GABAGLIA E JOAO RIBEIRO
» .
ARITMÉTIGA
. ADMISSâO no CURSO 6IN11SI1IL
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HranG»sco i
L I V R A R I A F R A N C I S C O A L V E S
' V
Rfija GABIIGLIII E JOSO PJEEIRO
l U M ( / } > / > J B • «Viff riTMÉTlCA
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ADMISSÂO AO CDR80 GiNASIAL
fTEXTfl DO "EXflME DE flOMISSflO" DOS MESMOS flUTORES
RCRESClflO DE 1000 EXEiiClClQS E PROBLF*'- T 45
^mo multiplo
co-4 9 : a o e c o m p a r a c a o . 5 7 n a r i a s e n i i n i e r o s 7 4 * 5 " * ' ® j p ® ^ ' a c o c s . . . . . 9 0 e m l u ' i m e r o s x i m a i s p e r i ô d î e o s < ) 9 d e u i i i d a d e s d e
tro ciibico;
mul-jnûlliplos e
sub-'plos e
submiil-s i l e i r o i 0 4
l a ç â o ) 1 2 4
L1VR\RÏA FRANCISCO ARVV
FDiTon\ rAri.o DE A^EVKDO LTD. "O O.-V»0R -%>0 DR JAN-B.r,0I b e l o h o r i z o n t
S Â O I ' A U L O J , J J a n e i r c
2'J2. Rua Ltbe-ro Badarû I "
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CsKMAT
DIOrTALIZADOt '
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P R O G R A M A E B N D I C E
Numéros inteiros. Algarismos arâbicos e romanos. Numeraçâo decimal
Operaçôes fundainenlais sobre niimeros inteiros Prova real das operaçôes fiindamentais
Divisibilidade por 10, 2, 5, 9 e 3. Prova dos
n o v e s
Niimeros primos. Decomposiçâo de inn niimero
em fatores primos
Maximo divisor eomum e minimo miiltiplo
co-mum do dois ou mais niimeros
l'raçôes ordinârias: simpliticaçao e comparaçâo.
Operaçôes sobre fraçôes ordimirias e niimeros
mislos
Niimeros décimais fracionârios; operaçôes
Conversâo das fraçôes ordimirias cm niimeros
décimais e vice-versa; niimeros décimais periôdicos
Noçôes sobre o sislema legal de unidades do
medir. Metro, metro quadrado e metro cùbico;
miil-tiplos e submiilmiil-tiplos usiiais. Litro; iniilmiil-tiplos e
sub-multiplos usuais. Quilograma; miiltipios e submiil
tiplos usuais. Sistema monetârio brasilciro
Exeicicios e Probleinas (Recapitulacâo)
5 1 3 3 2 3 9 4 5 4 9 3 7 7 4 1)0 0 9 1 0 4 1 2 4
IWMERAÇÂO. OPEEAÇÔES
FUNDAMEN-TAIS SOBRE NUMEROS INTEÎROS
Grandeza e sua medida _ Gramieza é tudo que à
susceplnei de ainneiUo ou de diminuicilo; exemples- uma
mesa, inn cacho de uvas, etc.
Para medir (lualquer grnndeza, escoïlie-se uma da
mesma especie para terme de comparaoâo
A graiideza conhccida corn a quai se comparam todas
as giandeps da mesma espécie c!iama-se imidade. Assiiu
para medir uni comprimeiUo, a unidade é o metro- para'
a\aliar a capacidade de um balde, a imidnde é o litre' para
grandetr'^ ~ ° medida de uma
Oesde logo, podem-sc bbter très espécies de numéros*
) o muncro iniciro, 11) o nùmero qnebrado ou fraçào e
i l l ) o n u m é r o m i s t o . *
« • ° " " i d a d c s i n t e i r a s ; ex.. cmco alunos, vinte hvros, sels métros
t i e s p a l m o s e u m t ê r ç o , e t c . q u a i L o ,
Nûmepo abstrato e nOmero ronrp<ifft n
A série dos nûmeros — Dado nm n/.,. • . .
— c —
urn niimero mnior do que o niimero dado. O mesmo so po
dera lazer com o numéro obtido, e assim sucessivaiueiUe
de modo a obtcrem-se numéros cada vez maioies. Du
per isso, que o série dos mimeras inteiros f
Por ser ilimilada a série dos numéros inleiros
toina-se impossivel atribuir a cada um deles um nome e um
Sinai srafico diferente. O homem recorreu, enlao, a um
artificio que Ihe permitisse cxpnimr c reprcsenlnr os m
mcros com poucas palavras e poucos smais. Desse
ml-t'icio resullou a numeraçâo.
n u m e r a ç â o f a l a d a
KumeracSo falada c a arte dc exprin.ir todos os
mi-nieros com poucas palavras convenientemente escolh.das
c n i m i e r o s t c m n o m e s e s p e c i a i s e
exprimem unidades simples ou de primcira ordcui; sao.
3 dois très, qnalro, cinco, seis, sete, do noue.
O niimero seguinle foi chamndo dez on dezcna e
cons-tituiu uma unidade de 2.- ordem e compreende dez umdades
simples O niimero formado por dez dezenas reunidas loi
chamado cem ou uma centena e é a unidade de terceira
niimero formado de dez centenas foi chamado mil ,
on um milhar e é a unidade de qiiarta ordem. E,
conli-nuando assim, vein sucessivamenle as dezenas de millnir, ;
as centenas de milhar, os niilhoes on unidades de imlhao,
as dezenas de milhâo, as centenas de milhâo... \
As dezenas sao enunciadas do mesmo inodo que as
unidades simples; assim, dizemos: uma dezena, duas j
dezenas, très dezenas... nove dezenas. 0 uso, poreiu. i
emprega as seguintes palavras; vinte, irinta, qiiare/i^ 4
cinqiienta, sessento, setcnta, oitenta, noventa, para
signiti-carem, respectivainente, duas, très, qualro, cinco, seis, sete,
oito e nove dezenas.
Os niimeros compreendidos entre duas dezenas co
secutivas sao enunciadas juntando-se ao nome da dezena
o uso deu nomes especiais a nl^nVno
Os numéros compreendidos enlre duas ccntems r-nn
secutivas sao formndos junlnndo-se sucessivainente*ao no
me da centena os nomes dos noventa c nm-. •
... meros ; assim, dizemos: cenlo e u.^ cenre doiT'S:
Suzeiilos e'dôis' " """î' e um,
uuzcmo.s e dois... ate novecentos e noventa e novo
O mesmo se dira com as ordens supcriores e ter se -i
mil e um, mil e dois, mil e très... mil'^novece.UoI e im'
nla e no^c, dois mil, dois mil e um... très mil novp
uul novecentos e noventa c nove. E depoi" dVz mU
dez mil e um. dez mil e dois. . . dez mil novecentos'e nol
^enla c nove, onze mil, onze mil e um... até noventa e
oye mil novecentos e noventa e nove. E logo apos cem
1, eeiii mil e um... até novecentos e noventa e nove
m Iioveeentos e noventa e nove. E, cm seguida um
milhao. E assim por diante, indefinidamente.
As coleçoes formadas por diversas unidades
chamam-se ordens de imidades. Temos as très pdmciras
ordens-unidades simples, dezenas e centenas, que forinam a pri
mcira classe, a das umdades; temos depois as très ordens
das unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de
mi har. que formain a a dos milhares em
se^iiida, \em as très ordens das unidades de milhâo,'
de-— 8 —
zenas de milhâo e cenlenas de Tnilîiâo, que formam u
ierceira classe, a dos jnilhôes; apôs tcmos a qnarta classe,
a dos billiôes, coin as très ordeiis (unidades, dczcnas e centenas de bilhâo); e, assim, sucessivamentc, leinos as
classes dos tvilhôes, quairilhôes, etc. Cada uma com Irès o r d e n s : u n i d a d e s , d c z c n a s e c e n l e n a s .
Principio gérai da numeraçâo — Êsle modo de
gru-par os niimeros fornece o principio fundamental da nu
meraçâo que é o scguinlc: dez unidades de uina ordem
forniàm uma unidade de ordem imediatamente superior. ^
Assim, dçz unidades lormam uma dezona, dez dezenas | (iina ceiilena, dez cenlenas um inilhar, dez inilliarcs uma
d e z c n a d e m i l l i a r. . .
NrMERAÇÂO ESCRITA
Os algarîsmos — Os niimeros sao rc]>rcsentndos
gia-ficamenle por meio de cerlos sinais, cbamados alqansuws.
Os algarismos sâo dez; 1, 2, 3, 4, 5. (>, 7, 8, 0. 0.
