EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Rafael de Freitas Manço (UNI-FACEF) Antônio Acra Freiria (UNI-FACEF)

INTRODUÇÃO

Nas mais diversas áreas das ciências as equações diferenciais aparecem em situações práticas. A idéia é de que é possível matematizar problemas reais e solucioná-los. Para isso precisamos criar um modelo matemático, onde devem ser identificadas as variáveis responsáveis por mudanças desse modelo e criar hipóteses razoáveis sobre o sistema. Esse modelo matemático muitas vezes é uma equação diferencial.

A origem e a resolução de equações diferenciais ordinárias, num certo sentido, começaram assim que a relação inversa entre diferenciação e integração foi assumida, com o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral no século XVII por Gottfried Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1642-1726). Mas a maior parte das equações diferenciais ordinárias não pode ser facilmente reduzida à simples quadraturas, exigindo substituições e algoritmos sofisticados para uma resolução.

Durante anos muitos matemáticos se esforçaram para resolver diversos tipos particulares de equações. Por isso há vários métodos de soluções e o que funciona para uma pode não funcionar para outra. Equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, e um dos ramos mais importantes da Matemática.

MODELAGEM MATEMÁTICA

São os modelos que auxiliam a descrição de fenômenos físicos e nos ajudam a compreender e interpretar os fenômenos do cotidiano.

O conceito de modelagem matemática é algo muito discutido e, cada autor a define de maneira diferente, mas se apóiam na idéia de que é possível matematizar problemas reais e solucioná-los através da interpretação de suas respostas, utilizando a linguagem da realidade.

Bassanezi (2006, p.20) afirma que o modelo matemático é “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”.

É importante diferenciar o conceito de modelo e modelagem matemática, onde o primeiro é resultado do último, ou seja, encontra-se um modelo matemático após a conclusão do processo de modelagem matemática.

Segundo Bassanezi,

“Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual”. A modelagem é eficiente a partir do momento que nos conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade.

Ainda segundo Bassanezi (2006, p.20), é de extrema relevância que um modelo matemático possua linguagem precisa, exata, sem provocar falsas interpretações.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial (E.D).

Quando estão envolvidas apenas duas variáveis, de maneira que só pode ocorrer derivadas em relação a uma variável, a equação é chamada de equação diferencial ordinária (E.D.O).

Uma equação diferencial ordinária para y(x) é uma equação envolvendo derivadas de y(x) com relação à variável independente x.

Uma solução de uma E.D.O é uma função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, f é chamada de solução para a equação no intervalo.

A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação.

Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma: ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 0 1 1 a x y g x d d x a dx y d x a dx y d x a x y n n n n n n + ₋ + + + = − −

Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:

• A variável dependenteye todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo yé 1.

• Cada coeficiente depende apenas da variável independentex.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

Como definimos anteriormente a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem na equação. Podemos então representar uma equação diferencial de primeira ordem da seguinte maneira:

0 ) ' , , (x y y = f

Também podemos escrevê-lá da seguinte forma: ) , , (x y f dx dy ₌

PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Na prática, uma equação diferencial ocorre com uma ou mais condições. Por exemplo, se estivermos interessados em resolver a equação diferencial de primeira ordem:

) , , (x y f dx dy ₌

sujeita à condição inicial y(x₀)= y₀ o problema é chamado de problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial, denifida em algum intervalo Ital que o gráfico da solução passe por um ponto (x0,y0).

Vamos começar com a mais simples de todas as equações de primeira ordem, que é a chamada equação de variáveis separáveis.

EQUAÇÃO SEPARÁVEL

Uma equação diferencial da forma

) ( ) ( y h x g d d x y ₌

é chamada separável ou tem variáveis separáveis. A equação pode ser escrita assim: x y g x d d y h( ) = ( )

O método de solução consiste em integrar ambos os lados de

x

y g x d

d y

h( ) = ( ) _{para assim encontrar uma família de soluções.}

∫

∫

⇒

=g x d h y dy g x dx c

d y

APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

Vamos ver agora algumas aplicações das equações diferenciais de primeira ordem.

RESFRIAMENTO DE UM CORPO AQUECIDO

A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante do ambiente.

Pode-se representar isto através de uma equação:

t T T K T = _C − _A ∆ ∆ ( ) _{onde :} T

∆ : variação de temperatura sofrida pelo corpo;

K: representa um coeficiente de proporcionalidade, que dependerá da superfície exposta, do calor específico do corpo e também é função de características do meio ambiente;

C

T _{: Temperatura inicial do corpo;}

A

T _{: Temperatura ambiente;} t

∆ : Intervalo de tempo.

A equação ∆T =K(TC −TA)∆t pode ser escrita na forma diferencial como:

) (TC TA

K dt

dT _{=− −}

Notemos que esta equação é separável; portanto: kdt T T dT A − = −

O coeficiente kdepende de diversos fatores tais como:

• Superfície exposta

• Calor específico do corpo

Esses fatores influenciam o resfriamento de um corpo e para tornar isto mais claro, observemos algumas figuras (1 a 6) e gráficos coletados em diferentes situações, durante a atividade experimental.

