10.º ANO | ENSINO SECUNDÁRIO
MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS
ÍNDICE
1. PLANIFICAÇÕES 3 2. OUTRAS LEITURAS 17 3. TESTES DE AVALIAÇÃO 31 4. ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO 51 © A R E A L E D IT O R E SPLANIFICAÇÕES
3 © A R E A L E D IT O R E STEMA 1
TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES – 15 AULAS DE 90 MINUTOS PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e g ru p o . – C ri aç ão d e g ru p o s p ar a re al iz ar e m o tr ab al h o d e e n c e n aç ão . OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – C ri ar a u to n o m ia d e t ra b al h o e m s al a d e au la . – D e se n v o lv e r a c ap ac id ad e d e e st u d ar e m p e la le it u ra d o M an u al . – D e se n v o lv e r a in te ra c ç ão e n tr e o s e le m e n to s d o s g ru p o s. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d ir e c ta d o t ra b al h o e m s al a d e a u la . – E m p e n h am e n to e q u al id ad e d e p ar ti c ip aç ão n as d is c u ss õ e s. – R e al iz aç ão c u id ad a d o t ra b al h o d e c as a. RECURSOS – J o rn ai s. – R e v is ta s. – M an u al . – M an u al . TPC – L e it u ra d as p ág in as 6 e 7 . – P ro c u ra r ar ti g o s o u n o tí c ia s re sp e it an te s a e le iç õ e s. – L e it u ra d as p ág in as 1 0 e 1 1 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 1 2 a 1 4 . – L e it u ra d as p ág in as 1 6 e 1 7 . – P re p ar aç ão d a d is c u ss ão d a R e so lu ç ão d e P ro b le m as d as p ág in as 1 8 a 2 1 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 2 2 e 2 3 . – L e it u ra d a p ág in a 2 5 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 2 6 e 2 7 . ACTIVIDADE LECTIVA 1 .ª a u la – A p re se n ta ç ão d o p ro g ra m a d a d is c ip lin a. – M e to d o lo g ia d e tr ab al h o . – M at e ri al n e c e ss ár io . – C ri té ri o s d e av al ia ç ão . – In fo rm aç õ e s p ar a e xa m e d o G A V E . 2 .ª à 4 .ª a u la s – T ar e fa 1 – E le iç ão d o P ap a – T ar e fa 2 – P re si d e n c ia is 2 0 0 6 – T ar e fa 3 – O n d e v am o s n as f é ri as ? – T ar e fa 4 – E le iç õ e s P re si d e n c ia is TEMA CONTEÚDOS A p re se n ta ç ão In tr o d u ç ão E le iç õ e s M ai o ri a S im p le s e M ai o ri a A b so lu ta M ai o ri a a D u as V o lt as © A R E A L E D IT O R E S
TEMA 1
TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES (CONT.)
5 PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – T ra b al h o d e g ru p o . – T ra b al h o d e g ru p o . – A p re se n ta ç ão d e re su lt ad o s o u c o n c lu sõ e s à tu rm a. – D is c u ss ão c rí ti c a d o s m é to d o s q u e e st ão a t o m ar c o n h e c im e n to . OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER D e se n v o lv e r: – a c ap ac id ad e d e p e sq u is a; – a c ap ac id ad e a rg u m e n ta ti v a; – o p o d e r d e s ín te se ; – o rg an iz aç ão ; – a in te ra c ç ão e n tr e o s c o le g as . – E m p re e n d im e n to n a re al iz aç ão d e ta re fa s. – C ap ac id ad e d e d ia lo g ar , q u e st io n ar e e n tr e aj u d ar p ar a e xp lo ra r o s c o n te ú d o s. AVALIAÇÃO – E m p e n h o n a p ro c u ra d o m at e ri al so lic it ad o . – V o n ta d e d e tr ab al h ar e in te rp re ta r o s d o c u m e n to s e n c o n tr ad o s. – P o d e r d e s ín te se e e xp o si ç ão d o s ar ti g o s ao s c o le g as . – O b se rv aç ão d ir e c ta d o e m p e n h o n a sa la d e a u la . – R e al iz aç ão c u id ad a e a te n ta d o tr ab al h o d e c as a. RECURSOS – J o rn ai s. – R e v is ta s. – P u b lic aç õ e s as si n ad as p e la b ib lio te c a. – In te rn e t: p e sq u is a p e lo s si te s o fi c ia is d o s p ro c e ss o s e le it o ra is d o p aí s. – V is it a ao s p ri m e ir o s b lo g s so b re m é to d o s e le it o ra is . – M an u al . TPC – L e it u ra d as p ág in as 2 8 a 3 0 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 3 1 . – L e it u ra d as p ág in as 3 3 a 3 6 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 3 7 e 3 8 . – L e it u ra d as p ág in as 4 0 a 4 2 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 4 3 . ACTIVIDADE LECTIVA 5 .ª à 7 .ª a u la s – A p re se n ta ç ão d e ar ti g o s d e j o rn ai s se le c c io n ad o s p e lo s al u n o s. – L e v an ta m e n to e id e n ti fi c aç ão d e m é to d o s e le it o ra is n o s ar ti g o s e sc o lh id o s. – O rg an iz aç ão d e c ar ta z d iv u lg at iv o c o m r e c o rt e s se le c c io n ad o s. – T ar e fa 5 – E le iç ão d o d e le g ad o d e tu rm a 8 .ª à 1 0 .ª a u la s – T ar e fa 6 – E le iç ão n a as so c ia ç ão d o s am ig o s d e V ila P e q u e n a – T ar e fa 7 – C o n cu rs o d e t ar te s – T ar e fa 8 – Q u e n o m e a tr ib u ir à m as c o te d a e sc o la ? – T ar e fa 9 – C rí ti c o s d e c in e m a TEMA CONTEÚDOS M é to d o d as E lim in aç õ e s S u c e ss iv as o u M é to d o d e H ar e M é to d o d a C o n ta g e m d e B o rd a M é to d o d o s C o n fr o n to s S u c e ss iv o s © A R E A L E D IT O R E S
TEMA 1
TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES (CONT.)
PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e g ru p o . – E xp o si ç õ e s e d is c u ss õ e s. – T ra b al h o d e g ru p o . – E xp o si ç õ e s e d is c u ss õ e s. OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER D e se n v o lv e r: – a c ap ac id ad e d e p e sq u is a; – a c ap ac id ad e a rg u m e n ta ti v a; – o p o d e r d e s ín te se ; – a o rg an iz aç ão ; – a in te ra c ç ão e n tr e o s c o le g as . – E m p re e n d im e n to n a re al iz aç ão d as ta re fa s. – C ap ac id ad e d e d ia lo g ar , q u e st io n ar e e n tr e aj u d ar p ar a e xp lo ra r o s c o n te ú d o s. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d o tr ab al h o e m s al a d e au la . – R e al iz aç ão c u id ad a d o T P C . – O b se rv aç ão d o tr ab al h o d e a u la . – R e al iz aç ão d o tr ab al h o d e c as a. RECURSOS – In te rn e t. – M an u al . – R e v is ta s. – P e ri ó d ic o s. – M an u al . – M an u al . TPC – A p lic an d o 1 a 5 d as p ág in as 5 9 a 6 1 . – L e it u ra d a p ág in a 4 5 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 4 6 . – L e it u ra d as p ág in as 4 8 e 4 9 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 5 0 e 5 1 . – L e it u ra d as p ág in as 5 2 a 5 4 . ACTIVIDADE LECTIVA 1 1 .ª a u la – P e sq u is a, n o s si te s o fi c ia is , d e re su lt ad o s e le it o ra is . – R e al iz aç ão e d is c u ss ão d e al g u n s ap lic an d o s. 1 2 .ª a u la – T ar e fa 1 0 – Q u e m o d al id ad e v am o s p ra ti c ar ? 1 3 .ª a u la – T ar e fa 1 1 – V o to si n c e ro o u … ? – T ar e fa 1 2 – O P ar ad o xo d e C o n c e rt TEMA CONTEÚDOS M é to d o d e V o ta ç ão p o r A p ro v aç ão E st ra té g ia s d e v o to , P ar ad o xo s e Im p o ss ib ili d ad e s © A R E A L E D IT O R E S
TEMA 1
TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES (CONT.)
