UFPE – ´ AREA II – Prof. Fernando J. O. Souza MA129 (c´ alculo 4) – 2015.2 – turmas Q2 e Q6
SIMULADO DA 3
aUNIDADE v. 1.0
Orienta¸c˜ao:
Resolver as quest˜ oes em cinco sess˜oes de 120 minutos cada, sem interrup¸c˜ ao nem distra¸c˜ ao, combinando t´ opicos diferentes em cada sess˜ao. Dar solu¸c˜ oes leg´ıveis e justificadas, escrevendo os passos, detalhes e propriedades rele- vantes. Ler as respostas ou solu¸c˜ oes de uma sess˜ao s´o depois dela. Pode ser usada a tabela de transformadas de Laplace da p´ ag. 5, mencionando-se cada regra e, se for o caso, os valores de seus parˆ ametros em cada passo que a regra ´e usada.
Quest˜ ao 1. Para cada fun¸c˜ao F (s) abaixo, calcular sua transformada de Laplace inversa f(t): 1.a. F (s) = 3e
−2ss
2− 4 1.b. F (s) = e
−3ss + 4
(s − 2)
3Quest˜ ao 2. Utilizando transformadas de Laplace, encontrar e simplificar a solu¸c˜ao expl´ıcita y(t) do PVI abaixo:
2.a. y
′′(t) − y(t) =
2t , se t < 3;
0 , se t ≥ 3; y(0) = 0; y
′(0) = 2.
2.b. d
2y
dt
2− y(t) =
4 t , se t < 2;
4 t + 3 , se t ≥ 2; y(0) = 0; y
′(0) = 2.
Quest˜ ao 3. Calcular as transformadas de Laplace das fun¸c˜oes peri´odicas abaixo:
3.a. f tem per´ıodo 1 e ´e determinada por:
f (t) = e
t, se 0 < t < 1;
f n˜ao est´a definida em 1;
3.b–c. g e h tˆem per´ıodo 4 e s˜ao determinadas por:
g(t) =
− 1, se − 2 < t < − 1;
2, se − 1 < t < 1;
− 1, se 1 < t < 2;
h(t) =
9, se − 2 < t < − 1;
6 − 3t, se − 1 ≤ t ≤ 1;
3, se 1 < t < 2;
g n˜ao est´a definida em ± 1 e ± 2, enquanto h n˜ao est´a definida em ± 2.
Quest˜ ao 4. Utilizando transformadas de Laplace, calcular e simplificar a solu¸c˜ao expl´ıcita dos problemas abaixo
1para y(t):
4.a. y
′′(t) + y(t) = 2 u
π/2(t) − 5δ
t − 3 π 2
; y(0) = 0, y
′(0) = 0;
4.b. t y
′′(t) − t y
′(t) + y(t) = 2; y(0) = 2, y
′(0) = − 1;
4.c. y
′′(t) + t y
′(t) − y(t) = 0; y(0) = 0, y
′(0) = 3;
4.d. y
′′(t) + 4 y(t) = 7 δ t − π
4
− 4 u
3π/2(t); y(0) = 0, y
′(0) = 0;
4.e. y
′′(t) + 4 y(t) = 12 δ(t − 4π) − 8 u
3π(t); y(0) = 0, y
′(0) = 2;
4.f. y(t) + 2 Z
t0
cos (t − v)y(v) dv = e
−t; 4.g. y
′(t) − 2
Z
t 0e
(t−v)y(v) dv = t; y(0) = 2;
4.h. y
′(t) + y(t) − Z
t0
sen (t − v ) y(v) dv = − sen (t) ; y(0) = 1.
Quest˜ ao 5. Sejam as fun¸c˜oes f e g definidas em [0, 2] por:
f (x) =
x, se 0 ≤ x ≤ 1;
1, se 1 < x ≤ 2. g (x) =
x
2, se 0 ≤ x ≤ 1;
0, se 1 < x ≤ 2.
5.a. Calcular a s´erie de Fourier associada a f
i, extens˜ao ´ımpar de f, ao intervalo [ − 2, 2]. Simplificar a resposta;
5.b. Repetir o Item 5.a para f
p, a extens˜ao par de f ao mesmo intervalo;
5.c. Repetir o Item 5.a para g
i, a extens˜ao ´ımpar de g ao mesmo intervalo.
