Control Experimental del Modelo de Pendulo Matematio
(Experimentalontrolofmathematialpendulummodel)
Cesar Medina 1
, SandraVelazo 1
, JuliaSalinas 1;2
1
UniversidadNaionaldeTuuman
Av. Independenia1800, (4000)SanMigueldeTuuman
2
CONICET
jsalinasherrera.unt.edu.ar
Reebidoem28denovembro,2001. Aeitoem15dejaneiro,2002.
SeaportanonsideraionessobreuntrabajopratiodelaboratoriodeFsiadestinadoaalumnos
ononoimientosteorios sobre osilaiones. Se proponealos estudiantes onstruirun pendulo
queseomporteomomatematio,yrealizarunanalisisdelerrorintroduidoporlossupuestosdel
modelo. Entre ellos, seanalizan uantitativamente: rozamiento despreiable, amplitudpeque~na,
hiloinextensible,masapuntualdeluerpo,masadespreiabledelhilo. Seonluyequelossupuestos
del modelo sepueden umplir failmente enun aso pratio, y que su analisis permite que los
estudiantes adquieran una mejor omprension del modo iento de ontrolar la validez de los
desarrollosteoriosyvalorenlaimportaniaylautilidaddelosmodelossenillosenlaienia.
Considerations about a Physis laboratory experiment intended to studentswith some
theoreti-al knowledgeaboutosillations are given. Studentsare proposed to onstruta pendulumthat
behavesas a mathematial one, and to analyze the error dueto the model assumption. Among
these hypothesis, the following onesare quantitatively analyzed: vanishing frition, small
ampli-tude, inextensible wire, puntual mass of the body, vanishing mass of the wire. It is onluded
that modelhypothesisare easily aomplished inpratie, and thattheir analysisallow abetter
students'omprehensionofthesientiwaytoontroltheoretialdevelopmentvalidity
I Introduion
Losreferentesdiretos delasteorasientasno son
los fenomenos naturales (inabordables en su
omple-jidadglobal)sinolosmodelos,esdeir,onstruiones
inteletualesbasadasengeneralizaiones,abstraiones
eidealizaiones(Bunge1985).
En partiular, los modelos senillos, ademasde su
importania ienta, onstituyen una valiosa
herra-mienta didatia mediantelaualelalumnopuede
in-volurarse en atividades y tomas de deision
ohe-rentesonlasdesarrolladasporlaomunidadienta,
yontrolarlaadeuaionentreteorayrealidad.
II Planteo del Problema
Loquesigueaportaonsideraioneseneldesarrollode
un trabajo pratio de laboratorio orientado a
alum-nosqueyaposeanonoimientos teoriossobre
osila-iones meanias. Entre losdiversostextosque tratan
estetemaysusomplementariosonelniveladeuado,
elegimospara failidaddel letor,basarlasreferenias
bibliograas enuno bastante onoido: Fsia, Vol I,
deResnik,HallidayyKrane,1993(enadelanteitado
omoR-H-K).
Enpartiular, elestudiante debeonoerlas
eua-iones del perodo de a) un pendulo fsio, es deir,
ualquieruerporgidomontadodemaneraquepueda
osilar en un plano vertial, respeto a algun eje que
pase porel,y b) deun pendulo matematio, es deir,
una partulasuspendida deun ordonligero
inexten-sible(R-H-K,ap.15,x5):
a)Perododeunpendulofsio:
T
f =2
s
I
mgd
(1)
dondeT representaelperodo;I,elmomentodeineria
del uerpo; m,la masadel uerpo;g, elvalor loal de
laaeleraiondelagravedad,yd,ladistania entre el
ejedegiroyelentrodegravedaddel sistema.
b)Perododeunpendulomatematio:
T
m =2
s
l
g
(2)
dondelrepresentalalongituddelhilo.
Se propone a los estudiantes que onstruyan un
pendulo que se omporte omo matematio y que, a
partirdelamediiondesuperodo,determinenel valor
loal de la aeleraion de la gravedad,g, on un
errorprejado;usualmentedadoenterminosrelativos:
"=g/g. Paraello,deberanrealizarunanalisis
uan-titativo de los errores introduidos por el proeso de
mediionyporlasidealizaionesdelmodelousado.
Estetrabajoestaentradoenelontroldelerror
in-troduidoporelalejamientodelasondiiones
impues-tasporelmodelodependulomatematio.Enuniemos,
pues, brevemente estasondiiones, y luego
analizare-mos los errores que introdue la falta de su
umpli-mientoestrito.
