La Interaion Mutua entre Fuentes y las Aparentes
Anomalas en el Fenomeno de Interferenia
Reinaldo Welti
weltrebarnet.om.ar
FaultaddeCienias Exatas,Ingeniera yAgrimensura
UniversidadNaionaldeRosario
Avda. Pellegrini250-(2000)Rosario-Argentina
Reebidoem31dejulho,2002. Aeitoem16desetembro,2002.
Enlamayoradelostextosdefsiadelnivelbasiouniversitarioaltratarelfenomenode
interfe-reniasuponenquelas fuentesirradiandelamisma formaualquierasea ladistaniaentreellas.
Enalgunassituaionesestasuposiionpuedellevaraaparentesanomalasenlaonservaiondela
energa. Enestetrabajosemuestraqueestasanomalasseresuelvensolamentesielfenomenode
interfereniasepresentaenunontextoquetengaenuentalasinteraionesentrelasfuentesyel
generadorquesuministraenergaalasmismas.
Inalmost all Physis textsof basi university level that treat the interferene phenomenon it is
supposedthatsouresirradiateinthe sameway whateverthedistanewas amongthem. Insome
situations thissupposition leadsto apparentanomalies intheonservationof theenergy. Inthis
workwedemonstratethattheseanomaliesaresolvedonlyiftheinterferenephenomenonis
presen-tedinaontextthatkeepsinmindtheinterationsbetweenthesouresandthe generatorwhih
givestheenergy.
I Introduion
Es bien onoido[1℄ que la intensidadde la radiaion
emitida por dos fuentes identias que osilan on la
misma amplitud, freuenia y fase, es, en algunas
di-reiones, uatro vees mayor que la que produira
una sola de las fuentes. En algunos textos [2℄ se
o-menta estehehoarmandoque\...sinembargo,omo
es laro, la energa total emitida por las dos fuentes
es solo el doble de la que emite una sola fuente. El
aumentoenunfatordemasdedosenalgunas
direi-onesseompensaporlaexisteniadeintensidadesero
en otras direiones, a lo largo de las lneas nodales.
Lainterfereniaesesenialmenteunadistribuiondele
energadisponible"
Sinembargo,silasdosfuentesestanalimentadasen
fase,laslneasnodalesdesapareenuandoladistania
entre fuentes(d) esmenorquelamitadde lalongitud
de onda(). Enellmite d=!0laintensidadde la
ondaentodaslasdireionesdelespaioy,porlotanto,
la poteniatotal que emiten lasdos fuentes esuatro
veeslapoteniaqueemiteadaunadelasfuentespor
separado. >Sehareadoenerga? >Dedondeproviene
estaenergaadiional?.
Cuandounradiador estaoperando en las
proximi-dadesdeotrosradiadores,elfunionamientodeada
fu-Una investigaion uantitativa de esta interaion
re-quiereunonoimientodetalladodelasperturbaiones
queprodueunradiadorenlospuntosenlosquese
en-uentranlosradiadoresveinosydelasperturbaiones
queestosproduenenlazonaenlaqueseenuentrael
primero.
Al estudiarlainterferenia delaradiaionemitida
pordosfuentes sesupone quela\amplitudde la
osi-laion" de las fuentes (la orriente en losondutores
deunaantenaqueemiteondasderadio,olaveloidad
delasmembranaenunparlantequeemiteondas
sono-ras)esindependiente de ladistaniaentre lasfuentes.
Sinembargo,omoveremosenlaproximaseion,para
quenosealterelaamplitudde laosilaionuandose
vara ladistania entre las fuentes, la potenia que el
generador suministra a losemisores debe modiarse.
Enpartiular, si lasfuentes estanalimentadasen fase
yd=!0,elgenerador debedupliar lapoteniaque
entregaaadaemisor.
La interaion mutua entre fuentes es importante
uandoladistania entre ellas esomparableomenor
quelalongituddeonda. Enlamayoradelos
dispositi-vosqueseutilizanparaestudiarlainterfereniadelas
ondaseletromagnetiasen elrangovisible, la
distan-iaentrefuentes esmuho masgrandequelalongitud
ualenelnivelbasio,queusualmente restringela
in-terfereniaalasondasluminosas,ignoraporompleto
lainteraionmutua.