A s´erie converge em x = 1 ? Em caso afirmativo, para qual valor ? 5.d. Seja a fun¸c˜ao peri´odica h de per´ıodo 4 determinada em [ − 2, 2] por:
h(x) =
− 1, se − 2 < x < − 1;
2, se − 1 < x < 1;
− 1, se 1 < x < 2. h n˜ao est´a definida em ± 1 e ± 2.
Calcular a s´erie de Fourier associada a h. A s´erie converge em x = 1 ? E em x = 2 ? Para quais valores ?
1uc(t) =u0(t−c), ondec∈R, eu0´e a fun¸c˜ao-degrau de Heaviside, tamb´em denotada porH e poru.
5.e. Calcular a s´erie de Fourier para a fun¸c˜ao peri´odica k de per´ıodo 2L determinada por: k(x) = | x | se − L ≤ x ≤ L.
Para os pr´oximos trˆes itens, seja ℓ a fun¸c˜ao de per´ıodo 2 determinada por:
ℓ(x) = 1 − 5x, se − 1 < x < 1; ℓ n˜ao est´a definida em x = ± 1.
5.f. Calcular a s´erie de Fourier associada a ℓ;
5.g. Esta s´erie converge em x = 1 ? Em caso afirmativo, para quanto ? 5.h. Usando a identidade de Parseval e os b
n’s desta s´erie, calcular
∞
X
n=1
b
2n. Quest˜ ao 6. Resolver os seguinte problemas de contorno:
6.a. y
′′(x) − y(x) = 1 − 2x, 0 < x < 1; y(0) = 0, y(1) = 1 + e;
6.b. y
′′(x) + y(x) = 0, y(0) = 1 = y(2π);
6.c. y
′′(x) − 3y
′(x) = 0, y(0) = 1, y
′(1) = 9e
3; 6.d. Para cada n´ umero real λ,
y
′′(x) + λ y(x) = 0, 0 < x < π; y
′(0) = 0, y(π) = 0.
Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜oes de Z
′′(z) = − λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (logo, o autovalor ´e − λ) submetidas `as respectivas condi¸c˜oes de contorno (abaixo, n ´e inteiro).
Caso Z
′(0) = 0 = Z
′(L): Z
n(z) = cos n π z L
, λ
n= n π L
2para n > 0; e Z
0(z) = 1, λ
0= 0 (para n = 0);
Caso Z (0) = 0 = Z(L): Z
n(z) = sen n π z L
, λ
n= n π L
2para n > 0.
Quest˜ ao 7. Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:
u
t= u
xxpara 0 < x < 1 e t > 0,
u(0, t) = 10 e u(1, t) = − 8 para t > 0, u(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ 1.
7.a. Escrever o problema que descreve a fun¸c˜ao estado estacion´ario v(x), e calcul´a-la;
Pelo m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis para EDPs, calcular a fun¸c˜ao transi- ente w(x, t) e a solu¸c˜ao u(x, t) = v(x) + w(x, t). Para tanto:
7.b. Escrever o problema que descreve w(x, t) e, ent˜ao, reescrever a EDP e
as condi¸c˜oes homogˆeneas para w(x, t) como dois problemas com EDOs (uma,
em x, e a outra, em t);
7.c. Calcular a solu¸c˜ao w(x, t) da EDP submetida `as condi¸c˜oes homogˆeneas, expressando-a como uma s´erie formal (as dicas podem ser usadas);
7.d. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.
Quest˜ ao 8. Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:
u
t(x, t) = u
xx(x, t) para 0 < x < 3 e t > 0, u
x(0, t) = 0 = u
x(3, t) para t > 0,
u(x, 0) = cos(π x) − 4cos(5 π x) para 0 ≤ x ≤ 3.
8.a. Expressar a solu¸c˜ao u(x, t) da EDP submetida `as condi¸c˜oes homogˆeneas como uma s´erie formal (as dicas podem ser usadas);
8.b. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.
Quest˜ ao 9. Repetir a quest˜ao anterior com os dados abaixo:
u
t= u
xxpara 0 < x < 1 e t > 0, u
x(0, t) = 0 = u
x(1, t) para t > 0, u(x, 0) = sen(2 π x) para 0 ≤ x ≤ 1.