Os nove primeiros rcpresenlam os novc primeiios nu
méros e se enunciam respectivainenle; uni, dois, très,
quatre, cinco, seis, scie, oilo, nove. O ultimo, o déciino.
c h a m a - s e z e r o .
Os algarismos supra sâo conhecidos pela designaçâo
de algarismos arâbicos.
Ôs nove primeiros algarismos sâo geralmenlc
chaîna-dos siqnifîcatiuos o que, alias, nâo tcm razâo de ser,
por-que, se por si mesmo o zero nada représenta, êle, conludo,
serve para indicar que o luhnero nâo possui unidades de
u m a c e r t a o r d e m .
Principio da numeracao escrita — A numeraçâo
es-crila baseia-se na seguinte convcnçâo, que e o scu prin
cipio fundamental: Todo alqarismo colocado à esqucrda A
de otiiro représenta unidades dez vêzes maiores do
d ê s t e o u t r a .
A^sim, se escrevermos algarismos uns em segnida ^
ouiros, o primeiro algarismo à direita représenta unidades
simples, o segundcfdezenas, o terceiro centenas, o qu^i
unidades de milhar, e assim por (liante. Portante, no
luiinero 024, 4 représenta unidades, 2, dezenas c 0, cente
nas. No numéro 3005, 5 représenta unidades e 3, unidades de milhar; os dois 00 iiKlicam, o primeiro que nâo hâ
dezenas, o scgundo (jue nâo lui cenlenas.
Vaior absoluto e valor reiativo — Do exposlo,
con-clui-se (]ue os algarismos ditos sigiiificativos tèm dois
v a l o r e s : o a l ) S o h i i o c o r e i a t i v o .
O valor absoluto de um algarismo é o valor (pie êle
tein isolado e Ihe é dado pela sua forma.
O valor reiativo de um algarismo é o valor que êle teni pela poslçâo que ocupa no niimero. Assim, cm 30, o algarismo 0 représenta unidades simples; em 300, o
mesmo algarismo représenta dezenas; cm 3000 représenta
c e n t e n a s .
O algarismo 0 isolado nâo lêm vaior.
R e g r a p a r a e s c r e v e r u m n u m é r o I n t e i r o — P a r a
esci'cver um numéro inteiro, colocam-se em sequida um
dos outros, da csquerda para a direita, os algarismos que
exprimem as ccnicnas, dezenas c unidades de cada classe
do numéro, preenchendo corn zero as ordens que fallarcm.
Seja escrever dczoito milliôes très mil e sole; de
acôr-do com a regra, prineipia-se a escrever da csquerda para
a d i r e i t a :
m i l h ô c s m i l h a v e s u n i d a d e s
1 8 0 0 3 0 0 7
Regra para 1er um numéro Inteiro — Para 1er um numéro, dividese-o mentalmente em grupos de très alga rismos, da direita para a csquerda, podendo o ultimo ter um ou dois algarismos; cm segnida, lâ-se cada grupo,
principiando pela esqucrda e dando-lhe o nome da classe
de unidades que représenta.
Assim, o luinicro 43 756 420, lê-sc: quarcnla e oito milhôes, seleccnlos c ciuqiicnla e seis milharcs,
ti'.ialro-centos e vinte seis unidades.
— 1 0 —
Base de um sistema de numoraçâo — Na numeraçao
que acabainos de cxplicar, 10 nnidadcs formam uma
dc-zcna, 10 dezenas formam uma. cenlena, 10 cciilenas, um
milhar, e assim por dianle. Dizcjiios, entâo, que a base da
numeraçao é dcz e que o sistema de numeraçao é decimal..
Base de um sisicmn de numeracCw é, portante, o nu méro de unidades de uma ordem necessârio para formar lima unidade de ordem imedialamcnte supeiioi.
Outres sistemas de numeraçao — É évidente que .a
base da numcracrio pode ser difereiite de 10. Temos um
exemplo na foriiia por que se negociam certas
mercado-rias: as friilas nâo se vendem às dezenas, ccntenas,
ini-Ihares, mas às diizias; alguns arligos de papclaria (làpis,
canetas, etc.) vendem-se às dùzias e grosas ou diizias de
diizias. A base da numeraçao, ncsses casos, é 12.
A adoeâo da base decimal proveio certamente do fato do hoincm contar primitivamenle polos dedos, como
fazcm as crianças.
O niiniero de algarismos de cada sistema é dado pclo
numéro da base. No sistema decimal sâo indispensâveis
dez algarismos; no qiiinàrio, cinco; no duodecimal, doze;
no vigesimal, vinte; e assim por diante.
Algarismos romanos — Os algarismos que hoje
em-ni-pcfamos geralmente sâo aràbicos. Alcm desscs, aimu
sao^'usados os algarismos romanos assim chamados p
serem os dos Romanos, cuja civilizacao ,
Os algarismos romanos sâo usados ainda nos
dores de alguns relôgios, nas inscricoes em "^onumen ^
nL moeda=: nos nomes dos reis e dos papas, na numeraç.
An nrefàcio e de notas marginais dos livros, etc.
Os algarismos romanos vulgarmenle emprega
I
V
X
L
C
R
1 5 10 50 100 500 1000
O sistema de mimeraçâo romana se baseia nas
de iim algarismo ^omano se
creve'um outra de valor igiial on menor o valoi
ira fica aiimentado do valor do segiindo.
1
— 1 1 —
Excmplos: Vil c 5 mais 2 ou 7; XX è 10 mais 10 ou
20; LXXXV é 50 mais 30 mais 5 ou 85.
12.» Se à csgiïcrda de um algarismo romane se
c.screpc oiilro de valor mener, o valer do primciro alga
rismo fica diminiiido do valor do segundo.
Excmplos; IV é 5 mciios um ou 4; IX é 10 menos
1 ou 9; LD é 500 menos 50 ou 450.
3 a Um trace horizontal sobre um' algarismo ou
sobre um griipo de algarismos multiplica par mil o valor
do algarismo ou do griipo.
Exemplo; V indica 5.000; VIII indien 8.000; XLV
indica 45.000: e assim por diante.
EXERCl'CIOS E PROBLEMAS
^1. Em nue consiste o artiffcio d.a numeracûo?
2. Que é nCmiero abstraie? Dê exemples. 3. Que 6 nûmero concrete? Dê excmplos.
4. Que sabe a respeilo da série clos nûmoros intciros? 5. Que é base de um slsloma de numci-açâo?
e. Se a base do sistema de numeraçùo £0r 7 de quantos alga
rismos diferentes precisaremos para escrover todos os nûmeros?
7. Que é valor absolute de um algarismo?
8. Que é valor rolalivo de um algarismo !
9. Como se procccle para 1er um nûmero?
10 Para quê se usam ainda Iioje os algarismos romanos?
il! Quantos aigari-smos sâo necessûrlos para escrever todos os
nûmvros no sistema decimal?
12 Quai o principio fundamental da numeraçao escnta?
13* Ouantos nûmeros inteiros de dois algarismos M no sistema
, . R e s p . : 9 0 .
d c c i n ^ i i l
Onantos nûmeros inteiros de cinco algarismos hâ. no sistema
d é c i m a l ? R e s p . : 9 0 0 0 0 .
15. Quantos nûmeros inteiros de oito algarismos hâ no sistema
d e c i m a l ? . , ^ , j
16. Cm nûmero tem dezoito algarismos. Quai a ordem de ^uas u n i d a d e s m a i s o l e v a d a s ? ^ , j
-17. Decomponha o nûmero 8o 349 nas unidades das diversas or-dens Faça o mesmo nara o nûmero 3 5.S3 225.
18. Como se pode tornar um nûmero dez. cem, mil vêzes malor?
la! Se um nûmero termina cm dois zeros, como se pode tornâ-lo
dez, ccm vêzes mener?
— 1 2 —
C I I X C I L X X X V U
43. Torne o nûmero Xux mil v6zes menor.
1
21. Kscreva com nlgarismos arfiblco.-? os soffiiintes nflmeroà:
qua-trocentos e noventa e d^is; dcz mil e très; c,uati-o bilhOes. cinco mil e dois; très milhôes e doze; urn tnlhâo. dois mil c um; dois milhOes,
s e t c c e n t o s m i l e t r è s .
22. Leia os nûmeros: 426; 8 050; 10 720; 88 009; 1012G7- 10 325-1 467 S7C: 2 532 758; 09 999 098; 325-1 000 003; 8 832 573 476; 5 000 000
008-1 000 256 307; 5 364 000 006.
23. Como se chamam as unidades do 7.° ordom? 24. Como se chamam as unidades de 9 ordom'
2 G
o î l S
^
^
a l s a r l s m o s ?
«£b. tjual o menor nûmero de cinco algarlsmos?