7 PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e g ru p o . – A p re se n ta ç ão d as c o n c lu sõ e s e m c ad a g ru p o . OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – D e se n v o lv e r c o n h e c im e n to s g e ra is . – A p e la r à in v e st ig aç ão . AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d o p o d e r ar g u m e n ta ti v o , in te rp re ta ti v o e c o o p e ra ç ão n o s g ru p o s. RECURSOS – In te rn e t. – B ib lio te c a. TPC – L e it u ra d as p ág in as 5 6 e 5 7 . – P e sq u is ar s o b re K e n e th A rr o w . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 5 8 . ACTIVIDADE LECTIVA 1 4 .ª a u la – T ar e fa 1 3 – T e o re m a d a Im p o ss ib ili d ad e 1 5 .ª a u la – A p lic an d o … R e al iz aç ão d e p ro b le m as f in ai s d as p ág in as 5 9 a 6 7 . TEMA CONTEÚDOS T e o re m a d e A rr o w © A R E A L E D IT O R E S
TEMA 1
TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA – 18 AULAS DE 90 MINUTOS PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Le it u ra in d iv id u al . – T ra b al h o d e g ru p o . – A p re se n ta ç ão d o s g ru p o s d e t ra b al h o . – T ra b al h o a p ar e s. – A p re se n ta ç ão d e al g u n s g ru p o s. OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – In te ra c ç ão n o s g ru p o s d e t ra b al h o . – P o d e r d e s ín te se e in te rp re ta ç ão . – C o m u n ic aç ão o ra l e e sc ri ta . – C o n h e c im e n to d e o u tr as r e al id ad e s. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d as in te ra c ç õ e s n o s g ru p o s. – C o rr e c ç ão d a ap re se n ta ç ão e fe c tu ad a. – C o n tr o lo d e q u e m fe z o T P C . RECURSOS – M an u al . TPC – T ar e fa 1 – A d iv is ão d o b o lo . – A p lic an d o 1 d a p ág in a 1 0 9 . – L e it u ra d a p ág in a 7 5 . – A p lic an d o 5 d a p ág in a 1 1 0 . – L e it u ra d as p ág in as 7 7 a 8 2 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 8 3 . – A p lic an d o 2 , 3 , 4 e 6 d as p ág in as 1 1 0 e 1 1 1 . ACTIVIDADE LECTIVA 1 .ª a u la – L e it u ra d as p ág in as 6 8 a 7 0 . – R e so lu ç ão e d is c u ss ão , e m g ru p o s, d as p ro p o st as d e tr ab al h o d as p ág in as 7 1 e 7 2 . – C ad a g ru p o d e tr ab al h o p re p ar a a ap re se n ta ç ão à tu rm a d e u m a d as p ro p o st as . 2 .ª a u la – T ar e fa 2 – Q u e m fi c a c o m a c as a? – T ar e fa 3 – R e p re se n ta ç ão p ro p o rc io n al 3 .ª e 4 .ª a u la s – T ar e fa 4 – A h e ra n ç a – T ar e fa 5 – B ic o s e T ri n c a E sp in h as 5 .ª a u la – C o rr e c ç ão d o T P C e sí n te se d o s c o n te ú d o s le c c io n ad o s so b re p ar ti lh a. TEMA CONTEÚDOS P ar ti lh a E q u ili b ra d a P ar ti lh as n o c as o d is c re to © A R E A L E D IT O R E S
TEMA 1
TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA (CONT.)
9 PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – T ra b al h o a p ar e s c o m r e c u rs o à In te rn e t, a o E xc e l e à c al c u la d o ra g rá fi c a. – T ra b al h o d a p ar e s. OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – In te rp re ta ç ão d a le i e le it o ra l n a d is tr ib u iç ão d e m an d at o s e m d iv e rs as e le iç õ e s. – A p re se n ta ç õ e s e p o d e r d e sí n te se . – P o d e r ar g u m e n ta ti v o n a d is c u ss ão d as d if e re n te s p ro p o rc io n al id ad e s. AVALIAÇÃO – In ic ia ti v a n a re so lu ç ão d as d if e re n te s ta re fa s d e d is tr ib u iç ão d e m an d at o s e d e re p re se n ta ç ão p ro p o rc io n al . RECURSOS – M an u al . – L e i S ta p e /C N E . – In te rn e t. – C o m p u ta d o re s. – M an u al . TPC – L e it u ra d as p ág in as 8 6 a 9 5 . – L e it u ra d as p ág in as 9 6 e 9 7 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 9 8 e 9 9 . – A p lic an d o 7 a 1 4 d as p ág in as 1 1 1 a 1 1 4 . ACTIVIDADE LECTIVA 6 .ª à 1 2 .ª a u la s – D is tr ib u iç ão d o n ú m e ro d e d e p u ta d o s p o r c ad a c ír c u lo e le it o ra l. – T ar e fa 6 – A A ss e m b le ia d a R e p ú b lic a – T ar e fa 7 – C ír c u lo s e le it o ra is . – D ic u ss ão e c o m p ar aç ão d as d if e re n te s re p re se n ta ç õ e s p ro p o rc io n ai s o b ti d as . – T ar e fa 8 – D if e re n te s p ro p o rc io n al id ad e s – D is tr ib u iç ão d o n ú m e ro d e m an d at o s p e lo s d if e re n te s p ar ti d o s p o lít ic o s p o r d o is m é to d o s d is ti n to s d e r e p re se n ta ç ão p ro p o rc io n al p ar a u m c e rt o c ír c u lo e le it o ra l. TEMA CONTEÚDOS Rep re se n ta ç ão P ro p o rc io n al © A R E A L E D IT O R E S
TEMA 1
TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA (CONT.)
PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – T ra b al h o e m g ru p o s d e 3 o u 4 . – D is c u ss ão e m g ra n d e g ru p o . – A p re se n ta ç ão d o s g ru p o s d e tr ab al h o . C ad a g ru p o d e tr ab al h o d e ve rá e n tr e g ar a o p ro fe ss o r u m a d e sc ri ç ão p o rm e n o ri za d a d e c o m o c o lo c ar e m p rá ti c a d if e re n te s p as so s d e c ad a u m d o s al g o ri tm o s e xp lo ra d o s. OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – In te rp re ta ç ão e s e n si b ili za ç ão p ar a o q u e é u m a p ar ti lh a ju st a. – P o d e r ar g u m e n ta ti v o n a d is c u ss ão d o s d if e re n te s al g o ri tm o s. AVALIAÇÃO – Em p e n h o n a re al iz aç ão d as t ar e fa s e m s al a d e au la . – Q u al id ad e n a p re p ar aç ão d as d is c u ss õ e s. – C o n tr o lo d o T P C . RECURSOS – M an u al – B o lo e f ac a – T e so u ra s – F o lh as c o m b o lo s o n d e o s al u n o s e xp e ri m e n ta m o s al g o ri tm o s. – A c e ta to s p ar a ap re se n ta ç ão à tu rm a. TPC – L e it u ra d as p ág in as 1 0 1 a 1 0 8 . – P ro p o st as d e tr ab al h o d a p ág in a 1 0 8 . – L e it u ra d o te xt o " O s al g o ri tm o s d o b o lo -r e i" . – A p lic an d o 1 5 e 1 6 d as p ág in as 1 1 5 e 1 1 6 . ACTIVIDADE LECTIVA 1 3 .ª e 1 4 .ª a u la s – T ar e fa 9 – A d iv is ão d o b o lo – E xt e n sã o d a p ar ti lh a e q u ili b ra d a d e u m b o lo a s it u aç õ e s c o m m ai s d e d o is in te rv e n ie n te s. – T ar e fa 1 0 – A d iv is ão d a p iz a – D is c u ss ão d e q u e o a lg o ri tm o g ar an te u m a p ar ti lh a e q u ili b ra d a. – N o ç ão d e u m a p ar ti lh a L iv re d e In v e ja . – D is c u ss ão s o b re s e o s al g o ri tm o s at é ag o ra e st u d ad o s g ar an te m o u n ão u m a p ar ti lh a liv re d e in v e ja . 1 5 .ª a u la – A lg o ri tm o d a F ac a D e sl iz an te – E n c e n aç ão e m s al a d e a u la c o m u m b o lo . – D is c u ss ão s o b re s e o a lg o ri tm o g ar an te o u n ão u m a p ar ti lh a e q u ili b ra d a e li v re d e in v e ja . 1 6 .ª e 1 7 .ª a u la s – A p lic aç ão d e d if e re n te s al g o ri tm o s. – C ad a g ru p o d e t ra b al h o p re p ar a a ap re se n ta ç ão à t u rm a d e u m d o s al g o ri tm o s d o M an u al . – D is c u ss ão s o b re s e g ar an te m o u n ão u m a P ar ti lh a E q u ili b ra d a e L iv re d e In v e ja . 1 8 .ª a u la – C o rr e c ç ão d o T P C . – R e al iz aç ão d o s ap lic an d o s d a p ág in a 1 1 7 . TEMA CONTEÚDOS Parti lh a n o c as o c o n tí n u o © A R E A L E D IT O R E S
TEMA 2