Quest˜ ao 10. Considere-se a EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:
u
tt(x, t) = 4 u
xx(x, t) para 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t > 0,
u(x, 0) = 32 sen(5 π x) − 4 sen(2 π x), u
t(x, 0) = 12 sen(3 π x), 0 ≤ x ≤ 1.
10.a. Pelo m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis, reescrever a EDP e as con- di¸c˜oes homogˆeneas como dois problemas com EDOs, um em x e um t;
10.b. Calcular a solu¸c˜ao formal da EDP com as condi¸c˜oes homogˆeneas, expressando-a como uma s´erie formal (as dicas podem ser usadas);
10.c. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular os coeficientes de u(x, t) submetida a todas as condi¸c˜oes do problema dado.
Quest˜ ao 11. Repetir a quest˜ao anterior para a EDP da onda modificada abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:
u
tt(x, t) + 4 u(x, t) = u
xx(x, t) para 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t > 0,
u
t(x, 0) = 0 e u(x, 0) = 12 sen(3 π x) − 8 sen(4 π x) para 0 < x < 1.
Regra f (t) = L
−1{ F (s) } (t) Const. s ∈ F (s) = L{ f(t) } (s)
01 e
ata ∈ R (a, + ∞ ) 1/(s − a)
02 cos (ωt) ω ∈ R (0, + ∞ ) s/(s
2+ ω
2)
03 sen(ωt) ω ∈ R (0, + ∞ ) ω/(s
2+ ω
2)
04 cosh (ωt) ω ∈ R ( | ω | , + ∞ ) s/(s
2− ω
2) 05 senh(ωt) ω ∈ R ( | ω | , + ∞ ) ω/(s
2− ω
2)
06 t
nn ∈ N (0, + ∞ ) n! / s
n+107 t
rr ∈ ( − 1, + ∞ ) (0, + ∞ ) Γ(r + 1) / s
r+108 δ(t − c) c ∈ [0, + ∞ ) R e
−csRegra f(t) = L
−1{ F (s) } (t) Const. F (s) = L{ f (t) } (s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈ R a F (s) + b G(s)
10 f (a t) a ∈ (0, + ∞ ) F (s/a) / a
11 e
atf (t) a ∈ R F (s − a)
12 t
nf (t) n ∈ N ( − 1)
nF
(n)(s)
13 f (t)
t se h´a lim
t→0+
f (t) t
Z
+∞ sF (v) dv
14 f
(k)(t) k ∈ N s
kF (s) −
k−1
X
=0
f
()(0) s
k−1−15
Z
t 0f(u) du F (s)
s
16 u
c(t) f (t) c ∈ (0, + ∞ ) e
−csL{ f(t + c) } (s) 17 u
c(t) f (t − c) c ∈ [0, + ∞ ) e
−csF (s) 18 Se f (t + P ) = f (t) P ∈ (0, + ∞ ) 1
1 − e
−sPZ
P0
e
−stf (t) dt
19 (f ∗ g )(t) F (s) G(s)
Regra 20 lim
s→+∞
F (s) = 0
21 lim
s→+∞
s F (s) = lim
t→0+
f(t)
22 lim
s→0+
s F (s) = lim
t→+∞
f(t)
SOLU ¸ C ˜ OES
1.a: F (s) = e
−2s· 3
s
2− 2
2Da transla¸c˜ao em t, f (t) = u
2(t) L
−13
2 · 2 s
2− 2
2(t − 2)
= f(t) = 3
2 u
2(t) · senh(2(t − 2)) ∴ f(t) = 3
2 u
2(t) · senh(2t − 4).
Obs. f (t) =
0 , se t < 2;
3
2
senh(2t − 4) , se t ≥ 2.
1.b: F (s) = e
−3ss + 4
(s − 2)
3Da linearidade de L
−1e da transla¸c˜ao em t na primeira parcela e em s na segunda: f (t) = u
3(t) L
−11 s
(t − 3) + e
2tL
−12 · 2 ! s
(2+1)∴ f (t) = u
3(t) + 2e
2tt
2=
2e
2tt
2, se t < 3;
2e
2tt
2+ 1 , se t ≥ 3.