Lae. (1)sededuesuponiendo:
S
1
: Rozamiento despreiable (en la e. de
movimiento, lafuerzatotal aeleradora es, en ada
instante,laomponentetangenialdelpesodeluerpo).
S
2
: Amplitudes peque~nas de osilaion (en la
euaiondemovimiento,elsenodelangulodeamplitud
puede serreemplazadoporelangulomismo).
S
3
: Un uerpo rgido (distribuion invariable de
masa y,portanto,momentodeineriaonstante).
Por su parte, la e. (2) es un aso partiular de
la (1), uya validez debe ontrolarse para un sistema
omo elonstruido por los estudiantes. Luego, la(2)
debeumplirlosmismossupuestosquela(1)masotros
adiionales.
Para onsiderar al pendulo matematio omo un
asopartiulardelpendulofsio,abeenprimerlugar,
reformularelsupuestoS
3
,yaqueunhilonopuede
on-siderarseunuerporgido. Sinembargo,ladistribuion
demasasdelpendulossepuedeonsiderarinvariablesi
elhilonoambiasulongitudalolargodelmovimiento.
As,S
3 queda:
S'
3
: elhilodebeserinextensible.
Lossupuestosadiionalessebasanendosrequisitos
que permiten pasarde lae. (1)ala(2).
Estos estan
asoiadosaunaexpresionsenillaparaelmomento de
ineria, y a laondiion de que d sea igual al. Para
ello,sedebeumplir:
S
4
: Lamasadeluerpodebeserpuntual.
S
5
: Lamasadel hilodebeserdespreiable frentea
ladeluerpo.
Enefeto,bajoestasondiiones:
(3)
T =2 q
I
mgd
=2 q
m
p l
2
m
p gl
=2 q
l
g
III Analisis del Error
Intro-duido por los Supuestos del
Modelo
1. Rozamiento Despreiable
Elefetoderozamientopuededarseentreelsistema
yel medioen el ualosila, yentre elhilo y eleje de
osilaion. Este ultimo es mas fail de evitar que de
evaluarmatematiamente,porloualsereomienda
-jarelhiloaleje deunaforma losuientemente rme
omo para evitar ualquierdesplazamiento de la
liga-dura. Enpartiular sedebe evitar\enrollar"el hiloo
haer ligaduras en forma de \anillo" suelto. Si se lo
enrolla, el hilo, a lo largo de la osilaion, estara
en-rollandose ydesenrollandoseuna poriondevuelta, lo
ualvariarasu longitudefetivaalolargodeada
os-ilaion. Si por otra parte, a la ligadura se le da la
formade unanillosueltoseintroduiraunrozamiento
difildeevaluar.
Paraevaluarelrozamientoonelaire,onsideremos
eltorque(R-H-K, ap.12,x4 )queeste ejeresobre el
sistema:
M
R =F
R
d (4)
dondedrepresentaelbrazodepalanaefetivo,yF
R ,
lafuerzaderoe. Ambosfatoresdependendelaforma
y tama~no del uerpo, y F
R
, ademas, de la visosidad
del aire y de la veloidad del uerpo relativa al aire.
Como se esta trabajando onuerpos peque~nos, abe
suponer, enprimera aproximaion, qued esla
distan-iaentreelejedeosilaionyelentrodegravedaddel
uerpo.
Paraveloidadespeque~nas(R-H-K,ap.15,x8),
siendo b la onstante de rozamiento entre el aire y el
uerpo;yv,laveloidaddeluerporelativaalaire.
In-luyendolae. (4)enlae. diferenialdemovimiento,
seobtiene (R-H-K,ap.15,x8)
=
o e
bt
2m
os(! 0
t+') (6)
donde la exponenial representa el efeto de
amor-tiguamiento, !' eslafreuenia delmovimiento
amor-tiguadoy'eselangulodefase.
As, para un pendulo matematio, el perodo del
movimientoamortiguadoqueda
T 0
=2=! 0
= 2
p
g
l (
b
2m )
2
(7)
Dela(7)sededuequepara queelroedel airese
puedaonsiderardespreiable,elsegundoterminoenel
disriminantedelarazdebesermuypeque~nofrenteal
primero,omo efetivamente loes, porlosvaloresque
puedenasumir lasvariables.
