Aula5-MecCel

Introdução à Astronomia

Prof. Gabriel Hickel

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Mecânica Celeste

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Mecânica Celeste

Geocentrismo x Heliocentrismo

A Mecânica Celeste nasce das tentativas em descrever o movimento dos planetas

(“planeta”  errante)

Antes dos gregos apenas observação e

modelos matemáticos para posições no céu. Gregos  primeiros modelos

Aristóteles  Ptolomeu com “Almagesto”  geocentrismo

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Mecânica Celeste

Geocentrismo x Heliocentrismo

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Mecânica Celeste

Geocentrismo x Heliocentrismo

Copérnico (séc. XVI) faz contraponto com um novo modelo heliocêntrico

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Mecânica Celeste

Leis de Kepler

Tycho Brahe monta observatório para provar sistema geocêntrico. Ele contrata Johannes Kepler para auxiliá-lo.

Após a morte de Brahe, Kepler trabalha nos dados e chega à conclusão definitiva de que o sistema correto era Heliocêntrico. Utilizando apenas geometria e matemática, determina três leis para o movimento planetário, entre 1609 e 1619.

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Leis de Kepler

1.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÓRBITAS)

“As órbitas dos planetas em torno do Sol são

elipses nas quais ele ocupa um dos focos.”

Numa elipse existem dois focos e a soma das

distâncias aos focos é constante.

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Leis de Kepler

Foco

Foco

a

b

c

d

a + b = c + d

ELIPSE

A soma das distâncias aos

focos, de qualquer ponto da

elipse, é constante.

P1

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Leis de Kepler

2

(1

)

1

cos

a

e

r

e









A distância do planeta ao Sol (ou de um ponto qualquer da elipse ao foco

ocupado pelo corpo central) depende do semi-eixo maior, da

excentricidade e do ângulo polar

, contado a partir do periastro (ponto

da órbita em que a distância entre o planeta e o Sol é menor).

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Leis de Kepler

2.ª LEI DE KEPLER

(LEI DAS ÁREAS)

“A área descrita pelo raio vetor de um planeta

(linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é

diretamente proporcional ao tempo gasto

para descrevê-la.”

Velocidade Areolar  velocidade com que uma área

(setor de elipse) é coberta.

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Leis de Kepler

A

A

Velocidade Areolar:

v1 = A1/Δt1 ; t1 ; v2 = A2/Δt1 ; t2 ; v1 = v2

Intervalo de tempo = t

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Leis de Kepler

Definindo a Velocidade Areolar

A

≃ A

=

1

_2⋅

r

⋅(r⋅tan θ) ≃

1

_2⋅

r

⋅θ

r

tan



 

d

dt

A

≃

d

dt

[

1

2

⋅r

_⋅θ

]

_≃

1

2

⋅r

_⋅

dθ

dt

⇒ se θ for pequeno

como v

₌

d

dt

A

≃

1

2⋅

r

⋅

dθ

_dt

então v

_≃

1

2⋅

r

⋅ω=

_{2 m}

L

com



= velocidade angular, L = momento angular, m = massa do planeta

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Leis de Kepler

Mas... Velocidade Orbital  Velocidade Areolar

Definindo a Velocidade Orbital = /t

Afélio

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Leis de Kepler

Periélio

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Leis de Kepler

A

A

Com isso, tem-se que a velocidade no periélio é maior que no afélio.

Velocidade no Afélio = 29,3 km/s

Velocidade no Periélio = 30,2 km/s

Como A

= A

e t

= t

, mas



>



, então



>



De fato, no caso da Terra:

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Leis de Kepler

3.ª LEI DE KEPLER

(LEI DOS PERÍODOS)

“O quadrado do período da revolução de

um planeta em torno do Sol é diretamente

proporcional ao cubo do raio médio de sua

elipse orbital.”

Raio Médio  média aritmética entre as distâncias

máxima e mínima do planeta ao Sol.

T

_{= k}

 R

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Leis de Kepler

Tabela V.1 – Períodos Orbitais e Distâncias médias dos Planetas ao Sol

Planeta Período (anos) a (U.A.) T2/a3 Mercúrio 0,2409 0,387 1,0012 Vênus 0,6152 0,723 1,0014 Terra 1,0000 1,000 1,0000 Marte 1,8809 1,524 0,9995 Júpiter 11,860 5,203 0,9986 Saturno 29,410 9,529 0,9997 Urano 84,040 19,190 0,9994 Netuno 164,790 30,060 0,9998

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Gravitação de Newton

As Leis de Kepler dão uma visão

cinemática do sistema planetário.

Do ponto de vista dinâmico,

que tipo de

que tipo de

força o Sol exerce sobre os planetas,

força o Sol exerce sobre os planetas,

obrigando-os a se moverem de acordo

obrigando-os a se moverem de acordo

com as leis que Kepler descobrira

com as leis que Kepler descobrira?