27. Dlsa (lual o maior nûmero de olto algarismos
28. Quantos algarismos terei de escrever para niimerar 681
nâ-g m a s d e u m c a d e r n o ? - - '
elusive?nûmeros Intelros hâ de 640, inclusive. até^672^, '
y 30. Quantos nûmeros inteiros lia do 53, exclusive. atC^S^T^^inclul
31. Quantas. unidades do 2.» ordem hû cm 37 unldades^^ciè ^5^â
o r a e m ?
o î » - . . . R o s p . ; 3 7 0 0 0 .
7. 9 f 1? E
o n t r f j l ' ' " " " ' " ' ° d i L r c n l e s
34. Escreva o menor nûnioi-o do cinco al-irismoî^ïV ^
e n t r e s i . • - ' " ' . i » « U o d u s m o s d i f e r e i a e s
« 35. No sistema decimal de nmneracâa 100 unid-ules^lT^^'a
formant 10 unidades de que ordem' unuiacles de 3.® ordem 36. Escreva com algarismos romanos os ordem.
e très; noventa e sels; cento e .sete- nnmu » '
novecontos e trlnta e très; novecent->s e nn f ° ® quntro;
mil e des; oitenta mi, cento e t^nte e cinco
497: 5 000rr500:Too^^lO^^^^^^^^^ 28; 305; 768;
38» Diça quais as convenooj^Q ^
nûmeros com algarismos romanos "^J"®sadas para representar os
39. Leia os nûmeros: V; iv- Tv.
vvx-mccliv; mmmdcxxxvi; mcmlviV'
40. Como se escreve o nûme. "• NXCDCCXII. , !
c a i x c v ? n û m e r o i m e d i a t a m e n t e i n f e r i o r a . t
do que DCXXXir'" romanos o nûmero mil vCzes maior ^ ^
oeguiLî^'ûmLo'sT Para o maior) os
— 1 3 —
4 4 . E s c r e v a e m o r d e m d e c r e s c e n t e ( d o m a i o r p a r a o m e n o r ) o s
n û m e r o s :
M D V I I I C M X C r X M C C C I
4 5 . P o s s u o 3 4 8 s e l o s . Q u a n t o s m o f a l t a m p a r a m e i o m i l h a r ? 46. Que nûmero preçiso somar a 27 637 para ter uma ccntena
d e m i l h a r ?
A D I G À O
Definiçêo — Chama-se adiçâo a operaçâo pela quai
se reùnem em um sô nûmero tôcias as uni(iades de outres
n û m e r o s .
O resultado da operaçâo chama-se soma ou total; os numéros que se adicionaiii chamam-se parcclos.
Da prôpria definiçâo de adiçâo, résulta que s6
po-demos somar nûmeros concretos da mesma espécie.
O sinal de adiçâo é +, que se lê mais.
Assîm, S -H 5 + 2 = 15>
Ic-se: cita mais cinco mais doU é igiial a quinze. As
parcelas sâo 8, 5, 2 e o total é 15. T a b u a d a — D e v e
-m o s t e r d e c o r a s s o m a s d o s n û m e r o s s i m
p l e s . E n q u a n t o n a o
conseguirmos este re sultado, baslarâ
consul-t a r a consul-t a b u a d a a o l a d o .
Quando quisermos
s o m a r d o i s n u m é r o s
simples, 4 Corn 5, por
exemple, proc ura remos
lia primeira linha o nû-'
inero 5 e na primeira coluna (linha vertical)
o nûmero 4; no
cruza-m e n t o , d a c o l u n a q u e
começa por 5 com a linha tpie começa por 4, encontra-rcinos 9, que é a soma dos dois nûmeros.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 S 9 1 0 2 3 4 5 6 7 8 g 1 0 1 1 3 4 ù 6 7 8 9 i O 1 1 I r 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 6 0 7 8 0 1 0 11 1-? 13 14 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 13 1 4 15 7 8 g 10 1 1 1 2 1 3 14 15 1 6 8 9 1 0 1 1 1 2 I J 1 4 1 5 1 6 1 7 9 1 0 1 1 1 2 1 3 U 1 5 1 6 17 i s
- - 1 4
-Nota: Se tomâssemos 5 na 1." linha horizontal e 4
na 1.° coluna, taniJjém cncontrariamos, no cruzainento, 9. Isto mostra que a ordem das joarceZas nâo altera a soma:
4 - h 5 = 5 4
Regpa para somar nûmeros inteiros quaisquer —
Escrevem-se as parceîas umas dthaixo das outras, de
sorte que as umdades da niesma ordem fiquem na inesina
coluna vertical (unidades debaixo de unldades, dezenas
dcbaïKO de dezenas...); sublinha-se a ultima parcela; em
scqmda somam-se a. unidades. Se esta soma nâo passa
• ' " escreue debaixo; se passa .de 9, sd se escrevem
mtmero" dn as dezenas para somar corn os
mam •je" n-i ^os dezenas. De modo anâloqo,
so-Seja somar os numéros 1046, 7139 e 457.
Dispôeiiî-se as Daropli*:
oarceias da maneira seguinte:
1046 7139 4 5 7 8642 D i r - s e - à : c *
retcni-se 2 dezenas;"^ dèzenU'"'''^
5. 14 dezenas; escrcve-sero
mais 1, 2, mais 4, 6 ccntpi 1 centena; 1 cenien"
m a i s 7 , 8 m i l h a r c s n u p e s c r e v e ; 1 m i l h a r
soma 8642, ' ^ escreve. Tcr-se-a, enlâo, a
SUBTRAÇÂO
Definiçâo — Sublracâ
tira de uni niimero tôdas* f '^peraçâo pela quai se
Os dois numéros dados de oulVo*
o numéro do quai se tira o on? lêrmos da snbtraçâo;
mero que se tira ê o suhtraenZ'' ^ ° e o
niï-e s c r c v niï-e - s c 2 niï-e 9, niais c e n t e n a ' I
1
— 1 5 —Ao resultado da snbtraçâo dâ-se o nome de resta,
q u a n d o s e p r o c u i a s a b e r o q u e fi c a d o n i i m e r o i n a i o r tirando-se o menor; excesso, quando se jirocura saber de quanto o niaior uUrapassa o menor; difcrença, quando se procura saber de tiuantas unidades dircrcin entre si os
d o i s n u m é r o s d a d o s .
É évidente que sô se pode sublrair uni niimero
con-creto de outro da incsina espécie.
O sinal de snbtraçâo é — e lê-se tnenos. Assini, 8 — 2 = 6
te-se oito menas dois é igiial a seis.
A subtraçâo como operaçâo inversa — Da del'iniçâo da snbtraçâo, conclui-se imediatamente que o maior nii mero compôe-se do menor niimero e da diierença, isto é, o miniiendo é igual ao subtraendo mais a difcrença.
Esta consideraçâo conduz a iima segunda definiçâo da
subtraçâo.
A subtraçâo é a operaçâo que têm par fim, dada a s o m a d e d o i s n ù m e r o s e u m d ê l e s , p r o c u r a r o o u t r o .
Da segunda definiçâo se deduz ser a subtraçâo inna
operaçâo inversa da adiçâo.
Propriedade da subtraçâo — .Aunientando-se on
dim i n u i n d o s e d e u n i dim e s dim o dim t dim e r o o s t ê r n w s d e u dim a s u b
-iraçâo, sua diferença nâo miida. •
Exemplo: A diferença entre 8 e 2 é 6; se somarmos
a 8 e a 2 o iiicsmo niimero, seja 5, a diferença entre as
d i i a s s o m a s c o n t i n u a a s e r 6 .
C o m e f e i t o , 8 + 5 = 1 3 2 + 5 = 7 1 3 — 7 = 6
Tabuada — Quando o subtraendo é um niimero sim
ples e o reste ô menor do que 10, tudo se resolve fàcilmente
com a propria tabuada da adiçâo (pâg. 13).
Seja, por exemplo, siibtrair 7 de 15. Evidentcmente
o resto vai ser mener do que 10, porque 10 mais 7 dâ 17,
que é niaior do que o minuendo 15. Procura-se na
pri-meira linha o subtraendo 7 e desce-se a coluna que nêle
— 1 6 —
começar a linha eni que esla 15 sera o reslo prociirado,
isto e, 8. iNcin podia deixar de scr assim, pois, coino viinos
no estudo da soma, S 6 miincro que soniado corn 7 dà 15.
