´avel resposta - O Q10

Na seção 3.2.1(análise transversal dos dados) definimos que, para OQ10 como variável resposta, o modelo com melhor ajustamento é E[Yi j] = β0+β1outcome∗session+β2treat.

Testamos os quatro modelos longitudinais, e na Tabela 8, apresentamos os critérios de seleção para comparação dos modelos.

Tabela 8: Comparac¸˜ao de modelos longitudinais para a var. OQ10.

Var. resposta: OQ10 AIC Likelihood

Modelo I - C. Symmetry 4380,767 -2183,383

Modelo II - Random Intercept and Slop 4340,386 -2161,193 Modelo III - corr. Exponencial 4271,563 -2126,782 Modelo IV - corr. Gaussiana 4269,983 -2125,991

O modelo que apresentou menor AIC e maior verossimilhança foi o modelo IV - com efeito aleatório e estrutura de correlação gaussiana, porém, os ´ındices do modelo III - com efeito aleatório e estrutura de correlação exponencial ficaram muito pr óximos, levando-nos à análise gráfica do variograma da Figura 16 (te órico vs. emp´ırico). Nesse variograma foi sobreposto o variograma emp´ırico e os variogramas te óricos das estruturas de correlação gaussiana e exponencial dos modelos ajustados. Observamos que a estrutura de correlação exponencial obteve um melhor ajustamento (melhor aproximação à linha do variograma emp´ırico). De-finimos então que o modelo com melhor ajustamento é o Modelo III, que possui um efeito

(41)

aleat ório e uma estrutura de correlação exponencial.

Tabela 9: Output do Modelo III de regress˜ao longitudinal para a var. OQ10.

β0 24,271 1,972 12,308 <0,0001 β1 outcome2 (poor) 0,158 2,100 0,075 0,9405 β2 session -0,829 0,108 -7,664 <0,0001 β3 treat2 (narrativo) 1,537 1,563 0,983 0,3318 β4 outcome2*session 0,703 0,128 5,512 <0,0001 ν2(var(Ui)) 10,526 - - -σ2(var(Wi)) 20,880 - - -τ2(var(Zi j)) 10,700 - - -φ 12,324 - -

-Figura 15: Gr´afico OQ10 x session (regress˜ao longitudinal).

Analisando os efeitos do Modelo III (Tabela9), observamos que a variável outcome não tem diferença estat´ıstica (p-valor = 0,940>α= 0,05, não se rejeita H0) entre os seus tratamentos

(good e poor), no entanto, sua interação com o tempo (session) é significativa (p-valor = 0,000<_α= 0,05, rejeita-se H₀) e, com isso, conclu´ımos que o efeito do tempo sobre o OQ10 é diferente para os dois n´ıveis de outcome. Os pacientes começaram num mesmo n´ıvel de sintomatologia e, ao longo das sess ões terapêuticas, o valor de OQ10 diminuiu para good outcome, sugerindo uma melhora no n´ıvel de depressão/ansiedade pela influência da

(42)

4.2. Vari´avel resposta - WAI 29

Figura 16: Variograma te ´orico vs. emp´ırico OQ10.

terapia, enquanto o poor outcome praticamente não teve alteração no valor ao longo das sess ões (Figura 15). A variável session, que é o tempo no modelo, é significativa (p-valor = 0,000< _α= 0,05, rejeita-se H₀). Já a variável treat (que na análise com dados transversais era significativa - tinha diferença entre tratamentos), não possui diferença estat´ıstica entre seus dois tratamentos (cognitivo e narrativo)(p-valor = 0,332>α= 0,05, não se rejeita H0) e, sua

interação, também testada, não se mostrou significativa, logo, não temos diferença entre os n´ıveis de tratamento e também não se observou efeito do tempo em OQ10 para diferentes tratamentos. Isso expressa que, ao inserirmos no modelo a correlação existente entre as observaç ões, os tratamentos cognitivo ou narrativo não influenciam na sintomatologia do paciente.

