Aula 06 – Conjuntos Numéricos
Matemática e Raciocínio lógico para TRT ES
Prof. Arthur Lima
Sumário
CONJUNTOS NUMÉRICOS ... 3
NÚMEROSNATURAIS ... 3
NÚMEROSINTEIROS ... 4
Operações com números inteiros ... 5
NÚMEROSRACIONAIS ... 18
Operações com números racionais ... 20
Frações e operações com frações... 26
EXPRESSÕESNUMÉRICAS... 33
NÚMEROSIRRACIONAIS ... 37
NÚMEROSREAIS ... 40
DIVISIBILIDADE ... 41
NÚMEROSPRIMOSEFATORAÇÃO ... 43
MÚLTIPLOSEDIVISORES ... 45
Mínimo múltiplo comum (MMC) ... 45
Máximo divisor comum (MDC) ... 54
QUESTÕES DA BANCA FCC COMENTADAS ... 60
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 113
GABARITO...139
RESUMO DIRECIONADO ... 140
Conjuntos Numéricos
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.
É com muita alegria que inicio mais essa aula.
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos neste encontro:
Conjuntos Numéricos. Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:
NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…}
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais.
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:
• Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.
• Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto.
• Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos.
• Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto.
Por isso o zero também é par. A propósito, todos os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 são pares, ok? Os números pares podem ser representados sempre na forma 2.n, onde n é um número natural.
Por exemplo, 10 é igual a 2.5, da mesma forma que 28 é igual a 2.14, e assim por diante.
• Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Todos os números que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 são ímpares, ok? Os números ímpares podem ser representados na forma 2n+1, onde n é um número natural. Por exemplo, o 15 é igual a 2.7+1, já o 29 é igual a 2.14+1.
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6.
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8.
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7.
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24.
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6.
NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é, Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N e Z:
Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos:
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.
Operações com números inteiros
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas.
a) Adição:
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é:
15 + 6 = 21
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades):
728 +46
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma:
1 728 +46 4
Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado:
728 +46 74
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo:
728 +46 774 Chegamos ao nosso resultado final.
Vamos trabalhar uma questão de prova bem interessante?
FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo da milhar do resultado da soma
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666 é igual a
(A) 0.
(B) 6.
(C) 4.
(D) 8.
(E) 7.
RESOLUÇÃO:
Temos a soma:
Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades (direita). Somando as casas das unidades, temos 9 vezes o número 6, o que nos permite fazer rapidamente 9 x 6 = 54. Deixamos o 4 no resultado, e levamos o 5 para a próxima soma:
5
4
Somando as casas das dezenas, temos 8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação anterior, temos 48 + 5 = 53. Deixamos o 3 no resultado e levamos o 5 para a próxima operação.
5
34
Somando as casas das centenas, temos 7 x 6 = 42. Somando as 5 unidades que vieram da operação anterior, ficamos com 47. Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima operação:
4
734
Somando as casas da milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando com o 4 que veio da operação anterior, temos 36 + 4
= 40. Portanto na casa da milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação:
4
0734 Podemos parar esta soma por aqui, pois chegamos na casa da milhar.
Resposta: A
Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição.
• propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728.
• propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.:
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14
• elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.
• propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros 2 e 5 gera o número inteiro 7 (2 + 5 = 7).
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades:
9 – 5 = 4
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a operação 365 – 97:
365 - 97
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades.
Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “emprestar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:
365 - 97 8
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:
365 - 97 68
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado:
365 - 97 268
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos:
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;
- colocar o sinal negativo (-) no resultado.
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração.
• propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.
• propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A
• elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.
• propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros possui essa propriedade, pois a subtração de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro.
• elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A.
Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0.
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ...
+ 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação:
57 x 13
Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a
2 57 x 13 1
Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos:
57 x 13
171
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja:
57 x 13
171 7
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:
57 x 13
171 57
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo:
57 x 13 171 +570 741
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante.
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que:
SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25.
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25.
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741.
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:
• propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).
• propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24.
• elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.
• propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números inteiros SEMPRE gera um número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35).
• propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que:
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
Exemplificando:
5x(3+7) = 5x(10) = 50 ou, usando a propriedade:
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50
Veja comigo essa questão:
CONSULPLAN – Pref. Cascavel/PR – 2016) Considere a operação apresentada:
Qual é o valor de J para que a operação seja verdadeira?
A) 3.
B) 4.
C) 5.
D) 6.
E) 7.
