Geometria Plana
A geometria plana é a área de estudos que se volta para os objetos pertencentes ao plano, ou seja, todos os seus elementos (ponto, reta e polígonos) estão “dentro” do plano. A geometria teve seu início na Grécia Antiga e é conhecida também como geometria euclidiana plana, em homenagem a um grande estudioso da área chamado Euclides. Matemático de Alexandria, Euclides é conhecido como o “pai da geometria”. Conceitos da geometria plana
Alguns conceitos são essenciais para que se entenda a geometria plana, mas não são demonstráveis, sendo chamados de conceitos primitivos. São eles:
Ponto
O ponto não possui dimensão e vamos representá-lo por uma letra maiúscula.
Reta
A reta possui uma dimensão, o comprimento, e é representada por uma letra minúscula. A reta é infinita.
GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO
A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA EEEFM SÃO FRANCISCO XAVIER
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA 3ª SÉRIE
PROFESSORES RESPONSÁVEIS: MANOEL JOÃO E JANIR MAUÉS
A partir do conceito de reta, podemos definir três outros conceitos: segmento de reta, semirreta e ângulo.
– Segmento de reta
O segmento de reta é definido por uma reta delimitada por dois pontos distintos, ou seja, uma reta com começo e fim.
– Semirreta
A semirreta é definida como sendo uma reta com começo e sem fim, ou seja, ela será infinita em uma das direções.
– Ângulo
O ângulo é utilizado para medir o espaço entre duas retas, semirretas ou segmentos de retas. Quando medimos um ângulo, estamos determinando sua amplitude.
Plano
O plano apresenta duas dimensões e é representado por uma letra grega (α, β, γ, … ).
Áreas de superfícies planas
Em geral, para medir superfície plana com forma simples, usa-se uma fórmula matemática. Vejamos, algumas dessas fórmulas:
Triângulo
Para calcular a área de um triângulo, basta multiplicar a medida da base (b) com a medida da altura (h) e dividir o resultado por dois.
Triângulo
Utilizando a razão trigonométrica Seno (cateto oposto pela Hipotenusa) tem-se:
Substituindo na fórmula
Obtemos:
Quadrado
Sabemos que os lados do quadrado são todos iguais. Para calcular sua área, multiplicamos a medida da base com a medida altura. Como as medidas são as mesmas, multiplicá-las é o mesmo que elevar o lado ao quadrado.
Retângulo
A área do retângulo é dada pela multiplicação da base pela altura.
C
sen
a
h
.
ˆ
a
h
C
sen
ˆ
2
.
h
b
A
2
ˆ
.
.
a
sen
C
b
A
Losango
A área do losango é dada pelo produto da diagonal maior (D) com a diagonal menor (d) dividido por dois.
Trapézio
A área do trapézio é dada pelo produto da altura com a soma da base maior (B) e a base menor (b) dividido por dois.
Círculo
A área do círculo de raio r é dada pelo produto do raio ao quadrado com o número irracional ℼ (em geral utilizamos o valor ℼ = 3,14).
Setor Circular:
Geometria Plana e Espacial
A geometria plana é caracterizada por ter todos os seus elementos contidos no plano. Assim, nenhum objeto na geometria plana tem volume, e sim área. Mas o mundo real não possui apenas duas dimensões, certo? Você, neste exato momento, consegue se mexer para frente e para trás (uma dimensão), para a direita e para a esquerda (mais uma dimensão) e, por fim, girar em uma cadeira de escritório (mais uma dimensão), ou seja, três dimensões.
A geometria espacial trata de estudar justamente objetos que estão na terceira dimensão. Algumas das estruturas estudadas na geometria espacial estão presentes em nosso dia a dia, como esferas, cones, cilindros e paralelepípedos.
Geometria plana no Enem
A geometria plana possui diversas aplicações em nosso cotidiano. Em razão da vasta aplicabilidade, existe uma gama de problemas que podem ser explorados e,
2
. r
A
dado em graus: R² 360º
Aº
360
2R
A
dado em radianos:2
2R
A
consequentemente, esse assunto aparece com frequência em questões de vestibulares e Enem.
Questões de geometria plana exigem do aluno um raciocínio construtivo e lógico. A grande dificuldades das questões não é com os conceitos geométricos em si, e sim com o envolvimento de temas como equação do primeiro grau, equação do segundo grau, operações com frações, porcentagem e proporção. Vejamos alguns exemplos.
→ Exemplo 1
(Enem/2012) Em 20 de fevereiro de 2011, ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS com longitude de 124° 3’ 0’’ a leste do Meridiano de Greenwich. (Dado: 1° equivale a 60’ e 1 equivale a 60″.)
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude de forma decimal é:
a) 124,02° b) 124,05° c) 124,20° d)124,30° e)124,50° Solução
Para resolver o exercício, devemos transformar 124° 3’ e 0″ (lê-se: cento e vinte e quatro graus, três minutos e zero segundos) para graus. Para isso, basta escrevermos os 3 minutos em graus e, já que a localização possui 0″, não há nada a fazer.
Foi fornecido pelo exercício que 1° equivale a 60’. Vamos utilizar uma regra de três simples para determinar quantos graus temos em 3 minutos.
1° – – – 60’ x° – – – 3’
60x = 3 x = 3 ÷ 60
x = 0,05° Assim, 124° 3’ e 0″ é equivalente a escrever:
124° + 0,05° + 0° 124,05° Resposta: alternativa b.