4.2 va r i´avel resposta - W A I

Ao analisarmos os dados longitudinalmente, a correlação entre as observaç ões de um mesmo indiv´ıduo são consideradas no modelo. Os quatro modelos longitudinais testados têm seus critérios de seleção apresentados na Tabela10.

Os menores valores de AIC são dos modelos com efeito aleat ório e correlação exponen-cial ou gaussiana, todavia, com pouqu´ıssima diferença entre os valores. O mesmo acontece para os valores de máxima verossimilhança. Analisando o ajustamento do variograma te órico vs. emp´ırico (Figura 18), comparando os dois modelos, conclu´ımos que ambos os

(43)

Tabela 10: Comparac¸˜ao de modelos longitudinais para a var. WAI.

Var. resposta: WAI AIC Likelihood

Modelo I - C. Symmetry 4160,566 -2074,283

Modelo II - Random Intercept and Slop 4126,933 -2055,467 Modelo III - corr. Exponencial 4104,246 -2044,123 Modelo IV - corr. Gaussiana 4103,490 -2043,745

modelos possuem um bom ajustamento. Como a diferença entre os modelos I I I e IV é con-siderada insignificante, o modelo escolhido será o modelo III - com efeito aleatório e estrutura de correlação exponencial, mantendo-se a mesma estrutura escolhida para a variável OQ10. Os resultados do modelo estão apresentados na Tabela11.

Tabela 11: Output do Modelo I I I de regress˜ao longitudinal para a var. WAI.

β0 50,980 1,863 27,361 <0,0001 β1 outcome2 (poor) -2,667 1,831 -1,456 0,1538 β2 treat2 (narrativo) -1,711 1,675 -1,021 0,3138 β3 session 0,247 0,044 5,633 <0,0001 ν2(var(Ui)) 20,124 - - -σ2(var(Wi)) 10,805 - - -τ2(var(Z_{i j})) 9,848 - - -φ 12,968 - -

-Para a variável WAI, não temos diferença estat´ıstica entre os tratamentos cognitivo e narrativo, assim como para good outcome e poor outcome. O efeito de treat e outcome não é significativo para essa variável. O efeito do tempo (session) é significativo (p-valor<0,0001

< α = 0,05, rejeita-se H0), e a alianc¸a paciente- terapeuta (WAI) aumenta com o passar

das sess ões. A Figura 17 está representando a variável WAI em função do tempo e e as retas representam o good outcome e o poor outcome são apenas para efeitos de visualização - vimos que nesse modelo não temos diferença estat´ıstica entre os dois n´ıveis de outcome.

(44)

4.2. Vari´avel resposta - WAI 31

Figura 17: Gr´afico WAI x session (regress˜ao longitudinal).

(45)

4.3 va r i´avel resposta - M I

Na análise longitudinal estamos testando quatro modelos (seção2.4), mas, no caso dos momentos de inovação (MIs), a variável resposta é uma proporção, e não temos como tes-tar as estruturas de correlação gaussiana e exponencial porque não estão implementadas computacionalmente. Apenas os Modelos I (C. Symmetry) e o Modelo II (Random Intercept and Slop) foram testados. Por tratar-se de uma proporção, usamos os modelos lineares ge-neralizados mistos com função de ligação logit (seção 2.4.1). A diferença é que estamos modelando a razão de chances de ocorrência de MIs e não o valor total.

Os modelos foram ajustados com a parte f ixa definida na sec¸˜ao3.2.3, η

i = β0+β1 treat∗

session+β2 outcome∗session. O Modelo II obteve uma func¸˜ao desvio bem menor (deviance=

103129, 50) que o Modelo I (deviance=114374, 4), porém, as duas interaç ões não são signifi-cativas e foram retiradas do modelo (outcome2∗session (p-valor = 0,141>α= 0,05, não se rejeita H0) e treat2∗session (p-valor = 0,171>α= 0,05, não se rejeita H0)).

Na Tabela12observamos que o Modelo II continuou com menor função desvio, e o Modelo I teve pequena alteração na função desvio, contudo, ainda mais elevado que o ajustamento do Modelo II. O modelo escolhido (Modelo II) tem os resultados reportados na Tabela13.