RESOLUÇÃO:
Observe que nossa primeira multiplicação será J x J, e o resultado obtido deve terminar com o mesmo número J. Isto acontece com o 5 (pois 5x5 = 25) e 6 (pois 6x6 = 36), que são os dois valores possíveis para J. Veja como fica com cada um deles:
15 x 5 = 75 16 x 6 = 96
Fica evidente que o correto é considerar J = 6, pois o resultado deve começar com 9.
Resposta: D
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 =5. Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:
715 |18
Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos:
715 |18
3
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração:
715 |18 -54 3
17
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):
715 |18 -54 3
175
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração:
715 |18 -54 39
175
-162
13
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:
715 = 18 x 39 + 13
Como regra, podemos dizer que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
Use essa informação na próxima questão:
VUNESP – CRO/SP – 2015) Dividindo-se um determinado número por 18, obtém-se quociente n e resto 15.
Dividindo-se o mesmo número por 17, obtém-se quociente (n + 2) e resto 1. Desse modo, é correto afirmar que n(n + 2) é igual a
(A) 440.
(B) 420.
(C) 400.
(D) 380.
(E) 340.
RESOLUÇÃO:
Lembrando que:
Dividendo = divisor x quociente + resto
Temos:
Dividendo = 18 x n + 15 Dividendo = 17 x (n+2) + 1
Como em ambos os casos o número (dividendo) é o mesmo:
18 x n + 15 = 17 x (n+2) + 1 18n + 15 = 17n + 34 + 1
18n – 17n = 35 – 15 n = 20
Assim, n.(n+2) = 20.(20+2) = 20.22 = 440.
Resposta: A
As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação:
SINAIS NA DIVISÃO - a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:
• propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A.
Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.
• propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.
• elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.
•
propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros. A divisão de números inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros.Antes de prosseguirmos, veja mais essas questões:
FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos:
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7.
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7.
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos.
Está correto o que se afirma APENAS em (A) I e II.
(B) I e III.
(C) II e III.
(D) II.
(E) III.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos tratando apenas de números inteiros não negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais.
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7.
ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor.
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7.
Lembrando que:
Dividendo = divisor x quociente + resto, Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever:
Dividendo = divisor x divisor + resto 88 = divisor x divisor + resto Veja que o divisor por igual a 8, teríamos:
88 = 8 x 8 + resto 88 = 64 + resto
resto = 22, O que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor.
Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com:
88 = 9 x 9 + resto 88 = 81 + resto
7 = resto Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO.
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos.
Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número de 4 algarismos (9.999) pelo maior número de três algarismos (999):
9.999 x 999 = 9.999 x (1000 - 1) = 9999x1000 - 9999x1 =
9.999.000 - 9.999 = 9.999.000 - 10.000 + 1 =
9.989.000 + 1 = 9.989.001
Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a afirmação deste item. CORRETO.
Resposta: C
FCC – SABESP – 2012) Uma montadora de automóveis possui cinco unidades produtivas num mesmo país. No último ano, cada uma dessas unidades produziu 364.098 automóveis. Toda a produção foi igualmente distribuída entre os mercados consumidores de sete países. O número de automóveis que cada país recebeu foi
(A) 26.007 (B) 26.070 (C) 206.070 (D) 260.007 (E) 260.070 RESOLUÇÃO:
Como são 5 unidades produtivas, o total de automóveis produzidos será: 5 x 364.098 = 1.820.490 automóveis.
Toda essa produção foi distribuída para 7 países. Vamos montar a divisão que resultará no número de automóveis que cada país recebeu:
Portanto, o total foi de 260.070 automóveis para cada país.
Resposta: E
NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos:
5
4 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.
−
154 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9.
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1.
Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma 𝐴
1 (A dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para você:
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0
0, cujo valor é indeterminado).
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números:
• Frações. Ex.: , , etc.
• Números decimais. Ex.: 1,25
Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como ou mesmo simplificá-lo para .
• Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente).
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252...
ou .
Guarde isso:
A respeito disso, julgue as duas assertivas abaixo:
FGV – CAERN – 2010) Julgue as afirmativas a seguir:
I – 0,555... é um número racional
II – Todo número inteiro tem antecessor
Números racionais
Frações
Decimais (finitos)
Dízimas
RESOLUÇÃO:
Repare que o número 0,555... é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas são um tipo de número RACIONAL. A afirmativa I está CERTA.
