BRADY, B.H.G.; BROWN, E.T. Rock mechanics for underground mining - 3rd edition. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Netherlands, 628 pp., 2004. BROWN, E.T. Block caving geomechanics, 1st edn, Julius Kruttschnitt Minerals Research Centre, The University of Queensland, Brisbane, p. 245-292, 2003. BROWN, E.T. Geomechanics: The critical engineering discipline for mass
mining. In Proceedings of MassMin 2004, A. Karzulovic and M. Alvaro (eds),
22–25 August, Santiago, Chile, Instituto de Ingenieros de Chile, Santiago, p. 21-36, 2004.
BROWN, E.T; FERGUSON, G.A. Prediction of Progressive Hanging-Wall Caving, Gath´s Mine, Rhodesia, Trans. Inst. Min. Metall., v. 88, p. A92-A105, 1979.
BULL, G.; PAGE, C.H. Sublevel caving – today’s dependable low cost ore
factory. In Proceedings of MassMin 2000, G. Chitombo (ed), AusIMM,
Brisbane,Queensland, Australia Australasian Institute of Mining and Metallurgy, Carlton, p. 537-556. 2000.
CHITOMBO, G.P. Cave mining - 16 years after Laubscher’s 1994 paper “Cave mining - state of the art”, Y. Potvin (ed.), in Proceeding of Second International Symposium on Block and Sublevel Caving, 20-22 April 2010, Perth, Australian Centre for Geomechanics, Perth, p. 45-61, 2010.
CUNDALL, P.A. A computer model for simulating progressive large scale
movements in blocky rock systems, ISRM Symposium, Nancy, France, Proc. 2,
p. 129-136, 1971.
CUNDALL, P.A.; STRACK, O.D.L. Discrete numerical-model for granular assemblies. Geotechnique, v. 29, n.1, p. 47-65, 1979.
DA SILVA, J.M. Estudo do Fluxo de Material Fragmentado na Mineração
Subterrânea, com o uso de Modelos Físicos. Tese de Doutorado em Engenharia
Metalúrgica e de Minas da Universidade Federal de Minas Gerais, 209 pp., 2005.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
78
ELMO, D.; VYAZMENSKY, A.; STEAD, D.; ROGERS, S. Innovative
Numerical Modelling in Geomechanics. Roberto Azevedo (ed). CRC Press. pp.
355–371, 2012
GILBRIDE, L.J. Modeling Block Cave Subsidence at the Molycorp, Inc., Questa Mine - A Case Study Agapito Associates, Inc., Grand Junction, Colorado, USA, 14 pp., 2005.
GOODMAN, R.E. Introduction to Rock Mechanics. 2nd Ed., John Wiley & Sons, New York, 562 pp., 1989.
HAMRIN, H. Underground mining methods and applications. Underground mining methods: Engineering fundamentals and international case histories, eds. Hustrulid W.A. and Bullock R.L., SME, Littleton, Colorado, p. 3-14, 2001. HARTMAN, H.L. Mining Engineering Handbook.- Society for Mining, Metallurgy, and Exploration, Inc. SME Littleton, Colorado. Chapter 20.2 p. 1789 -1814,1992.
HENRY, E.; MAYER, C.; ROTT, H. Mapping mining induced subsidence
from space in a hard rock mine: example of SAR interferometry application at Kiruna mine. CIM . Bulletin,97, No. 1083, p. 1-5. 2004.
HENRY, E.; DAHNÉR-LINDQVIST, C. Footwall stability at the LKAB’s
Kiruna sublevel caving operation, Sweden. Proceedings MassMin 2000,
Brisbane, Ed. G. Chitombo, Australasian Institute of Mining and Metallurgy, p 527-533. 2000.
HERDOCIA, A. Hanging Wall Stability of Sublevel Caving Mines in Sweden, Doctoral Thesis. Luleå University of Technology, Division of Rock Mechanics, 138 pp. 1991.