→ Exemplo 2
(Enem/2011) Uma escola tem um terreno vazio no formato retangular cujo perímetro é de 40 m, onde se pretende realizar uma única construção que aproveite o máximo
de área possível. Após a análise realizada por um engenheiro, este concluiu que, para atingir o máximo de área do terreno com uma única construção, a obra ideal seria:
a) um banheiro com 8 m2. b) uma sala de aula com 16 m2. c) um auditório com 36 m2. d) um pátio com 100 m2.
e) uma quadra com 160 m2. Solução
Como desconhecemos as dimensões do terreno retangular, vamos nomeá-las por x e y.
De acordo com o enunciado, o perímetro é igual a 40 m, ou seja, a soma de todos os lados é igual a 40 m, logo:
x + x + y + y = 40 2x + 2y = 40 2(x +y) = 40 x + y = 20 y = 20 – x
Sabemos também que a área de um retângulo é dada pelo produto da base com a altura, assim:
A = x · y
Substituindo o valor de y, isolado anteriormente, temos: A = x · (20 – x)
A = – x2
+ 20x
Agora, para sabermos qual é a área máxima, basta determinar o valor máximo da função A, ou seja, determinar o vértice da parábola. O valor de xv é dado por:
A = – x2 + 20x A = – (10)2 + 20(10) A = – 100 + 200 A = 100 m2 Portanto, a área máxima é de 100 m2. Resposta: alternativa d.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Sabendo que área do trapézio abaixo é de 18 m2
, determine o valor de x.
Resolução
Como a área é igual a 18 m2, podemos substitui-la na fórmula da área do trapézio, bem como os valores das medidas dados pelo problema. Veja:
Note que o valor de x no problema retrata uma medida de comprimento, logo só pode assumir um valor positivo, portanto:
x = 3
Questão 2 – Calcule a área do losango que possui a diagonal maior como o dobro da menor.
Resolução
Como desconhecemos os valores das diagonais, vamos nomeá-las por x. Diagonal menor (d) → x
Diagonal maior (D) → 2x E substituindo essas informações na fórmula, temos:
ANEXO
Questões Propostas
01. (ENEM) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente,
com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é
a) 6 b) 7 c) 8 d) 11 e) 12
02. (ENEM) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:
a) N/9 b) N/6 c) N/3 d) 3/N e) 9/N
03. Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m de largura numa extensão de 1,5 km. Considerando-se uma taxa de 1,5 pessoas por m2, podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente: a) 70 mil b) 60 mil c) 40 mil d) 30 mil e) 50 mil
04. (FUVEST) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a:
a) 3√3 b) 2√3 c) 3√3/2
d) √3 e) √3/2
05. (UFPR) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior?
a) 36 cm² b) 20 cm² c) 49 cm²
d) 42 cm² e) 64 cm²
06. (UFSC) Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão quadrado onde mora, cuja área é de 102400 m². Então, a distância que ele pedala por dia é de:
a) 320 m b) 1920 m c) 9600 m
d) 38400 m e) 10240 m
07. (ENEM) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4% b) 20% c) 36%
d) 64% e) 96%
08. (ENEM) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00
d) R$ 42,50 e) R$ 45,00
09. (ENEM) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. (ENEM) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm).
O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira
encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira
encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira
encomenda, porque a altura e a
largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira
encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira
encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
11. Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura acima, é usada para revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30cm de lado, a área da região hachurada é:
a) 900 - 125π b) 900 (4 - π) c) 500π - 900 d) 500π - 225 e) 225 (4-π)
12) (Enem 2019) Uma administração municipal encomendou a pintura de dez placas de sinalização para colocar em seu pátio de estacionamento. O profissional contratado para o serviço inicial pintará o fundo de dez placas e cobrará um valor de acordo com a área total dessas placas. O formato de cada placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60 cm, conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para π.
Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, das dez placas?
A) 16 628 B) 22 280 C) 28 560 D) 41 120 E) 66 240
13) (Enem 2019) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m2 de área. O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada. Utilize 3 como aproximação para π. A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a deque o material disponível em estoque
A) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m2. B) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m2. C) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m2.
D) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m2.
E) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m2.
14) (Enem 2019) Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do
tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.
Após essa primeira dobradura, qual é a medida do segmento AE?
REFERÊNCIAS
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2011.
https://www.google.com.br/search?q=soma+e+diferen%C3%A7a+de+arcos&rlz=1C1 CHNY_pt BRBR558BR558&oq=soma+e+diferen%C3%A7a+de+arcos&aqs=chrome..69i57j0 5.483j0j7&sourceid=chrome&espv=210&es_sm=122&ie=UTF 8#es_sm=122&espv=210&q=areas+de+superficies+planas+ppt http://www.censa.edu.br/repositorio/fck/file/ROTEIROS%20DE%20ESTUDO/3%20A NO-REA.ppt
ENEM 2019 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Prova de matemática e suas tecnologias.2º dia.
AULA 1 – ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS. Área de quadrados, retângulos e perímetros de figuras planas.
- Leitura e resolução da atividade no compêndio: Questões 1, 2 e 3 da atividade referente ao assunto.
AULA 2 – ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS. Área de triângulos equiláteros, hexágonos regulares, quadrados e retângulos. - Leitura e resolução da atividade no compêndio: Questões 4, 5 e 6 da atividade referente ao assunto.
AULA 2 – ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS. Área de triângulos, quadrados, retângulos envolvendo porcentagem e perímetro de uma figura plana.
- Leitura e resolução da atividade no compêndio: Questões 7, 8 e 9 da atividade referente ao assunto.
AULA 3 – ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS. Área de quadrados, retângulos, círculos e setores circulares.
- Leitura e resolução da atividade no compêndio: Questões 10, 11 e 12 da atividade referente ao assunto.
AULA 4 – ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS. Área de círculos, setores circulares e coroas circulares e o teorema de Pitágoras - Leitura e resolução da atividade no compêndio: Questões 13 e 14 da atividade referente ao assunto.