Seja qual for o número inteiro, sempre podemos subtrair 1 unidade dele, obtendo o seu antecessor. Por exemplo, o antecessor de 57 é o 56. O antecessor de 0 é -1. E o antecessor de -99 é o -100. A afirmativa II está CERTA também.
Resposta: C C
Veja comigo mais um exercício acerca dos números racionais:
FCC – SABESP – 2018) Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em polegadas. Dentre as alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é
(A) 5/8.
(B) 1/2.
(C) 1 ¼.
(D) 3/4.
(E) 1 ½.
RESOLUÇÃO:
Quando queremos comparar números racionais, o ideal é deixar todos na forma decimal. Isto é, dividir o numerador pelo denominador da fração. Veja:
5/8 = 0,4
½ = 0,5
1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 (repare que 1 ¼ significa 1 MAIS ¼)
¾ = 0,75
1 ½ = 1 + 0,5 = 1,5
Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas, que corresponde a 1,5 polegadas.
Resposta: E
Operações com números racionais
Além do que já vimos ao trabalhar com os números inteiros, precisamos aprender agora a trabalhar com os números decimais, isto é, aqueles números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes.
a) Adição de números decimais:
A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é:
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra;
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda;
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda).
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:
13,47 + 2,9
Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos:
13,47 + 2,9 16,37 Vamos fazer uma questão juntos?
FCC – DPE/RS – 2017) Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a (A) 6,111 . . .
(B) 5,888 . . . (C) 6
(D) 3 (E) 5,98 RESOLUÇÃO:
Podemos resolver de forma aproximada, somando os números com 4 casas decimais:
0,8666
+ 0,7111
Veja que eu coloquei uma vírgula embaixo da outra, de modo que as casas decimais correspondentes também estão uma embaixo da outra. Começamos a soma pela direita, fazendo 6+1+2 = 9. Essa mesma soma se repete nas duas casas à esquerda. Na casa logo antes da vírgula, temos 8+7+4 = 19, de modo que devemos deixar o 9 e passar o 1 para a próxima casa, isto é, após a vírgula, ficando com:
0,8666
+ 0,7111
+ 0,4222 1,9999
Note que 1,9999 é aproximadamente 2. Se tivéssemos colocado mais casas decimais em nossos números, chegaríamos em algo com ainda mais casas decimais, como 1,9999999... Este número pode ser substituído por 2, pois ele fica tão próximo de 2 quanto a gente queira, é só ir colocando mais casas decimais na soma.
O TRIPLO da soma é 3×2 = 6, que nos dá o gabarito na alternativa C.
Outra forma de resolver seria encontrando a fração geratriz de cada número decimal, o que me parece uma solução bem mais demorada e trabalhosa.
Resposta: C
b) Subtração de números decimais:
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:
13,47 - 2,9 10,57
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3”
já havia sido utilizada.
Pratique as subtrações de números decimais resolvendo esse exercício:
FGV – CODEBA – 2016) Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das marés alta (A) e baixa (B), formando a tabela a seguir.
A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi
(B) 1,1.
(C) 1,2.
(D) 1,3.
(E) 1,4.
RESOLUÇÃO:
Podemos ir calculando as diferenças entre os valores da tabela. Basta subtrairmos valores consecutivos. Veja:
0,3 – 1 = -0,7 1,1 – 0,3 = 0,8 0,2 – 1,1 = -0,9
1,3 – 0,2 = 1,1 0,4 – 1,3 = -0,9
1,4 – 0,4 = 1 0,5 – 1,4 = -0,9
1,2 – 0,5 = 0,7 0,4 – 1,2 = -0,8
1,0 – 0,4 = 0,6 Note que a maior diferença é 1,1.
Resposta: B
c) Multiplicação de números decimais:
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações:
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro.
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula.
Vejamos o nosso exemplo:
13,47 x 2,9 12123 + 26940
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.
d) Divisão de números decimais:
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente.
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais:
3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14.
Faça a próxima questão comigo:
CESPE – CORREIOS – 2011) Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com uma nota de R$ 50,00 e receba R$ 15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa a) mais de R$ 7,50.
b) menos de R$ 3,00.
c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50.
d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00.
e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50.
RESOLUÇÃO:
Pagando 50 e recebendo 15,50 de troco, o valor efetivamente pago foi:
Pagamento = 50 – 15,50 = 34,50 reais
Como foram adquiridas 5 unidades, então devemos dividir esse valor pago por 5. Para montar a divisão, vamos multiplicar 34,5 e 5 por 10. Fica:
Portanto, cada unidade custa 6,90 reais.