Regpa para subtrair um numéro qualquer de ou
tre — Para siibtvair um niimcro qualquer de outro,
es-cieve-se o subtracndo dcbaixo do minuendo, de sorte que
Z < ^ 0 ' ' ^ ' ^ s p o n d a m ; s z / f r / m b a
-I r a e a d o
a l g a r i s m o
d o
s u b
-Znor a Jr, ^, ■ "o minuendo for
1 0 a o m i m e i r n " 0 s i i b l r a e n d o , a j u n t a - s e
sublraendo- nn ''ui-se dessa soma o algarismo do
algarismo 'do snbtraendo 7'"°' anmenia-se o
alun obiido é o'trou ZfelZn °
1.° Exeinplo;
Subtralr 452 dp 7Ra
sorte que as unidades d'-i ^ ^^2 debaixo de 78ti, de
unioades da niesma ordem se correspondam.
786
4 5 2 >
3 3 4
2, 't.^que'lre^'cvèvrnrio!''"' ® ">"dades nienos
menos 5, 3, que se escreve unidades; 8 dezenas
tenas luenos 4, 3 oue p das dezenas; 7
cen-a . - ' E x e m p l o : ^ cen-a s c c n t e n cen-a s .
Subtrair 2405 de 3032. 3935
24(55
D - 5 6 7
têriiios dd subtraçao»
aumcnta-se mentalmenle n m/ "nidades de 2; entâo,
ez unidades e se diz: 12 uma dezena
C O u n a d a s u n i d a d e s ) . ' ( e ç c r e v e - s e 7 u n
ïeuas do sublraendo sonia-se "lentalmenle, às
de-"«îa dezena e se diz: 3
dc-— 1 7
zenas menos 7 nâo é possivel, aumenta-se mentalmenle
3 d e z e n a s d e u m a c e n t e i i a o u d e 1 0 d e z e n a s e s e d i z : 1 3
menos 7, 6, que se escreve na coluna das dezenas. Depois,
m e n t a l m e n t e , à s c e n t e n a s d o s u b l r a e n d o a u m e n t a - s e u m a
centena e se diz: 0 nienos 5 centenas, nâo c possivel; aumenta-se, portante, e também mentalmente, 0 centenas de dez centenas ou um inilhar e se diz: 10 menos 5, 5, que é escrito na coluna das centenas. Em seguida, aumenta-se 1 aos inilhares do subtraendo e se diz: 3 menos 3, 0, que
n â o é u e c e s s â r i o e s c r e v e r . O r e s t e o b i i d o é 5 6 7 .
OBSERVAÇÂO — O artificio usado nêste segundo
exemplo se baseia na propriedade da subtraçâo esludada
à pàg. 15. Com efeito, nâo fizemos mais do que somar a
mesma quanlidade a ambos os têrmos da subtraçâo:
quando somamos 10 dezenas ao minuendo, logo somamos
uma centena ao subtraendo; e assim por diante.
E X E R C i C l O S E P R O B L E M A S 1. Que é adicâo? 2 . E n u n c l e a r e g r a p a r a e f e t u a r a a d i ç â o d e n O m e r o s i n t e i i - o s 3. Que é subtraçâo? 4 . E n u n c i e a r e g r a p a r a s u b t r a i r U m n û m e r o i n t e i r o d e c u t r o B . E n u n c i e a p r o p r i e d a d e d a s u b t r a ç â o . 6 . E f e t u e a s s e g u i n t e s s o m a s : 4 002 + 5 4- 7 = 480 + 3 003 -f- 4 587 + 87 005 =
7. Dii'-er porque a primeira das adiçOes abaixo pude ser feita da
esquerda para a direitâ e a segunda, nâo.
2 3 5 7 G 2 5 9
6 1 2 0 4 8 5
4 0 2 8 0 2 4
^ 8. Complete a seguipte igualdade:
325 + 683 4- ••• 4- 28 = 8 027.
> 9. Que alteraçâo sofrerâ uma soma de duas p:ircelaa se se au-mentar a primeii'a de 128 e a segunda de 57?
R e s p . : A u i n e n t a r â d e 1 8 5 u n i d a d e s .
*^10. Que alteraçâo sofrerâ. uma soma de trGs pj.rceias se ù pri
meira "deatas acrescentarmos 32. â segunda. 21 e da terceira
~ 1 8 —
11. Efetiie as segiiintes subtraQÔes:
80 — 6 = 2 545 — 1 234 =
® — - J " » ' =
iP . V, 5 000 - 3 990= 11 900 - 4 599 =
aiimentarmos Trrm'irjendo? ^ ^"'''1 Passarâ a ser sa
ao subtraemlïï°°^^^^ subtraçfio quando se soma 12
"""SLSaf ■ " ■■"'
Qual é o outiïï"^'' nûmeros é 151 e o maior clôles é 327.
outrof —dos dao 21,0; um dCes . 879. Qual é o ',
V ^ 3 2 é 2 1 7 . Q u e n û m e r o é
ela se .omaZ'oTH ^ Q"® --^Ueracrua sofrerâ
ao .subtraendo?
"^'^erenca entre dois no Rosp.: Aumentarâ de 20. ,
s o m a r m c s 5 e d n . v . . . a û i n e r o s é 4 S a o . v ,
r e n ç a ? ° ' ^ ^ h t r a i r m o . s 1 2 L l i ' ^ , 1
O f , ^ p a s s a r d a s e r a d i f e
-2 1 1 " ® l > « c î . c , o s u b t r a i r n . , 5 0 0 .
• Se, numa subtracâo c 1 583 para ter 025'remo. r..,, 3o„.a™<.s 50 ao subtraend^ oue
deve-\ 22. Li urn li,To de 542^.?^, «-^Iterarmos o reste?
°^""eiro. Quantas od-'hia^s r «"eaos 48 pdffinas
23. For conta de uma ^ lo«3o?
. 1 280,00 e outra Jt, CrS^2*ion uma
pres-nasceu em l92o® em"*" de 23 an^"T'° devendo?
^ ^25. ^oZ'\LZ:Z o S " '
t
"-"or-:.-'a =;f- ™ CUS.OU .S5.30
« 3 0 .
J o â o
t o r n
0
„ , a s m o
n ,
'
A n t r i o r ' " " S t t f r ^ - A n t o n i o
31. A que é igual a s assard a ter mais do que
com o menor nûmero de qZZJ" "ûmero de t -
a u t i t r o a i g a r i s n i o o - T a l g a n s m o s « . 1■Resp.: 1999. ' — 1 9 — 3 2 . D u a s p e s s o a s t ê m a m e s m a q u a n t i a . S e u m a d e r C r $ 5 0 0 , 0 0 à o u t r a , c o m q u a n t o e s t a f i c a r d m a i s d o q u e a p r i m e i r a ? 3 3 . E m q u e a n o c o m p l e t a r d 5 1 a n o s u m a p e s s o a n a s c i d a e m 1 9 2 3 ? 3 4 . S e m e d e r e m C r $ 3 2 5 , 0 0 e u fl c a r e i c o m C r $ 5 2 0 , 0 0 . Q u a n t o é q u e e u p o s s u o ? 3 5 . C o m p r e i u m l i v r e d e C r S 3 5 , 0 0 . u m c a d e r n o d e C r S 1 2 , 0 0 e u m I d p i s . P a g u e i t u d o c o m u m a n o t a d e C r § 1 0 0 , 0 0 e r e c e b i C r $ 5 1 , 5 0 d o t r O c o . Q u a l o p r e ç o d o I d p i s ? 3 6 . P a i - a p a g a r C r ? G 2 8 , 0 0 d e i t r è s n o t a s d e C r Ç 2 0 0 , 0 0 e u m a d e C v $ 5 0 , 0 0 . Q u a n t o m e v o l t a r a n j d e t r ô c o ? 3 7 . A d i f o r e n ç a d e d o i s n û m e r o s é 5 3 . O m a i o r d ê l o s é 8 0 . Q u a l é 0 m o n o r ? 3 8 . O m e n o r d e d o i s n û m e r o s é 2 7 e a d i f e r e n ç a e n t r e ê l e s é 2 4 . Q u a l 6 o m a i o r ? 3 9 . A c l i e a s o m a d o m l n u e n d o , d o s u b t r a e n d o e d o r e s t e , s a b e n d o q u e 0 m i n u e n d o é 1 7 3 . R e s p . : 3 4 6 . 4 0 . N a s s u b t r a ç ô e s a b a i x o , p r e e n c h a c o m o s a l g a r i s m o s a d e q u a -d o s a s o r -d e n s r e p r e s e n t a -d u s p o r t r a ç o s : 5 — 2 — 8 — 3 — 5 _ 3 _ 7 _ — 9 — 2 — 2 — 7 — i _ 4 _ 3 2 4 5 7 7 4 8 1 2 4 6 1 6 8 4 1 . T r è s n û m e r o s s o m a d o s d â o 1 5 8 5 . U m d ê î e s è 1 3 2 5 . C a l c u l a r o s o u t r o s d o i s s a b e n d o q u e s â o i g u a i s . 4 2 . X a s s o m a s a b a L s o s u b s t i t u a o s t r a ç o s c o m o s a l g a r i s m o s a d e q u a d o s ; 3 — 2 5 — 3 - 5 — 6 — 8 — G — . 9 1 3 — 6 1 7 4 2 4 2 5 S 9 8 8
43. Um cldadâo romane nasceu no ano 32 antes de Cristo e fa-leceu no ano 41 da era crista. Com que Idade niorreu?
44. Uma pessoa morreu no ano 25 depois de Cristo com a idade de G3 anos. Em que ano nasceu ela?
MULTIPLîCAÇÀO
Mulliplicnçâo de uni nûmero inleiro por outro c a
opc-raçào pela qual se loiiia coiiio parcela o jirimeiro tanlas
vozes quaiilas sâo as unidades do sogundo. O primciro nu
méro chama-se mullipUcando c o segundo, muliiplicador.
