28/08/14 Prof. Alvaro Augusto. Pag.1

(1)

(2)

Lost in translation...

“Engineering Economics” (Economia da

Engenharia) nasceu nos EUA, em 1877, com o

livro “The Economic Theory of Railway Location”,

de Arthur Wellington;

No Brasil, o termo foi traduzido

incorretamente para “Engenharia

Econômica”..., mas já há vários autores e

instituições usando o termo “Economia da

(3)

Objetivos da Engenharia Econômica

Engenharia Econômica é uma ferramenta analítica de auxílio à tomada de decisão.

O objetivo básico é responder às perguntas: O projeto se paga?

Em quanto tempo?; Qual a rentabilidade?

Qual a melhor alternativa de financiamento?

(4)

Resumindo...

“Antes de entrar pelo

cano, tenha certeza que

você passa por ele!”

(5)

Lost in translation 2...

Em inglês, “project” significa muito

mais “empreendimento” do que

“projeto”.

Em inglês, “projeto” é “design”...

E “desenho” é “drawing”...

(6)

(7)

Por que existem juros?

Teoria da abstinência (Nassau Sênior, sec. XIX):

● Emprestador deve ser remunerado pela

abstinância da poupança.

Teoria da produtividade do capital (Say, Malthus e Ricardo):

● Tomador se beneficia do empréstimo e deve

remunerar o emprestador.

Teoria da depreciação do futuro (Turgot):

● É melhor dispor de um bem hoje do que no

(8)

Juros e Risco

Modernamente, os juros são vistos como um prêmio pelo risco. O risco pode ser:

Sistêmico: todos estão sujeitos a ele: Risco-Brasil.

Risco internacional.

Não sistêmico: apenas os empreendedores do projeto estão sujeitos a ele:

Risco próprio do negócio. Lucro cessante.

(9)

Capital Próprio e CMPC

Custo do Capital Próprio (CCP):

Retorno mínimo exigido pelos acionistas (não necessariamente igual ao retorno desejado). Custo do Capital de Terceiros (CCT):

Custo do financiamento junto a instituições financeiras ou bancárias.

Custo Médio Ponderado do Capital (CMPC, ou WACC):

CCT

CT

CCP

CP

(10)

EXEMPLO 1

Uma empresa de fruticultura tem 60% de

seu capital em poder dos acionistas, que

exigem rentabilidade mínima de 20% ao

ano. O restante do capital é repartido

igualmente entre FINAME (TJLP + spread

de 6% ao ano) e PRODEFRUTA (8,75% ao

ano). Determine o CMPC da empresa.

(11)

EXEMPLO 1 - Considerações

FINAME:

Financiamento para aquisição de equipamentos novos;

TJF = TJLP + Custo BNDES + Custo Banco Credenciado = TJLP + Spread;

TJLP – Taxa de Juros de Longo Prazo;

Fixada trimestralmente, sendo definida como o custo básico dos financiamentos do BNDES;

Abril a Junho de 2005: TJLP = 9,75% aa

http://www.bndes.gov.br/produtos/custos/juros/tjlp.asp

PRODEFRUTA

Investimentos para o desenvolvimento da fruticultura, que não envolvam equipamentos.

(12)

EXEMPLO 1 - Solução

169 , 0 0875 , 0 20 , 0 ) 06 , 0 0975 , 0 ( 2 , 0 2 , 0 6 , 0 × + × + + × = = CMPC 8,75% 9,75%+6%=15,75% 20% Custo 20% 20% 60% Participação CT₂(Prodefruta) CT₁ (Finame) CP (Sócios) ITEM CMPC=(%CP)xCCP+(%CT₁)xCCT₁+(%CT₂)xCCT₂

(13)

Taxa Mínima de Atratividade

Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é o retorno mínimo que deve ser exigido de um determinado PROJETO.

CCP

Empresa

(14)

Diagrama do Fluxo de Caixa

Permite a representação gráfica de entradas e saídas de capital ao longo do tempo.

+

0

1 2 3 5 6 7 9 10

4

(15)

(16)

Capitalização Simples

Nesse tipo de capitalização, os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação.

Os juros se comportam de maneira linear no tempo.

C = Capital inicial ou em um determinado instante. i = taxa de juros, expressa de forma por unidade.

n

i

C

(17)

EXEMPLO 2

Um negociante tomou um empréstimo a uma

taxa de juros de 6% ao mês durante 10 meses,

sob regime de capitalização simples. Ao final

deste período, calculou em $ 290.000,00 o total

dos juros incorridos na operação. Determinar o

valor do empréstimo.

(18)

Montante e Capital

Um determinado capital C, quando aplicado a

uma taxa periódica por um prazo

determinado, produz um valor acumulado

denominado montante M.

J

C

(19)

Fatores de Juros Simples

Fator de Capitalização ou Fator de Valor

Futuro

n

i

FCS

=

1 +

×

Fator de Atualização ou Fator de Valor

Presente

n

i

FAS

×

+

=

1

(20)

Representação Gráfica

(

i n

)

C FAS C C_t = _t / 1+ × = _t ×

C

_t

C

_n

t

n

(

i n

)

C FCS C C_n = _t × 1+ × = _t ×

(21)

EXEMPLO 3

Uma dívida de $ 1 milhão irá vencer em 5

meses. O credor está oferecendo um desconto

de 2% ao mês caso o devedor antecipe o

pagamento para hoje. Calcule o valor q

ue o

devedor pagaria caso antecipasse a liquidação

da dívida.

(22)

EXEMPLO 3 - Solução

M=$ 1.000.000,00

n= 5 meses

i=2% ao mês (0,02)

C=?

(

)

n

i

M

C

×

+

=

1 (

)

1 ,

1

00 ,

000 .

1

5

02 ,

0

1

00 ,

000 .

1 =

×

+

=

C

(23)

Equivalência de Capitais

● A equivalência de capitais é o teorema básico da

Matemática Financeira.