ESTATÍSTICA – 30 AULAS DE 90 MINUTOS
11 PLANIFICAÇÕES © A R E A L E D IT O R E S INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e p ar e s. – A p re se n ta ç õ e s à tu rm a. – T ra b al h o s d e g ru p o ta n to n a in te rp re ta ç ão , q u e st io n am e n to e c o m o n a p ar te e xp o si ti v a. OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER D e se n v o lv e r: – c ap ac id ad e d e in te rp re ta ç ão , s ín te se e aq u is iç ão d e c o n h e c im e n to s p e la le it u ra e d is c u ss ão d as t ar e fa s ap re se n ta d as ; – a c ap ac id ad e d e s e le c ç ão d a in fo rm aç ão d is p o n ív e l; – a c ap ac id ad e d e a p re se n ta ç ão e m p ú b lic o d o s it e n s se le c c io n ad o s. D e se n v o lv e r: – p o d e r ar g u m e n ta ti v o , c rí ti c o , e xp o si ti v o e d e in te ra c ç ão s o c ia l; – a p e rc e p ç ão d a re al id ad e s o c ia l. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d o e m p e n h o e tr ab al h o n a sa la d e au la . – R e al iz aç ão c o rr e c ta d o t ra b al h o d e c as a. – E sc o lh a c ri te ri o sa d e r e c o rt e s d e n o tí c ia s. – P o d e r d e s ín te se e d e e xp lo ra ç ão n a e xp o si ç ão d as c o le c ç õ e s e fe c tu ad as . – P ar ti c ip aç ão d o s al u n o s n a e sc o lh a e p ro c u ra d e a rt ig o s. – P o d e r d e in te rp re ta ç ão , q u e st io n am e n to e c rí ti c a d o s ar ti g o s an al is ad o s. – O b se rv aç ão d o tr ab al h o , e m p e n h o e q u al id ad e d e re al iz aç ão e m s al a d e a u la . RECURSOS – M an u al . – J o rn ai s. – R e v is ta s. – In te rn e t. – R e c o rt e s c o le c c io n ad o s p e lo s al u n o s e /o u p ro fe ss o re s. – In fo rm aç ão d a In te rn e t. – M an u al TPC – C o le c c io n ar n o tí c ia s o n d e a e st at ís ti c a se ja u m a p re se n ç a. – L e it u ra d as p ág in as 1 2 9 e 1 3 0 . – P ro p o st as d e tr ab al h o d as p ág in as 1 3 1 e 1 3 2 . ACTIVIDADE LECTIVA 1 .ª e 2 .ª a u la s – A n ál is e d e n o tí c ia s o n d e a e st at ís ti c a e st á p re se n te , q u e p o d e rá s e r o p ro fe ss o r a le v ar p ar a a au la . – L e it u ra d as p ág in as 1 2 0 a 1 2 2 . – P ro p o st as d e tr ab al h o d as p ág in as 1 2 3 a 1 2 5 . 3 .ª e 4 .ª a u la s – Q u e st io n am e n to e c rí ti c a d e in fo rm aç ão v ar ia d a. – T ar e fa 1 – In te rp re ta n d o d ad o s: p ir âm id e s p o p u la c io n ai s – T ar e fa 2 – In te rp re ta n d o d ad o s: v ar ia ç õ e s p o p u la c io n ai s. – T ar e fa 3 – In te rp re ta n d o d ad o s: c ar ac te rí st ic as p o p u la c io n ai s. TEMA CONTEÚDOS In tr o d u ç ão In te rp re ta n d o d ad o s
TEMA 2
ESTATÍSTICA (CONT.) PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o a p ar e s n a sa la d e a u la . – T ra b al h o d e g ru p o . – A c o m p an h am e n to n a in v e st ig aç ão o n lin e OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER D e se n v o lv e r: – a c ap ac id ad e d e a u to n o m ia , ap re e n d e n d o c o n c e it o s at ra v é s d a d is c u ss ão d e id e ia s e le it u ra d o m an u al ; – a a p re e n sã o d e c e rt o s c o n c e it o s d a E st at ís ti c a. D e se n v o lv e r a c ap ac id ad e d e : – in te rp re ta ç ão ; – in v e st ig aç ão ; – s e le c ç ão ; – u sa r n o v as t e c n o lo g ia s. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d a q u al id ad e d o tr ab al h o r e al iz ad o n a sa la d e a u la . – P ro c u ra e s e le c ç ão d e a rt ig o s d e q u al id ad e s o b re o su b te m a. – C ap ac id ad e d e u ti liz ar a s T IC . RECURSOS – M an u al . – In te rn e t. – J o rn ai s e re v is ta s. – M an u al . – C al c u la d o ra g rá fi c a. – F o lh a d e c ál c u lo . TPC – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in a 1 3 7 e 1 3 8 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 1 4 2 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 1 5 4 e 1 5 5 . – S e le c ç ão d e n o tí c ia s, e m p ap e l o u f o rm at o d ig it al , o n d e s e e xi b am am o st ra s. – In v e st ig aç ão d e c o m o a a m o st ra é d e fi n id a. ACTIVIDADE LECTIVA 5 .ª a u la – T ar e fa 4 – P o rt u g al ao e sp e lh o – T ar e fa 5 – V is it as a u m m u se u – S ín te se r e al iz ad a p e lo p ro fe ss o r. 6 .ª à 9 .ª a u la s – In tr o d u ç ão e xp o si ti v a, r e fl e xi v a e u sa n d o e xe m p lo s p e rt in e n te s, f e it a p e lo p ro fe ss o r, e m c ad a u m d o s su b te m as . – T ar e fa 6 – B ar ó m e tr o – T ar e fa 7 – S o n d ag e n s e e n v ie sa m e n to s – T ar e fa 8 – A á re a d o s c ír c u lo s – T ar e fa 9 – A m o st ra al e at ó ri a si m p le s – T ar e fa 1 0 – M é to d o d e s e le c ç ão d a am o st ra – E xp o si ç ão f e it a p e lo p ro fe ss o r d e té c n ic as d e am o st ra g e m . TEMA CONTEÚDOS N o ç õ e s b ás ic as d e e st at ís ti c a S o n d ag e n s e am o st ra s. S o n d ag e n s e re c e n se am e n to s. A e sc o lh a d a am o st ra © A R E A L E D IT O R E STEMA 2
ESTATÍSTICA (CONT.) 13 PLANIFICAÇÕES © A R E A L E D IT O R E S INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e g ru p o . – A c o m p an h am e n to n a p e sq u is a o n lin e . OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER D e se n v o lv e r a c ap ac id ad e d e : – in te rp re ta ç ão ; – in v e st ig aç ão ; – s e le c ç ão ; – u sa r n o v as t e c n o lo g ia s. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d ir e c ta d o e m p e n h o n a sa la d e a u la . – R e al iz aç ão c u id ad o sa d o T P C . – G o st o p e la u ti liz aç ão d as T IC p ar a a re al iz aç ão d o tr at am e n to d a in fo rm aç ão . – C o n h e c im e n to n o re c u rs o à In te rn e t p ar a p ro c u ra r d ad o s n e c e ss ár io s. – E m p e n h o e q u al id ad e d o tr ab al h o d e s al a d e au la . – Q u al id ad e e r ig o r n a re al iz aç ão d o T P C . RECURSOS – M an u al . – A rt ig o s d e jo rn al o u re v is ta s. – F o lh a d e c ál c u lo . – In te rn e t. – C al c u la d o ra g rá fi c a. – M an u al – C al c u la d o ra g rá fi c a. – F o lh a d e c ál c u lo . – In te rn e t. TPC – L e it u ra d as p ág in as 1 5 7 a 1 6 4 . – P ro p o st a d e T ra b al h o d a p ág in a 1 6 5 . – L e it u ra d as p ág in as 1 7 1 e 1 7 2 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 1 7 3 . – A p re se n ta r o tr at am e n to d e u m c o n ju n to d e d ad o s, q u e d e v e rá t e r si d o re c o lh id o p e lo s al u n o s, e v e n tu al m e n te u sa n d o a c al c u la d o ra o u a f o lh a d e c ál c u lo . – L e it u ra d as p ág in as 1 7 6 a 1 8 3 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 1 8 4 e 1 8 5 . – L e it u ra d as p ág in as 1 8 6 a 1 8 9 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 1 9 0 . ACTIVIDADE LECTIVA 1 0 .ª à 1 5 .ª a u la s – D ad o s p ar a se re m o rg an iz ad o s p o d e rã o su rg ir a p ar ti r d e tr ab al h o s o u p ro je ct o s q u e o s al u n o s re al iz e m . – T ar e fa 1 1 – A s id ad e s – T ar e fa 1 2 – R e p re se n ta ç õ e s g rá fi ca s. – T ar e fa 1 3 – Á re a fl o re st al 1 6 .ª à 1 8 .ª a u la s – T ar e fa 1 4 – U m o lh ar so b re o s al ár io a n u al m é d io – T ar e fa 1 5 – A in d a u m o lh ar s o b re o sa lá ri o a n u al m é d io – T ar e fa 1 6 – E u ro p a o n lin e – S ín te se e xp o si ti va , re al iz ad a p e lo p ro fe ss o r o u p o r u m al u n o . – A p lic aç ão a o tr at am e n to d e d ad o s re co lh id o s p e lo s al u n o s. TEMA CONTEÚDOS O rg an iz an d o d ad o s. T ab e la s, d ia g ra m as e g rá fi c o s e m d ad o s si m p le s. T ab e la s, d ia g ra m as e g rá fi c o s c o m d ad o s ag ru p ad o s e m c la ss e s. D e sc re v e n d o d is tr ib u iç ão d e d ad o s c o m n ú m e ro s M e d id as d e lo c al iz aç ão .TEMA 2