O resultado da miiUiplicaçâo é o produto. O
niiilti-plicando e o muliiplicador sâo os fntôi'cs do ]iioduto.
— 2 0 —
O sinal da multiplicaçâo é X, que se le miiltipticado
por ou uèzes. Assim 4x5 îô-se qiiatro vêzes dnco ou
qiia-fro miiliiplicddo por cinco. É laïubéin usado o ponto coiiio
sinal de mulUplicaçâo; assim 4.5 é o inesmo que 4x5.
A multipMcaçâo é um case especial de soma — Da
definiçâo dada, vô-se que mqlliplicar 4 por 5 sc reduz
a formar uma soma de 5 parcclas iguais a 4, isto é,
4 X 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4
A uniUipUcaçâo podc scr considcrada qma adiçâo de
parcelas iguais. 'Uma das parcclas iguais é o
multipli-cando. o numéro de parcelas é o mulliplicador.
O multiplicando pode ser um numéro concrète ou abslralo; o mulliplicador c scmpre abstraie; o produio c
da mesma espécie que o multiplicando.
Produto de dois numéros simples. Tabuada —
Deve-mos saber de cor os produtos de dois numéros simples
(luaisqucr. Êsscs produtos cslâo na scguintc tabuada
cha-m a d a d e P i t A g o r a s .
A construçâo desta tabuada c facil.
N u m a l i n h a h o r i z o n t a l , e s c r e v e m - s e o s p r i m c i r o s
novo niimeros; junta-sc
ca-d a u m ca-d e s s e s n u m é r o s a s i m e s m o e o b t e m - s e n o v o n u
m é r o s q u e c m o r d e m d e grandeza se cscrevem numa
segunda linha horizontal.
S o m a n d o - s e c a d a u m d o s niimeros da primcira linha
ao seu correspondento da se gunda linha, obtém-se a ler-c e i r a l i n h a . P a r a f o r m a r a quarta, soma-se cada
niimc-ro da terceira linha com o seu correspondente na prinielra
e,assim por diante.
0 USD da tabuada 6 tainbénj mui fâdl.
1 2 3 4 5 6 7 8 y 2 4 G 8 10 1 2 14 1 6 1 8 3 6 9 12 l ô 1 8 21 2 4 27 4 H 1 2 16 2 0 2 4 2 8 3 2 8 6 5 10 15 20 •25 3 0 35 4 0 4 5 6 1-2 18 2 4 • 0 3 6 42 4 8 5 4 7 1 4 2 1 2 8 3 3 4 2 49 5 6 6 3 a 1 6 2 4 32 4'J 4 8 56 64 7 2 (1 I S 2 7 36 4 » 5 4 6 3 72 8 1 — 2 1 —
Seja procurar o produto dc 5 por 7; procura-se 5 na
primcira linha horizontal c, dcpois, procura-se 7 na
pri-nieira coluna, segue-se a coluna que princii)ia com 5 até
encontrnr a linha que comcca por 7. O niimero que sc acha
no cruznmcnto é o produio procurado: é 35.
OliSERVAÇÔES: I — O resultado da multiplicaçâo
séria o inesino, se tivcissemos tomqdo 7 nil primcira linha
horizontal c 5 na primcira coluna à esqucrda.
( ) c r u z a m e i i t o d a r i a 3 5 . D o n d c s c c o n c l u i :
5 X 7 = 7 X 5
isto c, a ordem dos fatôres nôo allern o valor do produio.
H _ Quando um fator é 1, o produio é o outro fator.
Excniplos: 3X1 = 3;1X7 = 7.
in — Qualquer niimero muUipbcado por 0 c igua,
q 0 . A s s i m 5 X 0 = 0 .
Produto da um numéro qualquer por outro simples
— Para muUiplicar um m'imcvo ({ualquer por oiiiro
n;'-'ucro da um so alourismo, muWplU^ruos sucesswai^uma,
indo da direita para a csquerda, cada a garumo do multi
plicando pelo muUiplicador. Se o produto " passar <U
0, sc o escrevc- sc passar, so èc cscrevem as umdades de
cada produto parcial, couscrvanda-sc
ao produio scguiute; oprra-se assim ate ao alttma
peodiifo, (/lie é escrito poe intciro.
Eis como se procédé ou prdtica: Soja nudtipdcar
^30 por 7.
4 3 0
3052
Escreve-se o multiplicande e, debaixo, o multipl.cador;
I -7 VP',PS 6 42: escreve-se 2 na colunasuld.nl,a-se e diz-se 7 rexes b • . ,
das unidades e rctem-se 4. Lni ; , .ipynnas e
3, 21. com 4, 25; escreve-se 5 na f ^
retém-se 2. Dcpois, diz-se:_7 vczes 4. 28, com 30, que
r
9 9
OBSERVAÇOES: I — Para nuiUipHcar iim m'imcro quulqucr por oulio lonnado de um algarisnio signiiicalivo
scguido de um ou mais zeros, basta miiltiplicar o
niuUi-plicando pclo algarismo significalivo e escrever à dircita
do produlo tanlos zeros quantos hâ iio miilliplicador.
Seja inulliplicar 320 por 400; muUiplica-se 320 por 4
e 110 produto escrevem-se dois zeros à direita,
3 2 0 4 0 0 130400
II — Quando um dos fatôres é 10, 100, 1000, etc.,
fMin..'"' seguida de zeros, cscreve-se o outre
fatoi seguido do mcsmo numéro de zeros.
Exemplos: 4^5 _ 435000
100 X 987 = 98700
quaisquer - l'an,
,n„Ui-Ln fcraîo cscrc«e-« o i,u,!liplw«,Ior
mesma ordem «<. '''' modo que us iinidudos
succsswamenle pTiZhfu"'!"'"
cando por cmlâ P<^1« direila, todo o nmllipl':
dado de escrever o nr/n tcndo-se o ci"
parcial debaixo do ainarilmn prodi'io
a soma dos prodiitos nnJ miiHipUc(idor,
Scia m.iu- r fornecc o prodaio
procurc^^-^eja nniU.phcar 4527 por 354
Eis a dis])osicâo prâtin
- I uiiica da operacao:4527 muUiplicando
"i»Uiplicador 18108 1 q nrr. ï ,22035 9 0 ^ parcia)
1 3 5 8 1 l ' o - l »
»obshkvS ;:r
prccedejilc, scm atcndcr aos zeros, havenao, porem,
cui-dado cm colocar o primciro algarisnio do produlo parcial
debaixo do algarismo do multiplicador pclo quai se
niul-lipHca.
Soja iiiuitiplicar 400803 por 205005. Dispôe-se a operaçâo do modo segiiinte:
4 0 0 8 0 3 2 0 5 0 0 5 2 0 0 4 0 1 5 2 0 0 4 0 1 5 8 0 1 0 0 0 821(50019015
Il — Quondo aiiibos os t'atôres terminam cm zero,
laz-sc a multiplicaçâo abslraindo-se dos zeros c depois, 5
dircita do produlo, cscrevcni-sc lodos os zeros dos falùres.
Excmplo: Seja 124000 X 1200. 124 (000) 12 (00 ) 2 4 8 1 2 4 148800000
Produto de varies fatôres — Se tomarmos os numé
ros 4, 3, 5, 7. etc., e ligarmos esses numéros peio sinal de
^"ultiplicaçâo, a expressâo
4 X 3 X 5 X 7 X
sera um produto de vârios tatôres.
Obtéin-sc esse produto inultiplicaiido 4 por 3, o
lesui-Indo por 5, o novo resultado por 7... c assnn
sucess.va-u i e n t e a t é o i i l t i n i o f a t o r .