Tabela 12: Comparac¸˜ao de modelos longitudinais para a var. MI.

Var. resposta: MI.prop Deviance

Modelo I - C. Symmetry 115416,8

Modelo II - Random Intercept and Slop 103129,5

Tabela 13: Output do Modelo I I de regress˜ao longitudinal para a var. MI.

β0 -1,911 0,227 -8,411 <0,0001

β1outcome2 (poor) -0,588 0,219 -2,683 0,0073

β2treat2 (narrativo) 0,466 0,225 2,077 0,0378

β3session 0,043 0,013 3,367 0,0008

O tempo (session) ´e significativo (p-valor = 0,0008 < α= 0,05, rejeita-se H0), os MIs

au-mentam com o passar das sess ões de terapia (Figura19). O efeito do outcome é significativo (p-valor = 0,007<α= 0,05, rejeita-se H0), ou seja, os pacientes com poor outcome têm cerca

de 44,45% a menos de chances de ocorrência de MIs. A variável treat também é signifi-cativa (p-valor = 0,038< α = 0,05, rejeita-se H0) e, com isso, os pacientes com tratamento

(46)

4.4. Vari´avel resposta - RPM 33

não foram significativas, ou seja, os MIs, para os diferentes n´ıveis de tratamento e outcome, não são afetados pelo efeito do tempo (session).

O variograma te órico não é realizável, pois U2

iti j - interação entre o efeito aleat ório do

indiv´ıduo com o tempo - é um processo não estacionário.

Figura 19: Gr´afico MI.prop x session (regress˜ao longitudinal).

4.4 va r i´avel resposta - R P M

Como acontece com os momentos de inovação (MIs), a variável resposta RPM é uma proporção do n úmero de ocorrências de RPMs para com o n úmero de ocorrências de MIs. Utilizamos os modelos lineares generalizados mistos com função de ligação logit, uma vez que vamos modelar as chances de ocorrência de RPMs (o modelo te órico está descrito na seção2.4.1). Por tratar-se de um modelos generalizado misto, somente o Modelo I (C. Symme-try) e o Modelo II (Random Intercept and Slop) podem ser testados por estarem implementados computacionalmente.

Comec¸amos por ajustar os dois modelos longitudinais com a parte f ixa determinada no estudo transversal: ηi = β0+β1 treat∗session+β2 outcome∗session. Na an´alise

longitu-dinal, a interação treat∗session, não foi significativa (para Modelo II: p-valor = 0,603> α= 0,05, não se rejeita H₀). Retiramos a interação e, na Tabela14, temos as funç ões desvio para os modelos testados. O modelo com menor função desvio é o Modelo II (Random Intercept

(47)

and Slop), e os resultados est˜ao apresentados na Tabela15.

Tabela 14: Comparac¸˜ao de modelos longitudinais para a var. RPM.

Var. resposta: RPM Deviance

Modelo I - C. Symmetry 575,92

Modelo II - Random Intercept and Slop 514,62

Tabela 15: Output do Modelo I I de regress˜ao longitudinal para a var. RPM.

β0 -1,097 0,201 -5,461 <0,0001

β₁outcome2 (poor) -0,208 0,226 -0,916 0,3595

β2session -0,068 0,017 -3,974 <0,0001

β3treat2 (narrativo) 0,406 0,187 2,171 0,0299

β4outcome2*session 0,048 0,023 2,034 0,0420

Figura 20: Gr´afico RPM.prop x session (regress˜ao longitudinal).