● Dois ou mais capitais, em certa data, são

equivalentes quando, a uma dada taxa de juros,

produzirem resultados iguais em uma data comum.

● No regime de capitalização simples, os prazos não

podem ser fracionados, sem alterar o valor final dos juros pagos. Logo, não há equivalência de capitais para períodos mútliplos.

(24)

EXEMPLO 4

Um capital de $ 100.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano. Determine:

a) O valor total da dívida após 2 anos;

b) O valor total da dívida após 2 anos, considerando-se que esta tenha sido integralmente paga após o

primeiro ano e reemprestada com os juros capitalizados incorporados.

(25)

EXEMPLO 4 - Solução

2 M $ 100.000

0

1

2

1 M M₂

(26)

EXEMPLO 4 - Solução

“Non-stop”

(

1

0 ,

2

2 )

$

140 .

000 ,

00

000 .

100

2

=

×

+

×

=

M

Fracionando o período

(

1

0 ,

2

1 )

$

120 .

000 ,

00

000 .

100

1

=

×

+

×

=

M

(

1

0 ,

2

1 )

$

144 .

000 ,

00

000 .

120 ×

+

×

=

M

(27)

EXERCÍCIO 1

Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ?

(28)

EXERCÍCIO 1 - Solução

Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ? C=$ 4.000,00 i=29,3% aa (0,293) J=$ 1.940,00 940 . 1 J

n

i

C

J

=

×

(29)

2) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:

●Preço a vista: $ 1.800,00;

●Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em

30 dias.

●Determine a taxa de juros simples cobrada na

venda a prazo.

EXERCÍCIO 2

(30)

EXERCÍCIO 2 - Solução

Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:

● Preço a vista: $ 1.800,00;

● Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em

30 dias.

M=$ 1.306 n= 1 mês

(31)

EXERCÍCIO 2 - Solução

(

)

(

1 1

)

260 . 1 306 . 1 1 × + × = × + × = i n i C M

0365

,

1

260 .

1

306 .

1

1 +

i

=

0365

,

0 =

i

∴

i

=

3,65%

ao

mês

(32)

EXERCÍCIO 3

Uma aplicação rende juros simples de 64,8% aa. Investindo-se $ 400.000,00, quanto tempo será

necessário para se ter $ 194.400,00 a mais do que o investido?

(33)

EXERCÍCIO 3 - Solução

C = $ 400.000; i= 64,8 aa = 5,4 % am M = $ 194.400 + C; n = ?

(

i

n

)

C

M

=

×

1 +

×

(

n

)

C C = + × + 1 0,054 400 . 194 n × × = 0,054 400.000 400 . 194

n

=

9 meses

(34)

EXERCÍCIO 4

Um investimento rende juros simples de 230%

aa. No ato da retirada, é cobrado imposto de

renda, com alíquota de 9%, sobre a

rentabilidade. Qual a taxa de rentabilidade

líquida?

(35)

EXERCÍCIO 4 - Solução

i= 230% aa ( simples)

IR = 9% sobre valor nominal dos rendimentos

(

in

)

C

i

C

R

C

M

=

×

1 +

=

+

×

1 =

+

C i C R = × × 1 = 2,3× C R IR = 0,09× = 0,09× 2,3× C IR = 0,207× M = C + 2,3× C − 0,207× C = 3,093× C

( )

i C C × + 1 = 3,093× i = 209,3%

(36)

Taxas de Juros Variáveis

Quando um capital é aplicado durante um

certo prazo, com diferentes taxas para

períodos desse prazo, teremos

n n

n

i

C

n

i

C

n

i

C

M

=

+

×

₁

×

₁

+

×

₂

×

₂

+

...

+

×

(

i n i n in nn

)

C M = × 1+ ₁ × ₁ + ₂ × ₂ + ...+ ×



 +

n

(37)

EXEMPLO 5

Um capital de $ 2.300 foi emprestado durante seis meses com as seguintes taxas:

2% am para o primeiro mês;

2,5% am para o segundo e terceiro meses; 3% am para o restante do prazo.

Determine a taxa equivalente de juros ao final do prazo de empréstimo.

(38)

EXEMPLO 5 - Solução

(

)

668 .

2 $

3

03 ,

0

2

025 ,

0

1

02 ,

0

1

300 .

2 =

×

+

×

+

×

+

×

=

M

(

1

6 )

2 .

668

300 .

2 ×

+

×

=

i

M

1

668 .

2

6 =

−

×

i

(39)

Juros Simples e PAs

Suponha que alguém empresou $ 1.000,00

durante cinco anos a uma taxa de 10% aa.

Ano Saldo no início

de cada ano Juros anuais

Saldo ao final de cada ano 1 - - $ 1.000,00 2 $ 1.000,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.100,00 3 $ 1.100,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.200,00 4 $ 1.200,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.300,00 5 $ 1.300,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.400,00

O saldo evolui de acordo com uma

Progressão Aritmética (PA).

(40)

(41)

Notação

A notação para Juros Compostos é um pouco diferente:

VP = Capital (Valor Presente); VF = Montante (Valor Futuro). Assim:

J

VP

(42)

Formulação

No final do primeiro ano:

00 , 210 . 1 $ ) 1 , 0 1 ( 100 . 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 = VF × + i = VP× + i × + i = × + = VF

No final do segundo ano:

Generalizando: 00 , 100 . 1 $ ) 1 , 0 1 ( 000 . 1 ) 1 ( 1 = VP× + i = × + = VF n i VP VF = × (1+ )

(43)

Fatores de Juros Compostos

Fator de Capitalização ou Fator de Valor

Futuro, a Juros Compostos

Fator de Atualização ou Fator de Valor

Presente, a Juros Compostos

(

)

n i FAC + = 1 1

(

)

n i FCC = 1+

(44)

Cálculo dos Juros Compostos

Considerando que

n

i

VP

VF

=

×

(

1 +

)

E que

J

VP

VF

=

+

Teremos

[

]

(45)

Comparação

1.000,00 2.000,00 3.000,00 4.000,00 5.000,00 6.000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo Juros Compostos Saldo Juros Simples

Juros compostos evoluem de acordo com uma Progressão Geométrica (PG).