Resposta: E
Trabalhe ainda os cálculos a seguir:
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.
a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 – 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0,898 + 1,12 f) 0,898 – 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas:
a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8
Frações e operações com frações
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 2
5 é equivalente a escrever 2 ÷ 5. As frações estão constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo:
1 3 6+8
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).
Para trocar o denominador da fração 1
6 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 4
6 =24. Já para trocar o denominador da fração 3
8 para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 9
8=24.
Lembre-se disso: o mesmo número utilizado para multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador!
Agora sim podemos efetuar a soma, mantendo o denominador e somando apenas os numeradores:
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24
+ = + = + =
Antes de avançarmos, pratique a soma de frações com essa questão:
FGV – BANESTES – 2018) Na igualdade 3
5 + 3
20 + 3
25 = x
100 o valor de x é:
A) 59 B) 65 C) 77 D) 83
E) 87
RESOLUÇÃO:
Para somar as frações devemos colocá-las sobre um mesmo denominador. Veja que 100 é múltiplo comum de 5, 20 e 25. Logo:
20 x 3 100 + 5 x 3
100 + 4 x 3
100 = x
100 60
100 + 15
100 + 12
100 = x
100 87
100 = x
100
X = 87 Resposta: E
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48
= =
Pratique a multiplicação de frações:
Resolva mais estes dois exercícios:
FCC – TRF/3ª – 2016) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22.
O produto A . B . C é igual a (A) 3,072072072 . . .
(B) 3,636363 . . . (C) 3,121212 . . . (D) 3,252525 . . . (E) 3,111 . . . RESOLUÇÃO:
Vamos multiplicar as divisões 8/3, 15/7 e 14/22, que correspondem ao produto A x B x C:
8 15 14 3 7 22 8 15 2 3 1 22 8 5 1 1 1 11 40 11 3, 63...
=
=
=
=
Logo, A x B x C = 3,6363.. que corresponde à letra B.
Resposta: B
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo:
1
1 3 1 8 8
6
3 6 8 6 3 18 8
= = =
Exercite mais um pouco as operações com frações:
FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as expressões numéricas, abaixo.
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
A= + + + + e 1 1 1 1 1 3 9 27 81 243 B= + + + + O valor, aproximado, da soma entre A e B é
(A) 1.
(B) 2,5.
(C) 1,5.
(D) 2.
(E) 3.
RESOLUÇÃO:
Para resolver essa questão você deve lembrar que só podemos somar frações que estejam escritas com o mesmo denominador. Assim, podemos fazer as seguintes somas:
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 A= + + + +
16 8 4 2 1 31 32 32 32 32 32 32 A= + + + + =
1 1 1 1 1
3 9 27 81 243 B= + + + +
81 27 9 3 1 121
243 243 243 243 243 243
B= + + + + =
Portanto,
31 121 32 243 A+ =B +
Observe que 31/32 é aproximadamente igual a 1 (pois o numerador é praticamente o mesmo valor do denominador). E observe que 121 é aproximadamente a metade de 243, de modo que 121/243 é aproximadamente igual a ½, ou seja, 0,5. Portanto, esta soma é aproximadamente igual a 1 + 0,5 = 1,5. Com este cálculo aproximado, podemos marcar rapidamente a alternativa C.
Observe que, propositalmente, o examinador solicitou o valor aproximado da soma, afinal o cálculo exato da soma das duas frações seria bastante trabalhoso, a começar pelo fato que precisaríamos encontrar um denominador comum que fosse múltiplo de 32 e de 243.
Resposta: C
É interessante aproveitar que estamos conversando sobre frações para falar sobre simplificação.
Observe a fração 8
18 logo acima. Perceba que tanto o numerador como o denominador podem ser divididos por um MESMO número: 2. Se dividirmos tanto o 8 como o 18 por 2, ficamos com a fração 4
9. Essa fração é equivalente à anterior, porém tem números menores, o que geralmente facilita os cálculos. Portanto, guarde isso:
Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número Será que podemos simplificar ainda mais a fração 4
9 ? Perceba que não é possível fazer essa simplificação, pois não existe um número natural capaz de dividir tanto o 4 como o 9. Dizemos que isso acontece porque os números 4 e 9 são primos entre si (isto é, não possuem nenhum divisor em comum). Por este motivo, dizemos que a fração 4
9 é uma fração irredutível, isto é, não pode ser mais simplificada / reduzida.