O efeito do tempo (session) é significativo (p-valor =< 0,0001 < _α= 0,05, rejeita-se H₀), o n úmero de ocorrências e RPMs diminui com o passar das sess ões de terapia (Figura 20). Para a variável outcome, o efeito não é significativo (p-valor = 0,359 > _α= 0,05, não se rejeita H0), ou seja, não temos diferença entre good e poor outcome para a chance de

(48)

signifi-4.5. Conclus ˜oes 35

cativa (p-valor = 0,042 < α= 0,05, rejeita-se H0), o efeito do tempo nos RPMs ´e diferente

para poor e good outcome. Os pacientes com poor outcome têm 4,87% a mais de chances de ocorrência de RPMs que os pacientes com good outcome no decorrer das sess ões. Já o tipo de tratamento (cognitivo e narrativo) é significativa (p-valor = 0,030 < α = 0,05, rejeita-se H0), logo, os pacientes com tratamento narrativo possuem valores mais altos que os de

tra-tamento cognitivo, observando que, ao avançarmos no tempo, essa diferença permanecerá, não sendo afetada pelo tempo (a interação treat∗session não é significativa).

O variograma te órico não p ôde ser feito (mesma situação que os MIs), pois U_i2ti j

-interação entre o efeito aleat ório do indiv´ıduo com o tempo - é um processo não esta-cionário.

4.5 c o n c l u s˜oes

Com a análise longitudinal, conclu´ımos que, a sintomatologia (OQ10) tem scores menores com o passar do tempo (session) para pacientes com good outcome, já para os pacientes com poor outcome, o score de OQ10 tem m´ınima variação (Figura15). Os tratamentos cognitivo e narrativo não têm efeito significativo para a sintomatologia do paciente. A aliança paciente - terapeuta (WAI) aumenta conforme avançamos no tempo (session), sem ser influenciada pelo tipo de tratamento (cognitivo ou narrativo) ou pelo outcome (good ou poor) ao qual o paciente foi submetido (Figura 17). Os momentos de inovação (MIs) aumentam com o n úmero de sess ões, mas, nem o tipo de tratamento, nem o outcome têm efeito significativo sobre o aumento na chance de ocorrência de MIs ao longo das sess ões (suas interaç ões com session não foram significativas). Observamos também que, os tratamentos diferem entre si: para o tratamento narrativo, esperamos uma chance de ocorrência de MIs, 59,40% maior do que para o tratamento cognitivo. Os pacientes com good outcome possuem 55,55% de chan-ces a mais de ocorrência de MIs que os pacientes com poor outcome (Figura19). As chances de ocorrência de retornos ao problema (RPMs) diminuem com o passar das sess ões (Figura 20). O good outcome e o poor outcome não têm diferença estat´ıstica nas primeiras sess ões, não obstante, sendo a interação significativa, com o passar das sess ões, esperamos que os pacientes com poor outcome tenham 4,87% mais chances de ocorrência de RPMs que os pacientes com good outcome. A interação do tratamento com o tempo (treat∗session) não é significativa, o efeito do tempo nos RPMs não difere para os tipos de tratamentos (cognitivo e narrativo), entretanto, os tratamentos têm diferença entre si, e pacientes com tratamento narrativo têm, em média, 50,14% a mais de ocorrências de RPMs que os pacientes com tratamento cognitivo. Os modelos com melhor ajustamento com dados longitudinais estão

(49)

apresentados na Tabela16.

Tabela 16: Modelos com melhor ajustamento para dados longitudinais.

Var. Resposta Modelos

OQ10 Y_{i j} = X_{i j}β+Ui+Wi(ti j) +Zi j

com: Xi j =E[Yi j] = β0+β1outcome∗session+β2treat

Wi(ti j) →estrutura de correlac¸˜ao exponencial temporal

WAI Yi j = Xi jβ+Ui+Wi(ti j) +Zi j

com Xi j= E[Yi j] =β0+β1outcome+β2treat+β3session

W_i(t_{i j}) →estrutura de correlac¸˜ao exponencial temporal MI ηi j= Xi jβ+U_i1+U_i2ti j+Zi j com: ηi j → ln _π i j 1−πi j