Analiemos esto uantitativamente. El error
rela-tivo en el perodo introduido por usar la e. (2) en
lugardela(7)es
T
T =
T 0
T
m
T
m =
2
p
g
l (
b
2m )
2 2
p
g
l
2
p
g
l
(8)
La e. (8), luego de dividir numerador y
denomi-nadoren2 (g/l) 1=2
, queda
(9)
T
T =
1
(b=2m) 2
gl
1=2
1
y desarrollando el parentesis del segundo miembro en
seriebinomial,hastaelsegundotermino,seobtiene
(10)
T T
m
T
m =
1
2 (b=2m)
2
g=l
Luego, basta que el segundo miembro de la e. (10)
seamenorqueelerrorprejado"paraqueelefetodel
amortiguamientoseadespreiable.
2. AmplitudIniial Peque~na
Laeuaionparaelperododelpendulomatematio
queinluyeladependeniaonlaamplitudes(R-H-K,
ap.15,x5,ysusreferenias):
(11)
T
=2
s
l
g
1+ 1
2
2 2
sen 2
(=2)+ 1
2
3 2
2 2
4 2
sen 4
(=2)+:::
que,porpropiedadesdeonvergenia,sepuedetrunar
en ualquiertermino obteniendose que la suma hasta
eseterminoseramayorquelasuma delosrestantes.
As,trunandolaenelsegundo,alosnesde
alu-larelerror,setiene
T
=2
s
l
g
1+ 1
2
2 2
sen 2
(=2)
(12)
Luego,el errorrelativointroduidopor usar lae.
(2),nodependientedelaamplitud,enlugardela(12),
dependientedelaamplitudes
T
T =
T
T
m
T
m =
1 2
2 2
sen 2
(=2) (13)
de donde se puede alular , luego de igualar el
se-gundomiembroaunvalormenorqueelerrorprejado
".
3. HiloInextensible
Paraanalizarestaondiiondebemosonsiderardos
aspetos: i) la deformaion del hilo alapliar el peso
del uerpo en formaestatia, y ii) la deformaiondel
hiloproduidadurante laosilaion.
Al apliar el peso del uerpo en forma estatia, el
hilo puede sufrir una elongaion onsiderable sin que
estoafeteelmodelo. Bastaonqueladeformaionno
supereellmiteelastioyladensidadlinealpermaneza
onstante,andealularelmomentodeineria.
Durante laosilaion,debetenerse presente que el
hiloestasometidoaunatensionvariable. Sumoduloes
iguala lasuma dela omponente radialdel peso mas
lafuerzaentrpetaasoiadaalmovimientoirular
(R-H-K,ap.4,x5),
=Pos+m: v
l 2
(14)
dondeP representaelpesodeluerpoyvsuveloidad
respetoalaire.
Igualandolaenergainetiamaxima del uerpoa
su energa potenial maxima (R-H-K, ap.7, x4), se
puede alular laveloidad del uerpo alpasar por la
posiiondeequilibrio:
v= p
El hilo sufrirauna tension mnimauando este en
sumaximaamplitudyunamaximauandopaseporsu
posiiondeequilibrio. Ladifereniaentre estosvalores
extremoses
=3P (1 os
o
) (16)
Luego,unavezjadalaamplitudiniialsegunlae.
(13),sedebeelegirunhilolosuientementeresistente
alatraion(yasea por su modulodeYoungy/o por
susdimensiones),ounuerpolosuientementeliviano
para quela difereniadetension dela(16)lo elongue
una antidad menor que la jada para el error de su
longitud. Eneste sentidoesreomendable nousar
hi-los vinliosni de bras textiles, exeptoon uerpos
livianosyamplitudespeque~nas.
4. Masa Puntual
Ladistribuiondemasadeluerpoafetaalperodo
delpenduloatravesdelmomentodeineria. Apliando
el teorema de los ejes paralelos (Steiner), se observa
que diho momento de ineria estadado por (R-H-K,
ap.12,x2)
I
p =I
G +m
p d
2
(17)
dondeI
G
eselmomentodeineria deluerporespeto
de suentro degravedad,m
p
eslamasadel uerpo,y
des ladistaniadesdeelentrodegravedaddeluerpo
hastaelejedeosilaion.
Dadoqueelsegundoterminodelsegundomiembro
de(17)eselmomentodeineriadeunamasapuntual,
el primer termino puede interpretarse omo el
er-ror en exeso debido a que la masa del uerpo no lo
es. Luego, basta on que el oiente entre el primer
terminoyelsegundoseasuientementepeque~nopara
que lamasa puedaonsiderarsepuntual, sin importar
lasdimensionesdeluerpo.