Resolva as próximas questões utilizando a simplificação de frações:
FGV – IBGE – 2016)
A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de“1 unidade astronômica” (1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. A distância de Sírius ao Sol em UA é:
(A) 5.400;
(B) 54.000;
(C) 540.000;
(D) 5.400.000;
(E) 54.000.000.
RESOLUÇÃO:
Escrevendo 81 trilhões, temos 81.000.000.000.000 de quilômetros. Veja que 150 milhões de quilômetros são 150.000.000. Assim, o número de UA que representa a distância do Sol à estrela Sirius é:
N = 81.000.000.000.000 / 150.000.000
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 1.000.000 (um milhão). Basta
“cortar” seis zeros de cada número, ficando:
N = 81.000.000 / 150 Podemos dividir numerador e denominador por 10, obtendo:
N = 8.100.000 / 15 Podemos dividir numerador e denominador por 3, obtendo:
N = 2.700.000 / 5
Está vendo que o denominador é 5? Neste caso, eu recomendo que você MULTIPLIQUE o numerador e o denominador por 2, pois assim o cálculo fica mais fácil. Veja:
N = 5.400.000 / 10 N = 540.000 quilômetros Resposta: C
VUNESP - PM/SP - 2015) A representação fracionária do resultado da operação 0,21875 − 0,15625 é a) 1/16
b) 3/16 c) 9/32 d) 7/32 e) 5/32
RESOLUÇÃO:
Fazendo a subtração, temos:
0,21875 - 0,15625 0,06250
Como as respostas são frações, devemos escrever este número na forma de fração. Veja que:
Precisamos agora simplificar essa fração. Podemos começar dividindo numerador e denominador por 5, sucessivas vezes. Ficamos com:
Temos nosso gabarito na alternativa A.
Resposta: A
A dica abaixo é muito útil para a interpretação do enunciado das questões, isto é, para sermos capazes de passar a informação escrita no enunciado em língua portuguesa para a “linguagem matemática”:
DICA SOBRE FRAÇÕES
Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1
31000!
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2 725.
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente
1 (700 600)
4 + .
- quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 5
( )
9 X −Y .
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios! Veja este, por exemplo:
VUNESP – Câmara de São José do Rio Preto – 2015) Uma brincadeira antiga com números começava com a pergunta:
“Quanto é a metade de dois mais dois?”
E o interpelado quase sempre respondia com “2”, quando a resposta correta é “3”. Essa brincadeira usa a ordem de precedência dos operadores, que exige que a divisão venha antes da soma, quando não há parênteses envolvidos.
Usando a ordem de precedência dos operadores, e considerando que não há parênteses envolvidos, para a pergunta:
“Quanto é a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze”?
A resposta correta é (A) –151.
(B) –85.
(C) 5.
(D) 120.
(E) 762
RESOLUÇÃO:
Vamos por partes:
“décima segunda parte de mil duzentos e doze” = (1
12) x 1212
“doze vezes nove” = 12x9 + 12
Juntando:
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove” = (1
12)x1212 – 12x9 Com mais o final:
“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze”
= (1
12)x1212 – 12x9 + 12
= 101 – 108 + 12
= 113 – 108
= 5 Resposta: C
Agora veja como operações com frações podem aparecer em um problema de raciocínio matemático:
FCC – DPE/RS – 2017) Carlos comeu a terça parte de uma pizza. Angelina chegou depois e comeu a metade do que Carlos havia deixado da pizza. Por último, Beatriz chegou e comeu o correspondente à metade do que Angelina havia comido. A fração que sobrou dessa pizza foi
(A) 1/6 (B) 3/8
(C) 2/9 (D) 1/5 (E) 1/12 RESOLUÇÃO:
Seja P o total da pizza. Como Carlos comeu 1/3 de P, a sobra foi:
Sobra após Carlos = 𝑃 −𝑃
3 =3𝑃
3 −𝑃
3 =2𝑃
3
Angelina comeu metade disto, sobrando a outra metade, isto é:
Sobra após Angelina = 1
2 𝑥 (2𝑃
3) =2𝑃
6 =𝑃
3
Beatriz comeu metade do que Angelina havia comido. Isto é, Beatriz comeu = 1
2𝑥 [1
2𝑥 (2𝑃
3)] =1
2𝑥𝑃
3=𝑃
6
Após Angelina comer, havia sobrado P/3 da pizza. Como Beatriz comeu P/6, sobrou ainda:
Sobra após Beatriz = 𝑃
3−𝑃
6=2𝑃
6 −𝑃
6=𝑃
6
Portanto, da pizza de tamanho P sobrou apenas a fração P/6, ou seja, sobrou 1/6 da pizza.