2.a. Vide a resolu¸c˜ao da Quest˜ao 2 do arquivo “simulado 02-pt3-v1 0.pdf”
de 2014.1 com o seguinte erratum: onde se lˆe
“Os termos com C e D podem ser combinados como um termo 2
s
2(s
2− 1) ”, leia-se
“Os termos com C e D podem ser combinados como um termo 2 (s
2− 1) ”.
2.b. Manuscrito: Item 3.b no arquivo “simulado 02-pt2-v1 0.pdf”de 2014.1.
3.a. (Exerc´ıcio 22 da Se¸c. 7.6 de [Nagle/Saff/Snider]) (1 − e
−1s)F (s) =
Z
1 0e
−stf (t)dt = Z
10
e
−ste
tdt = Z
10
e
(1−s)tdt = 1
1 − s e
(1−s)t1 t=0
= e
(1−s)− 1
1 − s ∴ F (s) = e
(1−s)− 1 (1 − s)(1 − e
−s)
3.b. (1 − e
−4s)G(s) = Z
40
e
−stg(t)dt = Z
10
2 e
−stdt+
Z
3 1( − 1)e
−stdt+
Z
4 32 e
−stdt
= 1
− s
h 2 e
−st1
t=0
− e
−st3
t=1
+ 2 e
−st4 t=3
i
= − 1 s
2 e
−s− 2 − e
−3s+ e
−s+ 2 e
−4s− 2 e
−3s= 1 s
2 − 3 e
−s+ 3 e
−3s− 2 e
−4s∴
G(s) = 2 − 3 e
−s+ 3 e
−3s− 2 e
−4ss(1 − e
−4s) .
Obs. Denotando por, digamos, z o termo e
−s, e manipulando a fun¸c˜ao racional em z dada por s G(s), podemos reescrever G(S). Essencialmente, cancelamos o fator 1 − z
2= 1 − e
−2sdo numerador e do denominador. Assim:
G(s) = 2 e
−2s− 3 e
−s+ 2 s(e
−2s+ 1)
3.c. Manuscrito: Item 5.c no arquivo “simulado 02-pt2-v1 0.pdf” de 2014.1.
4.a: s
2Y (s) − s y(0) − y
′(0)
+ Y (s) = 2 e
−(πs/2)s − 5 e
−(3πs/2), onde aplica- mos as regras 9 (a = 2 e b = − 5), 14 (k = 2), 16 (c = π/2) e 8 (c = 3π/2).
Logo: Y (s) = 2 e
−(πs/2)s(s
2+ 1) − 5 e
−(3πs/2)s
2+ 1. Denotemos por g(t) uma fun¸c˜ao tal que G(s) = 1
s(s
2+ 1) = 1 + s
2− s
2s(s
2+ 1) = 1 + s
2s(s
2+ 1) − s
2s(s
2+ 1) = 1
s − s
s
2+ 1 , expans˜ao em fra¸c˜oes parciais que tamb´em podemos obter resolvendo um sis- tema de equa¸c˜oes lineares para os coeficientes do formato gen´erico da expan- s˜ao para este caso, a saber, A
s + Bs + C
s
2+ 1 . Das regras 9 (a = 1 e b = − 1), 1 (a=0) e 2 (ω = 1), temos que g(t) = 1 − cos (t). Das regras 3 (ω = 1) e 17 (c = π/2 e c = 3π/2, respectivamente), obtemos que:
y(t) = 2 u
π/2(t) ·
1 − cos t − π
2
− 5 u
3π/2(t) · sen
t − 3π 2
∴
y(t) = 2 u
π/2(t) · (1 − sen (t)) − 5 u
3π/2(t) · cos (t).
Resolu¸ c˜ ao alternativa por convolu¸ c˜ ao: Denotemos por h(t) uma fun¸c˜ao tal que H(s) = e
−(πs/2)s(s
2+ 1) = e
−(πs/2)s · 1
s
2+ 1 Pelo teorema da convolu¸c˜ao (Regra 19) e as regras 17 (c = π/2), 1 (a=0) e 3 (ω = 1), conclu´ımos que h(t) = u
π/2∗ sen
(t) = Z
t0
sen (t − v ) u
π/2(v ) dv.