ESTATÍSTICA (CONT.) PLANIFICAÇÕES © A R E A L E D IT O R E S INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e g ru p o . – A c o m p an h am e n to n a p e sq u is a o n lin e . OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER D e se n v o lv e r a c ap ac id ad e d e : – in te rp re ta ç ão ; – in v e st ig aç ão ; – s e le c ç ão ; – u sa r n o v as t e c n o lo g ia s. AVALIAÇÃO – E m p e n h o e q u al id ad e d o tr ab al h o d e s al a d e au la . – Q u al id ad e e r ig o r n a re al iz aç ão d o T P C . RECURSOS – M an u al . – C al c u la d o ra g rá fi c a. – F o lh a d e c ál c u lo . – In te rn e t. – M an u al . – C al c u la d o ra g rá fi c a. – F o lh a d e c ál c u lo . – In te rn e t. TPC – L e it u ra d as p ág in as 1 9 4 a 1 9 6 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 1 9 7 e 1 9 8 . – L e it u ra d as p ág in as 2 0 1 a 2 0 5 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d as p ág in as 2 0 6 a 2 0 7 . – A p lic an d o d as p ág in as 2 0 8 a 2 2 1 ACTIVIDADE LECTIVA 1 9 .ª a 2 1 .ª a u la s – T ar e fa 1 7 – À p ro c u ra d o m e lh o r al u n o – T ar e fa 1 8 – E xp lo ra r o d e sv io -p ad rã o – S ín te se c o m e n ta d a e c rí ti c a re al iz ad a p e lo p ro fe ss o r. – A p lic aç ão a o t ra ta m e n to d e d ad o s re c o lh id o s p e lo s al u n o s. 2 2 .ª a 2 7 .ª a u la s – T ar e fa 1 9 – A le m ãe s d o m in am B e st C ar s – T ar e fa 2 0 – C o n h e ç am o s m e lh o r o m u n d o – S ín te se d as t ar e fa s e ap re se n ta ç ão d o s c o n c e it o s. 2 8 .ª a 3 0 .ª a u la s – A p re se n ta ç ão d e a lg u n s tr ab al h o s m ai s p e rt in e n te s. – T ra ta m e n to d e d ad o s, d e al g u m le v an ta m e n to m ai s p ar ti c u la r, as so c ia d o a a lg u m e st u d o le v ad o a c ab o p e lo s al u n o s. – R e so lu ç ão d e s it u aç õ e s p ro b le m át ic as f in ai s. TEMA CONTEÚDOS Med id as d e D is p e rs ão D is tr ib u iç õ e s B id im e n si o n ai sTEMA 3
MODELOS FINANCEIROS – 10 AULAS DE 90 MINUTOS
15 PLANIFICAÇÕES © A R E A L E D IT O R E S INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e g ru p o . – T ra b al h o a p ar e s. – T ra b al h o a p ar e s. OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – C o m u n ic aç ão . – In te rp re ta ç ão e s ín te se d o s ar ti g o s q u e le ra m , t ro u xe ra m e s e le c c io n ar am . – T ra b al h o c o m f o lh a d e c ál c u lo . – C o n h e c im e n to d e s it u aç õ e s e xi st e n te s as so c ia d as a j u ro s. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão d o tr ab al h o d o s al u n o s e m g ru p o , in te ra g in d o e d in am iz an d o . – R e g is to e a n ál is e d o t ra b al h o d e c as a q u e r e al iz ar am . – O b se rv aç ão d o tr ab al h o d o s al u n o s. – O b se rv aç ão d o tr ab al h o e m s al a d e au la . – R e al iz aç ão d o T P C . RECURSOS – In te rn e t. – D e st aq u e s d o IN E . – D o ss ie rs d o A L E A . – R e v is ta s – F o lh a d e C ál c u lo . – F o lh a d e C ál c u lo – In te rn e t: ac ti v id ad e s b an c ár ia s, e m p ré st im o s, … TPC – C ad a al u n o t e rá d e tr az e r u m a si tu aç ão , u m re c o rt e , u m a rt ig o d o q u al s e p o ss a d e sc re v e r u m a si tu aç ão f in an c e ir a. – P ro p o st a d e T ra b al h o d a p ág in a 2 2 9 . – L e it u ra d as p ág in as 2 3 2 e 2 3 3 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 2 3 4 . – L e it u ra d as p ág in as 2 3 6 a 2 4 4 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 2 4 5 . – L e v an ta m e n to , ju n to d o s fa m ili ar e s, d e si tu aç õ e s o n d e ap ar e ç a o c ál c u lo d e j u ro s. ACTIVIDADE LECTIVA 1 .ª a u la – P e n sa r, s e le c c io n ar e ap re se n ta r si tu aç õ e s n as q u ai s id e n ti fi q u e m m o d e lo s fi n an c e ir o s. – L e it u ra e a p re se n ta ç ão d o s te xt o s d a p ág in a 2 2 4 a 2 2 6 . – P ro p o st a d e t ra b al h o d as p ág in as 2 2 7 e 2 2 8 . 2 .ª a u la – A p re se n ta ç ão , d e p o is d e se le c c io n ad as , d as s it u aç õ e s e n c o n tr ad as n o T P C . – T ar e fa 1 – P re e n c h im e n to d e u m a fa c tu ra 3 .ª a u la – T ar e fa 2 – P ro m o ç õ e s In fo rm át ic as – T ar e fa 3 – IV A – D is c u ss ão e a p re se n ta ç ão , fe it a p e lo p ro fe ss o r, d e c o n te ú d o s m at e m át ic o s. 5 .ª a 7 .ª a u la s – T ar e fa 4 – J u ro s im p le s e ju ro c o m p o st o – T ar e fa 5 – C o m p ra d e u m c ar ro – S e n si b ili za ç ão p ar a a e xi st ê n c ia d o n ú m e ro d e N e p e r. TEMA CONTEÚDOS Intr o d u ç ão P ri m e ir as S it u aç õ e s Ju ro s im p le s Ju ro C o m p o st o T ax a d e j u ro
TEMA 3
MODELOS FINANCEIROS (CONT.)
PLANIFICAÇÕES INDICAÇÕES METODOLÓGICAS – Tra b al h o d e g ru p o . OBJECTIVOS GERAIS E COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER – P e sq u is ar , s in te ti za r, r e c o lh e r in fo rm aç ão e e xp o r. AVALIAÇÃO – O b se rv aç ão . – A p re se n ta ç ão d e sí n te se s e la b o ra d as e m s al a d e a u la . RECURSOS – R e v is ta s. – S it e s. – M an u al . TPC – L e it u ra d as p ág in as 2 4 7 a 2 5 3 . – P ro p o st as d e T ra b al h o d a p ág in a 2 5 4 . – A n ál is e d e a rt ig o s c o m o , p o r e xe m p lo : d e st aq u e s d o IN E , M ar k te st , D in h e ir o & D ir e it o s… ACTIVIDADE LECTIVA 8 .ª e 9 .ª a u la s – T ar e fa 6 – A e v o lu ç ão d o s lu c ro s – T ar e fa 7 – A e v o lu ç ão d o s p re ç o s – A n ál is e d e o u tr as si tu aç õ e s se le c c io n ad as p e lo p ro fe ss o r o u p e lo s al u n o s c o m o : p ag am e n to d e p re st aç õ e s n o e m p ré st im o à h ab it aç ão , c o n ta s p o u p an ç a-re fo rm a, e n tr e o u tr o s. 1 0 .ª a u la – R e so lu ç ão d e si tu aç õ e s p ro b le m át ic as fi n ai s. – A p lic an d o d as p ág in as 2 5 5 e 2 5 6 . TEMA CONTEÚDOS In fl aç ão e Ín d ic e s © A R E A L E D IT O R E S
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OUTRAS
LEITURAS
© A R E A L E D IT O R E S AEMACS10CP-02A
ROGÉRIO ALVES CONQUISTA ORDEM DOS ADVOGADOS
O novo bastonário da Ordem dos Advogados chama-se Rogério Alves, tem 43 anos e pre-sidia ao Conselho Distrital de Lisboa, cargo que conquistara na lista do bastonário ces-sante, José Miguel Júdice. Eleito com 5849 votos, teve uma vantagem de apenas 919 votos sobre António Marinho, cuja lista se apresentava apenas ao Conselho Geral.
António Marinho, que fez parte da Comissão dos Direitos Humanos, da qual foi afastado por Júdice devido a críticas aos magistrados, ficou em segundo lugar, com 4930 votos, per-dendo em Lisboa. João Correia, que era vice-presidente do Conselho Geral cessante, ficou em terceiro lugar, recolhendo o apoio de 4574 eleitores.