HOEK, E. Progressive Caving Induced by Mining an Inclined Orebody, Trans.
Inst. Min. Metall., v. 83, p. A133-A139, 1974.
HUSTRULID, W. Method selection for large scale underground mining. In Massmin 2000, ed. G. Chitombo, AusIMM, Melbourne, p. 29-56, 2000.
ITASCA CONSULTING GROUP INC. PFC2D Particle Flow Code in 2
Dimensions. Version 4.0. Minneapolis, 2008.
KARZULOVIC, A.L. Evaluación del ángulo de ruptura que definirá el Cráter
de Subsidencia del ii panel, Informe Técnico de Ingeniería y Geotecnia Ltda.
para División Andina de Codelco-Chile, 1990.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
KVAPIL, R. Sublevel caving. In SME mining engineering handbook, Society for Mining, Metallurgy and Explorations, New York, p. 1789-1814. 1992.
LUPO, J.F. Evaluation of deformations resulting from mass mining of an
inclined orebody. Doctoral Thesis, Colorado School of Mines. 1996.
LUPO, J.F. Large-Scale Surface Disturbances Resulting from Underground Mass Mining, Int. J. Rock Mech. Min. Sci., v. 35, Paper Nº 25, p. 4-5, 1998.
POTYONDY, D.O; CUNDALL, P.A. A bonded-particle model for rock. Int. J.
Rock Mech. Min. Sci., v. 41, p. 1329-1364, 2004.
SANDVIK GROUP. Sublevel caving animation, 2004.
SAINSBURY, D.P. Analysis of River Bed Cracking Above Longwall
Extraction Panels in the Southern Coalfield of New South Wales, Australia.
in SHIRMS 2008 (Proceedings, 1st Southern Hemisphere International Rock Mechanics Symposium, Perth, Western Australia) Y. Potvin et al., Eds. Australian Centre for Geomechanics, v. 1, p. 325-338, 2008.
SHIRZADEGAN, S. Effect of geological structures on the subsidence of the
Kiirunavaara hangingwall: Field data collection-Numerical analysis. Master
Thesis. Department of Civil, mining and Environmental Engineering, Division of Mining and Geotechnical Engineering. Luleå University of Technology, 2009. SINGH, U.K.; STEPHANSSON, O.J.; HERDOCIA, A. Simulation of progressive failure in hangingwall and foot wall for mining with sublevel caving. Trans.
Instn. Min. Metall, v. 102, p. A188-A194, 1993.
SMITH, M. Mining in Steep Orebodies, In: Underground Mining Methods First Edition, Atlas Copco, p. 23-28, 2003.
SJÖBERG, J. Analysis of large scale rock slopes. PhD thesis. Luleå University of Technology, Luleå. Sweden, 1999.
SZWEDZICKI, T. Sinkhole formation over hard rock mining areas and its
risk implications. Transactions of the Institution of Mining and Metallurgy, 108,
Section A, Mining Industry, p. A27-A36, 1999.
VYAZMENSKY, A. Numerical modelling of surface subsidence associated
with block cave mining using a finite element/discrete element approach.
Doctoral dissertation, Dept. of Earth Sciences-Simon Fraser University, 2008. VILLEGAS, T. Numerical Analyses of the Hangingwall at the Kiirunavaara
Mine. Licentiate Thesis 2008:11, Division of Mining and Geotechnical
Engineering, Luleå University of Technology, Sweden, 2008.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
80
VILLEGAS, T. Time Dependent Deformation Behaviour of the Hangingwall
at the Kiirunavaara Mine and its Effect on the Railway. Department of Civil,
Mining and Environmental Engineering Division of Mining and Geotechnical Engineering, Luleå, University of Technology SE-971 87, Luleå, Sweden, 115 pp., 2009.
VILLEGAS, T. & NORDLUND, E. Numerical analysis of the hangingwall
failure at the Kiirunavaara mine. In: Proc. 5th International Conference and
Exhibition on Mass Mining (MassMin2008). Lulea. Sweden.Lulea University of Technology Press.Lulea. Sweden. p. 1073-1082, 2008.