(46)

Equivalência de Juros

( )2 2 VP 1 im VF = × +

(

im

)

VP VF₁ = × 1+

( )

iq VP VF₂ = × 1+

0

1

2 VP

VF2

(47)

Equivalência de Juros

Para que as duas operações sejam equivalentes, devemos ter ) 1 ( ) 1 ( ou ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 q m q m i i i VP i VP VF + = + + × = + × = 1 1+ − = ∴ i_m i_q

Generalizando para m meses dentro de um período

1

1 +

−

=

m q m

i

ou

(

1 +

)

−

1 =

m m q

i

(48)

EXEMPLO 6

A taxa Selic é a taxa de juros média dos

financiamentos diários com lastro em títulos

federais, apurados por um sistema de liquidação diária dos títulos públicos, chamado de Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic), e é

fixada nas reuniões do Copom (Comitê de

Política Monetária). Em junho de 2005, a taxa Selic era de 1,4924% ao mês. Considerando que esta taxa permaneça constante durante os

próximos 12 meses, determine: A taxa semestral equivalente;

(49)

EXEMPLO 6 - Solução

Taxa semestral equivalente

(

1

0 ,

8614

/

100 )

1

0 ,

05281

i

_s

=

+

6

−

=

Taxa anual equivalente

(

1

0 ,

86144

/

100 )

1

0 ,

1084

i

_a

=

+

12

−

=

% 28 , 5 i_s = % 84 , 10 i_a =

(50)

EXEMPLO 7

Um título vence daqui a 4 meses,

apresentando um valor nominal (resgate)

de $ 403.621,45. É proposta a troca desse

título por outro de valor nominal de $

480.000,00, vencível daqui a 8 meses.

Sabendo que a rentabilidade exigida pelo

aplicador é de 5% ao mês, pede-se analisar

se a troca é vantajosa.

(51)

EXEMPLO 7 - Solução

Uma maneira simples de resolver o problema é

calcular o valor presente do título que vence em 8 meses no momento do vencimento do outro título. 0 4 8

VP

V$480.000,00

( )

1,05 $394.897,20 00 , 000 . 480 4 = = VP Como o VP é inferior ao valor nominal do título, a troca não é recomendada.

(52)

EXEMPLO 8

Para um empréstimo de $ 12.000,00, um

banco exige o pagamento de duas

prestações mensais e consecutivas de

$ 7.000,00 cada. Determinar o custo

mensal da operação.

(53)

EXEMPLO 8 - Solução

O Valor Presente das prestações deve igualar o valor do empréstimo em uma data qualquer. Supondo que seja a data inicial, teremos

000 .

12 $

0 1 2 000 . 7 $ 000 . 7 $

(54)

EXEMPLO 8 - Solução

O VP será: ₁₂_.₀₀₀_,₀₀ ) 1 ( 00 , 000 . 7 ) 1 ( 00 , 000 . 7 2 = + + + i i ou 7 12 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 = + + + i i

Multiplicando por (1+i)2, vem

0 ) 1 ( 7 12 1 ) 1 ( ₊ _i ₊ ₋ ₊ _i 2 ₌

(55)

Observações

O cálculo anterior foi possível analiticamente porque há apenas duas saídas de capital. Para mais de

duas saídas, a solução analítica é muito difícil ou simplesmente impossível. Nesse caso, deve-se

usar uma calculadora financeira ou uma planilha eletrônica;

A taxa de juros que iguala os fluxos de entrada e de saída, em uma mesma data, é denominada Taxa Interna de Retorno, ou TIR. A TIR é bastante

(56)

EXEMPLO 9

Um devedor emprestou $ 100 em uma

financeira. Devido a vários problemas, só

conseguiu saldar a dívida dois anos

depois. Considerando que a taxa de juros

mensal da financeira é de 12% ao mês:

Qual o valor da dívida?

(57)

EXEMPLO 9 - Solução

a) O valor da dívida será

n i VF = 100× (1+ ) 86 , 517 . 1 $ = ∴ VF 24 ) 12 , 0 1 ( 100× + = VF

b) A taxa de juros anualizada será

(

1+

)

−1 = m m a i i

(

1+ 0,12

)

12 −1 = a i ∴ ia = 289,6%

(58)

Observações

No Brasil, até março de 2000, valia um artigo da Lei da Usura (Decreto 22.626/1933), que proibia a

aplicação de juros compostos (anatocismo) em períodos inferiores a um ano;

Com a edição da MP 1.963-17/2000, a aplicação do anatocismo em períodos inferiores a um ano foi

liberada, mas somente para instituições financeiras (não se enquadram construtoras, pessoas físicas, etc)!

(59)

EXEMPLO 10

Um empresário irá necessitar de $

35.000,00 em 11 meses e $ 48.000,00

em 14 meses. Quanto ele deverá

depositar hoje em uma conta de

investimento que oferece

(60)

EXEMPLO 10 - Solução

A rentabilidade mensal é 01317 , 0 1 17 , 0 1 12 + − = = m i

O Valor Presente da primeira aplicação é

36 , 308 . 30 $ ) 01317 , 0 1 ( 000 . 35 11 1 = + = VP

O Valor Presente da segunda aplicação é

82 , 965 . 39 $ ) 01317 , 0 1 ( 000 . 48 14 2 = + = VP

(61)

Observações

Os devedores sempre reclamam da aplicação de

juros compostos, mas há várias situações em que o sistema de “capitalização exponencial” é usado de forma natural. Por exemplo:

Reajustes salariais;

Cálculo da inflação anual; Reajustes tarifários.