O novo bastonário promete “um mandato de inovação, de referência positiva e com uma jus-tiça mais rápida e eficaz”. Do novo Governo, espera um inventário dos problemas da Jusjus-tiça e uma reforma do sector a “sério e sem demagogia”.
Comentando os resultados, João Correia, citado pela Lusa, fala em “derrota e enfraqueci-mento da advocacia”, mas António Marinho assume o vencedor como seu bastonário. “O que se reflectiu nestas eleições foi a revolta de uma advocacia descamisada. A minha candidatura era a candidatura de defesa da advocacia e venceu a anti-Ordem, o movimento contra a advocacia, contra a Ordem, contra os juízes, contra o Governo, contra tudo”, afirmou João Correia.
O vencedor não tinha um programa consistente, numa altura em que “a organização judiciá-ria atingiu o limite, estando mal, muito mal, sendo impossível estar pior”, acrescentou. Apesar de ter transmitido a Rogério Alves os “parabéns sentidos”, declarou “Admirar-me-ei muito se ele conseguir dar a volta a isto”.
António Marinho afirmou que Rogério Alves é o bastonário de todos os advogados e ofere-ceu-lhe toda a colaboração, mas continuará a ser “crítico em relação ao que está mal”. “Eu ganhei o país, ele ganhou Lisboa”, onde vota a maior parte dos advogados inscritos, disse Marinho. “Espero que ele tenha uma visão dos problemas da advocacia em todo o país e não apenas de Lisboa”, onde foi o mais votado.
Lista A ganha em Lisboa e perde Conselho do Porto
A lista de Rogério Alves (A) também venceu as eleições para o Conselho Superior, que será presidido por Luís Laureano Santos, e para o Conselho Distrital de Lisboa (Raposo Subtil), mas perdeu no Porto para a lista D (Rui da Silva Leal (filho). Nos outros distritos, foram eleitos Francisco Rodeiro (lista I, de duas), em Coimbra; Carlos D’Almeida (lista única), em Évora; António Cabrita (única), em Faro; Sérgio Rebelo (única), na Madeira; e Eduardo Vieira (única), nos Açores.
Jornal de Notícias, 5 de Dezembro de 2004 OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E S
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B
ENSAIO SOBRE A LUCIDEZ
O escritor português José Saramago, Prémio Nobel da Literatura, publicou em 2004, o livro “Ensaio sobre a Lucidez”, onde aborda a questão do voto em branco.
Na acção deste livro, sem razão aparente os eleito-res da capital de um país democrático, decidem tá-cita e maioritariamente usar o voto em branco para protestar contra o sistema político e os políticos que o sustentam. Fica reduzida a percentagem de votos
nos partidos que concorrem às eleições, para uns insignificantes 17% no seu total, e ergue-se uma maioria de 83% de votos em branco. Resposta do poder: os eleitores da capital estão a subverter o sistema democrático. O voto em branco, apesar de ser um direito concedido na lei eleitoral, é repudiado por, massivamente, atentar contra a democracia. A cidade é então sitiada, é-lhe retirado o estatuto de capital, pelo que o poder político migra para outra cidade, até que o governo possa dar fim a tal subversão e encontrar os culpados.
O que aconteceria se, na realidade, a percentagem de votos em branco viesse a alcançar tais proporções? Como reagiria o aparelho que se diz democrático? Como procederiam os partidos vendo que uma significante parte da população não acreditasse neles? O voto em branco é diferente da abstenção, porque esta pode demonstrar, por parte dos eleitores, não uma forma de contestação, mas uma imatura mentalidade política e/ou total desinte-resse e conformismo com a situação. O voto em branco seria um voto consciente, de alguém que quer dizer algo, e no caso, tratando em não escolher qualquer um dos que se candidatam a ser eleitos, com uma viva voz alertando de que algo, senão tudo, estaria errado no sistema chamado democrático.
Comentário de José Alexandre Ramos
OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E S
VIVA O FESTIVAL DA CANÇÃO!
Que competição mais justa, democrática e representativa pode haver do
que as eleições legislativas? Resultados matemáticos recentes mostram
que a resposta é… o Festival da Canção!
O leitor estará certamente farto de campanhas eleitorais e nauseado de ouvir expressões como «voto útil». E pensará com resignação que é um preço a pagar: afinal, as eleições livres e universais são a quintessência da democracia e o princípio de «um homem – um voto» a expressão máxima da igualdade entre os homens.
Nada pode haver, portanto, de mais justo do que os resultados das eleições – como até os vencidos terão sublinhado, provavelmente, com expressões como «em democracia o povo é soberano». Certo?
Errado.
O princípio, aceite hoje universalmente, de «um homem – um voto», conhecido por «vota-ção plural», não é o processo mais justo de proceder a uma elei«vota-ção. Pelo contrário: pode levar a gritantes injustiças, elegendo o candidato menos apoiado pelo eleitorado!
Estas afirmações nada têm de ideológico: são consequência de teoremas demonstrados por matemáticos e publicados na literatura científica. O leitor pode, de resto, substituir as eleições legislativas pelas do seu clube de futebol favorito, do administrador de condomínio ou do papa: as afirmações não se alteram.
Nada melhor para esclarecer estas afirmações surpreendentes do que um exemplo. Supo-nhamos que para um determinado cargo existem três candidatos, o Alberto, o Bernardo e a Catarina (daqui por diante designados, respectivamente, por A, B e C), e que o universo eleitoral é constituído por 12 pessoas. Cada eleitor tem a sua hierarquia de preferências entre A, B e C. Se um eleitor prefere A a B e, por outro lado, B a C, vamos designar as suas preferências eleitorais da forma A > B > C.
Suponhamos então que as ordens de preferência eleitoral dos votantes são as seguintes: para 5 dos eleitores, A > C > B; para 4 dos eleitores, B > C > A; para os restantes 3, C > B > A. De acordo com a regra «um homem um voto», cada eleitor vota na sua primeira preferên-cia. Resultado: o Alberto é eleito com uns confortáveis 42%. E com toda a justiça, pensa-mos.
No entanto, o que aconteceria se o Bernardo tivesse retirado a sua candidatura? O nosso sentido de justiça eleitoral leva-nos imediatamente a pensar que deve continuar a ser o Alberto o vencedor. Errado! Uma simples contagem mostra que, retirando-se o Bernardo, a Catarina ganha ao Alberto por 7 a 5 porque o Alberto é a primeira escolha para 5 votan-tes, mas a última para 7. É eleita a Catarina!
C
OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E S21
C
OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E SMais: nas outras eleições entre apenas dois candidatos, a Catarina vence o Bernardo por 8 a 4 e o Bernardo vence o Alberto por 7 a 5.
Estes resultados sugerem fortemente que os eleitores, no seu conjunto, encaram a Catarina como o melhor candidato, visto que ganha a todos os outros isoladamente, e o Alberto como o pior, visto que perde em comparação com qualquer dos outros.
Ironia do destino: é eleito o Alberto e a Catarina fica em último lugar! O resultado da esco-lha colectiva foi o menos desejado pela maioria dos próprios eleitores.
Este paradoxo eleitoral tem um único culpado: o processo de contagem dos votos. Ele mos-tra que a votação plural – «um homem, um voto» – pode, ao contrário do que é intuitivo, não reflectir fielmente as opções do eleitorado.
Estas observações não são novas. Pelo contrário: têm mais de duzentos anos. Tudo come-çou quando, em 1780, o matemático francês Jean-Charles Borda, cansado do que consi-derava serem más decisões eleitorais da Academia das Ciências, apresentou uma memó-ria sobre contagem de votos em eleições. Borda descreveu os defeitos do sistema «um homem um voto» (um dos exemplos que forneceu foi o acima descrito) e propôs um novo sistema, que demonstrou matematicamente ser mais justo. A Academia adoptou-o até cerca de 1800, altura cm que foi proibido por Napoleão (cuja fama não provém do seu amor à democracia).
O método proposto, conhecido hoje como «contagem de Borda», é simples. Em lugar de «um homem um voto», cada votante deve ordenar os candidatos por ordem de preferên-cia. Se há três candidatos, a primeira escolha do votante recebe dois pontos, a segunda um e a terceira zero. No final somam-se os pontos obtidos por cada um dos candidatos. Ganha quem tiver mais pontos.
É mais ou menos clara a superioridade deste método sobre a votação plural. Na contagem de Borda o voto retém a informação sobre todas as opções do eleitor. Na votação plural é apenas considerada a primeira preferência do eleitor; as suas outras opções são ignoradas. É, assim, natural esperar que a contagem de Borda retrate com maior fidelidade e precisão as preferências do eleitorado. Para retomar o exemplo acima, realizemos a eleição entre A, B e C utilizando a contagem de Borda. O resultado é de 15 pontos para a Catarina, 11 para o Bernardo e 10 para o Alberto. Fez-se justiça! A Catarina é eleita e o Alberto fica em último.