Enlosultimos a~nossehanobtenidoresultados
expe-rimentales[3℄[4℄sobrelainterfereniadelaluzquepasa
atravesdeunaformaiondepeque~nosoriios,
prati-adossobre laminasde oroy separadospordistanias
omparables on la longitud de onda. Enestos
expe-rimentosseobservaronalgunasaparentesanomalasen
laintensidaddelaluzdifratadaporestosoriios,que
podranexpliarsesisetienenenuentalas
interaio-nesmutuasentrelosmismos.
Enelampliorangodefreueniasdelasondasde
ra-diolainteraionmutuaentreantenasesunfenomeno
bienonoido. Enestosasoslainteraionmutua
en-trelasantenassedesribemediantelasasllamadas
im-pedanias mutuas [5℄. El alulode estasimpedanias
mutuas es, en general,muy omplejo, pues el metodo
queseutilizarequiereelonoimientodelosamposen
lazonaerana.
La interaion mutua entre emisores de ondas
austias (parlantes) ha sido analizado reientemente
[6℄ utilizando un metodo sugerido por Prithard en
1960 [7℄ que requiere solo el onoimiento del ampo
en la zona lejana. Esto failita la omplejidad de
los alulos involurados. No tenemos onoimiento
que este metodo \austio" haya sido utilizado para
elalulo deimpedaniasmutuasentreantenas.
II Interferenia de dos fuentes
alimentadas en fase
En la Fig. 1 se muestra un sistema de dos fuentes
identiasS
1 yS
2
, ubiadasalolargodelejez y
sepa-radasporunadistania d. Lasfuentes estanexitadas
onlamismafreuenia,amplitudyfase. Laintensidad
delaondaI(joule=m 2
s)irradiadaporestesistema,en
elpunto P deoordenadas(r;;),quesemuestraen
laFig. 1,vienedadapor[8℄:
I(;)=4I
1
(;)os 2
( kd
2
os) (1)
donde
I
1
(;)=I
0 G(;)
es la intensidad emitida por ada una de las fuentes
mientras que I
0
esla intensidad que rea en elpunto
P unradiadorisotropioqueirradialamismapotenia
que ada una de las fuentes por separado. Si W
0 es
estapotenia,I
0 =W
0 =4r
2
. LafunionG(;) esla
funion diretividad deadauna delasfuentes. Si las
fuentessonisotropiasG(;)=1. Observemosquede
auerdoaestasdeniioneslaintegraldeG(;)sobre
Los puntos del espaio en los uales I(;) = 0,
(superienodal)satisfaenlaeuaion
os=(2n+1)
2d
ualquierasea. Estassuperiessononos. Sid,
haymuhas superies nodales. Entre dossuperies
nodales se tienensuperies sobre las uales la
inten-sidad es 4I
0
. Por lo tanto, la intensidad promediada
sobre todas las direiones es 2I
0
y la potenia total
emitidaeslasumadelaspoteniasdelasdosfuentes.
P
r
φ
θ
z
y
x
S
2
S
1
Figura1. Interfereniaentredosfuentesisotropias.
Sin embargo, omo lo meniona Crawford [8℄,
u-ando las fuentes estan separadas por una distania
d<=2 nohaymassuperiesnodaleseneldiagrama
deradiaionyelpromediodeI esmayorque2I
0 . Enel
asolmiteenelqued=!0,laeuaion(1)seredue
a
I 4I
0
G(;):
Enesteaso,lapoteniatotalnoeslasumadelas
poteniasentregadasporlasdosfuentessinoeldoblede
estasuma. >Esestaunaviolaiondelprinipiode
on-servaion de laenerga? No, para nada. En realidad,
omoveremos,adafuenteemitedosveesmasenerga
en presenia de la otra.>Comoes posible esto? En la
deduiondelaeuaion(1)estaimplitalasuposiion
dequeel\movimiento"delasfuentesesindependiente
de la distania entre las mismas. Sin embargo, omo
veremosen laproximaseion, para queno ambie el
\movimiento"delosemisoreselgeneradorquealimenta
lasfuentesdebedupliarlapoteniaqueentregaaada
unadeellas.
III Impedania mutua de dos
emisores
an-muestra en la Fig. 2. Los dos dipolos tienen iguales
dimensiones, son paralelos y estan separadosporuna
distaniad. ApliamosalprimerdipololatensionV
1 de
freuenia!,yalsegundodipolo,latensionV
2
deigual
freuenia yfase. Enlosdipolosseoriginan orrientes
eletrias,uyasamplitudesomplejasenlosterminales
deentradasedesignanporI
1 eI 2 ,respetivamente.
d
I
2
I
1
V
2
V
1
+
+
Figura2. Dosantenasdipolosparalelasonaoplamiento
mutuo.
