Números especiais

(1)

Recorrências e arredondamento

Divisão e conquista leva a recorrências como:

T(n) =Tjn 2

k

+Tln 2

m +n T(n) =3Tln

2 m

+n² T(n) =T(√

n) +n Em geral:

T(n) =g₁(n)T(h₁(n)) +· · ·+g_k(n)T(h_k(n)) +f(n)

onde, para todo i, 0≤h_i(n)<n, tudo para n≥n0 (algum n0 dado). Os valores iniciaisT(0),T(1), . . . ,T(n₀−1)também são dados.

(2)

Recorrências e arredondamento

T(n) =Tjn 2

k

+Tln 2

m +n T(n) =3Tln

2 m

+n² T(n) =T(√

n) +n

Em geral:

onde, para todo i, 0≤h_i(n)<n, tudo para n≥n0 (algum n0 dado). Os valores iniciaisT(0),T(1), . . . ,T(n₀−1)também são dados.

(3)

Recorrências e arredondamento

T(n) =Tjn 2

k

+Tln 2

m +n T(n) =3Tln

2 m

+n² T(n) =T(√

n) +n Em geral:

onde, para todo i, 0≤h_i(n)<n, tudo para n≥n₀ (algum n₀ dado).

(4)

Números especiais

Às vezes existe uma sequência de inteiros n₁<n₂ <n₃ < . . .

que sãoespeciais para essa recorrência, no sentido que para todos i,j

h_i(n_j) =n_j−1

E aí temos a recorrência

T(n_j) = [g₁(n_j) +· · ·+g_k(n_j)]T(n_j−1) +f(n_j) que pode ser mais fácil de resolver, denindo t(j) =T(n_j). No que essa solução particular ajuda o caso geral?

(5)

Números especiais

h_i(n_j) =n_j−1

T(n_j) = [g₁(n_j) +· · ·+g_k(n_j)]T(n_j−1) +f(n_j) que pode ser mais fácil de resolver, denindot(j) =T(n_j).

No que essa solução particular ajuda o caso geral?

(6)

Números especiais

h_i(n_j) =n_j−1

T(n_j) = [g₁(n_j) +· · ·+g_k(n_j)]T(n_j−1) +f(n_j) que pode ser mais fácil de resolver, denindot(j) =T(n_j). No que essa solução particular ajuda o caso geral?

(7)

Uma hipótese

Suponha que:

Para n >n0,

todas as funções g_i,h_i,f sãonão decrescentes, e g_i(n)≥0.

Então, segue por indução que

T(n) é não decrescente,

desde que isso valha para n<n₀.

(8)

Uma hipótese

Suponha que:

Para n>n0,

(9)

Uma hipótese

Suponha que:

Para n>n0,

(10)

Uma hipótese

Suponha que:

Para n>n0,

(11)

Uma hipótese

Suponha que:

Para n>n0,

Então, segue por indução que T(n) é não decrescente,

(12)

Do particular para o geral

Dena

S(n) =min{n_j|n_j ≥n} L(n) =max{n_j|n_j ≤n}

Então, segue imediatamente que

T(L(n))≤T(n)≤T(S(n))

(13)

Do particular para o geral

Dena

S(n) =min{n_j|n_j ≥n} L(n) =max{n_j|n_j ≤n}

Então, segue imediatamente que

T(L(n))≤T(n)≤T(S(n))

(14)

Exemplo, do M

^ERGE-

S

^ORT

T(1) =0, T(n) =Tjn 2

k

+Tln 2

m +cn

g₁(n) =g₂(n) =1, h₁(n) =_n

2

, h₂(n) =_n

2

, f(n) =cn Números especiais:

n_j =2^j Então,

t(0) =0, t(j) =2t(j−1) +c2^j

E, pelo método da substituição:

t(j) =c 2^jj =c n_j lg n_j

(15)

Exemplo, do M

^ERGE-

S

^ORT

T(1) =0, T(n) =Tjn 2

k

+Tln 2

m +cn g₁(n) =g₂(n) =1, h₁(n) =_n

2

, h₂(n) =_n

2

, f(n) =cn

Números especiais:

n_j =2^j Então,

t(0) =0, t(j) =2t(j−1) +c2^j

(16)

Exemplo, do M

^ERGE-

S

^ORT

T(1) =0, T(n) =Tjn 2

k

+Tln 2

m +cn g₁(n) =g₂(n) =1, h₁(n) =_n

2

, h₂(n) =_n

2

nj =2^j

Então,

t(0) =0, t(j) =2t(j−1) +c2^j

(17)

Exemplo, do M

^ERGE-

S

^ORT

T(1) =0, T(n) =Tjn 2

k

+Tln 2

m +cn g₁(n) =g₂(n) =1, h₁(n) =_n

2

, h₂(n) =_n

2

nj =2^j Então,

t(0) =0, t(j) =2t(j−1) +c2^j

(18)

Completando

Neste caso, S(n) =2^d^{lg n}^e, logo

T(n)≤c 2^d^{lg n}^e dlg ne

Mas dlg ne<lg n+1, logo, 2^d^{lg n}^e<2n e

T(n)≤2cn(lg n+1) =O(n lg n) ComoL(n) =2^b^{lg n}^c, um argumento análogo leva a

T(n)≥ 1

2n(lg n−1) de onde segue que

T(n) =Θ(n lg n)

(19)

Completando

T(n)≤c 2^d^{lg n}^e dlg ne Mas dlg ne<lg n+1, logo, 2^d^{lg n}^e<2n e

T(n)≤2cn(lg n+1) =O(n lg n)

ComoL(n) =2^b^{lg n}^c, um argumento análogo leva a

T(n)≥ 1

T(n) =Θ(n lg n)

(20)

Completando

T(n)≥ 1

T(n) =Θ(n lg n)

(21)

Completando

T(n)≥ 1

T(n) =Θ(n lg n)

(22)

Completando

T(n)≥ 1

T(n) =Θ(n lg n)