(62)

EXEMPLO 11

Considerando a tabela abaixo, dos IGPMs mensais, calcule o IGPM acumulado dos últimos 12 meses.

(63)

EXEMPLO 11 - Solução

IGMP_a=10,0131∗10,0122∗10,0069∗10,0039∗10,0082 10,0074∗10,0039∗10,0030∗10,0085 10,0086∗1−0,0022∗1−0,0044−1 IGMP_a=7,12 % a.a.

(64)

EXERCÍCIOS

Para um poupador que deseja ganhar 2,5% ao mês, o que é mais vantajoso: a) receber $ 18.500,00

daqui a 4 meses ou; b) receber $ 25.500,00 daqui a 12 meses?

Uma pessoa deve uma importância de $12.400. Para a liquidação da dívida, propõe-se os seguintes pagamentos: $3.500,00 ao final de 2 meses;

$4.000,00 ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em 12 meses.

(65)

(66)

Descontos

Desconto é a liquidação de uma operação antes de seu vencimento, envolvendo um prêmio ou recompensa; Valor Nominal, Valor de Resgate ou Valor de Face é o valor

de um título na data de vencimento. Tipos de desconto:

Desconto “por dentro” (ou racional);

Desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).

Desconto

Nominal

Valor

Descontado

(67)

Desconto Racional

O valor do desconto é: r

V

N

D

_r

=

−

Dr = Valor do desconto; N = Valor nominal;

Vr = Valor do resgate na data da operação.

Como N e Vr devem ser calculados na mesma data, devemos aplicar uma taxa de juros sobre Vr. No desconto racional, usamos juros simples:

n

i

V

(68)

Desconto Racional

Por outro lado

(

i n

)

V n i V V D V N = _r + _r = _r + _r × × = _r 1+ × n i N × × ou n i N V_r × + = 1 Assim

(

i n

)

N N N N D = − = × 1+ × −

(69)

Desconto Racional

O valor do resgate pode ser escrito como

(

)

n i n i N n i N n i n i N N D N V_r _r × + × × + × + = × + × × − = − = 1 1 1 n i N V × + = ∴ 1 r ou

(70)

EXEMPLO 12

Seja um título de valor nominal $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses

antes de seu vencimento. Sendo de 42% aa a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o

(71)

EXEMPLO 12 - Solução

000 . 4 $ = N r V 0 ₉ 12

i=42% aa, ou i=42%/12 = 3,5% am

3 035 , 0 1 3 035 , 0 00 , 000 . 4 1 + × × × = × + × × = n i n i N D_r ∴ Dr = $380,10 3 035 , 0 1 00 , 000 . 4 1+ × = + × = n i N V_r 90 , 619 . 3 $ r = ∴ V

(72)

Desconto Bancário

No desconto racional, os juros incidem somente sobre o valor de resgate.

No desconto bancário, os juros incidem sobre todo o valor nominal.

Desconto bancário:

É mais usado no mercado;

(73)

Desconto Bancário

O valor do desconto é n d N D_F = × × Onde: N = Valor nominal;

d = taxa de desconto “por fora”

O valor descontado, ou de resgate, será

F

N

D

(74)

EXEMPLO 13

Repita o Exemplo 11, considerando agora que a operação de desconto é por fora.

000 . 4 $ = N F V 0 ₉ 12

(75)

EXEMPLO 13 - Solução

O valor do desconto será

3 035 , 0 00 , 000 . 4 × × = × × = N d n D_F ∴ D_F = $420,00

(

1− ×

)

= 4.000,00

(

1− 0,035× 3

)

= N d n V_F ∴ V_F = $3.580,00

O valor de resgate será

A taxa de juros efetiva será

trimestre ao % 73 , 11 00 , 580 . 3 $ 00 , 420 $ = = i ∴ i = 3,77% a.m.

(76)

Observações

O devedor do título assume encargos maiores do que os declarados para a operação;

A operação equivale a pagar juros de $ 420,00 sobre um valor atual de $ 3.580,00, resultando em uma taxa implícita i > d;

A taxa implícita será

n d × n d N D i = F = × ×

(77)

Desconto Bancário e ICMS

Uma situação comum em que o critério “por fora” é usado refere-se ao cálculo do ICMS;

No Paraná, a alíquota do ICMS sobre venda de energia é 27%;

Contudo, se multiplicarmos o valor sem impostos

pelo fator 1.27, o resultado difere do apresentado pela concessionária;

A razão é que a alíquota do ICMS incide “sobre ela mesma”, caracterizando uma operação “por

(78)

Desconto Bancário e ICMS

Se d for a alíquota nominal do ICMS, e considerando que o prazo da operação é sempre n=1, teremos:

d d i_ICMS − = 1

O valor total a pagar será

(79)

EXEMPLO 14

Calcule as alíquotas efetivas de ICMS para os estados de SP, SC, PR e RJ. Estado d i_icms SP 18,00% 21,95% SC 25,00% 33,33% PR 27,00% 36,99% RJ 30,00% 42,86%

(80)

EXERCÍCIO 7

A taxa de desconto “por fora” do banco A é de 3,1% ao mês para operações com prazo de 90 dias. O banco B oferece taxa de desconto de 2,9% ao mês, também “por fora”, com prazo de 120 dias.

Determine qual banco está cobrando a menor taxa efetiva mensal de juros.

(81)

(82)

Fluxo de Caixa

Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou recebimentos que se estima ocorrer em

determinado intervalo de tempo;

Os pagamentos são genericamente representados por PMT, sendo que as demais variáveis já foram

abordadas:

VP – Valor Presente; VF – Valor Futuro;

(83)

Fluxos de Caixa - Classificação

Quanto ao período de ocorrência:

Postecipados; Antecipados; Diferidos. Quanto à periodicidade: Periódicos; Não periódicos. Quanto à duração: Limitados (finitos); Indeterminados (indefinidos).

Quanto aos valores:

Constantes; Variáveis.

