F´ısica Experimental 1
Apostila 1: Medidas e incertezas
Resumo
Esta apostila apresenta as ideias e objetivos que determinam como expressar resultados de medidas. Introduzimos aqui os conceitos de algarismos significativos e de incerteza, em especial aquela associada ao instrumento de medida. Apresentamos regras de propaga¸c˜ao de incertezas.
Sum´
ario
1 O que significa medir uma grandeza? 2
2 Medida e incerteza 3
2.1 Nota¸c˜ao . . . 3
2.2 Regras de arredondamento . . . 6
2.3 Nota¸c˜ao cient´ıfica . . . 7
2.4 Incerteza e compatibilidade entre medidas . . . 8
3 Leitura de instrumentos de medida e incerteza 8 3.1 Exemplos de leitura instrumental . . . 9
4 Propaga¸c˜ao de incertezas 13 4.1 Propaga¸c˜ao de incertezas na soma . . . 15
4.2 Composi¸c˜ao de fontes independentes de incerteza . . . 17
4.3 Propaga¸c˜ao de incertezas por lineariza¸c˜ao a derivadas parciais . . . 18
Apˆendice A Paqu´ımetro 22
1
O que significa medir uma grandeza?
Vocˆe certamente j´a sabe de forma intuitiva o que significa medir grandezas f´ısicas. De maneira formal, uma medi¸c˜ao consiste quase sempre em comparar duas quantidades de uma mesma grandeza (comprimentos, massas, tempos etc), sendo uma delas definida como um padr˜ao.
O padr˜ao ´e a conven¸c˜ao a definir a quantidade unit´aria de certa grandeza, recebendo sua unidade uma nomenclatura especial (e.g. metro, grama, segundo etc). Para comparar algo `a conven¸c˜ao aceita (i.e. medir), utiliza-se um instrumento calibrado pelo padr˜ao de medida.
Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui 2 kg de massa, queremos dizer que, dentro de certa precis˜ao, sua massa corresponde a duas ‘massas-padr˜ao’, cuja unidade de medida no sistema adotado ´e o quilograma, denotada pelo s´ımbolo ‘kg’.
Em toda medida ´e fundamental o uso da unidade da grandeza correspondente, uma vez que padr˜oes dependem de conven¸c˜oes. A conven¸c˜ao mais utilizada atualmente ´e o Sistema Internacional de unidades (SI), ou sistema m´etrico. A tabela 1 mostra algumas unidades do SI.
Grandeza Nome S´ımbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg
Tempo Segundo s
Temperatura Kelvin K
Tabela 1: Exemplos de unidades adotadas no SI.
A maior parte das grandezas envolvidas na descri¸c˜ao dos fenˆomenos estudados em F´ısica Geral 1 e 2 pode ser expressa a partir de apenas trˆes grandezas fundamentais: tempo, comprimento e massa. Para lhe dar uma no¸c˜ao de como s˜ao definidas as unidades no SI, explicitamos algumas abaixo:
• Segundo: o tempo que um is´otopo espec´ıfico do ´atomo de c´esio leva para realizar 9 192 631 770 oscila¸c˜oes entre duas configura¸c˜oes eletrˆonicas internas definidas.
• Metro: a distˆancia percorrida pela luz no v´acuo na fra¸c˜ao de 1 / 299 792 458 de um segundo (i.e. a velocidade da luz ´e definida como exatamente 299 792 458 m/s).
• Quilograma: definido a partir da fixa¸c˜ao do valor num´erico da constante de Planck h em 6,262 070 15 ×10−34 quando expressa em unidades de J·s, que ´e igual a kg·m2·s−1.
Um bom padr˜ao de medida ´e hoje entendido como algo robusto que pode ser verificado com alta precis˜ao atrav´es de experimentos locais em qualquer parte do mundo.
Da´ı a preferˆencia por padr˜oes definidos por constantes fundamentais da natureza, como a veloci-dade da luz, ou quantiveloci-dades adimensionais, como o n´umero de oscila¸c˜oes de um ´atomo.
2
Medida e incerteza
Uma medida determina o valor de uma grandeza f´ısica nas unidades convencionadas.
Presume-se que, independentemente do ato de medir, exista um valor verdadeiro associado `a grandeza, e que a medida seja um processo de mera extra¸c˜ao dessa informa¸c˜ao.
O valor verdadeiro ´e o ideal do romantismo experimental: possui precis˜ao infinita e, por isso, jamais pode ser atingido. Afinal, todo valor medido deve possuir um n´umero finito de algarismos (caso contr´ario, precisar´ıamos de mem´oria infinita para denot´a-lo, al´em de outros problemas), implicando numa d´uvida fundamental sobre onde exatamente est´a o valor verdadeiro.