Resposta: A
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo:
( 25+ −2) (9 3)−7
=4A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras:
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves.
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração.
Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram- se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25), que é a primeira a ser resolvida:
(5 2) (9 3)+ − −7
=4A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo:
7 6 −7
=4Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes:
42 7− =
4Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves:
35 4 =
Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo:
35 4 =8, 75
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de divisão.
Importante: se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em sequência, devemos resolvê-las na ordem que aparecem. Por exemplo, qual é o resultado correto da expressão:
20 ÷ 20 ÷ 5
O certo é resolver na ordem, ou seja, primeiramente dividir 20 por 20, obtendo 1, e então dividir o 1 por 5, obtendo 1/5 ou simplesmente 0,2. Isto é:
20 ÷ 20 ÷ 5 = 1 ÷ 5 = 0,2
ATENÇÃO, pois se você primeiramente quiser dividir segundo número 20 por 5, vai obter o resultado 4.
Dividindo o primeiro 20 por 4, você obteria 5, ERRANDO o cálculo:
20 ÷ 20 ÷ 5 = 20 ÷ 4 = 5
Veja comigo as questões a seguir:
FGV – BANESTES – 2018) O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é:
(A) 14.
(B) 22.
(C) 24.
(E) 52.
RESOLUÇÃO:
Devemos começar primeiro pela operação de multiplicação. Logo:
5 + 3 x 7 – 4 = 5 + 21 – 4
Agora, podemos fazer as operações na ordem que elas aparecem. Somando o 5 com o 21, e depois subtraindo 4, temos:
26 – 4 = 22 Resposta: B
FCC – TRT/11 – 2017) O valor que corresponde ao resultado correto da expressão numérica (132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42)
é a) 2/5 b) 1/4 c) 3/4 d) 1/5 e) 1/3
RESOLUÇÃO:
Devemos começar resolvendo as potências dentro de cada parênteses:
(132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42) = (169 – 121) / (144 / 3) / (100 – 81 – 16) = Agora resolvemos as demais operações dentro dos parênteses
48 / 48 / 3 = 1 / 3 Resposta: E
FCC – CNMP – 2015) O resultado da expressão numérica
( ) ( ) ( )
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
− − + − − − − − + − − −
é igual a (A) - 4.
(B) 8.
(C) - 6.
(D) 9.
(E) - 12.
RESOLUÇÃO:
1 2 1 3 11 10 3 9 4 5
.( 6 13). .( 4 2). .( 1 11). .
3 3 5 5 4 4 7 7 9 9
− − + − − − − − + − − − =
1 2 1 6 9
.7. .( 6). .10. .
3 5 4 7 9
− − − − − =
1 2 1 6
( )
.7. .( 6). .10. . 1
3 5 4 7
− − − − − =
1 2 1 6
( )
.7. .(6). .10. . 1
3 5 4 7
− =
1 2 1 6
( )
.1. .(2). .10. . 1
1 5 4 1
− =
1 1 1 6
( )
.1. .(1). .10. . 1
1 5 1 1
− =
60
( )
5 1
− =
( ) ( )
12 . − =1−12 Resposta: E
VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) Considere a resolução da expressão numérica
por uma aluna:
Analisando-se a resolução, é correto afirmar que
(A) há erro na passagem da linha 1 para a linha 2, apenas.
(B) há erro na passagem da linha 2 para a linha 3, apenas.
(C) há erro na passagem da linha 3 para a linha 4, apenas.
(D) há erro nas passagens da linha 1 para a 2 e da linha 2 para a 3, apenas.
(E) não há erro em passagem alguma.
RESOLUÇÃO:
Observe que o cálculo foi feito corretamente. A aluna optou por aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, multiplicando por ½ cada um dos termos da equação. Repare que, ao multiplicar o termo −8
2 por
1
2, obteve-se o valor de −8
4, o que está correto. Feito isto, foi realizada primeiramente a operação de divisão, para só então serem realizadas as demais operações.
Resposta: E
NÚMEROS IRRACIONAIS
Os Números Irracionais são aqueles que não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros), ao contrário dos números Racionais. Isto porque esses números são formados por uma sequência infinita de algarismos.
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um número irracional:
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos)
A propósito, vale dizer que todas as raízes que não têm valor EXATO são números irracionais. Assim, outros números irracionais são: √3, √5, √7, √10, e assim por diante.
