Funções Reais de Uma Variável Real - III

Cálculo Diferencial e Integral I

Funções Reais de Uma Variável Real - Parte III

Prof

Scheila V. Biehl

scheilabiehl08@gmail.com

Depto de Matemática e Estatística

Universidade Estadual de Ponta Grossa

Novas Funções a Partir de Antigas.

Combinações de Funções (Operações com Funções, Função Composta).

Funções Exponenciais.

Novas Funções a Partir de Antigas.

Partimos de funções básicas (retas, parábolas, trigonométricas etc) e obtemos novas funções por deslocamento, expansão ou reflexão de seus gráficos.

Novas Funções a Partir de Antigas.

Partimos de funções básicas (retas, parábolas, trigonométricas etc) e obtemos novas funções por deslocamento, expansão ou reflexão de seus gráficos.

Deslocamentos Verticais e Horizontais.

Suponha que c > 0. Para obter o gráfico de:

y = f (x ) + c, desloque o gráf. de y = f (x ) em c unid. p/ cima. y = f (x ) − c, desloque o gráf. de y = f (x ) em c unid. p/ baixo. y = f (x − c), desloque o gráf. de y = f (x ) em c unid. p/ direita. y = f (x + c), desloque o gráf. de y = f (x ) em c unid. p/ esquerda.

Novas funções a partir de antigas

Novas funções a partir de antigas

Expansões Horizontais e Verticais.

Suponha que c > 1. Para obter o gráfico de:

y = cf (x ), expanda o gráfico de y = f (x ) verticalmente por um fator de c.

y = (1/c)f (x ), comprima o gráfico de y = f (x ) verticalmente por um fator de c.

y = f (cx ), comprima o gráfico de y = f (x ) horizontalmente por um fator de c.

y = f (1

cx ), expanda o gráf. de y = f (x ) horizontalmente por um

fator de c.

Novas funções a partir de antigas

Novas funções a partir de antigas

Reflexões.

Suponha que c > 1. Para obter o gráfico de:

y = −f (x ), reflita o gráf. de y = f (x ) em torno do eixo x . y = f (−x ), reflita o gráf. de y = f (x ) em torno do eixo y .

Exemplo

Dado o gráfico de y =√x , use transformações para obter os gráficos de y =√x − 2, y =√x − 2, y = −√x , y = 2√x , y =√−x .

Combinações de Funções.

Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções. Seja o domínio de f dado por A e o domínio de g por B.

Soma: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ), Domínio=A ∩ B

Diferença: (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) , Domínio=A ∩ B

Multiplicação: (fg )(x ) = f (x )g (x ), Domínio=A ∩ B

Divisão: (f_g)(x ) = f (x )_{g (x )}, Domínio={x ∈ A ∩ B|g (x ) 6= 0}

Função Composta.

Dadas duas funções f e g , afunção compostaf ◦ g (composição de f e g ) é definida por (f ◦ g )(x ) = f (g (x )).

Função Composta.

Dadas duas funções f e g , afunção compostaf ◦ g (composição de f e g ) é definida por (f ◦ g )(x ) = f (g (x )).

Exemplo de composição: y = f (u) =√u e u = g (x ) = x2+ 1 resulta que y é uma função de x .

1 Começamos com um no_{x no domínio de g ;} 2 Encontramos sua imagem g (x );

3 Se este no _{g (x ) estiver no domínio de f ;}

4 Então podemos calcular o valor da nova função h(x ) = f (g (x )).

Domínio: (f ◦ g )(x ) está definida sempre que tanto g (x ) quanto f (g (x )) estiverem definidas.

Função Composta.

Dadas duas funções f e g , afunção compostaf ◦ g (composição de f e g ) é definida por (f ◦ g )(x ) = f (g (x )).

Exemplo de composição: y = f (u) =√u e u = g (x ) = x2+ 1 resulta que y é uma função de x .

1 Começamos com um no_{x no domínio de g ;} 2 Encontramos sua imagem g (x );

3 Se este no _{g (x ) estiver no domínio de f ;}

4 Então podemos calcular o valor da nova função h(x ) = f (g (x )).

Domínio: (f ◦ g )(x ) está definida sempre que tanto g (x ) quanto f (g (x )) estiverem definidas.

Funções Inversas e Logaritmos.

A tabela abaixo fornece os dados de uma experiência na qual uma cultura começou com 100 bactérias em um meio limitado em nutrientes.

t (horas) N = f (t) 0 100 1 168 2 259 3 358 4 445 5 509 6 550 7 573 8 586

o tamanho da população foi registrado em intervalos de 1h;

o número N de bactérias é uma função do tempo t: N = f (t).

Mas se o biólogo mude seu ponto de vista e se interesse pelo tempo necessário para a popolução alcançar certos níveis?

Funções Inversas e Logaritmos.

A tabela abaixo fornece os dados de uma experiência na qual uma cultura começou com 100 bactérias em um meio limitado em nutrientes.

t (horas) N = f (t) 0 100 1 168 2 259 3 358 4 445 5 509 6 550 7 573 8 586

o tamanho da população foi registrado em intervalos de 1h;

o número N de bactérias é uma função do tempo t: N = f (t).

Mas se o biólogo mude seu ponto de vista e se interesse pelo tempo necessário para a popolução alcançar certos níveis?

Essa função, chamada função inversa de f , é denotada por f−1.

Portanto, t = f−1(N) é o tempo necessário para o nível da população atingir N.