Eldiagramaderadiaiondelsistemadedosdipolos
dependeesenialmentedelarelaionentrelas
amplitu-desylasdifereniasdefasedelasorrientesI
1 eI
2 en
sus entradas,las quedependen, asu vez, de las
tensi-ones V
1 y V
2
apliadas en esos terminales. En teora
deiruitos,laapliaiondelteoremadereiproidad 1
permitededuir lassiguientesrelaionesentre las
ten-sionesylasorrientesdeentradas:
V 1 = Z 11 I 1 +Z 12 I 2 (2) V 2 = Z 21 I 1 +Z 22 I 2 donde Z 11 y Z 22
son las impedanias propias de las
antenas 1 y 2, mientras que Z
12 y Z
21
son sus
impe-danias mutuas. Estas impedanias mutuas tienen en
uenta lasinteraionesentre lasdosantenas. La
or-riente I
1
de laantena1 reaunampo eletrioen la
zona que la rodea y este ampo eletrio indue una
femZ
12 I
1
en laantena2. Delamismamanera la
or-riente delaantena 2induelafemZ
21 I
2
enlaantena
1. Enlaeuaion(2)lastensionesylasorrientesson
generalmenteomplejas. Elalulodelasimpedanias
mutuasesengeneralmuyompliado[9℄.
Mediante elteorema de reiproidad se demuestra
que: Z 21 =Z 12 (3)
Comolosdosdipolossonidentiostenemostambien
que Z
11 = Z
22
. Remarquemos, sin embargo, que la
igualdad(3) esvalidaaunuandolasantenas sean
di-ferentes.
Si las antenas estan alimentadas on la misma
tension, V
1 = V
2
, entones por simetra, I
1 = I
2 , y
porlotanto:
V 1 =(Z 11 +Z 12 )I 1 (4)
Paraalular lapoteniamedia W
1
que el
genera-dorentregaalafuente1(lamismaantidadleentrega
ala fuente 2) se multiplia (4) por I
1
y se alula
posteriormentelapartereal
W 1 =Re( 1 2 V 1 I 1 )= 1 2 kI 1 k 2 (R 11 +R 12 ) (5)
Estaexpresionpuede esribirsedelaforma:
W 1 =W 0 (1+ R 12 R 11 ) (6) donde W 0 = 1 2 R 11 kI 1 k 2 (7)
eslapoteniaque absorbelaantena1 enausenia de
laantena2,R
11
esladenominada\resisteniade
radi-aion"delaantena1,mientrasqueR
12
eslapartereal
delaimpedaniamutuaZ
12
. Enauseniadeperdidas,
lapotenia que absorbela antena, es la potenia que
estairradia. LapoteniatotalW queirradianlasdos
fuenteses,porlotanto,W =W
1 +W
2 =2W
1
,estoes:
W =2W
0 (1+ R 12 R 11 ) (8)
ObservemosquelapoteniaW queirradianlasdos
fuentes no es la suma de las potenias que irradian
ada una de ellas uando atuan por separado. Esto
sedebealainteraionmutuaentrelasfuentes,queen
laeuaion(8)estarepresentadaporlaresistenia
mu-tuaR
12
. Enlaseionanteriorapuntamosqueuando
la distania entre las fuentes, es muy grande
ompa-rada onla longitud de onda, losvalores maximos de
laintensidadde laondaradiada (4I
0
) sealternanon
losnulos en numerosas direiones del espaio, dando
unvalor mediopara I de2I
0
. Porlotanto, la
poten-ia emitida porlas dosfuentes es2W
0
. Estosignia
queR
12
debehaerseero,uandod=!1,loquees
razonable,puessilasdistaniasentre lasantenaso
fu-entes esmuygrande (medidasenlongitudesdeondas)
lainteraionmutuaentrelasmismasdebesermuy
pe-que~na. Siladistaniaentrelasantenasesmuhomenor
1
Elteoremadereiproidadarmaque"...entodosistemaompuestodeimpedaniaslinealesbidireionales,siseapliaunvoltaje
quelalongituddeonda,laintensidaddelaondaes4I
0
entodaslasdireionesdelespaioyporlotantola
po-teniairradiadaporlasdosfuenteses4W
0
. Deauerdo
onlaeuaion(8)estoimplia queR
12 !R
11 uando
d=!0. Laeuaion(6)nosdiequeenestasituaion,
lapoteniaqueelgeneradorentrega aadauna delas
fuentes seduplia. Enonlusion, uandod=!0 la
poteniatotalemitida esuatroveeslapoteniaque
emiteadaunadeellasporseparado.