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional:
Outro número irracional bastante conhecido é o número de Euler, representado pela letra e, cujo valor é aproximadamente:
e = 2,718281828459050...
A propósito, veja esse exercício:
CESPE – SEDUC/AL – 2018) O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = ln x =
𝑙𝑜𝑔
𝑒x tem inúmeras aplicações científicas.A respeito desse assunto, julgue os itens a seguir:
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72.
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional.
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar cada item:
() O número de Euler é menor que o número racional 2,72.
O número de Euler é irracional, com os 3 primeiros algarismos sendo por 2,71. Portanto, esse número é menor do que o número racional 2,72. Alternativa CORRETA.
() Se r = 2,718718... é uma dízima periódica, então a diferença r – e é um número racional.
Toda dízima periódica é um número racional. Na subtração de um número racional por um número irracional, o resultado será um número irracional. Como o número irracional possui casas decimais que nunca se repetem, as subtrações também não vão se repetir, o que vai gerar um número no resultado cujas casas decimais não se repete, isto é, um número irracional. Item ERRADO.
Resposta: C E
Guarde que:
• a soma de números irracionais pode gerar um número racional;
Isto ocorre quando somamos dois números irracionais opostos como, por exemplo:
√7 + (−√7) = 0 Veja que o resultado foi ZERO, que é um número racional.
• a soma/subtração entre um número irracional e um número racional tem resultado irracional;
Isso ocorre pois o número irracional tem infinitas casas decimais que não se repetem. Ao fazer a soma (ou subtração), cada uma dessas diferentes casas terá que ser somada à casa correspondente no número racional,
gerando somas diferentes que não terão um padrão de repetição. Portanto, a soma 2 + √2 certamente gera um resultado irracional.
• a multiplicação entre um racional e um irracional pode ter resultado racional;
Lembre-se sempre que o ZERO é um número racional. Se multiplicarmos qualquer número por zero (inclusive um número irracional), o resultado é SEMPRE igual a zero. Portanto, 0 × √2 = 0, que é racional.
Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação dos números irracionais na reta numérica:
• não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto porque esses números têm infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma A
Be usar o mesmo método que vimos para localizar os números racionais.
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede exatamente
2
, que é um número irracional.Portanto, basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número
2
Vejamos uma questão sobre números irracionais:
IADES – ELETROBRAS – 2015) Quanto aos números reais, assinale a alternativa correta.
a) Os números √2 ≅ 1,4142 e √3 ≅ 1,732 são os únicos números irracionais entre 1 e 2.
b) Entre dois números racionais distintos, existe um único número irracional.
c) Entre dois números racionais distintos, existe apenas uma quantidade finita, maior do que 1, de números irracionais.
d) Existem dois números racionais distintos, entre os quais não existe nenhum número irracional.
e) Entre dois números racionais distintos, existem infinitos números irracionais.
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar cada alternativa.
Alternativa A: existem infinitos números irracionais entre 1 e 2. Mais do que isso, entre 2 números quaisquer sempre teremos infinitos números irracionais. Mesmo entre 1,001 e 1,002 nós temos infinitos números irracionais.
Alternativa B: existem infinitos números irracionais entre outros dois números irracionais, como afirmei anteriormente.
Alternativa C: existem infinitos números irracionais entre dois números racionais distintos.
Alternativa D: entre todos os números racionais distintos existem infinitos números irracionais.
Alternativa E: correto, como dissemos anteriormente.
RESPOSTA: E
NÚMEROS REAIS
O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que:
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais)
E, além disso,
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais)
Complementando o diagrama que desenhamos ao estudar os outros conjuntos, agora temos:
No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Números Irracionais e Reais.
Veja a próxima questão comigo:
IBFC – TCM/RJ – 2016) Dentre as alternativas, a única incorreta é:
a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional
b) O conjunto dos reais é a união entre os números racionais e os números irracionais c) A subtração não é operação no conjunto dos naturais
d) Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos racionais RESOLUÇÃO:
A afirmação A está ERRADA. Se somarmos um número irracional com o seu oposto, o resultado é zero. Por exemplo, somando o número irracional √2 com o número irracional −√2, o resultado é zero – que é um número RACIONAL.
A afirmação B está CERTA, pois os números reais de fato são compostos pela união entre racionais e irracionais.