Para 0 ≤ t ≤ π/2: u
π/2(v) = 0 para todo v em [0, t), donde h(t) = 0;
Para t > π/2: h(t) = Z
t0
sen (t − v) u
π/2(v) dv = Z
π/20
sen (t − v)
✘✘u
π/2✘✘(v) dv+
Z
t π/2sen (t − v) u
π/2(v) dv = Z
tπ/2
sen (t − v) dv = Z
t−tt−π
2
− sen (w) dw = Z
t−π2
0
sen (w) dw = − cos (w)
t−π
2
w=0
= cos (0) − cos (t − π
2 ) = 1 − sen (t).
Combinando os resultados, temos que h(t) = u
π/2(t) · (1 − sen (t)).
4.b. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.5, Exerc´ıcio 36. Manuscrito: Item 2.b no arquivo
“simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
4.c. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.5, Exerc´ıcio 38. Manuscrito: Item 2.c no arquivo
“simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
4.d. Semelhante ao Item 4.a.
4.e. Manuscrito: Item 1.a no arquivo “ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
4.f: Pelo teorema da convolu¸c˜ao (Regra 19) e as regras 2 (ω = 1) e 1 (a =
− 1), conclu´ımos que:
Y (s) + 2 s
s
2+ 1 Y (s) = 1
s − ( − 1) ∴ s
2+ 1 + 2s
s
2+ 1 Y (s) = 1 s + 1 ∴ Y (s) = s
2+ 1
(s + 1)
3= A
s + 1 + B
(s + 1)
2+ C (s + 1)
3∴
s
2+ 1 = A(s + 1)
2+ B(s + 1) + C = As
2+ (2A + B)s + (A + B + C) ∴ A = 1, B = − 2, C = 2 ∴ Y (s) = 1
s + 1 − 2 1
(s + 1)
2+ 2 (s + 1)
3∴ Pela Regra 11 (a = − 1), y(t) = e
−tL
−11
s
(0+1)− 2 1
s
(1+1)+ 2 s
(2+1)(t).
Pelas regras 9 (escalares 1 − 2 e 1) e 6 (n = 0, n = 1 e 2 respectivamente):
y(t) = e
−t(1 − 2t + t
2) ∴ y(t) = e
−t(t − 1)
2.
4.g: [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.7, Exerc´ıcio 22. Manuscrito: Item 2.g no arquivo
“simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
4.h: [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.7, Exerc´ıcio 21. Manuscrito: Item 1.a no arquivo
“ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
5.a. O fato de f
iser fun¸c˜ao ´ımpar j´a nos diz que f
is´o possui termos em sen nπx
2
, ou seja
∞
X
n=1
b
nsen nπx 2
, onde b
n= 1 2
Z
2−2
f
i(x) sen nπx 2
dx.
Sendo o produto de fun¸c˜oes ´ımpares uma fun¸c˜ao par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo f
iuma extens˜ao de f , que est´a definida em [0, 2], obtemos a segunda:
b
n= 6 2 6 2
Z
2 0f
i(x) sen nπx 2
dx =
Z
2 0f(x) sen nπx 2
dx = Z
10
x sen nπx 2
dx + Z
21
sen nπx 2
dx =
− 2
nπ x cos nπx 2
1 x=0
− Z
10
− 2
nπ cos nπx 2
dx + − 2
nπ cos nπx 2
2 x=1
=
− 2 nπ
✟✟✟✟✟✟
cos nπ 2
− 0
+ 4
n
2π
2sen nπx 2
1 x=0
+ − 2 nπ
cos
nπ 6 2 6 2
−
✟✟✟✟✟✟cos nπ 2
= 4
n
2π
2h
sen nπ 2
−
❳❳sen (0)
❳❳i + − 2
nπ ( − 1)
n∴ b
n= 4
n
2π
2sen nπ 2
+ ( − 1)
n+12 nπ onde a primeira parcela se reescreve de v´arios modos, contribuindo apenas quando n ´e ´ımpar: sen nπ
2 =
0, se n ´e par;
1, se n − 1 ´e m´ ultiplo de 4;
− 1, sen˜ao (n − 3 ´e m´ ultiplo de 4).