A resposta foi dada por

Isaac Newton (1642-1727):

FORÇA GRAVITACIONAL!!!!

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Gravitação de Newton

LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

“Dois pontos materiais se atraem mutuamente com forças

que têm a direção da reta que os une e cujas intensidades

são diretamente proporcionais ao produto de suas massas e

inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os

separa.”

F = -G . m

₁

. m

₂

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Gravitação de Newton

d

m

₁

F

F

m

₂

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Gravitação de Newton

Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal:

Devido a sua enorme massa, o Sol tende a atrair

os planetas em sua direção

Quanto mais próximo do Sol, maior a velocidade

do planeta para que possa escapar do campo de

atração gravitacional do Sol (velocidade

kepleriana)

⟨v

⟩=

2 π

_{T =}

⋅a

2 π

⋅a

√

k

_⋅a

=

2 π

√

k

⋅

1

√

a

=

const .

√

a

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Gravitação de Newton

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Gravitação de Newton

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Energia e Órbitas

Podemos definir a energia de um corpo de massa m orbitando outro com massa maior M, como:

onde R é o raio da órbita e v_orb é a velocidade orbital (que podem ser valores instantâneos ou médios). Em uma órbita fechada (dois corpos estão ligados), a força centrípeta é igual à força gravitacional:

E assim:

ou seja, numa órbita

fechada, a energia total é metade da energia

gravitacional.

E=E_{gravitacional}+E_cinética=−G⋅M⋅m

R + m⋅v_orb2 2 F_cent=F_grav⇒ G⋅M⋅m R2 = m⋅vorb2 R ⇒ vorb 2 ₌G⋅M R

E=

−

G

⋅M⋅m

_R

+

G

⋅M⋅m

_{2 R =−}

1

_2⋅

G

⋅M⋅m

_R

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Energia e Órbitas

Conforme a Energia de Órbita, podemos ter três tipos geométricos:

* Se E < 0, a órbita é fechada e Elíptica se E<0⇒ G⋅M⋅m

R >

m⋅vorb2

2

v

_<

√

2

⋅G⋅M

R

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Energia e Órbitas

Conforme a Energia de Órbita, podemos ter três tipos geométricos:

* Se E = 0, a órbita é fechada no infinito e Parabólica

se E=0⇒ G⋅M⋅m R = m⋅vorb2 2

v

=

√

2

_⋅G⋅M

R

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Energia e Órbitas

Conforme a Energia de Órbita, podemos ter três tipos geométricos:

* Se E > 0, a órbita é aberta e Hiperbólica

se E>0⇒ G⋅M⋅m R < m⋅vorb 2 2

v

>

√

2

_⋅G⋅M

R

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0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 -5,00E+009 -4,00E+009 -3,00E+009 -2,00E+009 -1,00E+009 0,00E+000 1,00E+009 2,00E+009 Mercúrio

VênusTerra Marte

E = 0 E < 0 E > 0 E n er g ia o rb it al p o r u n id ad e d e M as sa ( J / k g )

Distância ao Sol (U.A.)

Energia de um corpo em órbita:

−G⋅M_{2 R}Sol

Objetos não ligados ao Sol, órbitas hiperbólicas (cometas advindos da nuvem de Oort)

Objetos ligados ao Sol, órbitas elípticas

(planetas, asteróides, cometas periódicos)

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Elementos Orbitais

Tabela V.2 – Parâmetros Orbitais

Parâmetro Grandeza Descrição

a Comprimento Semi-eixo maior da órbita

e Adimensional Excentricidade da órbita

i Ângulo Inclinação da órbita em relação ao plano de referência

Ω Ângulo Ângulo entre o Ponto Vernal e o nodo ascendente, no plano _{de referência (Longitude do nodo ascendente)}  Ângulo Ângulo entre o nodo ascendente e o periélio, no plano de _{órbita (Argumento do periélio)}

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Pontos de Lagrange

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) foi um matemático francês, que entre várias contribuições importantes para a Matemática e Física, analisou o difícil problema de 3 corpos em Gravitação. Ao analisar a composição de forças, Lagrange descobriu que se os 3 corpos interagem em um mesmo plano e um deles tem massa praticamente desprezível frente aos outros dois; então existem 5 pontos nos quais a força centrípeta orbital que age sobre o corpo de massa desprezível é cancelada pela ação das forças gravitacionais dos outros dois corpos. Estes pontos receberam o nome de Pontos de Lagrange.

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Pontos de Lagrange

Nas órbitas dos planetas em torno do Sol e dos satélites naturais em torno dos planetas, existem 5 Pontos de Lagrange, sendo 2 estáveis e 3 instáveis.