Na afirmação C, ao dizer que a subtração “não é operação no conjunto dos naturais”, o examinador está dizendo que a subtração não tem a propriedade do fechamento no conjunto dos naturais. Isto é verdade mesmo, pois se subtraimos 3 – 7, por exemplo, o resultado é -4, número que não faz parte dos naturais. Afirmação CERTA.
A afirmação D está CERTA, pois realmente as dízimas pertencem ao conjunto dos racionais, uma vez que podem ser escritas na forma de fração.
Resposta: A
Para finalizar o estudo dos números reais, deixo algumas breves observações:
• As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas para os racionais;
Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados exatamente (os irracionais).
DIVISIBILIDADE
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.:
25 5 5 =
e o resto é ZERO, portanto 25 é divisível por 5.O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5.
Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Vamos passar por cada um deles rapidamente?
Divisibilidade por 1
Aqui é fácil: TODOS os números são divisíveis por 1.
Divisibilidade por 2
Os números PARES são divisíveis por 2. Vale lembrar que pares são os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Portanto, o número 365978 certamente é divisível por 2, afinal ele termina em 8, sendo um número par.
Divisibilidade por 3
Os números divisíveis por 3 são aqueles cuja SOMA DOS ALGARISMOS é divisível por 3.
Por exemplo, 257 é divisível por 3? Podemos somar os seus algarismos, obtendo 2+5+7 = 14. Como 14 NÃO é divisível por 3, podemos garantir que 257 também NÃO é divisível por 3.
E 801, será que é divisível por 3? Somando os algarismos, temos 8+0+1 = 9. Como 9 É divisível por 3, podemos garantir que 801 também É divisível!
Divisibilidade por 4
Para checar se um número é divisível por 4, basta olhar para o número formado pelos DOIS ÚLTIMOS dígitos.
Por exemplo, será que o ano de 2018 é divisível por 4? NÃO, pois o número formado pelos dois últimos dígitos é o 18, e sabemos que 18 não é divisível por 4.
E será que 1980 é divisível por 4? SIM, pois os últimos dígitos são 80, e este número é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Este é bem simples: qualquer número terminado em 0 ou em 5 é divisível! Assim, certamente 930 e 935 são divisíveis por 5, mas 934 não.
Divisibilidade por 6
Para saber se um número é divisível por 6, basta testar se ele é divisível por 2 e TAMBÉM é divisível por 3.
Ou seja, os números pares divisíveis por 3 são também divisíveis por 6. Nenhum número ímpar é divisível por 6.
Será que 801 é divisível por 6? Certamente NÃO, pois embora seja divisível por 3 (vimos acima), ele não é par, de modo que não é divisível por 2.
Será que 642 é divisível por 6? Veja que este número é par, sendo divisível por 2. E é divisível por 3, afinal 6+4+2=12, que é um número divisível por 3. Logo, 642 é divisível por 6.
Divisibilidades por 7 e 8
Quanto ao 7 e 8, eu recomendo que você faça o “arroz com feijão”. Isto é, caso você queira testar se 97 é divisível por 7, o melhor a fazer é realizar rapidamente a divisão, identificando se há resto ou não. O mesmo vale para o 8 (mas neste caso é bom notar que nenhum número ÍMPAR é divisível por 8, portanto podemos descartar o 97).
Existem critérios de divisibilidade para 7 e 8, mas eles são muito trabalhosos, de modo que considero mais interessante você fazer a divisão.
Divisibilidade por 9
Aqui temos uma situação parecida com a divisibilidade por 3. Basta SOMAR OS ALGARISMOS e checar se a soma é divisível por 9. Por exemplo, 729 é divisível por 9, afinal 7+2+9 = 18, que é um número divisível por 9.
Já 805 não é divisível por 9, pois 8+0+5 = 13.
Divisibilidade por 10
Essa é fácil! Qualquer número terminado em ZERO é divisível por 10. Assim, 790 certamente é divisível por 10, mas 791 não é.
Tabelão – critérios de divisibilidade
Veja na tabela abaixo a compilação dos critérios de divisibilidade que trabalhamos acima.
Divisor* Critério Exemplos
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
2 Números pares (terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc.
3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), etc.
4 Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for
divisível por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.
6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc.
9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc.
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, e praticamente não são cobrados.
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo.
Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por 1, tendo como resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um
número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados abaixo:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. O 1 não é considerado número primo, ok? O menor número primo é o 2 mesmo.
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de fatoração.
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo.
Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo:
Número Fator primo
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 24 = 23 x 3
Para praticar, vejamos a fatoração do número 450:
Número Fator primo
450 2
225 3
75 3
25 5
5 5
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52