VILLEGAS, T. & NORDLUND, E. Numerical simulation of the hangingwall
subsidence using PFC2D. In: Proc. 5th International Conference and Exhibition
on Mass Mining (MassMin2008). Lulea, Sweden. p. 907-916, 2008.
WANG, C.; TANNANT, D.D.; LILLY, P.A. Numerical analysis of the stability of heavily jointed rock slopes using PFC2D, International Journal of Rock
Mechanics & Mining Sciences, Elsevier, v. 40, p. 415-424, 2003.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
A.1. Lei de força-deslocamento
A força de contato partícula-partícula e partícula-parede ocorre só num ponto, que usa a abordagem de discos macios. Para o contato partícula-partícula, uma força adicional e momento proveniente da deformação do material cimentante representada por uma ligação paralela (parallel bond) também pode atuar em cada partícula (Fig. A-1). Esta secção só descreve o cálculo da força de contato proveniente do contato num ponto; o cálculo de ligação paralela
(parallel-bond) é referido em A.3. Modelos de cimentação.
A lei de força-deslocamento opera em um contato e pode ser descrita em termos do ponto de contato, , sobre um plano de contato e definida por um vetor unitário normal, . Para o contato partícula-partícula (Fig. 3-1a), o vetor normal é dirigido ao longo da linha entre os centros das partículas, para o contato partícula-parede (Fig. 3-1b), o vetor normal é dirigido ao longo da linha que define a distância mais curta entre o centro da partícula e a parede.
A sobreposição indica o deslocamento relativo de contato na direção normal é dada por:
= + − , (í − í)
− , (í − ) (A. 1) Em que # é o raio da partícula φ.
A localização do ponto de contato é dada por
= $ + % −1 2 ' , (í − í) + % −12 ' , (í − ) (A. 2) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
82
O vetor da força de contato ( pode ser decomposto em duas direções, um vetor normal e um componente cisalhante com relação ao plano de contato como:
( = (+ () (A. 3) Em que ( e () denotam o componente do vetor normal e cisalhante, respetivamente.
Figura A-1. Comportamento da forca-deslocamento do sistema de grão - cimento (modificado de Itasca ,2008).
O vetor normal da força de contato é calculado por:
(= + (A. 4) Em que + é a rigidez normal [força / deslocamento] no contato.
O movimento relativo do contato, ou a velocidade de contato Vi (que é definido como a velocidade da partícula B em relação à partícula A, no ponto de contato para o contato partícula-partícula, e é definida como a velocidade da parede em relação à partícula no ponto de contato para o contato partícula-parede) é dada por: V.= /x1.234− /x1.235 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
= 6x1.7348+ e.:;ω:73 48 /x;− x;73 48 2= − 6x1.7358+ e.:;ω:73 58 /x;− x;73 58 2= (A.5)
A velocidade de contato é resolvida em componentes normais e cisalhantes com relação ao plano de contato. Estes componentes são designados por ? e ?) para as componentes normais e de cisalhamento respectivamente, o componente cisalhante da velocidade de contato pode ser escrita como:
?)= ?− ? = ? − ?@@− ? (A. 6) O componente cisalhante do incremento do deslocamento cisalhante que ocorre num intervalo do tempo, ∆t (timestep), é calculado como:
Δ) = ?)Δ (A.7) e é usada para calcular o incrememto de força elástica cisalhante
Δ()= −D)) (A. 8) em que D) é denotado como a rigidez ao cisalhamento no contato (forca/deslocamento). A nova força de contato cisalhante é encontrada integrando o antigo vetor de força cisalhante existente no início do instante temporal (timestep) com o componente cisalhante do incremento da força cisalhante como: ()FG= H()IJKL + Δ() ≤ N . ( (A. 9) A nova força cisalhante de contato não deve ser maior do que a resistência de contato de cisalhante que é designado como N. ( e µ é o coeficiente de fricção no contato.