Como n˜ao podemos evitar essa fonte de d´uvida, precisamos ser realistas e inclui-la como algo intr´ınseco a todo resultado de medida: toda medida deve, ent˜ao, possuir uma incerteza. Isso implica que, ao contr´ario do nosso ideal de valor verdadeiro, uma medida real n˜ao ´e representada por um valor pontual, mas por um intervalo!
A incerteza denota o intervalo de confian¸ca em que o(a) experimentador(a) garante como correto o resultado da medida, ou, de forma complementar, o quanto o valor mais confi´avel obtido pela medida pode diferir do valor verdadeiro. A incerteza ´e sempre denotada por um n´umero positivo. Para expressar corretamente o resultado de uma medida, ´e preciso fornecer, al´em do valor obtido para a grandeza, tamb´em sua incerteza e sua unidade de medida. Isso ocorre porque o resultado de uma medida n˜ao ´e um valor pontual, mas um intervalo.
2.1
Nota¸
c˜
ao
A nota¸c˜ao ´e uma forma econˆomica de comunicar todas as informa¸c˜oes relevantes de um resultado de medida. Ela re´une em poucos s´ımbolos o valor mais confi´avel da grandeza, sua incerteza e sua unidade.
O valor mais confi´avel representa nossa melhor estimativa para o valor verdadeiro, sendo a primeira informa¸c˜ao a aparecer na nota¸c˜ao. A incerteza, colocada ap´os o simp´atico s´ımbolo ‘±’, denota o quanto esse valor pode variar para mais ou para menos.
Tomemos como exemplo a grandeza m, cujo resultado de medida seria denotado assim:
m = M ± σM. (1)
Na nota¸c˜ao acima, M ´e o valor mais confi´avel (e.g. a leitura do instrumento de medida), e σM,
sua incerteza, representa o quanto esse valor pode ter sido subestimado ou superestimado.
Em outras palavras, a Eq. (1) comunica que m vale com alta confian¸ca algo entre M − σM e
M + σM, sendo o n´umero M a estimativa mais razo´avel da grandeza m na opini˜ao de quem realizou
Mas aqui vocˆe j´a come¸ca a perceber a terminologia que confunde os n˜ao-iniciados na arte da medida: quanto ´e ‘alta confian¸ca’ ? Ou: o que ´e ‘razo´avel’ ? Tudo isso ficar´a mais claro na Apostila 2, quando utilizaremos distribui¸c˜oes de probabilidade para dar sentido estat´ıstico a essas afirma¸c˜oes. Por enquanto, basta vocˆe usar o ‘bom senso’ (ooops, mais um conceito dif´ıcil de definir...) tendo sempre em mente os princ´ıpios guiadores da tarefa de medir coisas: fornecer resultados claros e com informa¸c˜ao completa tal que outras pessoas possam repetir seu experimento e obter resultados compat´ıveis com o seu.
Pode ocorrer em alguns casos de a incerteza ser assim´etrica em torno do valor de maior confian¸ca, caso em que a express˜ao acima deve ser escrita como
m = M +σ−σM+M−. (2)
Isso significa que o valor mais confi´avel para m continua a ser M , no entanto a incerteza da medida permite que o valor verdadeiro da grandeza esteja com alta confiabilidade entre M − σM− e M + σM+.
2.1.1 N´umero de algarismos significativos
A incerteza na medi¸c˜ao implica que n˜ao faz sentido representar resultados de medida por valores num´ericos com tantos algarismos quanto se queiram: a precis˜ao num´erica s´o possui significado se compat´ıvel com a precis˜ao da medida.
Os algarismos que de fato guardam sentido s˜ao chamados algarismos significativos. ´E mesmo um erro muito comum expressar o valor de medidas com mais algarismos do que permitido por sua incerteza ou pelo contexto: a forma correta de escrita deve indicar at´e que casa decimal o valor num´erico da grandeza ´e confi´avel.
Tomemos um exemplo corriqueiro. ´E comum encontrar placas informativas de altitude de cidades num formato tal como “729,8756 m” com rela¸c˜ao ao n´ıvel do mar. A nota¸c˜ao utilizada aponta nada menos do que 7 algarismos significativos.
Faz sentido empregar tal precis˜ao nesse caso? Claro que n˜ao! Bem, a medida em si certamente n˜ao possui precis˜ao de 0,1 mm (o diˆametro de um fio de cabelo!) em 730 m; al´em disso (e mais importante), a pr´opria id´eia n˜ao faz sentido, pois a altitude de uma cidade inteira varia muito mais do que isso em seu interior. Para uma placa desse tipo, seria j´a exagerado denotar a altitude como 730 m, sendo mais razo´avel escrevˆe-la simplesmente como 0,7 km ou 0,73 km.