(84)

O “Modelo Padrão”

Postecipado:

Os pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer no final do primeiro intervalo de tempo. Não há carência.

Limitado:

O prazo total dp fluxo de caixa é conhecido a priori.

Constante:

Todos os termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais entre si.

(85)

O “Modelo Padrão”

PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 n−1 n 0 VP VP= PMT 1i  PMT 1i2 PMT 1i 3... PMT 1in VP=PMT∗FVP i , n

(86)

O Fator de Valor Presente

O Fator de Valor Presente é uma Progressão Geométrica

de n termos, com primeiro termo (a₁) e razão (q) iguais a

(1+i)-1_{, e enésimo termo (a}

n) igual a (1+i)

-n_.

A soma dos termos de uma PG é:

FVP i , n=a1−an∗q

(87)

EXEMPLO 15

Um software é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00. Considerando que a taxa de juros é 3,6% am, até que preço

(88)

EXEMPLO 15 - Solução

PMT = $ 3.000,00; i = 2,6% am = 0,026; n = 7 meses; VP = ? VP=PMT∗FVP i , n=3.000,00∗FVP i , n VP=3.000,00[1−1,026 −7  0,026 ]

(89)

Usando o Excel ou o Calc

O Microsoft Excel e o Open Office Calc têm funções financeiras para cálculo direto do PMT e do VP:

VP (Taxa, NPER, PGTO); PGTO (Taxa, NPER, VP);

PGTO = PMT;

NPER = número de períodos; Taxa = taxa de juros unitária.

(90)

Usando o Excel ou o Calc

(91)

EXEMPLO 16

Um empréstimo de $ 20.000,00 é

concedido para pagamento em 5

prestações mensais, iguais e sucessivas

de $ 4.300,00. Determine o custo mensal

do empréstimo.

(92)

EXEMPLO 16 - Solução

VP

= $ 20.000,00;

PMT

= $ 4.300,00;

n

= 5;

VP=PMT∗FVP i , n 20.000=4.300∗FVP i , n 20.000=4.300∗1−1i −5  i

(93)

Com auxílio de uma planilha...

O Excel e o Calc têm a função financeira Taxa (NPER, PGTO, VP), que permite o cálculo das taxas de juros de fluxos padrão. Detalhe: VP e PGTO devem ter sinais trocados.

(94)

Valor Futuro

PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 n−1 0 n VF

VF =PMT PMT∗1iPMT ∗1i 2... PMT∗1in

VF =PMT [11i1i 21i 3...1in]

(95)

O Fator de Valor Futuro

O Fator de Valor Futuro é uma Progressão Geométrica de

n termos, com primeiro termo a₁ = 1 e razão q = (1+i), e

enésimo termo a_n = (1+i)n_.

A soma dos termos de uma PG é:

FVF i , n=a1−an∗q 1−q FVF i , n=1−1i n ∗1i 1−1i FVF i , n=1i  n −1 i

(96)

EXEMPLO 17

Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00

daqui a 12 meses. Para tanto, está

fazendo uma poupança mensal de $

1.250,00, com tyaxa de juros compostos

de 4% am Determine se esta pessoa terá

acumulado o montante necessário.

(97)

EXEMPLO 17 - Solução

PMT = $ 1.250,00

n

= 12 meses;

i

= 4,0 % am;

VF

= ?

VF =PMT ∗FVF FVF i , n=1i n −1 i = 10,0412−1 0,04 =15,025805 VF =$ 18.782,26 VF =1.250,00∗15,025805

(98)

EXEMPLO 18

Um jovem executivo de 25 anos deseja se

aposentar aos 55 anos com um

patrimônio de $ 1.000.000,00. Qual valor

mensal ele deve depositar em uma

(99)

EXEMPLO 18 - Solução

PMT = ? n = 55 - 25 = 30 anos = 360 meses; i = 0,012 am; VF = $ 1.000.000,00 VF =PMT ∗FVF FVF i , n=1i n −1 i = 10,012360−1 0,012 =6.023,32 PMT =$ 166,02 PMT =1.000.000 6.023,32 ou PMT = VF FVF

(100)

EXEMPLO 19

Uma empresa contraiu um empréstimo de $

100.000,00 para ser pago em 6 prestações mensais uniformes de $ 18.094,33. Após o pagamento da segunda prestação, a empresa solicita ao banco o refinanciamento do saldo da dívida em 12

prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo que a primeira vence 30 dias a partir dessa data. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 3,5% aa, determine o valor da prestação do refinanciamento.

(101)

EXEMPLO 19 - Solução

A taxa de juros do empréstimo original é

VP=PMT∗FVP=18.094,33∗FVP i ,6

Resolvendo-se com uma calculadora financeira ou planilha eletrônica:

i=2,4 % a.m.

Após o pagamento da segunda prestação, faltam ainda quatro. O valor presente destas, a uma taxa de juros de 2,4% am será

VP=18.094,33∗FVP 2,4 , 4=18.094,33∗3,771054 VP=$ 68.234,68

(102)

EXEMPLO 19 - Solução

O fluxo de 12 prestações a uma taxa de 3,5% am deve ser equivalente ao valor presente das prestações

faltantes: 68.234,68=PMT∗FVP 3,5 , 12 PMT =68.234,68 68.234,68= PMT∗[1−1,035 −12 ] 0,035

(103)

Fluxo com Carência

O valor presente na data 1 será

VP=PMT∗FVP 1, n

Na data zero, teremos

VP=PMT∗FVP 1, n∗ 1

1i  ou VP=PMT∗FVP 1, n∗FAC 1,1 Generalizando para um período de carência c

PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n−1

0 n

Carência

(104)

Perpetuidade

VP= PMT 1i  PMT 1i2 PMT

1i 3... PMT1i ∞=PMT∗FVP i ,∞ Considerando que a_n = 0, a soma da PG será

FVP=lim n ∞ a₁−a_n∗q 1−q = a₁ 1−q PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 ∞ 0 VP

(105)

EXEMPLO 20

Um pequeno investidor têm um apartamento que rende aluguel mensal constante de $ 720,00.