Os pontos L1, L2 e L3 são instáveis, ou seja, pequenos corpos nestas posições sobrevivem nela por poucos dias ou meses, até serem expulsos.

Já os pontos L4 e L5 são estáveis, ou seja, pequenos corpos que passam nestes pontos com baixas velocidades, podem ser capturados permanentemente.

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Pontos de Lagrange

No Sistema Solar, temos alguns exemplos naturais de corpos nos Pontos Lagrange dos planetas. Nos pontos L4 e L5 da órbita de Júpiter, existem mais de 4 mil asteróides chamados de troianos. O mesmo ocorre para Saturno, Urano e Netuno. Alguns satélites internos de Saturno e Júpiter também co-orbitam com outros menores em seus Pontos Lagrange.

A Terra tem apenas um excesso de poeira interplanetária nos pontos L4 e L5.

Simulação de asteróides troianos (pontos verdes) e do grupo ressonante Hilda (pontos roxos)

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Pontos de Lagrange

A humanidade também tira proveito dos Pontos de Lagrange, particularmente os pontos L1 e L2. No ponto L1 já foram colocados quatro satélites para estudar o Sol 24 horas por dia: SOHO, ACE, WIND e ISEE-3. Já no ponto L2 foram colocado os satélites WMAP, para mapear a radiação cósmica de fundo, além do PLANCK e do HERSCHEL. O telescópio espacial James Webb também irá para lá.

A vantagem é que, embora estes pontos sejam instáveis, requerem menor gasto de combustível para manter a órbita.

Satélite SOHO

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Limite de Roche:

Em 1848, o astrônomo francês Édouard Roche calculou qual seria a menor distância possível entre dois corpos extensos, sob a ação da gravitação, para que ambos mantivessem suas estruturas intactas.

Sabemos que corpos extensos próximos têm ação mútua de forças de maré que tendem a esticar os corpos na direção do raio vetor que une os dois centros.

A idéia é que em determinado ponto limite, a força gravitacional do corpo A (principal) sobre um pedaço do corpo B é maior do que a auto-gravitação do corpo B.

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Limite de Roche:

Vamos derivar a expressão do Limite de Roche:

A pequena massa  (em azul) no corpo B (em vermelho) sofre a ação da força gravitacional do corpo B (F_B), do qual faz parte e das forças de maré do corpo A (em amarelo) (F_A) (veja a aula anterior para lembrar, no texto lua.ppt):

F_B=G⋅m⋅μ

r2 FA=

2⋅G⋅M⋅μ⋅r

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Limite de Roche:

Quando as forças F_A e F_B são iguais, chegamos ao limite de Roche:

Podemos trabalhar com as densidades dos corpos:

E assim, chegamos ao Limite de Roche, em função das densidades dos dois corpos envolvidos e do raio do corpo principal:

2⋅G⋅M⋅μ⋅r d 3 = G⋅m⋅μ r2 ⇒ 2⋅M d 3 = m r3 d3₌2⋅M⋅r3 m = 2⋅ρA⋅ 4 3 ⋅π⋅R 3 ⋅r3 ρ_B⋅4 3⋅π⋅r 3 = 2⋅ρA⋅R 3 ρ_B

d=

(

2

⋅ρ

ρ

)

⋅R

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Limite de Roche:

O limite de Roche depende, assim, da composição dos corpos envolvidos e do tamanho do corpo principal. Para a Terra, pro exemplo, o Limite de Roche é entre 9 e 20 mil km, dependendo da densidade do corpo em questão.

O que acontece quando um corpo ultrapassa o limite de Roche de outro corpo principal? Ele se desfaz e forma um anel de partículas em torno do corpo principal. Esta é provavelmente a origem dos anéis dos planetas gasosos gigantes:

Esta pequena animação simula um corpo menor (em verde, ultrapassando o Limite de Roche de um corpo maior (em vermelho). Após isto, o corpo menor se desfaz e forma um anel em torno do corpo maior. Estas estruturas (anéis) são transitórias e não duram para sempre.

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Limite de Roche:

Todos os planetas gasosos gigantes do Sistema Solar têm anéis, que provavelmente advém de pequenos satélites desfeitos por ultrapassarem o Limite de Roche. Estas estruturas não são permanentes, são instáveis e duram de milhares a poucos milhões de anos (o Sistema Solar tem cerca de 4,5 bilhões de anos de idade).

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Movimento de Foguetes:

O movimento de foguetes depende diretamente do empuxo fornecido pelos gases expelidos na combustão do combustível. Isto significa que enquanto se move, um foguete PERDE massa. Podemos esquematizar isto em termos cinemáticos (análise da variação do momento do foguete):

dp_foguete dt = d dt

(

)

Pela análise do empuxo, temos que:

v

⋅

dm

_{dt =−}

u

⋅D

Ou seja, a velocidade vezes a variação da massa do foguete é igual ao módulo do produto da velocidade com que os gases são expelidos (u) vezes a taxa de consumo de massa do combustível (D).