Argumentos similares pueden utilizarse si en lugar
de dosantenas queemiten ondaseletromagnetiasse
tienendosradiadores(parlantes)queemitenondas
so-norasomosemuestraenlaFig. 3. Cuandounparlante
estaoperandoenlasproximidadesdeotro,el
funiona-mientodeadaunidadesafetadaporsusinteraiones
mutuas.
d
Figura3. Dosparlantesonaoplamientomutuo.
Consideremos el sistema de dos radiadores planos
(irularesderadioa)queestaninsertadosenuna
pan-talla(bae) rgidainnita. Si designamosonf
1 yf
2
lasfuerzasqueatuansobreadaunodelosradiadores
yon v
1 y v
2
laveloidadde sussuperies, se
demu-estra[9℄demaneraanalogaalasoeletrio,queestan
relaionadasatravesdelaseuaiones:
f
1
= Z
11 v
1 +Z
12 v
2
(9)
f
2
= Z
12 v
2 +Z
22 v
2
LasimpedaniasZ
12 yZ
21
sonlasimpedanias
mu-tuasentrelosradiadores1y2,mientrasqueZ
11 yZ
22
son las autoimpedanias de los radiadores 1 y 2
res-petivamente. Si los radiadoresson identios y si las
fuerzasqueatuansobreellos sonlasmismasf
1 =f
2 ,
entonesporsimetrav
1 =v
2
y,porlotanto:
f =(Z +Z )v (10)
Lapoteniamediairradiadaporelradiador1,W
1 se
obtienemultipliando(10)porv
1
=2yluegoalulando
lapartereal:
W
1 =Re
1
2 f
1 v
1
= 1
2 kv
1 k
2
(R
11 +R
12
) (11)
Delamismamaneraqueparaelasodelasdos
ante-nasdeondasderadiosepuedeonluirquela
resisten-iamutuaR
12
!0uandod=!1yqueR
12 !R
11
uandod=!0.
Si las \fuentes" sondos oriios pratiados sobre
unasuperieondutoraodieletria,existirauna
in-teraionmutuaentrelosdosoriiosuandoselos
ilu-mina on unhaz de luzoherente,perola desripion
y uantiaionde la misma esmasompleja que los
dosasosqueanalizamosmasarriba.
IV Calulo de la resistenia
mu-tua en funion de d=
Se puede alularlaresisteniamutua, para ualquier
valor de la distania entre las fuentes, siempre que se
onozalafunion G(;), estoes,el diagramade
ra-diaiondeadaunadelasfuentes.
La potenia media total W que irradia el sistema
dedosradiadoresseobtieneintegrando(1)atravesde
unasuperieesferiaS,deunradiormuygrande,on
entro en el punto medio de losdos radiadores. Muy
grande signia que laesfera esta en lazona de
radi-aion(rd 2
=2).
W = Z
4I
0
G(;)os 2
kd
2 os
r 2
d (12)
dondedeseldiferenialdeangulosolido.
Siutilizamoslaigualdadtrigonometria
os 2
(=2)=
1+os
2
laeuaion(12)puede reesribirsedelaforma
W =2W
0
1+ 1
W
0 Z
I
0
G(;)os (kdos)r 2
d
(13)
donde
W
9 =
Z
I
0
G(;)r 2
d
es la potenia que irradiaraualquiera de las dos
fuentes enlaauseniadelaotra.
Si nohayperdidas toda lapoteniaqueentrega el
generadoralasfuentesesirradiadaporlasmismas.Por
R
12
R
11 =
1
W
0 Z
I
0
G( ;)os(kdos)r 2
d (14)
Si las dos fuentes son isotropias I
0 = W
0 =4r
2
,
entones
R
12
R
11 =
1
4 Z
os(kdos)d= 1
2 Z
0
os(kdos)send
(15)
Estaultima integralesinmediatayseobtiene
R
12
R
11 =1+
senkd
kd
(16)
Sielradio adelosparlantesdelaFig. 1esmuho
menorquelalongituddeonda,adaunodelos
par-lantes seomporta omo un radiador isotropio y los
resultadosobtenidos por Sandrettet al(2001)
oini-den onlaeuaion(16).