Determine o Valor Presente dos aluguéis, avaliado pela taxa da poupança e considerando:

Prazo de 10 anos; Prazo de 40 anos; Perpetuidade.

(106)

EXEMPLO 20 - Solução

n = 10 anos = 120 meses VP=720∗FVP 0,5% ,120=$ 64.852,89 n = 40 anos = 480 meses VP=720∗FVP 0,5% ,480=$ 130.858,26 n = ∞ VP= 720 0,005=$ 144.000,00

(107)

EXEMPLO 21

Um determinado fluxo de caixa consiste de 12

prestações mensais de $ 120.000,00. Determine o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações

trimestrais iguais, considerando que a taxa de juros seja 1,5% am

(108)

EXEMPLO 21 - Solução

Dois fluxos de caixa são equivalentes quando

produzem o mesmo valor em um mesmo momento. Este momento é frequentemente denominado “data focal”. Admitindo o momento atual como data

focal, teremos: 1.200 1.200 1 2 3 4 12 0 VP 1.200 1.200 1.200 1.200 11 (meses)

(109)

EXEMPLO 21 - Solução

O fluxo trimestral será:

i=1,0153−1=0,0457

PMT = VP

FVP 4,57% , 5=

13.89,00 4,381427 A taxa de juros trimestral será

i=4,57% a.t. PMT =$ 2.987,40 PMT PMT 1 2 3 4 0 $ 13.089 PMT PMT PMT 5 (trimestres)

(110)

EXERCÍCIO 8

Um empréstimo no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence em 3 meses, e as demais sequencialmente. A taxa de juros efetiva contratada é 27 % ao ano. Determine o valor de cada pagamento.

PMT₁ = $ 3.091,80

PMT₂ = $ 3.462,80

PMT₃ = $ 3.833,80

(111)

(112)

Principais Sistemas

Sistema de Amortização Constante – SAC; Sistema de Amortização Francês – SAF;

Sistema de Amortização Misto – SAM;

Sistema de Amortização Americano - SAA;

Obs.: O SAF, quando usado com taxas

proporcionais (lineares) é denominado “Tabela Price”.

(113)

Conceitos Básicos

Encargos Financeiros (J) – representam os juros da operação, podendo ser préfixados ou pós-fixados;

Principal (P) – é o capital emprestado, na data de empréstimo;

Amortização (A) – refere-se exclusivamente ao pagamento do principal, por meio de parcelas periódicas;

Saldo Devedor (SD) – é o valor principal da dívida, após a dedução da amortização;

Prestação (PMT) – é a soma da amortização e dos encargos financeiros;

Carência – período inicial no qual, em geral, são pagos apenas os juros da operação.

(114)

EXEMPLO GERAL

A operação a seguir será usada para

ilustrar todos os sistemas de

amortização:

Principal = $ 100.000,00; Prazo = 10 anos;

(115)

Sistema de Amortização Constante

No SAC, a amortização é constante, sendo igual

ao principal dividido pelo número de

prestações;

O saldo devedor decresce linearmente;

Os juros incidem sobre o saldo devedor e também

são decrescentes;

Como os juros são decrescentes e a amortização é

constante, as prestações também são

(116)

Sistema de Amortização Constante

(117)

Sistema de Amortização Constante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 0,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00 R$ 30.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 R$ 70.000,00 R$ 80.000,00 R$ 90.000,00 R$ 100.000,00

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

(118)

SAC - FORMULAÇÃO

A= P

n

A amortização é fácil de calcular:

Os juros decrescem linearmente: _J

t=

P

n ∗n−t1∗i

As prestações são PMT = J + A, ou:

PMT_t= P

n ∗[1n−t1∗i]

(119)

SAC – Valor Presente das Prestações

VP  PMT = PMT1 1i  PMT₂ 1i2 PMT ₃ 1i3... PMT_n 1in VP  PMT =40.000 1,3  37.000 1,32  34.000 1,33  31.000 1,34  28.000 1,35  25.000 1,36 + + 22.000 1,37  19.000 1,38  16.000 1,39  13.000 1,310 VP  PMT =100.000,00 VP  PMT = P

(120)

EXEMPLO 24

Um empréstimo de $ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de juros

contratada é de 4% ao mês. Determine: O valor da amortização;

O valor dos juros correspondentes ao 22° pagamento;

O valor da última prestação;

(121)

EXEMPLO 24 - Solução

Amortização Juros do 22° pagamento

A= P n A= 80.000,00 40 A=$ 2.000,00 J_t= P n ∗n−t1∗i J ₂₂=89.000,00 40 ∗40−221∗0,04 J =$ 1.520,00

(122)

EXEMPLO 24 - Solução

Última prestação

Saldo após o 10° pagamento

PMT =$ 2.080,00 PMT _t= P n ∗[1n−t−1∗i] PMT₄₀=80.000,00 40 ∗[140−401∗0,04] SD_t=P− A∗t

(123)

Sistema de Amortização Francês

O SAC não é muito usado no Brasil, pois as

prestações variáveis causam alguma confusão,

especialmente em empréstimos para pessoas físicas; Assim, o SAF é mais usado, pois apresenta prestações

constantes, sendo mais próximo ao Modelo Padrão dos fluxos de caixa;

No SAF, os juros decrescem com o tempo, e a amortização cresce;

O saldo devedor também é decrescente, embora não de maneira linear.