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Movimento de Foguetes:

A única força agindo sobre o foguete é a gravidade (ignorando o arrasto com a atmosfera no lançamento). Então, a variação do momento é igual a:

dp_foguete

dt =−m⋅g ⇒ −u⋅D+m⋅

dv

dt =−m⋅g

E por fim, chegamos à equação do movimento de foguetes:

Expressando a massa do foguete como m(t) = m₀ - D·t, temos:

dv

dt =

u

⋅D

m −

g

dv

dt

=u

⋅

D

m

_−D⋅t

−g

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Movimento de Foguetes:

A solução para esta equação diferencial é:

O que leva a uma solução ainda mais complicada para a altura:

Apesar das simplificações adotadas, o movimento é complicado. Vamos ver na forma gráfica:

v=v₀−g⋅t+u⋅ln

[

m₀−D⋅t

]

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Movimento de Foguetes:

Para estes gráficos, m₀ = 15.000 kg, u = 500 m/s, D = 300 kg/s; v₀ = 0 m/s e h₀ = 0 m (g = 9,81 m/s2_): 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 ve lo ci d ad e (m / s) tempo (s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 A lt u ra ( m ) tempo (s)

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0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 A lt u ra ( m ) tempo (s) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 ve lo ci d ad e (m / s) tempo (s)

Movimento de Foguetes:

Para estes gráficos, m₀ = 15.000 kg, u = 500 m/s, D = 300 kg/s; v₀ = 0 m/s e h₀ = 0 m (g = 9,81 m/s2_):

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Movimento de Foguetes:

Obviamente, este ensaio é pouco realista e leva em conta o lançamento vertical. O combustível é completamente consumido a uma taxa constante, em um único estágio.

Lançamentos reais devem levar em conta o atrito com a atmosfera e aceleração da gravidade variável. Além disso, foguetes espaciais normalmente têm mais de 1 estágio e não sobem verticalmente, pois progressivamente postam-se em uma órbita elíptica.

Entretanto, o princípio do empuxo dos gases expelidos permanece como elemento propulsor.

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Movimento de Foguetes:

Esta imagem mostra a coluna de fumaça do lançamento do ônibus espacial visto da Estação Espacial Internacional. Note a trajetória curva, visando atingir órbita.

Este vídeo mostra parte do lançamento do ônibus espacial. Repare que embora o lançamento seja inicialmente vertical, progressivamente a trajetória vai ficando inclinada.

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Movimento de Foguetes:

Esquema do lançamento de um objeto em órbita, com o auxílio de foguetes. Os foguetes têm, no mínimo, dois estágios. O último estágio é o que segue em órbita, sempre com h > 100 km, para não atritar com a atmosfera.

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Órbita Geo-Estacionária:

Satélites artificiais podem assumir qualquer órbita em torno da Terra, dependendo apenas da energia adicionada no lançamento. Obviamente, o limite inferior é dado pela atmosfera da Terra (atrito e queda) e os limites superiores pela ação da Lua e do Sol (escape e captura).

Entretanto, existe uma órbita que é bastante especial: a órbita Geo-Estacionária ou Geossíncrona. Nesta, o período orbital do satélite é exatamente igual ao período de rotação da Terra sobre seu eixo.

Assim, se esta órbita estiver no plano do Equador da Terra, o satélite ficará estacionário sobre a mesma longitude terrestre, aparentando não se mover em relação a um observador na superfície da Terra.

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Órbita Geo-Estacionária:

Nesta simulação, um satélite geo-estacionário, no plano do Equador da Terra e sobre a África, mantém sua posição fixa sobre uma longitude terrestre, enquanto orbita a Terra. Este tipo de satélite tem inúmeras aplicações, sendo a mais importante a de telecomunicações.

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Órbita Geo-Estacionária:

A que distância fica um satélite geo-estacionário? Mas

e como já vimos antes: Então:

que é justamente a 3a _{Lei de Kepler.}

Calculando o raio da órbita geo-estacionária:

P=23,93444 h

P=

2 π

⋅R

v

v=

√

G

_⋅M

R

P=

2 π

√

G

_⋅M

⋅R

[

]

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Órbita Geo-Estacionária:

O gráfico abaixo mostra a relação entre o período (em horas) e o raio de órbita (em km), contado a partir do centro da Terra.

10000 100000

1 10 100

Raio Geo-Estacionário Período de Rotação da Terra

P 2 = k . R 3 P ( h or a s) Raio da Órbita (km)

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