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
d/
λ
R
12
/R
11
Figura4. GraasdeR
12 =R
11
enfunionded=. Enlneas
llenas para un sistema de dosdipolos de media onda y en
lneaspunteadasparadosradiadoresisotropios.
Laeuaion(16),validapararadiadoresisotropios,
puede resultar aproximadamente validapara
radiado-resno\muy"diretivos (\uasi-isotropios")omo las
antenasdipolodemediaonda. EnlaFig. 4semuestra
en lneas llenas la graa de R
12 =R
11
para un dipolo
demediaondaquesealulamedianteelmetododela
\fem induida"[10℄yenlneasdepuntos lagraade
laeuaion(16).
Si seintrodue en la euaion (14) la diretividad
deunaantenadipolodemediaondaseobtieneuna
ex-presionparalaresisteniamutuamuypareidaalaque
seobtieneonelmetodotradiionaldelafeminduida.
El alulo delas integrales de laeuaion (14)es, sin
para elalulo de laimpedania mutuapara otros
ti-pos de antenas que no son abordables on el metodo
tradiional.
V Interferenia de dosfuentesen
oposiion de fase
Si lasdosfuentes dela Fig. 3osilan en oposiion de
fase la intensidad de la radiaion emitida viene dada
por
I(;)=4I
1
(:)sen 2
kd
2 os
Sid,elpromediodeI(;)sobretodaslas
di-reionesdel espaioesaproximadamente igual a2I
0 ,
queeslasumadelasintensidadesqueirradianadauna
delasfuentes porseparado. Sinembargo,si d=!0,
I(;) ! 0 en todas las direiones del espaio. Se
explia habitualmente este resultado diiendo que las
ondasemitidasporlasdosfuentes llegan en oposiion
defaseenualquierpuntodelespaioyseprodueuna
interferenia destrutiva. La amplitud de la onda y,
porlotanto,laintensidaddelamismaeseroentodos
lospuntosdelespaio. Ante estasituaionlapregunta
habitualeslasiguiente: >queourreonlaenerga
aso-iadaonadaunadelasdosondas?. Enestapregunta
estaimplita lasuposiionabsurda de que laenerga
sedestruye.
Cuandolasdosfuentesestanenoposiiondefasela
euaion(8)setransformaen
W =2W
0
1 R
12
R
11
mientrasquela(14)paraR
12 =R
11
eslamisma. Cuando
d=<<1,R
12 !R
11
y,porlotanto, W !0. El
gene-radornoentregaenergaalasfuentes. Laenergaque
elgeneradorleentregaaunadelasfuentesesabsorbida
porla otray no existe ondairradiada. La energano
sedestruye.
VI Conlusion
Al ignorar las fuentes y sumideros de las ondas, el
analisisdelainterfereniapuedellegararesultados
on-traditorios. Lasondassonreadasporfuentesyestas
interatuan entre s. La fsia de esta interaion es
muydiferente enlosdistintosasos: enlasantenas,la
orriente de una de ellas generaun ampo eletrio y
esteindue unafemenlaotra;enlosparlantes,el
mo-vimiento de la membranade uno de ellos genera una
variaion de presion que produe una fuerza sobre la
membranadelotro. Enlospeque~nosoriios
pratia-dossobre unasuperie de metal,el meanismofsio
delainteraionestaaunen disusion[11℄, algunoslo
on-Si lainteraionentrelasfuentes eslineal,siempre
sepuedeenontrarunsistemadeeuaiones-entrelas
variablesapropiadasdelproblemapartiular-similares
alaseuaiones(2)y(9). Elhehoremarableesquela
impedania mutua que intervieneen estas euaiones,
puede ser deduida del diagrama de interferenia. El
fenomenodeinterfereniaesformalmenteelmismopara
todoslostiposde ondas: lasexpresiones matematias
queladesribendependendelageometra,lalongitud
deonda, laorientaionrelativay eldiagramade
radi-aiondelasdosfuentesynodeltipodeondasqueestas
emiten. Lainteraion mutuaentre lasfuentes que se
derivadeldiagramadeinterfereniatiene,porlotanto,
uniertoaraterde\universal". Porestemotivo,las
dosurvasde laFig. 4, querepresentanlas
impedan-iasmutuasdedosfuentessonorasisotropiasydedos
antenas dipoloqueemitenondasde radio,sonmuy
si-milaresylapeque~nadifereniasedebeaquelaantena
deradiodemediaondanoesisotropia.
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