E x e i i i p l o : '
— 2 4 —
Entre ns propriedades do prodiito de vârios falorcs
notam-se as seguinlcs:
1.®) Em iim prodnto de vârios fatôres pode-se miidot a ordem dos fatôres, sem allerar a valov do proditlo; assini:
4 X 0 X 5 X 7 = 4 X 5 X 3 X 7 = 7 X 5 X 3 X 4
2.0) Em- um produto db muiios fatôres podC'Se sid)S'
liliiir dois ou mais fatôres pclo seii produto efetuado:
a s s i i n :
4 X 3 X 5 X 7 = 4 X 1 5 X 7
Potcnciaçâo — Poténcia de uni ninnero é uni produto de fatôres iguais a esse numéro. Êste nûmero é a base
du poténcia.
Assim. 3 X 3; 3 X 3 X 3; 3 X 3 X 3 X 3 X 3 sfio
poteiicias de 3.
Assiin 'Suais é o grau da
pclôncia-•î ■ V ^ do 2.« grau ou 2.' poténcia de
3x 3 X 3 e a 3." poténcia de 3; 3 x 3 X 3 X 3 é a
4.'-drarln poténcia de um numéro chama-se fp'"'
d/ado desse numéro c a lerceira denomina-se cuba.
6 X G ^ 36; o cube de 0 ^
direita um pouco'a poléncia escrcvcndn à
expoente. um luiinevn cbaniad
A base.'nésse caso^r"'^^ ^ ' l^*^^^'uoia ou o cubo de ('•
terccira po..ucia L r ^ 3. Lê-se 6 elevado
g ou G eicvado ao cuba, ou. ainda.
_ O B S E U V A Ç Ô E S ; ï _ . . , n i
numéro 6 o prôprio m'in P^tmeira poléncia de ^
"luero; assim; 41 = 4
ri - Para cnlcular as poténdas sucessivas de um niv
mero basla calculnr sucessivamenlc 0 produto de -, 3,
5 etc., fatôres iguais 0 êsse nuineio.
Excmplo: 72 = 7 X 7 = 49
^ 73 = 7 X 7 X 7 = 343
74^7X7x7X/ = 2401
I- • r. Un 10 sâo minières forniados da
III — As polencias de 10 s^ oj unidadcs
unidadc scgiiida de taiilos zeios q •
do expoente.
,m _ Kinn- 10'= 10000 etc.
IQI = 10; 10= = 100; 10= = lOOO,
DIVISÂO
«m fiml se acba quanlas vézcs
Diinsno é a opcraçao p ' ^ mu oulro chamade
um nûmero chamado dividende conlcm
d i v i s o r . „ . « u a n t a s v ê z e s o d i v i
-Assim, dividir 24 poi " resultado é o quocienic,
dcndo 24 contém 0 divisoi , gj^nifica qiiantos vèzes.
palavra de origcm latmo c q j. g bastn, portante,
Para acliar o quocientc ac^- quantas vézcs
subtrair sucessivamente o < n'^mesnio fariainos para
di-foi possivel essa subtraçao^ ii casos
vidir 26 por 6. Vejainos o.s dois
2 4 - 6 1 8 ^ ( ) 1 2 — ( )
(l.a subiraçâo)
(2." subtraçâo)
(3.a suî'rtî'uçuo)
(4.fl subtraçâo)
2 6 6 2 0 - 6 1 4 - 6" lividendo coiitcm o divisor 4
Em .ombos os cases o dm j,,i„eiro caso c
vêzes; isto é, o quocientc e 4.
— 2 0 —
dividendo contém exalamcnte 4 vczes o divisor ao p-isso
que no segundo case, ficoii um resto, 2. Diz-se que no
e 4 t 0 (/uociente incompleto.
A divisâo exala pode scr considerada como a
onera-çao in\eisa da imiltiphcaçào. Com efeito; se em vez de
rp., u "i « de 24, siiljtraissemos 4 X G, o
aphn mcsnio. Assim, iudo se reduziria a
achai lun numéro que miiUiplicado per G desse 24'.
Segunda definiçâo - A divisâo podo, pois, scr
consi-duada como a operacao em que se dû iiin produlo de dois
numéros (o dividendo) e un. dèles (divisor') para se acïar
o oulio (o quocicnlo).
A divisâo pode aincia ser defiiiida como a onci-icào
pela quai se rcparic um mimero dado em partes imnis
Assini se reparl.rmos 2d objeios iffualnicnle oor (■
pessoas cada uma rcctd.erâ 4. Kuuimcnie poi (,
O sinal de dh-isâo ê que se lè dividido par; assim.
21 : G = 4
le-sc 24 dividido pur 6 e U/ual a 4.
Em Jugar de :, emprcga-se o sinal
.-«...eno traço 0 d i v i s e r . ° u i v u l e n d o e e m b a i x o 2 4
Exemple:,-:^ ^
6OESERVAÇOES: I _ o roo •
q u e 0 d i v i s o r . ^ s c m p r c n i c n o r d oII-— Na divisâo exala n-ln i,-.
que 0 reslo é zero. ' ' 'esto; lainbcin se diz
imiltipiicado pcio quoci^rtc ''' divisor
. IV - Quando' a <Hvisâo ^ ^ ^ = 24).
igual.ao divisor nuiltipHcado noUx ^ ® dividemio e
mais o reslo (2G = 4x0 + 2) incompleto e
> - 2 7 —
V O auocientc da divisâo de um niimero por 1
\ _ () quocie ^.jocicnte de qualquer numéro
é o m e s m o m i m e r o . O q u o c i e m e u c j
diferenlc de zero por si mesino e igua a
_ Hîvicjâo Esiudnremos os très casos se-O s c a s o s o e d i v i s a o
g u i n t e s d e d i v i s â o : , ,
1 . - ) O d i v i s o r t o r n o d i v i s o r e o
menor do cjue 10 ^ezes o di »
quoeiente sào mimeros .ji^-i^iendo é mener do
2.") O divisor c qualquer c o diMfienao
q v i e 1 0 v è z c s o d i v i s o r ; ^ n n a U n i i c r
3..) O divisor e o dividendo sao numeios qumsquer.
Primeiro caso - Seja 78 a ciividir por 8.
Pela tabuada de ?^tVde 78 por 8 é maior
que 8 X 10 dà-80; logo, o qu ^ quoeiente iu
do que 9 c menor do nj'» + 72 ou 6.
complelo é 0 e 0 rcsto e i
C o m e i ' e i t o
78 = 8 X 9 + ®
Para dividir um numéro por ouiro,
SeRundo caso — P" nùmero qualquer e o
di-no caso cm que o dwU'Or c ^ divisor, escreve-se o
videndo é menor do que ( - ç^uarondo-os por um iraço
divisor à direita do . cscrcve-sc o quoeiente em
vertical; sublinha-se o dim. g o divisor têm o
baixo do divisor. divicle-se o primeiro
algaris-mesmo numéro de algaiisi , divisor; se o dividendo
nw do dividendo pelo - t. gç o mimero formado pelos
torn um algarismo a mais, a do dividendo pelo
d o i s p r i m c i r o s d o d i v i s o r, e o b t é m - s e o
primriro algarismo a esq gcaiiida, todo o divisor por
q u o e i e n t e . ' s u b i r a i - s c d o d i v i d e n d o ; s e
éssc algarismo e o diminiii-se sucessivamenie o
n à o f ô r p o s s i v e l a s u b t r a j a , p r o d u t o
quoeiente de uma ""' .''-j'
igual ou inferior ao dividendo.
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I T . Q u a n t o s m i n u t e s l i â e m 3 d i a s e 7 h o r a s ?
18. Quantas horas hâ em um ano bissexto?
, 19. Um papelGiro ganha 80 cruzeiros em cada dûzia de Hvros. Quanto ganha em 3 grosas e 4 dûzias de Uvros?
20. Comprei 6 métros de renda a 42 cruzeiros cada nietro e 8
métros de algodâozinho a 26 cruzeiros por metro. Dei para pagar
uma nota de 1 000 cruzeiros. Qual foi o trOco?
21. Quanto valem 6 caixas de 15 latas de doces em calda,
custan-d o c n custan-d a l a t a 1 8 c r u z e i r o s ?
22. O triple da idade de Pedro ê iguai ao dôbro da idade de Joâo, que esta corn dûzia e meia de anos. Que idade tem Pedro?
- • 23. Se aumentanuos um nûmero de 180 obteremos o seu qui'n-_ _ _ R e s p . : 1 2 a m o s
-t u p i o . Q u e n û m e r o é e s s e ? . 4 5
24. O Produto de dois nûmeros'é 128. Quai passarâ a seTo'prol
duto se multip icarmos um dos fatOres por 3 e o outro por 5?
dêles fW^mUSdo îorT?
tlpliSo? rnrodutf.'^'"" Ji^ntarmos 6 ao
mul-tlphcador. o produto passera a ser 17 225. Quais sào 03 nûmeros?