_______________

Comparando as Figuras 1 e 2 pode-se verificar a influência do meio externo no resfriamento de um corpo. Nas duas situações temos o mesmo volume de liquido, 25 ml de água, resfriados em um mesmo recipiente, porém um deles imerso em ar e outro e outro em água. Verifica-se que o resfriamento ocorrido com o tubo de ensaio imerso em água foi mais rápido.

Já nas figura 2 e 3 verifica-se a influência das condições de temperatura do meio externo no resfriamento. Variou-se a temperatura do meio, constatando-se que o resfriamento ocorre mais rapidamente a uma temperatura externa mais baixa.

As figuras 4 e 5 mostram os dados coletados para volumes iguais, 200 ml, de um mesmo liquido em recipientes de tamanhos diferentes. Verifica-se, neste caso, que a superfície exposta do corpo interfere na rapidez do resfriamento. Constata-se que, quanto maior for a superfície exposta do corpo, mais rápido será seu resfriamento.

Podemos verificar, comparando as figuras 4 e 6, a influência do volume do corpo na rapidez de resfriamento, percebe-se que quanto maior o volume envolvido, menor será a rapidez de resfriamento.

Ainda há problemas de resfriamento que recaem em problemas de valor inicial. Consideremos por exemplo um bolo retirado do forno, a uma temperatura inicial de 300°F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200°F.Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70°F, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70°F?

Sendo T_A=70 devemos então resolver o problema de valor inicial:

) 70 ( − =k T dt dT

, T(0)=300 e, determinar o valor de k para que T(3)=200. Separando-se as variáveis, temos:

. 70 | 70 | ln 70 kt ce T c kt T kdt T dT _{= ⇒ − = + ⇒ = +} −

Aplicando a condição inicial T(0)=300temosc=230, e de T(3)=200 temos k=−0,19018.

Então, t

e t

T()=70+230 −0,19018 e à medida que t →30temos T =70.

DECAIMENTO RADIOATIVO

A proporção de carbono-14 presente na matéria orgânica viva é constante. Porém na matéria orgânica morta a quantidade de C-14 diminui com o tempo, a uma taxa proporcional à quantidade existente. Se chamarmos essa quantidade de Q, teremos que a variação de Q por unidade de tempo é proporcional a Q: kQ t Q ₌₋ ∆ ∆

Porém, falando em termos de variação instantânea: kQ

dt dQ

− =

Podemos resolver esta equação diferencial por separação de variáveis : kt ce Q c kt Q kdt Q dQ _{=− ⇒ =− + ⇒ =} − ln

Levando-se em conta a condição inicial Q(t=0)=Q₀ temos:

kt

e Q Q= ₀ −

Este resultado constitui a base do processo de datação do carbono-14.

ESCOAMENTO DE LIQUIDO DE UM TANQUE

Considere o problema do líquido se escoando de um tanque através de uma pequena abertura na base.

Verifica-se por observação que, quando o líquido escorre livremente, sob ação da parte superior do líquido a velocidade de escoamento é proporcional a gy, sendo y a altura do liquido acima do orifício. Assim, o volume de liquido que se escoa pelo orifício de área A, por unidade de tempo, será KA gy. A constante de proporcionalidade k depende dos detalhes da configuração do orifício e do tanque, como um todo, mas é, em geral, da ordem da unidade.

Suponha que S(v) seja a área da seção transversal do tanque numa altura y. Num tempo dt, a diferença de nível do liquido que se escoa é −dy. Então o volume do líquido que saiu do tanque é igual a KA gy dt; é também igual a −S(y)dy, uma vez que esse é o volume “deixado vago” conforme o nível cai. Assim, KA gy= dt dy y S( ) −

Considere o líquido contido no interior de um funil de semi-ângulo α . O funil inicialmente se enche até uma altura h e o líquido se escoa através de um tubo de raio a. Aqui a seção transversal do funil é um circulo de raioytg(α); logo

) ( y

S é simplesmente igual a _{( )}2

α

Analogamente, A é igual a πa². Com esses valores a equação gy KA = dt dy y S( ) − se torna: gy a kπ ² = dt dy ytg )² ( α π − ou dt dy tg g ka

y

y

h

y

pois y=h, quandot=0. Esta última equação é a relação desejada entre y e t. O tanque estará vazio quando y = 0, e isso ocorrerá após um tempo

g

h

= . Concluímos que o volume do líquido que se encontra inicialmente no

funil é proporcional a h(htgα)²; o tempo para esvaziar o funil será proporcional a isso; será inversamente proporcional ao tamanho do orifício, isto é, a a², e à velocidade média de escoamento, isto é gh.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Curle, N. Equações Diferenciais Aplicadas.Tradução de Maria Cristina Bonomi Farufi. 1.ed. São Paulo: Edgard Blucher, Ed. da Universidade de São Paulo, 1975. 93 p.

Dennis G. Zill, Michael R. Cullen.Equações Diferenciais.Tradução de Antonio Zumpano. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2001. 473 p.

Figueiredo, D.G e Neves, A.F Equações Diferenciais Aplicadas. 3ed. Rio de Janeiro: IMPA 2007. 307 p.