(124)

Sistema de Amortização Francês

(125)

Sistema de Amortização Francês

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 0,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00 R$ 30.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 R$ 70.000,00 R$ 80.000,00 R$ 90.000,00 R$ 100.000,00

(126)

SAF - Formulação

PMT = P FVP i , n=P∗ i 1−1i−n A prestação é fácil:

Os juros são calculados sobre o saldo anterior: _J

t=SDt−1∗i

O saldo é o VP das

PMTs a pagar SDt=PMT ∗FVP i , n−t = PMT∗

1−1i−n−t 

(127)

EXEMPLO 25

Um financiamento no valor de $ 90.000,00

é amortizado em 30 parcelas mensais

pelo SAF. A taxa de juros contratada é

2,8% ao mês. Determine:

O valor de cada prestação mensal;

O valor da amortização e dos juros referentes ao 19° mês.

(128)

EXEMPLO 25 - Solução

Prestações mensais

PMT =$ 4.473,81 PMT = P FVP i , n=P∗ i 1−1i−n PMT =90.000∗ 0,028 1−10,028−30 SD_t=PMT ∗1−1i  −n−t i

Juros e amortização no 19° mês

(129)

EXEMPLO 25 - Solução

J₁₉=$ 1.261,92 J_t=SD_t−1∗i A_t=PMT_t−J_t J ₁₉=SD₁₈∗i J₁₉=45.068,70∗0,028 A₁₉=PMT₁₉−J₁₉ A₁₉=4.473,81−1.261,92 A19=$ 3.211,89

(130)

Sistema PRICE de Amortização

O Sistema Price (ou Tabela Price) foi desenvolvido originalmente pelo inglês Richard Price. Tendo sido usado amplamente na França, a invenção de Price passou a se denominar SAF;

Modernamente, a Tabela Price é uma variante do SAF, sendo usado quando o período das prestações é menor do que o período da taxa de juros, usando-se taxas proporcionais em vez de taxas compostas;

(131)

EXEMPLO 26

Um empréstimo de $ 10.000,00, com

período de 10 semestres é concedido à

taxa de juros de 30% aa Sabendo que

será usada a Tabela Price, determine o

valor das prestações semestrais.

(132)

EXEMPLO 26 - Solução

Taxa de juros contratada = 30% aa;

Taxa proporcional semestral = 30/2 = 15% as; Taxa efetiva anual = (1,15)2 – 1 = 32,25% aa

PMT = P

FVP i , n

PMT = P∗ i

(133)

Sistema de Amortização Misto

(134)

Sistema de Amortização Misto

O Sistema de Amortização Misto (SAM)

foi originalmente desenvolvido para as

operações do Sistema Financeiro da

Habitação;

O SAM é a média aritmética entre SAC e

SAF, representando um compromisso

entre prestações constantes e

(135)

Sistema de Amortização Misto

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 0,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00 R$ 30.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 R$ 70.000,00 R$ 80.000,00 R$ 90.000,00 R$ 100.000,00

(136)

SAM - Formulação

O SAM é a média aritmética entre SAC e SAF

SD_t= SDtSAC SDtSAF  2 At= A_tSAC  A_tSAF  2 PMT_t= PMTtSAC  PMTtSAF  2 J_t= JtSAC  J tSAF  2

(137)

Sistema de Amortização Americano

Nesse sistema, a amortização é paga de uma única vez, ao final do prazo da operação;

Os juros são pagos periodicamente, incidindo sobre o saldo devedor, que permanece constante;

As prestações, com exeção do último período, são iguais aos juros;

Para possibilitar o pagamento da amortização, é

frequente a formação de um fundo de capitalização. Por esta razão, o SAA também é chamado de

(138)

Sistema de Amortização Americano

(139)

Formação do Fundo de Amortização

1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 10 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT VF =$ 100.000,00 PMT = VF FVF i ,n PMT =$ 3.852,28 PMT = 100.000,00 FVF 20% ,10= 100.000,00 25,9587

(140)

SAA com Fundo de Amortização

(141)

EXERCÍCIO 10

Um banco empresta $ 850.000,00 a uma empresa para ser devolvido em prestações quadrimestrais, pelo sistema americano, em 4 anos. A taxa de juros a ser cobrada a cada quadrimestre é 8,5%. Pede-se:

Elaborar a planilha financeira do empréstimo pelo SAA;

Sendo 4% a.q. a taxa de aplicação, determinar os depósitos quadrimestrais para a constituição do fundo de amortização.

(142)

(143)

Métodos de Análise

Valor Presente Líquido (VPL):

Fácil de entender, fácil de calcular;

Depende do conhecimento prévio de uma taxa de desconto.

Taxa Interna de Retorno (TIR): Difícil de calcular;

Não depende de uma taxa de desconto;

Sensível ao ritmo de desembolso do projeto;

Depende da reaplicação dos fluxos à mesma taxa; Útil para vender o projeto.

(144)

Métodos de Análise

Índice de Lucratividade (IL):

Relação entre o valor presente das receitas e o valor presente dos desembolsos;

Também conhecido como Return On Investment (ROI); Bastante usado em projetos de informática.

Taxa de Rentabilidade (TR):

Relação entre o Valor Presente Líquido e o valor presente dos desembolsos;

(145)

Métodos de Análise

Pay Back

Bastante usado, mas frequentemente de maneira errada; Índice intuitivo e fácil de entender;

Possui grande apelo, especialmente junto aos donos do capital.

Valor Uniforme Anual Equivalente (VAUE)

Corresponde à série uniforme (Modelo Padrão) que tem o mesmo valor presente do fluxo original;

(146)

Valor Presente Líquido - VPL

O VPL é o valor líquido de todas as

receitas e desenbolsos de capital,

trazidos a valor presente por meio de

uma taxa de desconto.

VPL=−I_o FC1 1i FC₂ 1i 2... FC_n 1i n

(147)

EXEMPLO 27

Determine o VPL do fluxo de caixa abaixo,

para taxas de juros de 20% aa e 30% aa.