Esta questão, no entanto, é mais profunda do que parece. O matemático americano Kenneth Arrow desconhecia a ilustre linhagem deste problema quando, em finais dos anos 40, publicou, como parte da sua tese de doutoramento, um resultado surpreendente talvez o mais citado (e mal interpretado) resultado matemático relativo às ciências sociais.
Arrow considerou, em abstracto, todas as possíveis formas de eleição que satisfaçam três propriedades, das quais dificilmente se discorda. A primeira é a da liberdade: cada eleitor pode ordenar livremente os candidatos (desde que o faça transitivamente: se prefere A a B e B a C, então tem de preferir A a C). A segunda é a da unanimidade: se todos os eleitores preferem A a B, então A vence B nas eleições.
A terceira condição é a independência de alternativas irrelevantes: o resultado da hierarqui-zação colectiva de dois candidatos depende apenas dos candidatos em questão. Isto é, se o resultado colectivo é A > B > C, então o grupo deve preferir A a C independentemente de B ser ou não candidato. Esta condição elimina, portanto, a possibilidade de haver parado-xos eleitorais à la Borda, como o exemplo acima construído. Assim, por exemplo, o sistema de voto plural não a verifica.
Para assegurar uma eleição justa e livre de paradoxos basta, pois, encontrar um sistema que verifique estas condições e substituir o sistema de voto plural por ele.
No entanto, o resultado chocante demonstrado por Arrow é o seguinte: com três ou mais candidatos, o único sistema eleitoral (com resultados transitivos) que satisfaz estas condi-ções é aquele em que existe um eleitor fixo tal que o resultado da eleição coincide sempre com as suas preferências. Em português corrente: em que existe um «ditador».
O teorema de Arrow, que lhe valeu o Nobel da Economia em 1972, afirma que o único sis-tema eleitoral livre de paradoxos é… uma ditadura!
Jorge Buescu, O Mistério do Bilhete de Identidade e Outras Histórias, Crónicas das Fronteiras das Ciências, Gradiva, Lisboa 2001 (Adaptado) As autoras agradecem a gentil cedência deste texto a Jorge Buescu.
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OS ALGORITMOS DO BOLO-REI
«Quem parte e reparte, e não fica com a melhor parte, ou é tolo ou não tem arte», diz um ditado popular. É verdade: se a pessoa a fazer a divisão for também a que fizer a escolha, nada garante que um dos parceiros não fique prejudicado. Por isso, e para evitar que alguém se possa queixar do resultado da partilha, o melhor é proceder em duas etapas: um dos parceiros divide o bolo e o outro escolhe a sua fatia.
Desta forma, é do interesse do primeiro fazer a divisão da forma mais equitativa possível, pois se assim não acontecer, terá a certeza de ficar com o pior bocado. É uma sábia conjugação de situações, pois os dois parceiros, afinal ambos movidos pelo egoísmo, colaboram de forma a que nenhum fique prejudicado.
A história é muito conhecida e aplicada em várias situações do dia-a-dia, e não só na divisão de guloseimas entre crianças. O problema complica-se, contudo, se o bolo tiver de ser dividido entre mais do que dois parceiros. Como é que se há-de fazer se forem três, por exemplo? Ou se forem muito mais? E se tivermos um bolo-rei a dividir entre 20 pessoas igualmente gulosas?
O problema não é simples e os matemáticos têm vindo a desenvolver algoritmos para partilhas equi-tativas. Esses algoritmos, isto é, esses procedimentos sistemáticos de busca de uma solução, podem ter aplicações em áreas muito diversas, desde a partilha de heranças e divisão de obrigações pecu-niárias até às negociações de desarmamento ou ao estabelecimento de fronteiras entre países. O algoritmo «um parte, outro escolhe» pode aplicar-se a mais do que dois parceiros. Se tivermos quatro pretendentes a um bolo-rei, por exemplo, o algoritmo desdobra-se em duas etapas. Começam-se por agrupar os pretendentes ao bolo em dois grupos, com dois elementos em cada grupo. Um dos grupos divide o bolo em duas partes e o outro escolhe a sua metade. Na segunda etapa, cada par de gulosos divide a sua metade de bolo-rei ao meio, seguindo de novo o processo de um partir e o outro escolher.
É fácil ver que este método pode funcionar igualmente para oito pessoas ou, em geral, para potências de dois. Mas já não é tão simples encontrar uma solução no caso de haver três pes-soas. Pensando bem, consegue-se arranjar um método que funcione nesse caso. Quer o leitor dar uma sugestão?
Os matemáticos, contudo, não gostam de soluções que apenas funcionam para casos particula-res, pelo que têm procurado algoritmos mais gerais. O ideal seria encontrar um método que fun-cionasse com qualquer número de pessoas. Um desses métodos, proposto pelos matemáticos polacos Stefan Banach (1892-1945) e Bronislaw Knaster (1893-1980), resolve o problema com qualquer número de parceiros. É o chamado algoritmo da faca deslizante. Este caso é mais fácil de perceber com um bolo sobre o comprido, como um bolo inglês.
Os diversos pretendentes às fatias do bolo reúnem-se à sua volta enquanto uma pessoa, possi-velmente um deles, pouco importa, começa a deslizar a faca sobre o bolo, a partir de um dos lados. Vai-se progredindo com a faca até que um dos parceiros diga «Pára!». Nesse momento, pára-se a faca e corta-se uma fatia, que é entregue a quem falou. O parceiro em causa fica assim com uma parte que considera ser, pelo menos, uma fracção justa do bolo – se pensasse OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E S 23
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que a faca não tinha ainda chegado a essa fracção justa, não a teria reclamado. Os outros, por seu lado, vêem o bolo ser diminuído do que consideram ser inferior ou igual a uma fracção justa – se algum deles achasse que a faca tinha já ultrapassado o momento certo, deveria ter recla-mado a fatia correspondente.
Depois de o primeiro parceiro ter recolhido a sua fatia, este afasta-se do jogo, enquanto a faca continua a deslizar, até que um dos restantes parceiros diga «Pára» e recolha a sua fatia. O pro-cesso repete-se até restarem apenas dois parceiros. Nessa altura, o primeiro a falar é o que fica com a fatia reclamada e o último fica com o restante. O interessante neste processo é que, mesmo admitindo a falibilidade de cada uma das pessoas, nenhuma delas pode reclamar que está a ser prejudicada. Se o está, é por sua culpa, pois não terá falado a tempo, ou terá falado cedo demais, sem a isso ninguém a ter obrigado.
Este método parece perfeito, mas deixa de fora alguns casos interessantes. Funciona para um bolo homogéneo, mas funcionará para um bolo com constituintes diversos e irregularmente distri-buídos, como é o caso do bolo-rei? Será possível arranjar um algoritmo em que todos fiquem com igual quantidade de abóbora cristalizada, de pinhões, de passas e de massa? A resposta a esta questão foi dada por um teorema que o matemático polaco Hugo Steinhaus (1887-1972) demonstrou nos anos 40 e que veio a ser conhecido pelo curioso nome de Teorema da Sanduí-che de Fiambre. Considere-se um objecto tridimensional com três componentes, por exemplo, uma sanduíche com pão, queijo e fiambre – pouco importa que esses componentes estejam bem ou mal distribuídos, que se concentrem em lados diferentes ou que estejam uniformemente espalhados. O que esse resultado prova é que há sempre um plano que divide o objecto em duas partes, de tal maneira que cada uma delas contenha igual quantidade dos três componentes. Ou seja, mesmo que o fiambre e o queijo estejam mal espalhados, há sempre uma maneira de cor-tar a sanduíche em dois bocados rigorosamente iguais.
Quando se considera um objecto bidimensional, já a partição equitativa apenas funciona com dois componentes. Suponha-se que se espalha sal e pimenta numa mesa, por exemplo. O teo-rema de Steinhaus mostra que há sempre uma recta que divide a superfície da mesa em duas partes que têm iguais quantidades de sal e de pimenta. Se houver três ingredientes, suponhamos sal, pimenta e açúcar, é fácil de imaginar uma concentração em três locais diferentes de tal forma que não haja linha recta que faça a partição de forma equitativa. De forma geral, o teo-rema diz que em «n» dimensões há sempre um hiperplano que divide simultaneamente ao meio «n» componentes. Como parece que vivemos a três dimensões e o bolo-rei tem muito mais que três constituintes, ficamos a saber: não há faca que os reparta todos equitativamente.