Quando n˜ao explicitada, a incerteza numa medida deve ser entendida como igual a uma unidade em seu algarismo de menor valor no posicionamento decimal1. No entanto, iremos expressar incertezas explicitamente na maior parte das vezes, e vocˆe deve tentar fazer isso sempre.
1Segundo o exemplo acima, a nota¸c˜ao empregada na placa nos leva a entender a altitude da cidade como sendo igual a 729,8756±0,0001 m, claramente um absurdo.
2.1.2 N´umero de algarismos significativos na incerteza
A mesma filosofia do que possui ou n˜ao significado deve ser utilizada para escolher o n´umero de algarismos usados para denotar a pr´opria incerteza. Por exemplo, n˜ao faria sentido escrever
730,4 ± 8,3 m, (3)
tendo em vista o significado dos algarismos representados: se o algarismo ‘0’ j´a est´a incerto em at´e 8 unidades, qual ´e o sentido de dizer que h´a 3 unidades de incerteza no algarismo `a sua direita, que possui valor posicional 10 vezes menor? Como o erro no algarismo mais `a direita est´a contido muitas vezes no erro do algarismo mais `a esquerda, n˜ao faz sentido denot´a-lo.
Como regra geral, convencionamos neste curso utilizar apenas 1 algarismo significa-tivo na incerteza.
No entanto, apesar de nossa conven¸c˜ao, um caso especial digno de nota ocorre quando a incerteza possui ‘1’ ou ‘2’ como primeiro algarismo, caso em que ´e correto denotar a incerteza com dois algarismos significativos. Por exemplo, apesar de neste curso perferirmos a forma
730 ± 3 m (4)
em lugar de
730,0 ± 2,8 m, (5)
ambas est˜ao corretas e s˜ao encontradas na literatura cient´ıfica.
A escolha por dois algarismos significativos visa evitar que a imprecis˜ao da incerteza seja excessiva nesses casos especiais. Por exemplo, se σ = 2 m, utilizar apenas 1 algarismo na nota¸c˜ao indicaria implicitamente que a incerteza poderia ser qualquer coisa entre σ = 1 m e σ = 3 m, i.e. uma varia¸c˜ao de ≈ 50%.
O problema est´a nesse valor de imprecis˜ao ser excessivo quando comparado aos casos em que o algarismo mais `a esquerda ´e maior do que 3, implicando em falta de uniformidade. De fato, se tiv´essemos σ = 8 m, a mesma regra implica dizer que algo entre σ = 7 m e σ = 9 m seria aceit´avel: nesses casos, por´em, a imprecis˜ao da incerteza ´e de apenas ≈ 10%.
Assim, a conven¸c˜ao de se utilizar apenas 1 algarismo significativo na incerteza torna o erro relativo na incerteza irrealisticamente grande nos casos em que o primeiro algarismo de σ ´e ‘1’ ou ‘2’. Para evitar ser t˜ao pessimista, denota-se a´ı o segundo algarismo da incerteza.
No exemplo acima, se a incerteza de medida passa a ser enunciada como σ = 2,1 m, entende-se agora que esse valor poderia ser facilmente σ = 2,0 m ou σ = 2,2 m, algo incerto em ≈ 5%. Assim, a inclus˜ao do segundo algarismo torna mais uniforme a imprecis˜ao relativa da incerteza em todo o intervalo de valores admitidos.
2.1.3 N´umero de algarismos significativos no valor mais confi´avel
Em todos os exemplos acima, o valor mais confi´avel foi denotado com o mesmo n´umero de casas decimais da incerteza. O motivo disso ´e o fato central de que a incerteza fornece a precis˜ao do valor mais confi´avel.
Para se convencer disso, analise com cuidado o significado da nota¸c˜ao: cada algarismo da incerteza se refere ao algarismo na posi¸c˜ao decimal correspondente do valor mais confi´avel, e portanto n˜ao faz sentido denotar um sem o outro!
A incerteza determina como o valor confi´avel deve ser escrito: em outras palavras, a incerteza fornece o n´umero de algarismos significativos do valor mais confi´avel.
Como consequˆencia, note que na Eq. (5) fomos obrigados a manter o algarismo ‘0’ (zero) `a direita da v´ırgula na nota¸c˜ao do valor mais confi´avel, pois ´e tamb´em significativo. Em resultados de medida, zeros colocados ‘depois da v´ırgula’ possuem significado!
2.2
Regras de arredondamento
Regras de arredondamento s˜ao utilizadas para eliminar da nota¸c˜ao algarismos sem significado, tornando-a clara e sucinta: s´o se enuncia aquilo garantido como significativo – e nada mais. Vamos adotar as normas da Associa¸c˜ao Brasileira de Normas T´ecnicas (ABNT) para os arredon-damentos num´ericos, que s˜ao de fato bem intuitivas. A incerteza deve ser arredondada pelas mesmas regras at´e atingir 1 algarismo significativo, de acordo com a conven¸c˜ao adotada neste curso.