As forças normal e cisalhante do contato são determinadas pela fórmula (A.4) e (A.8), e adicionados à força e momento resultante existente das duas partículas em contato.
A.2. Lei do movimento
O movimento de uma partícula rígida é determinado pela força resultante e os vetores momento agindo sobre ele, e pode ser expressa em termos do movimento
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
84
de translação e o movimento de rotação da partícula. O movimento de translação do centro de massa é descrito pela sua posição, , velocidade P1 e aceleração, PQ , o movimento de rotação das partículas é apresentado em termos da sua velocidade angular, R e aceleração angular, RP1 .
A equação para o movimento de translação é calculada sob a forma do vetor: (= S(PQ − T) (SUVWS U XçãU) (A. 10) Em que Fi é a força resultante, m é a massa total da partícula e T indica o vetor de aceleração da força do corpo (por exemplo, a gravidade).
Para uma partícula esférica de raio R, a equação para o movimento de rotação pode ser escrito como:
\ = ]RP 1 = %25 S ^' (SUVWS U UçãU) (A. 11) As equações de movimento de translação (A.9) e movimento de rotação (A.10) são integradas usando um procedimento de diferenças finitas centradas envolvendo um intervalo de tempo (timestep).
A.3. Modelos de cimentação
Os modelos de contato no PFC2D permitem que as partículas sejam ligadas umas às outras nos pontos de contato, criando assim uma espécie de cimentação. Dois modelos de contato estão disponíveis no programa, os quais podem ser vistos como uma cola nos pontos de contato de uma seção transversal circular. O modelo de conexões por contato (contact bonds) somente transmite forças entre partículas, enquanto que no modelo de conexões paralelas (parallel bonds) pode ser transmitido também momento.
A força total e o momento associado com a ligação paralela são denotados por (_ e \`, com a convenção de que esta força e momento representam a ação de ligação sobre a esfera B da Figura A-2. Cada um destes vetores pode ser formado pelos componentes normal e cisalhante com relação ao plano de contato como:
(_= (_+ (_) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
\` = \`+ \`) (A. 12) Em que (_, \` e (_), \`) são os componentes dos vetores normal e de cisalhamento, respectivamente.
(_ e \` são inicializados a 0 quando a ligação é formada. Cada subsequente deslocamento relativo e incremento de rotação no contato resulta em um incremento da força elástica e momento que é adicionado com os valores atuais. O incremento da forca elástica ocorrendo ao longo de um instante temporal de ∆t é calculado por:
Δ(_= a−D_bΔc Δ(_) = −D_)bΔ) (A. 13) com Δ = ?Δ
e os incrementos de momento por:
Δ\`= a−D_)dΔec Δ\`) = −D_]Δe) (A. 14) Com Δe = aRf− RgcΔ
Sendo a velocidade do contato ?dada pela equação (A.5),
b é a área do disco de ligação, d o momento polar de inércia do disco de seção transversal, e I é o momento de inércia do disco de secção transversal em referencia ao eixo que passa pelo ponto de contato e na direção de Δe)
b = h _^
d =12 h _i (A.15)
A resistência máxima de tensão e máxima resistência cisalhante agindo sobre a ligação pode ser calculada como:
jklm=−(_ b +\` ) ] _ nklm =|(_ )| b +|\` | d _ (A.16) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
86
Em que b, ], d são definidos pela equação (A.15). Se a resistência máxima de tensão do cimento (ligação paralela) excede a resistência normal (jklm ≥ j_q), ou a resistência máxima de cisalhamento da ligação paralela excede a resistência de cisalhamento (nklm≥ n̅q), então a ligação paralela rompe.
Figura A-2. Ligação paralela (Parallel bond) apresentado como um cilindro de material cimentável (Modificado de Itasca ,2008).
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0921919/CA