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OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E SLITERACIA ESTATÍSTICA
Pensar à maneira da Estatística será um dia tão necessário para o cidadão eficiente como a habilidade de ler e escrever
G. Wells
Introdução
Quando, há algum tempo atrás, a palavra literacia surge no nosso vocabulário, embora não necessa-riamente no nosso dicionário, o seu significado é fundamentalmente o seguinte: capacidade do in-divíduo para ler, escrever e falar na sua língua materna, efectuar cálculos e resolver problemas do dia-a-dia, de forma a cumprir as tarefas que lhe são exigidas tanto no emprego como na so-ciedade. Numa sociedade em transformação e desenvolvimento, cada vez mais exigente com o cidadão, que vive constantemente exposto a grandes massas de informação, é natural que o conceito de literacia também tenha evoluído. No estudo internacional PISA (Programme for
Inter-national Student Assessment), levado a cabo em
29 países da OCDE, considerado o maior estudo sobre as competências dos alunos que terminam a escolaridade obrigatória e de que resultou o vo-lume Measuring Student Knowledge and Skills:
The PISA 2000 Assessment of Reading, Mathe-matical and Scientific Literacy, o conceito de
lite-racia aparece de forma mais abrangente e mais exigente, destacando já três vertentes específicas (literacia em leitura, literacia matemática e litera-cia científica) que, citando o dito estudo, têm as definições que a seguir se apresentam:
Literacia em Leitura — A capacidade de
com-preender, usar e reflectir sobre textos escritos, com o fim de atingir os nossos objectivos, desenvolver conhecimentos e potencialidades, e participar na sociedade.
Literacia Matemática — A capacidade do
indiví-duo identificar, compreender, e de se ocupar da Matemática, de ter opiniões bem fundamentadas sobre o papel que a Matemática desempenha, como se torna necessário na sua vida presente e futura, na vida profissional, na vida social com os seus pares e familiares, para viver como um cida-dão construtivo, interessado e ponderado.
Literacia Científica — A capacidade de usar
co-nhecimentos científicos, de identificar problemas e
de tirar conclusões baseadas em evidências para compreender e tomar decisões sobre o mundo natural e as mudanças que lhe são impostas pela actividade humana.
Vários autores, ver Steen (1997, 2001), falam de li-teracia quantitativa, também designada por nume-racia, e uma definição em voga (Steen, 2001) é: Literacia Quantitativa — Um conjunto de
compe-tências, conhecimentos, convicções e predisposi-ções, hábitos mentais, capacidades de comunica-ção e jeito para resolver problemas que as pessoas precisam para enfrentar de maneira eficaz situa-ções envolvendo quantidades que surgem na vida e na actividade profissional.
Para que se perceba bem o que é literacia quan-titativa há o cuidado de fazer a distinção entre li-teracia quantitativa e Matemática, a Matemática que se ensina nos cursos tradicionais. Esta é uma disciplina, com um programa, cujo objectivo é a aplicação de ideias abstractas ao estudo da rela-ção entre objectos ideais. A literacia quantitativa ocupa-se de problemas concretos relativos a ob-jectos ou acontecimentos reais que surgem em contextos determinados. A literacia quantitativa dá ao cidadão a capacidade de interpretar infor-mação quantitativa de natureza muito diversifi-cada, o que é hoje uma necessidade permanente para a tomada de decisões correctas em pratica-mente todas as actividades da vida corrente. Trata-se mais de uma linguagem do que uma disciplina. Representa um novo tipo de formação e por isso é natural que outros métodos de en-sino e aprendizagem, que não os tradicionais, se-jam mais adequados para se conseguirem os objectivos para que ela aponta. A literacia quan-titativa não dispensa naturalmente conhecimen-tos de matemática, e muito menos dispensa a Estatística, aquela parte que se ocupa dos pro-blemas ligados a situações de incerteza. Contudo não parece ser com programas (de matemática ou de estatística) mais vastos ou mais exigentes que o ensino tradicional leva o estudante a
me-lhorar a sua literacia quantitativa. O progressivo desenvolvimento da Estatística e a crescente ne-cessidade de conhecimentos estatísticos para enfrentar situações da vida real, levaram à intro-dução da literacia estatística, à semelhança do que aconteceu com a literacia matemática, exi-gida por uma “quantização” cada vez mais acen-tuada da sociedade. Como é referido em Moore (1997), Anne Hawkins define assim a ideia de lite-racia estatística:
Na sua expressão mais simples, literacia estatística pode ser interpretada como uma habilidade de in-teragir eficazmente num ambiente de incerteza (não determinístico).
Uma interpretação vaga, mas na qual faz sentido incluir a situação mais concreta que é o frequente contacto com dados e a necessidade da sua análise. Um aspecto fundamental na literacia es-tatística é compreender e usar o raciocínio esta-tístico. Note-se que o tipo de raciocínio estatístico é diferente do raciocínio matemático e a educa-ção estatística não se pode restringir a uma visão da estatística simplesmente como um ramo da matemática (Vere-Jones, 1995). O tipo de raciocí-nio matemático, eminentemente um raciocíraciocí-nio ló-gico, em que as proposições ou são verdadeiras ou falsas, não é compatível com o tipo de raciocí-nio estatístico, em que tratamos com proposições que não podemos dizer que são verdadeiras nem tão pouco falsas, estando numa situação de in-certeza, que pode ser quantificada através da probabilidade:
Verdadeiro? Incerteza
Falso?
Esta situação de incerteza acompanha-nos no nosso dia-a-dia, nas mais variadas situações. A educação estatística tem uma dimensão dife-rente das áreas normalmente consideradas como ramos da Matemática, como por exemplo a Geo-metria, a Análise e a Álgebra, pelo seu envolvi-mento directo com o estudo de outras ciências como as ciências médicas e afins, ciências políti-cas e ciências sociais. É importante ensinar um médico, um sociólogo, um técnico da indústria farmacêutica e todos aqueles que fazem uso da Estatística a utilizá-la correctamente. A utilização incorrecta desta ciência pode levar a decisões
er-radas com consequências negativas quer para o desenvolvimento das outras ciências quer para o desenrolar da vida do cidadão comum. E, como refere Chatfield (1991), em Estatística é possível cometer erros com maior frequência do que em outras ciências, especialmente pelos não especia-listas. Em seguida apresentam-se alguns casos de análises estatísticas que podem levar a inter-pretações e decisões incorrectas quando não se conhecem bem os conceitos estatísticos.
Reflexo de iliteracia estatística
Esta preocupação com a educação estatística, tem levado à introdução de alguns conceitos bá-sicos de Estatística e Probabilidade no ensino ob-rigatório e pré-universitário de alguns países, nos quais se inclui Portugal. Não nos iludamos, no en-tanto, com as facilidades por vezes apregoadas de que estas noções são meras questões de “bom senso” ou do “senso comum” que não tra-zem nada de novo e que não precisam de ser en-sinadas. O certo é que elas são necessárias ao ci-dadão comum na condução da sua actividade diária e o seu desconhecimento pode acarretar graves inconvenientes e prejuízos. Por isso não es-tamos de acordo com aquela corrente simplista e desactualizada e apresentamos a seguir algumas situações simples, mas que surgem com dema-siada frequência para serem ignoradas e às quais é preciso responder com sabedoria.
A média enganadora
A média é largamente utilizada para sintetizar a informação contida num conjunto de dados. Tra-tando-se de uma redução tão drástica, é neces-sário acautelar as situações em que a informação que ela transmite não tem qualquer utilidade ou é falsa. O exemplo que se segue é ilustrativo. Numa região começaram a aparecer pessoas com uma doença desconhecida, tendo os médicos do cen-tro de saúde recolhido informação sobre 35 des-ses doentes, escolhidos aleatoriamente, e con-cluído que a média das idades era 32 anos. Conjecturou-se que se tratava de uma doença atacando os adultos jovens. Um médico mais cu-rioso, sabedor que a média nem sempre é uma boa medida para resumir a informação contida nos dados, pediu que lhe fornecessem as idades dos 35 doentes seleccionados, com os quais construiu a seguinte representação em
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OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E S-folhas: através da representação da Tabela 1, foi possível concluir que afinal a doença estava a atacar as crianças e as pessoas da terceira idade.
A utilização incorrecta do coeficiente de correlação O coeficiente de correlação é largamente utilizado, nomeadamente na comunicação social, para ex-primir o maior ou menor grau de associação entre duas variáveis. Nem sempre o uso do coeficiente de correlação é feito de forma correcta, sobretudo se não forem tomadas certas precauções. Veja-se o seguinte exemplo. Um professor decidiu registar as notas que os seus alunos tinham tido em dois testes, para averiguar se se teria verifi-cado consistência entre os resultados dos dois testes, no sentido que um aluno que tenha tido boa (má) nota no primeiro teste, também tenha tido boa (má) nota no segundo teste. Calculou o coeficiente de correlação e ficou desapontado com o valor obtido, 0,04! Resolveu fazer a repre-sentação gráfica dos dados, sob a forma de um diagrama de dispersão e obteve o Gráfico 1.