27. A soma de dois nûmeros é 96 TT.r, r 325 e 47.
Quais sâo os dois nûmeros? aufntuplo do outro.
28. Aumeniando-se um nûmero de si-'î aiu/ Resp.: 16 0 80.
Q u e n û m e r o é ê s s e ? o b t é m - s e 0 s e u s ê x t u p l o .
28. Quanto devo somar a 325 u.
n û m e r o ? p a - i a o b t e r o q u a d r u p l e d ê s s e 3 0 . Q u a n t o c u s t a m 3 d û z i a s a 1 R e s p . : 9 7 a .
cada compasso? meia de oompassos a CrÇ 15,00 31. Num depôsito entram 25 litme! a.. /
s a e m 1 1 l i t r e s n o m e s m o t e m p o O m n t ®
ao fim de 17 horas e meia? Quantos litros haverâ no depô.sito
32. Cinco operârlos fazem certo
a p e n a s u m o p e r a r i o q u a n t o 1 e m I 7 h o r a s . S e f u s s e
b a l h o ? l e v a n a p a r a f t , . ; e r 0 m e s m o t r a
-33. Numa carteira estâo très nntn.
qumhentos cruzeiros, cinco de cem o • cruzeiros, uma de Que quantia contém a carteira? e sete de dez cruzeiros.
34. Quai o nûmero maior: o dôbrr» ,
d o q u a d r a d o d e 5 ? ° d e 4 o u o q u î n t u p l o
3 5 . U m a u t o m O v e l e u m a .
p e r c o r r e m em a mesma eslrada, mas om P^^'tom do mesmo ponto ea m e s m a e s l r a fl a P a r t e m d o
faz em média 42 quUômelros e a moTnoff. ® opostos. O automôvel
Ao fim de 5 horas, que distdncia sennrï «luilômetros por liera.
p a r a o s d o i s V ( a f r » i , i - . . . o
sépara os dois vefculos?'
36. Dois nûmeros multipiicados dâo quilOmetros.
triple de um dos nûmeros pelo dObro do out^?"^^ ^ ° produto do
— 3 1 —
37. O produto de um nûmero por S é 10 736. Quai é o produto d o m o s m o n û m e r o p o r 4 0 ? R e s p . : 5 3 0 8 0 . 38. Que alteraqâo sofre uni ijr:diito do très fatûrcs quandu se multiplica o primclro por 5. o segrunilo per 3 e o torceiro por 4?
Re.sp.: Pica multipllcndo por 60. 3 9 . E f e t u e o s p r o d u t o s
4 3 X 1 1 4 2 5 X 1 1 4 2 5 6 X 11
ù procure descobrir uma regra para obter o produto de qualquer nû m e r o p o r 11 s e m e f e t u a r a m i i l t i p l i c a ç â o .
40. Por quanto é preciso multiplicar 158 para que 0 produto
s e j a 5 0 5 6 ?
4 1 . E f e t u e a s d i v i s é e s :
342 700 -7- 1 500 =
4 G 5 0 0 0 3 1 5 0 = :
8 6 4 0 0 0 0 1 2 5 0 0 = «
42. Xunia divlsfio exata o quociente é 15 e o dividondo 690 Quai
é 0 d i v i s o r ?
43. Quai o dividende numa divi.sâo em que 0 divisor é 18, o quo ciente ë 21 e o re.sto o ninior pos.«ivol? Uesp.- 395 44. O dlvidcndo é 1 546. 0 rcslo é 21 e 0 quociente. 61. Achur 0
d i v i s o r .
_ 45. Dois nûnicro.s inteiros consecùtlvos .si-mam 47. Que nûmeros
s a o C ' s s e s ?
46. Quai o maior nûmero que se pode somar a um dividende sem
q u e o q u o c i e n t e s e a l t é r é ?
47. Xuina divisao o divi.sor é 3.5 e o qucciente. 127; o rosto é o men:.r possivel. Quai é 0 dividende? Resp.: 4 446.
48. A soma de dois numéros 6 572 e a diferença entre êies 82*
Q u a i s s â o o s n û m e i ; o s ? R e s p . : 3 2 7 e ' 2 4 5 :
^ 49. Numa divisrj"', 0 diviser é .51. o quociente é o triple do divisor e b resto o nionor possivel. Quai é o dividende? Resp.: 7 804.
50. Achar 0 divide-ndo sabendo que o quociente é 27 e que o
r e s t e 3 6 é o m a i o r p : . s s î v e l . R e s p : I 0 3 â
"f* 51. Paguei 4 54^ cruzeiros com notas de 20 cruzeiros. Quantas
n o t a . s t i v e d e d a r ? "
•/^52. Dois meninos têm .iunlos 284 sclos. Um tem mais 18 do qiu
0 outre. Quantos selos tem cada um? Resp.: I5l e 133.
53. O ix'sto de lima divisâo é 54 e o divisor, 320. Quai o maior nûmero que se iiode somar ao dividondo sem ahenir o quociente?
r . . " R e s p . : 2 6 5 .
a4. Um numéro dlvicildo por 7 dhninuiu de 126. Que nûmero é
R e s p . : 1 4 7 .
/ao. As Idades de iiaf e filUo reunidas perfazem 82 anos. O pai
— 3 2 —
menor d 5 e o resto o maior possivel. Calcular os dois nûmeros. 57. Numa divisào, o quociente fi „ \ ^ Resp.: IS o 107.
C e n d o
e a . e „ . „
o
5 u "
= m « ; v ? r s r e ! s „ ' " ; : e " ' o " : = S ' " =
Quai era o multiplicande' aumontou do 1 422 unicladcs.
R c s p . : l â S .
PRO VAS RE Aïs DAS QUATRO
OPERAÇÔES
serve pani vtM-ificar'^rS"^^ seginula opcraçâo que
coino podc-se dar na nrovi a errar na prova,
cometifio na prhneira oneracOn r*"" compense oiitro
tlao pi-obabilidades de cxatidà^ " "
Ha tlivcrsas provas n.
a r i t n i é t i c a s . V e r e m n s \ ^ r v , o p c r ç ô e s
eada unia. ' l * cnquanto, a prova real de
ADIÇÂO
ein oïdem difer'eiUe. somar as parcclas
^cz houvcrmos somado ^xeinplo, se da primeira
s o i n e n i o s d e b a i x o p a r a b a s l a r â q u e
proYavehiicnt-c a operacln n \ ■ ^ ^esiiltado for o luesnio,
(^oiu efeito, vimos *'
tera a soma; como, porém parcelas nâo
al-"os dois casos, é proviivcl m, Parciais sâo difcrentcs
Pnmeira operaçâo nâo se r,'^ crro conielido na
i4»-oduza na scgunda.
St'BTlUÇAo
Paia lirai" a prova da i
o sublraondo. Se o resuUadn o reste coin
subtraeao deve eslar certa. ininuendo. a
— 3 3 —
M U L T I P I J C A C Â O
Para tirar a prova da inuUiplicaçâo, troca-sc a ordem dos fatôres e efetua-sc a muitiplicaçâo. Os resultados
devem ser iguais.
Opcraçâo primiliva 4 5 3 5 6 2 P r o v a 5 6 2 4 5 3 9 0 6 2 7 1 8 2 2 6 5 2 5 4 5 8 6 1 6 8 6 2 8 1 0 2 2 4 8 2 5 4 5 8 6
De fato, vimos que a ordem dos fatôres nâo altera o
valor do produto. Mas, como os produtos parciais sâo
diferentes nos dois casos, é provâvel que qualquer crro
cometido na primeira operaçâo nâo se reproduza na
segunda.
D I V I S Â O
MuUipIica-se o divisor pclo quociente e soma-se o
r e s t o , s e l i o u v e r. Operaçâo 434 I 28 1 5 4 I 1 4 1 5 P r o v a 1 5 X 2 8 1 2 0 3 0 4 2 0 + 1 4 4 3 4
A divisâo estarâ provàvelmente certa se o resultado
fôr igual ao diridendo.
EXPRESSÔES ARITMÉTICAS
Os candidates ao curso ginasial, além dos exercicios
propostos no texte sobre cada ponte do programa, deveni
praticar a resoluçâe de pcquenas expressôes. Indicareinos
abaixo a marcha a seguir nos cases mais simples.