Para efeito deste exame, esta resposta seria satisfat´oria devido `a comple- xidade dela para a experiˆencia esperada dos estudantes. Em todo caso, um exemplo b´asico de reescritura, constru´ıdo caso a caso, ´e: particionamos os
´ımpares positivos em 4k − 3 e 4k − 1, onde k ´e inteiro positivo (eles corres- pondem aos casos que d˜ao 1 e − 1 acima). J´a os pares positivos s˜ao da forma 2k. Simplificando as express˜oes, obtemos a s´erie abaixo, onde a ´ ultima das trˆes parcelas do termo geral ´e a contribui¸c˜ao dos pares positivos:
∞
X
k=1
2(4k − 3)π + 4 (4k − 3)
2π
2sen
(4k − 3)πx 2
+ 2(4k − 1)π − 4 (4k − 1)
2π
2sen
(4k − 1)πx 2
− 1
kπ sen (kπx)
5.b. O fato de f
pser fun¸c˜ao par j´a nos diz que f
ps´o possui termos em cos nπx
2
e constante, ou seja a
02 +
∞
X
n=1
a
ncos nπx 2
, onde
a
0= 1 2
Z
2−2
f
p(x) dx e, para n > 0, a
n= 1 2
Z
2−2
f
p(x) cos nπx 2
dx. Sendo o produto de fun¸c˜oes ´ımpares uma fun¸c˜ao par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo f
puma extens˜ao de f, que est´a definida em [0, 2], obtemos a segunda:
a
0= 6 2 6 2
Z
2 0f
p(x) dx = Z
20
f(x) dx = Z
10
x dx+
Z
2 11 dx = x
22
1 x=0
+ x
2 x=1
= 1
2 − 0 + 2 − 1 = 3
2 ∴ a
0= 3
2 e, analogamente para n > 0, a
n= 6 2
6 2 Z
20
f
p(x) cos nπx 2
dx = Z
20
f(x) cos nπx 2
dx = Z
10
x cos nπx 2
dx +
Z
2 1cos nπx 2
dx = 2
nπ x sen nπx 2
1 x=0
− Z
10
2
nπ sen nπx 2
dx + 2
nπ sen nπx 2
2 x=1
= 2
nπ
✟✟✟✟✟✟
sen nπ 2
− 0
+ 4
n
2π
2cos nπx 2
1 x=0
+ 2 nπ
"
❍❍
❍❍
❍❍
❍
sen
nπ 6 2 6 2
−
✟✟✟✟✟✟
sen nπ 2
#
= 4
n
2π
2h cos nπ 2
− cos (0) i
∴ a
n= 4 n
2π
2h cos nπ 2
− 1 i
, se n > 0. Mas:
cos nπ 2
=
0, se n ´e ´ımpar;
1, se n ´e m´ ultiplo de 4;
− 1, sen˜ao (ou seja, se n − 2 ´e m´ ultiplo de 4). ∴ cos nπ
2
− 1 =
− 1, se n ´e ´ımpar;
0, se n ´e m´ ultiplo de 4;
− 2, sen˜ao. Um modo de se escrever esta s´erie ´e:
3 4 +
∞
X
k=1
4( − 1)
(2k − 1)
2π
2cos
(2k − 1)πx 2
+
∞
X
k=1
4( − 2)
(4k − 2)
2π
2cos
(4k − 2)πx 2
= 3
4 +
∞
X
k=1
4( − 1)
(2k − 1)
2π
2cos
(2k − 1)πx 2
+
∞
X
k=1
4( − 2)
4(2k − 1)
2π
2cos ((2k − 1)πx) ∴ f
p(x) ∼ 3
4 − 1 π
2∞
X
k=1
1 (2k − 1)
24 cos
(2k − 1)πx 2
+ 2 cos ((2k − 1)πx)
5.c. O c´alculo da s´erie ´e semelhante ao do Item 5.a. Pelo teorema de Diri- chlet, a s´erie converge, em x = 1, para a m´edia dos seguintes limites laterais:
x
lim
→1−g
i(x) = lim
x→1−
g(x) = lim
x→1−
x
2= 1
2= 1 e
x
lim
→1+g
i(x) = lim
x→1+
g(x) = lim
x→1+
0 = 0, ou seja, ela converge para 1/2 em x = 1.
5.d. Manuscrito: Itens 2.a–b no arquivo “ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
5.e. Manuscrito: Item 4.b no arquivo “simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2, onde k est´a denotada por f.
5.f–h. Manuscrito: Quest˜ao 2 no arquivo “ee3–v1 0-gabarito-v1 0.pdf” de 2014.1, onde ℓ est´a denotada por h.