A representação mostra uma associação linear, quase perfeita, entre os dados, havendo um único valor a fugir desse padrão. Se for retirado o ele-mento discrepante que aparece no gráfico, já o coe-ficiente de correlação assume o valor 0,9997. O exemplo anterior chama a atenção para alguns problemas que podem surgir quando a interpreta-ção do coeficiente de correlainterpreta-ção não é acompa-nhada de uma representação prévia dos dados. Frequentemente também se esquece que o que o coeficiente de correlação mede é o grau de associa-ção linear entre duas variáveis pelo que, perante um valor deste coeficiente perto de zero, haverá tendên-cia para dizer que as variáveis não se assotendên-ciam, quando na realidade pode existir uma forte ção não linear. Por outro lado, ao detectar associa-ção entre duas variáveis, nem sempre se toma o de-vido cuidado com a interpretação que se dá a esta associação. Efectivamente, nem sempre a existência de associação entre duas variáveis significa uma re-lação de causa-efeito. Pode haver outras variáveis, relacionadas com as variáveis em estudo, o que acontece com frequência, que provoquem essa as-sociação, como se exemplifica a seguir. Para um conjunto de 22 países registou-se o número de pes-soas por aparelho de televisão (pes/TV), assim como o tempo médio de vida (tmv), tendo-se obtido os valores que se apresentam na Tabela 2 (Ros-sman e Chance, 2001). A representação dos pontos de coordenadas (Pes/TV, tmv) num diagrama de dispersão permite-nos concluir da existência de uma associação linear negativa, com alguma inten-sidade, isto é, existe tendência para que quanto me-nor for o número de pessoas por aparelho de TV, maior será o tempo médio de vida. Só por graça é que se poderia dizer que um modo de aumentar o tempo médio de vida, seria aumentar o número de aparelhos de TV! É evidente que a associação nega-tiva encontrada se deve à presença de uma terceira variável, que podemos denominar por “nível de vida”, que influencia as variáveis observadas. Assim, uma regra básica a ter em linha de conta, quando se tra-balha com o coeficiente de correlação ou a recta de regressão, é efectuar a representação prévia dos dados, num diagrama de dispersão.
O gráfico com eixos inapropriados
Se é bem verdade que um gráfico vale mais do que mil palavras, nem sempre esta “máxima” deve ser seguida, pois podemos estar perante gráficos enganadores.
É uma situação que se verifica, nomeadamente, quando os eixos desses gráficos não são escolhi-dos convenientemente, quer devido a uma má es-colha das escalas num ou mais eixos, quer devido à truncatura do eixo das frequências, isto é, fi-xando o início da escala nesse eixo num valor su-perior a zero. Os dois exemplos que se seguem esclarecem estes dois problemas.
Suponha que o número de acidentes, por mês, no IP5, foi, no período de Setembro de 1997 a Ja-neiro de 1998, o seguinte: 8, 9, 12, 13 e 12. Dois jornais hipotéticos apresentaram representações gráficas para transmitirem a informação anterior (Gráficos 2 e 3).
Como comentário, podemos dizer que um dos jor-nais tentaria dramatizar o problema.
O segundo exemplo (Gráfico 4) refere-se ao resul-tado de uma sondagem relativa às recentes elei-ções para o novo líder da Juventude Socialista. Os resultados da sondagem (Jornal Expresso Nº 1547 de 22 de Junho de 2002) indicam 215 votos (51%) para Jamila Madeira e 208 votos (49%) para Filipe Costa. A notícia relativa a este evento, propositadamente intitulada “Ilusão de óptica”, apresenta um gráfico, (…) que faz explodir uma di-ferença muito reduzida (7 votos, cerca de 2%), en-tre os desempenhos dos dois candidatos, numa vi-tória (ou derrota) verdadeiramente impressionante.
O próprio jornalista justifica assim a habilidade do gráfico em transmitir informação deturpada: “O truque para que o resultado de Jamila apareça com o dobro de tamanho da coluna de Filipe foi utilizar, não as percentagens (51% a 49%), mas o número de respostas (215 a 208), e ao desenhar o gráfico, não começar a partir do 0, mas do 204, mostrando apenas o topo da votação. Indepen-dências?!!”
Na verdade o truque está, unicamente, na escolha da escala e não no facto de se utilizarem frequên-cias absolutas ou relativas.
Alguns problemas com o cálculo de probabilidades Assim como se podem cometer erros básicos em Estatística, o mesmo acontece em Probabilidades. Os exemplos seguintes pretendem ilustrar situa-ções probabilísticas em que é comum isso acon-tecer, já que:
• A intuição é muitas vezes enganadora;
• Em muitas situações uma análise correcta de-pende da identificação de resultados igualmente possíveis (prováveis…), o que nem sempre é fácil. Se perguntar numa turma de alunos qual das se-quências MFFMFM, MMMMFM, é mais provável
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OUTRAS LEITURAS © A R E A L E D IT O R E Sde ocorrer, no nascimento de 6 crianças, onde re-presentamos por M o nascimento de rapaz e F de rapariga e admitimos igual probabilidade para o nascimento de rapaz e rapariga, terá dúvida de que a esmagadora maioria responde MFFMFM? No entanto os dois acontecimentos têm a mesma probabilidade, .
Se repetir a experiência que consiste em lançar ao ar 6 moedas e deixar cair as moedas sobre uma mesa, experimente perguntar numa turma de alunos o que é mais provável obter:
a) 2 caras e 4 coroas
( )
b) 3 caras e 3 coroas( )
c) 5 caras e 1 coroa( )
Provavelmente a maior parte dos alunos escolhe-ria a resposta correcta b), mas sem ser pela razão certa!
Se numa turma com 30 alunos encontrar 2 alu-nos a fazer aalu-nos no mesmo dia, poderá pensar tratar-se de uma rara coincidência. Efectivamente um resultado que vai contra a intuição é que bas-tam 23 pessoas para que a probabilidade de ha-ver pelo menos duas a fazer anos no mesmo dia seja superior a 50% (Graça Martins et al, 1999a)! Atente-se na seguinte notícia (Rasfeld, 2001): “Nestes últimos meses, milhares de crianças americanas têm estado a escrever cartas para os soldados americanos estacionados no Golfo Pér-sico, seus desconhecidos, para lhes mostrar que eles não foram esquecidos no seu país. Em geral o endereço é: ‘Para um soldado’. O sargento Rory Lomas, de 27 anos de idade, natural de Savannah, na Georgia, recebeu uma tal carta na Arábia Saudita. E por pura coincidência: ‘a carta para um soldado’ foi escrita pela sua própria filha Cetericka de 10 anos de idade. Perante este relato, pensa-mos que uma situação destas só pode ser devida a intervenção divina! A probabilidade de isto acontecer deve ser extremamente pequena, diz --nos a nossa intuição. Mas mais uma vez a nossa intuição nos enganou. Efectivamente a situação descrita é uma versão do conhecido problema dos encontros, que pode ser formulado como se explica já a seguir (Graça Martins, et al. 1999a). Uma secretária distraída tinha n cartas para
en-viar a outros tantos destinatários. Meteu aleatoria-mente as cartas dentro dos envelopes, sem tomar atenção aos nomes. Qual a probabilidade de pelo menos uma pessoa receber a carta que lhe era dirigida? O valor para esta probabilidade é aproxi-madamente 0,63, aproximação que já se obtém para n = 4.
Componentes da formação de uma pessoa estatis-ticamente literada
Não é pacífico enumerar as componentes da for-mação exigida pela literacia estatística, já que a própria definição deste conceito não está propria-mente estabelecida. Podemos, no entanto, indicar alguns requisitos básicos que se consideram ne-cessários para que o cidadão possa cumprir o que dele se espera numa sociedade de números e quantidades (Gal, I., 2002):
• Perceber a necessidade de trabalhar com dados (compreendendo que dados não são unica-mente números, mas números inseridos num determinado contexto), conhecendo a sua pro-veniência e a forma de os produzir;
• Estar familiarizado com os termos e ideias bási-cas de Estatística Descritiva, nomeadamente métodos (medidas, tabelas e gráficos) para re-duzir a informação contida nos dados;
• Compreender noções básicas de Probabilidade; • Entender o mecanismo do processo inferencial,
ao tomar decisões estatísticas.
O primeiro tópico considerado, o da origem e pro-dução de dados, é por vezes relegado para se-gundo plano, sendo no entanto crucial em qual-quer procedimento estatístico. Para realçar a importância desta fase consideremos, por analo-gia, o que se passa quando se realiza um cozi-nhado (Graça Martins e Cerveira, 1999b). Co-meça-se por seleccionar os ingredientes, que serão depois manipulados de acordo com deter-minada receita. O resultado pode ser desastroso, embora de aspecto agradável. Efectivamente se os ingredientes não estiverem em condições, re-sulta um prato de aspecto semelhante ao que se obteria com ingredientes bons, mas de sabor in-tragável. Se os dados não forem “bons”, embora se aplique a técnica correcta, o resultado pode ser desastroso, na medida em que se pode ser levado a retirar conclusões erradas. Ficaram célebres e hoje em dia ainda se verificam, antecipações de 1 26 15 26 20 26 6 26