Exempîo: Calcular a expressâo:
18 — 5 — 3 + 12_7^_8
Neste caso em que sé hâ semas e subtracôes,
somam-"n:i T"ach:.s"™° ^
18 + 12 + 8-38
cstâe "rece'didos
Acha-se ^ segunda soma da priineii"''»*
— / , 5 — • > ■ ?
^e e o i-esulfado da expressâo
Na pràUca.. indica-se assim :
+ ( 1 8 + 1 2 + 8 )
-C5 + 3 + 7) = 38 — 15 = 03
2.- Excmplo: Calcular a expressâo:
5 X 3 + 39 H- 13 _ 20 + 80 ^ 2<
as ■m.Ui'pU?aT5efeTd1vis''ôt"'Wse'
5 X 3 = 15 39 13 = 3 oj _ t/.
Substituindo, na expressâo d ui*» t
respectives resiiltados, lem; ^ operaçôes pclos
+ 3 — 20 + 5 A p l i c a n d o , a « o r n 1 1
acha-se 3 para valor da expr^^âo anterior.
— 3 5 —
3.® Exemplo: Resolver a expressâo:
15 — C8 X 4 + 5 — 12) + 70 — 2 ~ 18
Nestes casos, efetuam-se primeiramenle as operaçôes
contidas no parentesis, como se constituissem uma ex
pressâo à parte. Acha-se:
8 X 4 + 5 — 1 2 = 2 5
Substitui-se, ein seguida 0 parentesis pelo valor acha-do, isto é, por 25, e recai-se, entâo, num dos casos
ante-r i o ante-r e s , V e m
1 5 — 2 5 + 7 0 2 — 1 8
expressâo que jà sabemos calcular. O resultado é 7.
4.® Exemplo: Resolver a expressâo:
15 5 — [ 16 + 3 (7 — 2 X 6 + 13) — 30 ]+ 12 X 3 Resolve-se, neste caso, o parentesis e depois as ope
raçôes da chave. 0 valor do parentesis é:
7 — 2 X 6 + 13 = 7 — 12 + 13 = 8
Substituindo o parentesis pelo sen valor achado, a expressâo contida na chave passa a ser:
16 + 3 X 8 — 30 = 10.
Finalmente, substitui-se na expressâo dada a chave pelo seu valor. Vem:
15 ^ 5 — 10 + 12 X 3 expressâo que, resolvida, dâ 29.
Na prâtica, dà-se a disposiçao abaixo:
15 ^ 5 — [16 + 3 (7 — 2 X 6 + 13) — 30] + 12 X 3 =
= 15 5 — [16 + 3 X 8 — 30] + 12 X 3 = = 15 5 — 10 + 12 X 3 = 3 — 10 + 36 = 29
1
— % ( ? y ^ EXERCÎCIOS E PROBLEMAS (4 opemçSes) f e n » » o q u g p e s s o a s r e c e b e r d e a r m t . - . m o d o t , . q u e r n n u m a p C r $ -0 dCbro do&nîdTTuVo%iaï°^
205 e reeeba615-âas paginas do outro Vuanï^ Pûgîijas, sendo um <
• Quantas pagmas tern cada livre?entrHle" o triple do
^4- Quai é o nrtm nûmeros? Resp.: 1- ®
0 tripio (la «pma TJ\ "i^îs o triple da 490?
rença entre êUs e ac a. nûntçvos £• 150 e o dôbro
6 . R e p a r t i r C r s 3 2 - f i O s î j c p ^ n " • *
recebao triple da i « e n\ a pe^bdsT Ve isD^W '
e a 3.'^ û dôbro da 2.''. ,,£i.7. Dois nomeros IniM.Ï^"' 975,00; Cr? ^ "L'oS
nûm^ros? ntoiios consecullvos somam 57. Quais
es3es,n^ûmeros?'^'"'^*^*^^ intelros oonsecullvos somam jS!
7 < ? . N u m < > t ' s s e V B e s p . : 9 5
-beca«. Quaniaa eào aa gatinha^ ® ^0 ^odo 84 péa e 27 ca
Saiinhas e quantos os coelhos?
sera a'iâ-iZ ^nos e se,, rn?"' Sallnhas e 15
coelbos-12 ° da do®;. I^aqui a quantos aPOS
U m p r o f e s s o r t e m k i ' " I h o ? „ g a n o s *° '•"ûdruplrj ?"
o .
™ r " r . L i ' ^ ! î r -
' ï e ^ i
e tlç C.-Ï 50,00. ao t^^p'^ào qVt^'° ^'otaj^de 200.00
i S , v a l o r ?
■7». i/ûM nifry,,,^ notas ffe Oi^ soo.ao é a» «^^ jr
itn mr,,- I S.\bctuSo quo rtua Botiia «î SfiO o que O
~'Lta"rLr'°„ =-/i':- „
..ea. it metad, do duoolente. Qua" d o dlvSdo"t
3 C4 "'Q^'dtsf "ndt.."? c'uSruîdo'^d
custrmS" cTr22™0°ao"„e'o%IT"'''°'n''''°'" 26,Ôo!"o'llvro
19. Acltar „ oûn»r„%r „Lth!S„ ™"°'°
t a d o d e 7 0 4 u n l d a d ç s . d û s â a f i c a a u m e n -2 0 . U m v e n d e d o r d e a v e s » m h > i i t i v > « . v . I t e . s n . ; 0 4 . '
a Cr? 32,00. No trajeto, descuidand-a; deïïo^que 'q
Huo iu avea
escapas-~ 3 7 —
sem. voando. Para nâo ter prejuizo teyo de vender cada iima das
restantes par Cr$ 40,00. Qiiantas aves erâm a princfpio e quai o total
apiirado na venda? Re.sp.: 50 aves; Cr$ 1 000,00. 21. Se um livreiro pusor CO livras cm cada caixa, sobrarilo 20
livros, nias se puser 70, ficarâ na ûltima cai.sa lugar para 100 livres.
Quantas sâo as cai.vas e quantos os livres?
B e s p . : 1 2 c a i x a s ; 7 4 0 l i v r o s .
22. .-ts 3 horas .sai da estaçâo ferroviûria um trem com a velo-cidade do 56 km per liera o ils 4 lieras e mêla sai outre trem fazendo
63 km por hora e percorrendo o mesmo trajeto do primeiro. A que
horas o segundo trem alcança o primeiro e a que di.stancla da esta
ç â o d e p u r t l d a ? B e . s p . ; 1 6 h o r a s ; T ' . O k m .
23. Um homem tinha 21 anos quando Ihe nasceu o primeiro filho. Atualmcnte G pal torn o quaclriijilo da idude do filho. Que Idade tem
R e s p . t 7 a n o s .
24. Um operûrio ganha Cr§ 120,00 por dia que comparoce ao ser-viço 0 paga multa de CrS 50,00 cada dIa que falta. Passades 20 dias recebeu CrÇ 1 890,00. Quantos dias dcixou de comparocer?
« K , . , R e s p . : 3 d i a s ; 25. Acroscontando um zero â diroita do um nûmero êle
aumen-tou de 5 328. Quai ent o nûmevo? Resp
26. Acrescentel dois zeros îi diroita do um nûmero e 61e aumon! tou do 1 287 unidades. Quai era o nûmero? Resp.: 13.
27. .\ diroita de uni nûmero acrcscontei o algarlsmo 3 o 61e ficoû
aumentado de 1 SS4 unidade.s. Quai era o numéro? Resp.: 209 28. Comproi um objeto por Cr$ 5 820,00. Del iima enti-ad.a de
Cr$ COO.OO 0 fiquei pagando o restante em 12 prestaçCes. Quai o valor
de cada prestaçûo?
29. Qijanto ganha por hora um operArlo que, em 12 dias,
traba-Ihando 7 hora.s por dia, porcebeu CrS 1 764,00?
30. Os lr6a_ nûuiero.s do uma subtraçùo somado.s duo 2 102 Achar êsses nûmerus sabendo que o minuendo 6 o quûdruplo do resto.
Resp.: 1096; 82'' e 274
31. Numa divlsûo. o quociente 135 é igual à soma do divisor coni o reste, sendo êsto o maior pos.sivel. Pede-se o dividendo.
32. Très nûnieros pares sucessivos somam 60.
n û m e r o s ? t > „ Resp.: 18, 20 e 22.® 33. Complete as igualdades:
23 2S0 = 51 X • 4- 24 7 584 = 102 X 74 4- •
1 7 8 3 2 = . 3 2 0 X 5 G — •
34. Par.a numerar as paginas do um dlbum uni desenhîifti i,o,n„
CrS 3,00 por algarismo. Ao terminar o trabalho recebeu CrS 594 oo
Q u a n t a s p â g i n a s t i n h a o â l b u n i ? . - A n . -Resp.: 102 pûgs.