Xi jβ=β0+β1outcome+β2treat+β3session

RPM ηi j= Xi jβ+U_i1+U_i2ti j+Zi j com: ηi j → ln πi j 1−πi j

Xi jβ=β0+β1outcome∗session+β2treat

O efeito da variável treat, no estudo transversal, é significativa (p-valor < α = 0, 05, rejeita-se H0) para todas as variáveis resposta. Já sua interação, era significativa apenas

para as variáveis MI e RPM, ou seja, o efeito do tempo para essas duas variáveis defere para cada tipo de tratamento ao longo das sess ões de terapia. Ao fazermos a análise lon-gitudinal, onde os modelos incorporam também a correlação existente entre medidas de um mesmo indiv´ıduo, ela passa a não ter diferença entre tratamentos cognitivo e narrativo para as variáveis OQ10 e WAI, e suas interaç ões com o tempo, passam a não ser signi-ficativas para todas as variáveis resposta. Conclu´ımos, assim, que, ao considerarmos a correlação existente entre as medidas de um mesmo indiv´ıduo, o tipo de tratamento apli-cado, cognitivo ou narrativo, não tem efeito algum sobre as variáveis em estudo (OQ10, WAI, MIs e RPMs). Na Tabela17apresentamos as significâncias de todas as variáveis e de suas interaç ões com o tempo.

Tabela 17: An´alise do efeito da vari´avel treat.

Vari´avel resposta

An´alise transversal An´alise longitudinal

β(treat2(narrativo)) β(treati∗sessioni j) β(treat2(narrativo)) β(treati∗sessioni j)

p-valor sig. p-valor sig. p-valor sig. p-valor sig. OQ10 0,0020 RH∗

0 0,1060 NRH∗∗0 0,3318 NRH0 0,0849 NRH₀ WAI 0,0044 RH₀ 0,1263 NRH₀ 0,3138 NRH₀ 0,8531 NRH₀ MI <0,0001 RH₀ <0,0001 RH₀ 0,0378 RH₀ 0,1706 NRH₀ RPM <0,0001 RH₀ 0,0026 RH₀ 0,0299 RH₀ 0,6034 NRH₀ *RH0→rejeita-se a hip ótese nula **NRH0→não se rejeita a hip ótese nula

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4.5. Conclus ˜oes 37

A variável outcome, em análise transversal, tem diferença entre n´ıveis para as variáveis WAI e MI, e sua interação com session é significativa para as variáveis OQ10, MI e RPM. Ao realizarmos a análise longitudinal dos dados - considerando a correlação existente entre as medidas de um mesmo indiv´ıduo - o tipo de tratamento passa a ter interaç ões significati-vas apenas para as variáveis OQ10 e RPM, ou seja, pacientes com good outcome têm valores mais baixos no OQ10 (melhora na sintomatologia) e menores chances de ocorrerem RPMs do que os pacientes com poor outcome. Na Tabela 18 apresentamos as significâncias de outcome em estudo transversal e longitudinal, assim como as significâncias de sua interação com o tempo (session).

Tabela 18: An´alise do efeito da vari´avel outcome.

Vari´avel resposta

An´alise transversal An´alise longitudinal

β(outcome2(poor)) β(outcomei∗sessioni j) β(outcome2(poor)) β(outcomei∗sessioni j)

p-valor sig. p-valor sig. p-valor sig. p-valor sig. OQ10 0,5294 NRH∗∗ 0 <0,0001 RH0 0,9405 NRH₀ <0,0001 RH₀ WAI <0,0001 RH∗ 0 0,8059 NRH0 0,1538 NRH₀ 0,4612 NRH₀ MI <0,0001 RH₀ <0,0001 RH₀ 0,0073 RH₀ 0,1407 NRH₀ RPM 0,0563 NRH₀ <0,0001 RH₀ 0,3595 NRH₀ 0,0420 RH₀

*RH0→rejeita-se a hip ótese nula **NRH0→não se rejeita a hip ótese nula

Ap ós esse estudo do comportamento de cada variável (OQ10, WAI, MI e RPM)como variável resposta em relação a tratamentos e tempo (treat, outcome e session), vamos, no cap´ıtulo seguinte, analisar como elas estão a relacionar-se entre si - como estão a influenciar-se.

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