Nesse caso, os valores de f−1 podem ser encontrados olhando a tabela da esquerda ao contrário ou consultando a segunda tabela.

t (horas) N = f (t) 0 100 1 168 2 259 3 358 4 445 5 509 6 550 7 573 8 586 N (população) t = f−1(N) 100 1 168 2 259 3 358 4 445 5 509 6 550 7 573 8 586 9

Nem todas as funções possuem inversa!!!

.

Vamos comparar as funções f e g cujo diagrama de flechas está na figura abaixo:

Observe que f nunca assume duas vezes o mesmo valor e g assume o mesmo valor duas vezes (g (2) = g (3)).

Funções Injetoras

Uma função f é chamadafunção injetorase ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, f (x1) 6= f (x2) sempre que x16= x2.

Teste da Reta Horizontal: uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais de um ponto.

Funções Injetoras são as que possuem Função Inversa!!!

Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B. Então sua função inversa f−1 tem domínio B e imagem A, sendo definida por f−1(y ) = x ⇔ f (x ) = y , para todo y em B.

O diagrama de flechas da figura abaixo mostra que f−1 reverte o efeito de f .

Domínio de f−1= Imagem de f . Domínio de f = Imagem de f−1.

CUIDADO:

Não confunda -1 de f−1com um expoente!! Assim, f−1(x ) não significa _{f (x )}1 .

O recíproco _{f (x )}1 pode ser escrito como [f (x )]−1.

Exemplo: a função inversa de f (x ) = x3 _{é f}−1_{(x ) = x}1/3 _{porque se} y = x3_{, então:}

OBS.a letra x é usada tradicionalmente como a variável independente, logo quando nos concentramos em f−1em vez de f , geralmente reverteremos os papéis de x e y da definição e escrevemos

Equações de Cancelamento

f−1(f (x )) = x , para todo x em A. f (f−1(x )) = x , para todo x em B.

Como achar a função inversa de uma função f injetora:

PASSO 1. Escreva y = f (x ).

PASSO 2. Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y (se possível).

PASSO 3. Para expressar f−1 como uma função de x, troque x por y . A equação resultante é y = f−1(x ).

O gráfico de f−1é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta

y = x .

O ponto (a, b) está no gráfico de f se e somente se o ponto (b, a) estiver sobre o gráfico de f−1.

Funções Logarítmicas.

Se a > 0 e a 6= 1, a função exponencial f (x ) = ax é crescente ou decrescente, e pontanto, injetora pelo Teste da Reta Horizontal.

Assim, existe uma funçaõ inversa f−1, chamadafunção logarítmica com base a, denotada por log_a.

Funções Logarítmicas. D = R∗+e Im = R f−1(x ) = y ⇔ f (y ) = x log_a x = y ⇔ ay = x Exemplo: log381 = 4 ⇔ 34= 81

O logaritmo de base a é uma função que faz corresponder ao objeto x a imagem y tal que ay _{= x .}

O logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência.

Equações de cancelamento.

f (x ) = ax f−1(x ) = log_a x f−1(f (x )) = x ⇔ log_a(ax_{) = x , para todo x ∈ R.} f (f−1(x )) = x ⇔ aloga(x )= x , para todo x > 0.

Propriedades dos Logaritmos.

Se x e y forem no_{s positivos, então}

1 loga(xy ) = loga(x ) + loga(y )

2 loga(xy) = loga(x ) − loga(y )

3 log_a(xr_{) = r log}

Funções Logarítmicas Naturais.

O logaritmo na base e (no _{de Euler ≈ 2, 7172...) é chamado logaritmo} natural e tem uma notação especial:

log_e x = ln x Funções inversas: ln x = y ⇔ ey = x Equações Cancelamento: ln(ex_{) = x , ∀x ∈ R.} eln(x )= x , ∀x > 0. Propriedade: ln e = 1.

Fórmula de mudança de base: para todo nopositivo a (a 6= 1), temos: loga(x ) = ln x ln a Exemplos: 1. Encontre x se ln x = 5. 2. Resolva a equação e5−3x _{= 10.} 3. Expresse ln a +1

2ln b como um único logaritmo. 4. Calcule log₈5 até a sexta casa decimal.

Funções Trigonométricas Inversas.

Do gráfico de funções trigonométricas como sen (x ), cos (x ), vemos que estas não são funções injetoras, portanto não possuem funções inversas.

Então quando uma função trigonométrica possui inversa?

Funções Trigonométricas Inversas.

Do gráfico de funções trigonométricas como sen (x ), cos (x ), vemos que estas não são funções injetoras, portanto não possuem funções inversas.

Então quando uma função trigonométrica possui inversa?

Função Inversa do Seno.

A definição de uma função inversa diz que: f−1(x ) = y ⇔ f (y ) = x Assim,

sen−1 x = y ⇔ sen y = x e −π₂ ≤ y ≤ π

2

Se −1 ≤ x ≤ 1, sen−1x é o NÚMERO entre −π₂ e π₂ cujo seno é x .

Função Inversa do Cosseno.

A função cosseno f (x ) = cos x restrita ao domínio 0 ≤ x ≤ π é injetora; logo, possui uma função inversa denotada por cos−1 ou arccos.

cos−1 x = y ⇔ cos y = x e 0 ≤ y ≤ π

Função Inversa da Tangente.

A função tangente f (x ) = tg x restrita ao domínio −π

2 < x <

π

2 é injetora; logo, possui uma função inversa denotada por tg−1ou arctg.

tg−1 x = y ⇔ tg y = x e −π₂ < x < π₂