1 2 ₃ 4

0

$ 750.000,00

(148)

EXEMPLO 27 - Solução

i = 20% aa

VPL=−I_o

∑

j =1 n _FC j 1i j VPL=−750.000[ 250.000 1,2  320.000 1,22  380.000 1,23  280.000 1,24 ] VPL=−750.000785.493,82

(149)

EXEMPLO 27 - Solução

i = 30% aa

VPL=−I _o

∑

j =1 n _FC j 1i j VPL=−750.000[ 250.000 1,3  320.000 1,32  380.000 1,33  280.000 1,34 ] VPL=$ 97.344,29 VPL=−750.000652.655,71

(150)

EXEMPLO 27 - Solução

A taxa de desconto para o qual o VPL é nulo é denominada Taxa Interna de Retorno - TIR.

-R$ 200.000,00 -R$ 150.000,00 -R$ 100.000,00 -R$ 50.000,00 R$ 0,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00 R$ 150.000,00 R$ 200.000,00 R$ 250.000,00 R$ 300.000,00 R$ 350.000,00 VPL

(151)

Observações

O método do VPL é frequentemente

denominado “Fluxo de Caixa Descontado”;

Este método pode ser usado para analisar:

Atratividade de investimentos;

Viabilidade de empreendimentos;

Valor de uma empresa para fins de venda

ou investimento;

(152)

Vantagens do VPL

Fácil de calcular, mesmo com uma

calculadora de quatro operações;

Leva em consideração o valor do dinheiro

no tempo;

(153)

Desvantagens do VPL

Necessita o conhecimento prévio de uma

taxa de desconto;

Não é uma medida muito intuitiva.

Sabemos que projetos com VPL

negativo não podem ser aceitos, mas o

que significa um projeto com VPL de $

120.000,00? O projeto é certamente bom,

mas quão bom?

(154)

Custo do Capital Próprio

Uma estimativa para a taxa de desconto é o CMPC

(Custo Médio Ponderado do Capital), como já visto; O Custo do Capital de Terceiros é razoavelmente fácil

de estimar, pois depende de contratos de financiamento previamente assinados;

O Custo do Capital Próprio, por outro lado, é difícil de estimar. Poucas empresas no Brasil conhecem seu custo de capital.

(155)

CCP – Método Rápido

Quando uma empresa abre seu capital,

emitindo ações no mercado, ela passa a

ser valorizada por estas ações;

O valor de uma ação, determinado pelo

mercado, é também o valor presente de

todos os dividendos futuros esperados,

e a taxa de desconto destes dividendos é

o Custo do Capital Próprio.

(156)

CCP – Método Rápido

Sendo D

₁

o valor dos dividendos

esperados, P

_o

o valor atual das ações e g

a taxa de crescimento dos dividendos, o

Custo do Capital Próprio será:

(157)

EXEMPLO 28

Uma empresa tem hoje 100 milhões de ações e pagará, dentro de um semestre, dividendos de R$ 0,20/ação. Estima-se que os dividendos totais que a empresa

pagará no futuro devem cerscer geometricamente à

taxa de 2% ao semestre. Sabendo-se que o preço da ação hoje é $ 4,00, determine:

O Custo do Capital Próprio;

Considerando que 30% do capital total da empresa

encontra-se financiado à taxa de 25% aa, determine o Custo Médio Ponderado do Capital.

(158)

EXEMPLO 28 - Solução

CCP=0,20 4 0,02 CCP=0,07 CCP=7% a.s. CCP=10,072−1=0,1449 CCP=14,49% a.a. CMPC=0,7∗0,14490,3∗0,25

(159)

EXEMPLO 29

Considere que a empresa do exemplo anterior

pretende implantar um projeto com o fluxo de caixa líquido mostrado abaixo. Calcule o VPL usando

como taxa de desconto: a) o CCP; b) o CMPC.

1 2 ₃ 4

0

$ 75.000,00

(160)

EXEMPLO 29 - Solução

VPL=−75.000,00[ 20.000,00 1i  25.000,00 1i 2  30.000,00 1i3  35.000,00 1i4 ] a) i = CCP = 14,49% aa VPL=$ 1.901,74 b) i = CMPC = 17,64% aa

(161)

Taxa Interna de Retorno - TIR

A TIR é a taxa de desconto que iguala, em

determinado momento do tempo, o valor presente das entradas e das saídas de caixa. Geralmente

adota-se a data de início de operação, o momento zero, como a data focal para comparação dos fluxos de caixa;

A TIR pode ser considerada como a rentabilidade

média ponderada geometricamente, de acordo

(162)

EXEMPLO 30

Um projeto exige investimento de $ 80.000,000 e

promete rendimentos de $ 21.000,00, $ 41.000,00, $ 46.000,00 e $ 31.000,00, respectivamente, ao final dos próximos quatro anos. Determine:

A TIR;

A rentabilidade total;

O Valor Futuro das receitas;

(163)

EXEMPLO 30 - Solução

1 2 3 4 0 $ 80.000,00 $ 21.000,00 _{$ 41.000,00} _{$ 46.000,00} $ 31.000,00 −80.000,00[ 21.000,00 1i   41.000,00 1i 2  46.000,00 1i 3  31.000,00 1i 4 ]=0

Resolvendo em uma planilha eletrônica ou calculadora financeira:

TIR=24,54% a.a. a)

(164)

EXEMPLO 30 - Solução

Rentabilidade=1TIRn−1

c) Valor Futuro das receitas - VF(R):

Rentabilidade=140,55% b) A Rentabilidade total nada mais é do que a TIR calculada

para todas a vida útil do projeto:

Rentabilidade=1,24544−1=1,4055

VF  R=

(165)

EXEMPLO 30 - Solução

VF R VP I  = 192.439,07 70.000 =2,4055

Não por coincidência:

VF  R=VP  I ∗1TIR d) Relação entre VP(I) e VF(R):

VF R

VP I  =TIR1

Assim, a TIR é também a taxa de juros que transforma o

investimento inicial na riqueza VF(R) ao final da vida útil. Mas esse valor futuro só existirá se todas as receitas forem