Para saber uan peque~no debe ser este oiente,
onsideremos el error relativointroduido por usar el
perodo del pendulo matematio en lugar del de un
pendulo fsio, T
G
. Suponemos que el pendulo fsio
estaonstruido onun hilode masadespreiable pero
on unuerpode tama~no nito. Porotraparte, para
elperododelpendulomatematio,porsimpliidad,
u-saremos \d" en lugar de \l", que en este sistema son
iguales. Luego,
(18)
T
T =
TG Tm
T
m =
2 q
I
G +mpd
2
mpg d 2
p
d
g
2 p
d
g
= 2
r
d
g
I
G
mpd 2
+1
2 p
d
g
2 p
d
g
=
I
G
mpd 2
+1
1=2
1
Haiendo el desarrollo binomial, hasta el segundo
termino del parentesis del ultimo miembro, seobtiene
que para que la masa del uerpo pueda onsiderarse
puntualbastaque
(19)
1
2 I
G
m
p d
2 <<"
5. Hilode Masa Despreiable
Lamasadelhiloafetaelperodoportresmotivos:
I)porqueontribuyealmomentodeineria del
sis-tema:
I =I
hilo +I
pesa
(20)
DadoqueaumentaI,enomparaiononelpendulo
matematio(e. (3)), estefator tiendeaaumentarel
perodo.
II) porque ambia la posiion del entro de
gravedad, uyadistania al eje de osilaion sera
(R-H-K,ap.14,x2)
d= m
h
l=2+m
p l
m
h +m
p
(21)
Dado que disminuye d, en omparaion on el
pendulo matematio (e. (3)), este fator tambien
tiendeaaumentarelperodo.
III)porque ambialamasa totaldelsistema:
m=m
hilo +m
pesa
(22)
Dado que aumenta m, en omparaion on el
pendulomatematio(e. (3)), estefatortiendea
dis-minuirelperodo.
El momento de ineria del hilo -que debe
reem-plazarse en la e. (20)- si su densidad lineal es
ho-mogenea,estadadopor(R-H-K,ap.12,x4)
I
hilo =
1
m
hilo l
2
Reemplazando (20), (21), (22) y (23) en (1), y
deniendo
k=m
h =m
p
(24)
sepuedealularuantoseapartaelmodelodependulo
matematiodelmodelodependulofsio:
(25)
2 q
I
mgd =2
r
I
h +I
p
(m
h +m
p )g
m
h
1=2+mp1
m
h +mp
=2 r
( 1
3 k +1)m
p l
2
g( 1
2
k +1)lmp
=2 q
l
g
r
( 1
3 k +1)
( 1
2 k +1)
Elultimo oeiente del ultimo miembroes
obvia-mentemenorquelaunidad. Estoindiaqueelaumento
de lamasa totalprevaleesobre losotros dosfatores
arribaanalizadosenrelaionalamasadelhilo. Luego,
sepuede esribir
T
T =
T
h Tm
T
m
= Tm
r
( 1
3 k +1)
( 1
2 k +1
) Tm
T
m
= r
( 1
3 k +1)
( 1
2 k +1)
1
(26)
Observese en el ultimo miembro que, por ser el
primer termino menor que 1, el error relativo debido
alamasanonuladelhilo,.esnegativo(pordefeto).
IV Conlusiones
Del analisis uantitativo del error se dedue que las
hipotesis del modelo pueden umplirse failmente en
un aso pratio. Por otra parte, expresiones omo
\amplitud peque~na",\masa puntual", \hilo
inextensi-ble",\masadespreiable",puedenadquirirsigniados
muydistintosdelosquelosalumnospodranatribuirles
basados en interpretaiones literales, deniiones
pre-vias,ooneptosonstruidosenotrosontextos.
As, dentro de un error del 1%, en ada aso (por
separado),unaamplitudiniialde23 o
espeque~na;una
esferauyodiametroesel30%delalongituddelhilo,es
puntual;lamasadeunhilo,igualal10%delamasade
la pesa, esdespreiable; elhilo puede sufrir una
elon-gaion arbitraria, dentro de su lmite elastio, al ser
argado estatiamente obien la tension a laque esta
sometido puede variar durante la osilaion, sin dejar
deser\inextensible".
El desarrollo de este pratio permite que los
es-tudiantes adquieranuna mejor omprensiondel modo
iento de ontrolar la validez de los desarrollos
teorios y valoren la simpliidad omo una ondiion
deseableyutil delosmodelosientos.
Bibliograa
[1℄Bunge,M.1985. LaInvestigaionCienta,
Edito-rialAriel,Barelona.
[2℄ Halliday, D., Resnik, R., Krane, K.1993. Fsia,
Vol1,4 a
