COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2012
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR: WALTER TADEU DATA: ____________
NOTA:
NOME: GABARITO Nº: ______TURMA: _____
TRABALHO DE MATEMÁTICA I – 2 ª SÉRIE (Vale 1,5 pontos)
1. Sejam f e g funções reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, calcule g(-1).
Solução. Encontrando a lei de g(x), temos:
2 4 )x(g x4
3 1 x4 )x(g 2 1 x4 3) x(g.
3) 2 x(g.
2 ))x(
g(f
1 x4 ))x(
g(f
.
Calculando o valor pedido, temos: 4
2 4 4 2
4 ) 1 ( ) 4 1 (
g
.
2. Seja f uma função definida em R, conjunto dos números reais tal que f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).
Solução. Substituindo x – 5 = t, temos que x = t + 5. Logo, f(x – 5) = f(t) = 4(t + 5) = 4t + 20.
Encontramos assim a lei de formação da função f.
Se f(t) = 4t + 20, então f(x + 5) = 4(x + 5) + 20 = 4x + 20 + 20. Logo, f(x + 5) = 4x + 40.
3. Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x
2+ 1) = - 2x
2+ 2, para todo x є R, calcule o valor de b/a.
Solução. Fazendo as substituições convenientes, temos:
3 t ) t ( f 2 1 t ) t ( f 2 2
1 2 t 2 2
1 2 t
) t ( f ) 1
² x 2 ( f
2 1 x t
1 t
² x 2 t 1
² x 2
2
.
Encontramos a lei da função f. Vale para qualquer variável. Logo, f(x) = - x + 3. Comparando com a
expressão indicada, temos: 3 1 3 a b 3b
1a 3x)x(f bax)x(f
.
4. Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = bc
Solução. Calculando as compostas e igualando, temos:
)c 1(d )c 1(b ou) 1 a(d )1 c(b d ad b bc b ad acx d bc acx
b ad acx b )d cx(
a )d cx(f ))x(
g(f
d bc acx d )b ax(
c )b ax(
g ))x(
f(g d
cx )x(
g
b ax )x(f
.
5. Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 – x, encontre a lei de f(x).
Solução. Encontrando o valor de x em função de g(x) e substituindo na fog(x), temos:
5 x 2 ) x ( f , Logo
5 ) x ( g 2 )) x ( g ( f 1 4 ) x ( g 2 1 )) x ( g 2 ( 2 )) x ( g ( f 1 x 2 ) x ( fog
) x ( g 2 x x 2 ) x ( g
.
6. Dadas as funções reais , x 3
3 x
1 x ) 2 x (
f
e g(x) = 6x – 4. Obtenha:
a) f
-1(x) b) Domínio de f
-1(x) c) f
-1(g(x)) Solução. Substituindo y por x para o procedimento de cálculo da inversa, temos:
a)
2 x
1 x ) 3 x ( f
2 x
1 x y 3 1 x 3 ) 2 x ( y 1 x 3 y 2 xy 1 y 2 x 3 xy ) ii
3 y
1 y x 2 ) i
3 x
1 x y 2
1
.
b) D(f
-1) = IR – {2}
c) Calculando a composta, temos:
6 x 6
13 x 18 2 4 x 6
1 12 x 18 2 ) 4 x 6 (
1 ) 4 x 6 ( ) 3 4 x 6 ( f )) x ( g (
f
1 1
