CARTA AO EDITOR
Sobreo Teorema de Poynting
O teorema de Poynting e bem onheido.
Par-tindodapot^eniarealizadaporunidadedevolumepelo
ampoeletrio,hega-seaequa~aodebalanoda
ener-gia, identiando-se o uxo de energia omo o vetor
de Poynting. Usualmente oTeoremaededuzidotendo
omoobjetivoaaplia~aoameiosmateriaise
identia-se a pot^enia realizada por unidade de volume omo
o efeito Joule [1℄. Queremos aqui hamar a aten~ao
para o fato de que, om isso, omite-se outra
ontri-bui~aolegtimaapot^eniarealizadapeloampoeletrio
~
E: eapot^enia neessariapara riarapolariza~aodo
meio. Esta e igual a ~ E ~ P t , sendo ~
P a polariza~ao
e t o tempo. De fato, as demonstra~oes onsideram
omopot^eniarealizadaporunidadedevolume
unia-mente o termoohmio, ~
J ~
E, sendo ~
J adensidade de
orrente de ondu~ao. Podemos nosonvener da
ne-essidade de seintroduzir estetermo devido aria~ao
da polariza~ao(deveraoorrer outrodevido a
magne-tiza~ao),lembrandoquenotratamentotermodin^amio
da polariza~ao [2℄, esta laramente estabeleido que o
trabalho realizadopelo ampoe ~
Ed ~
D=4, om ~
D o
desloamento eletrio. Sendo ~
D = ~
E+4 ~
P; resulta
paraaquele trabalho, ~
Ed ~
E=4+ ~
Ed ~
P. Oprimeiro
termoeotrabalhopara aumentar oampono vauo,
e e uma diferenial exata. O outro depende das
a-raterstiasdomaterialedevariaveistermodin^amias.
Noasodamagnetiza~ao,otrabalhoe ~
Hd ~ B=4,igual a ~ Hd ~ H=4+ ~ Hd ~ M,sendo ~ B, ~ He ~ M;respetivamente,
a indu~ao, o ampo magnetio e a magnetiza~ao. A
onsidera~aodessestermosnaspot^eniasrealizadaspor
unidadedevolumepeloamposeletrioemagnetiono
teorema de Poynting n~ao leva a mudanas algebrias
radiaisnasuadedu~ao,omoveremosaseguir.
Como usualmente apresentado [1,2℄, o teorema de
Poyntingonsisteemsubstituirnoproduto ~ J ~ E, ~ J por
seu valor extraido da equa~ao de Maxwell, r ~ H = (1=)(4 ~ J+ ~
D=t);eusaraidentidadedadiverg^enia
doprodutovetorial,r( ~ E ~ H)= ~ Hr ~ E ~
Er ~
H;
omr ~
E= (1=) ~
B=t. Integrando-seoresultado
num volume fehadoV,limitado pela superfieS, de
versornormaln,^ resulta
Z V ~ J ~ EdV = 1 4 Z V ( ~ E ~ D t + ~ H ~ B t )dV + 4 Z S ~ E ~
H^ndS: (1)
~
D e ~
B s~aoagoraexpressos,respetivamente,emtermosde ~
E e ~
P,ede ~
H e ~
M,e,transpondoparaoladoesquerdo
daEq. (1)ostermos em ~
E ~
P=te ~
H ~
M=t,hega-sea
Z V [ ~ J ~ E+ ~ E ~ P t + ~ H ~ M t ℄dV = Z V u 0 t dV + 4 Z S ~ E ~
H^ndS (2)
em queu
0
eadensidadedeenergiaeletromagnetianovauo
u 0 = 1 8 ( ~ E 2 + ~ H 2 ) (3)
ou,re-esrevendoaEq. (2),
Z V [ ~ J ~ E+ ~ E ~ P t + ~ H ~ M t ℄dV 4 Z S ~ E ~
HndS^ = Z V u 0 t dV: (4) d
ComeandonoladodireitodaEq. (4),temosquea
perda temporal daenergiapuramente eletromagnetia
novolumeV eigualasomadapot^eniarealizadapelos
ampos eletrio e magnetio no volume V e do uxo
de energia puramente eletromagnetiaque ui para o
exteriordovolume(uxodovetordePoynting).
Note-se que no presente tratamento n~ao foi
ne-essarioadmitirqueomeioelinear,istoe,queas
OnossotratamentofoifeitonosistemaGaussiano. NosistemaInternaional,asEqs. (3)e(4)seesrevem
u
0 =
1
2 (
0 ~
E 2
+
0 ~
H 2
); (5)
Z
V [
~
J ~
E+ ~
E
~
P
t +
~
H
~
M
t ℄dV
Z
S ~
E ~
H^ndS= Z
V u
0
t
dV; (6)
d
sendo
0 e
0
apermitividade eletriaea
permeabili-dademagnetiadovauo,respetivamente.
Enquantoque, nosmeiosmateriais, otermo ~
J ~
E,
omo alor Joule,representa um proessoirreversvel,
nada se pode dizer a respeito dos termos eletrio e
magnetionointegrandodoladoesquerdodaEq. (6),
ate que o proesso seja espeiado. Se este, no seu
desenvolvimentotemporal,envolvehistereseeletriaou
tribui~aoairreversibilidade.
1. J. D. Jakson, , Classial Eletrodynamis, Wiley,
N.York.,1975,2a. edi~ao, Cap. 6.
2. M. Abraham and R. Beker, Classial Theory of
Eletriity and Magnetism, Blakie and Sons, 1952,
partIV.
