COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2011
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR: WALTER TADEU DATA: ____________
NOTA:
NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _____
TRABALHO DE MATEMÁTICA I – 3 ª SÉRIE (Vale 1,5 pontos) – ENTREGA ATÉ 7/7/2011 1) Considere os números complexos
2 3 i
z1 1 e
4
isen5 4
cos5 2
z2 .
a) Calcule z62z1, apresentando o resultado na forma algébrica Solução. Encontrando a potência e efetuando o produto, temos:
32 3 32i
2 i 64 3 64 2
3 64 . i i 64 2
3 i . 1 i 64 z
z ) ii
i 64 ) 1 (i 0 2 64
isen3 2
cos3 4 64
isen6 4
cos6 64
4 isen30 4
cos30 64 6
4 . isen 5 6
4 . cos 5 4 64
isen5 4
cos5 2 z
) i
2 1
6 2
6 6 6
2
.
b) Resolva, em C, a equação z3 i39z1 0.
Solução. Resolvendo as potências e utilizando as fórmulas de radiciação, temos:
18 isen11 18 cos11 .1 z
3 k2 18 k2 11 6 3 11
1 z 1 z 6 isen11 6 cos11 .1 3 isen 3 cos z w z) iii
3 isen 3 cos z z isen cos z z)ii
6 isen11 6 cos11 .1 w 6
11
2 1 1 12 sen
2 3 1 32 cos
1 4 1 1 4 3 2 1 2 w 3
2i 1 2 w) 3 i
2i 1 2 z 3 0 2i 1 2 z 3 0 z i z
2i 1 2 i 3 2 i 1 2 i 3 2
3 2 ).i 1 ( z i i 2
3 2 z 1
i i i
0 3 3 3
3 3 2 2
3 3
1 39 3
2 1
39
1 3 39
.
2) Em C, considere os complexos
4 2 3
1 2
cis
z ; z2 12i;
12 2 17
3 2
cis
z . Sabendo que
z1 e z são duas raízes consecutivas de índice n de um número complexo w, calcule n e determina w na3
forma algébrica.
Solução. Como z1 e z3 são consecutivas, então sua diferença entre seus argumentos é a razão n 2 . O
valor de “n” pode ser identificado como 3, pois houve um “fechamento” do ciclo (após z3 houve o
retorno a z1). De qualquer forma temos: n 3
n 2 12
8 n 2 12
9 17 n 2 4 3 12
17
.
Como são raízes cúbicas, basta elevar qualquer um dos complexos (z1 ou z3) ao cubo e encontramos w.
8 2 8i 2
2 i 2 2 16 2 z
w , Logo
isen4 cos4
16 3 4 . isen3 3 4 . cos3 2 4 2
isen3 4
cos3 2 2 z
3 1
3 3 3
1
.
OBS: O complexo z2 não é a terceira raiz. Repare que seu módulo difere dos demais.
3) Parte do gráfico da função polinomial f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com a, b, c, d, reais, é mostrada na figura.
Calcule o valor do coeficiente b.
Solução. O gráfico identifica três pontos: (0,2), (-1,0) e (1,0). Substituindo esses valores em f(x), temos:
2b 4b 2c 2 ba
2c ba 2)1(
c)1 (b) 1(a 0
2)1 (c) 1(b )1(a 0
2d d)0(
c)0 (b) 0(a 2
2 3
2 3
2 3
.
4) Determine a, b, c, d reais no polinômio P(x) = a + bx + cx2 + dx3 para que:
dx4
) x ( P 27 ) 2 x ( P .
x
Solução. Desenvolvendo a expressão e igualando os coeficientes, temos:
15 ) 3 ( 5 c
9 ) 3 ( 3 b
3 d d 9 27 d 3 d 8 d 20 d 6 27 b d 8 c 4 b 2 a
d 3 b d 5 d 12 d 20 b c d 12 c 4 b
d 5 c d d 6 c
27 a 0 27 a dx
) x ( P 27 ) 2 x ( P . x
27 a bx cx dx dx dx ) x ( P 27 ) iii
x ) d 8 c 4 b 2 a ( x ) d 12 c 4 b ( x ) d 6 c ( dx ) 2 x ( P . x ) ii
d 8 dx 12 dx 6 dx c 4 cx 4 cx b 2 bx a ) 2 x ( d ) 2 x ( c ) 2 x ( b a ) 2 x ( P )i
4
2 3 4 4
2 3
4
2 3
2 3
2
.
Solução: a = 27; b = 9; c = -15 e d = 3.
5) Na divisão de P(x)x4 10x3 24x2 10x24 por D(x)x2 6x5 encontra-se o quociente Q(x). Determine as soluções da equação Q(x) = 0.
Solução. Efetuando a divisão, temos:
x4 – 10x3 + 24x2 + 10x – 24 x2 – 6x + 5 – x4 + 6x3 – 5x2 x2 – 4x – 5 – 4x3 + 19x2 + 10x – 24
4x3 – 24x2 + 20x – 5x2 + 30x – 24 5x2 – 30x2 + 25
}5 ,1 { S
2 1 2 2
6 x 4
2 5 10 2
6 x 4
2 36 4 2
20 16 4 )1(
2
)5 )(1 (4 )4 ( )4 x (
0 5 x4 x
2 2 1
2
.