6.a. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 5. Manuscrito: Item 5.a no arquivo
“simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
6.b. Manuscrito: Item 1.c no arquivo “ee3–v2 0-gabarito-v1 0.pdf”de 2013.1.
6.c. Manuscrito: Item 1.b no arquivo “ee3–v1 0-gabarito-v1 0.pdf”de 2014.1.
6.d. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 10. Manuscrito: Item 5.b no arquivo
“simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
7. Manuscrito: Quest˜ao 6 no arquivo “simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
8. Manuscrito: Quest˜ao 4 no arquivo “ee3–v1 0-gabarito-v1 0.pdf”de 2014.1.
9. Manuscrito: Quest˜ao 5 no arquivo “simulado-03-v1 0-complemento.pdf”
de 2013.1.
10. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.6, Exerc´ıcio 17. Manuscrito: Quest˜ao 3 no ar- quivo “ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
11.
u
tt+ 4 u = u
xxpara 0 < x < 1 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(1, t) para t > 0,
u
t(x, 0) = 0 e u(x, 0) = 12 sen(3 π x) − 8 sen(4 π x) para 0 < x < 1.
11.a. Devido `a linearidade da EDP, buscamos solu¸c˜oes n˜ao-triviais dela no formato u(x, t) = X(x)T (t) que satisfa¸cam as condi¸c˜oes homogˆeneas. As- sim, X(x)T
′′(t) + 4X(x)T (t) = X
′′(x)T (t) ∴ X
′′(x)
X(x) = T
′′(t) + 4T (t) T (t) nos pontos (x, t) tais que X(x) 6 = 0 e T (t) 6 = 0. Assim, uma fun¸c˜ao de x e uma fun¸c˜ao de t s˜ao iguais, donde se conclui que elas s˜ao iguais a uma constante
− λ (dita constante de separa¸ c˜ ao). Portanto:
X
′′(x) + λ X (x) = 0 para 0 < x < 1, (1) T
′′(x) + (4 + λ) T (t) = 0 para t > 0. (2) Como n˜ao desejamos T ≡ 0, as condi¸c˜oes de contorno X(0)T (t) = u(0, t) = 0 e X(1)T (t) = u(1, t) = 0 traduzem-se por:
X(0) = 0 = X(1). (3)
Como n˜ao desejamos X ≡ 0, a condi¸c˜ao inicial X(x)T
′(0) = u
t(x, 0) = 0 traduz-se por:
T
′(0) = 0. (4)
Com isto, (1) e (3) definem um problema de contorno em X(x), enquanto (2) e (4) definem um problema em T (t).
11.b. Das dicas fornecidas, o problema descrito por (1) e (3) tem so- lu¸c˜oes n˜ao-nulas dadas pelos m´ ultiplos n˜ao-nulos de X
n(x) = sen (µ
nx), autofun¸c˜oes do autovalor − λ
n= − µ
2n, onde µ
n= nπ para n inteiro positivo. Aplicando, a (2), os valores λ
nencontrados para λ acima, ob- temos a equa¸c˜ao caracter´ıstica r
2+ 4 + λ
n= 0 ∴ r
2= − (4 + λ
n) =
− (4 + µ
2n) < 0 ∴ r = ± i p
4 + µ
2n= ± i ν
n, denotando por ν
n= p
4 + µ
2n>
0 ∴ T (t) = A cos (ν
nt) + B sen (ν
nt) ∴ T
′(t) = − ν
nA sen (ν
nt) + ν
nB cos (ν
nt).
Da condi¸c˜ao (4), temos que 0 = T
′(0) = ν
n[ − A · 0 + B · 1] = ν
nB. Mas ν
n> 0 ∴ B = 0 ∴ T (t) = A cos (ν
nt), e h´a solu¸c˜oes n˜ao-triviais, m´ ulti- plas n˜ao-nulas de T
n(x) = cos (ν
nt). Combinando linearmente as solu¸c˜oes u
n(x, t) = X
n(x)T
n(t) para formarmos uma s´erie formal como limite de tais somas parciais, e assumindo a convergˆencia da s´erie, temos a solu¸c˜ao formal:
u(x, t) =
∞
X
n=1
c
nu
n(x, t) =
∞
X
n=1
c
nsen (nπ x) cos √
4 + n
2π
2t .
11.c.
∞
X
n=1