Regra 1 - Quando o algarismo a ser desprezado for inferior a 5, mant´em-se o algarismo `a sua esquerda inalterado. Ou seja, ‘arredonda-se para baixo’. Exemplos:
l = 3,4745 ± 0,0320 m −→ l = 3, 47 ± 0,03 m, t = 1,11238 ± 0,00533 s −→ t = 1, 112 ± 0,005 s, m = 9,49075 ± 1,11111 kg −→ m = 9 ± 1 kg.
(6)
Regra 2 - Quando o algarismo a ser desprezado for superior a 5 ou igual a 5 seguido por um algarismo diferente de zero, soma-se a unidade ao algarismo anterior. Ou seja, ‘arredonda-se para cima’. Exemplos:
l = 3,4751 ± 0,0290 m −→ l = 3, 48 ± 0,03 m, t = 1,11260 ± 0,00483 s −→ t = 1, 113 ± 0,005 s, m = 9,51075 ± 0,96315 kg −→ m = 10 ± 1 kg.
Regra 3 - Quando o algarismo a ser desprezado for igual a 5 seguido de zeros (ainda que impl´ıcitos), aplica-se a seguinte conven¸c˜ao: se o algarismo anterior for ´ımpar, acrescenta-se uma unidade a ele; se for par, permanece inalterado.
O arredondamento tem efeito nulo sobre o resultado num´erico da medida, uma vez que os alga-rismos desprezados n˜ao s˜ao confi´aveis.
2.3
Nota¸
c˜
ao cient´ıfica
A nota¸c˜ao cient´ıfica ´e uma forma de representa¸c˜ao exponencial de n´umeros, dada explicitamente por M · 10p, em que M ´e a mantissa (por vezes convencionada como um n´umero entre 1 e 10) e p
´
e a ordem de grandeza do n´umero.
Esse tipo de nota¸c˜ao ´e usado para acomodar de forma compacta n´umeros muito grandes (e.g. 200 000 000 000 = 2 · 1011) ou muito pequenos (e.g. 0,000 000 000 03 = 3 · 10−11). Sua vantagem com rela¸c˜ao `a representa¸c˜ao decimal convencional ´e eliminar ambiguidades ou mesmo equ´ıvocos de nota¸c˜ao relacionados ao n´umero de algarismos significativos.
Na nota¸c˜ao cient´ıfica, o n´umero de algarismos da mantissa ´e igual ao n´umero de algarismos significativos da medida.
Por exemplo, a maior distˆancia observ´avel do universo ´e medida como cerca de 400 000 000 000 000 000 000 000 000 m. Com esse n´umero n˜ao queremos dizer que o tamanho do universo ´e conhecido com precis˜ao de metros! Nesse caso, a nota¸c˜ao cient´ıfica traz a vantagem de representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, como e.g. 4 · 1026 m, caso em que a incerteza fica impl´ıcita como afetando j´a o algarismo 4. Outros exemplos:
2483 ± 4 s → (2,483 ± 0,004) · 103s,
0, 00034 ± 0, 00007 m → (3,4 ± 0,7) · 10−4m.
(8)
Devemos empregar a nota¸c˜ao cient´ıfica tamb´em para tornar correta a nota¸c˜ao da incerteza usando apenas 1 algarismo significativo. Por exemplo, a forma correta seria escrever:
2 100 000 ± 1 000 s −→ (2,100 ± 0,001) · 106 s. (9)
Note que a nota¸c˜ao `a esquerda est´a incorreta se o experimento n˜ao for capaz de justificar o fato de a incerteza ser conhecida com 4 algarismos significativos.
Outra forma de nota¸c˜ao comumente encontrada explicita a incerteza como um n´umero entre parˆenteses referente ao ´ultimo algarismo do valor medido, tornando a nota¸c˜ao mais econˆomica:
2.4
Incerteza e compatibilidade entre medidas
A incerteza se torna essencial quando se precisa comparar resultados de medidas diferentes. Considere um caso extremo como ilustra¸c˜ao. Para valores num´ericos ideais (infinitamente preci-sos), provar a igualdade entre eles significar mostrar que s˜ao, na verdade, o mesmo n´umero: as duas sequˆencias infinitas de algarismos a definir cada n´umero devem coincidir perfeitamente.
J´a no caso de resultados de medida, os objetos a serem comparados (valores medidos) n˜ao s˜ao dados por valores pontuais, mas por intervalos com tamanhos dados pela incerteza de medida. Falar em infinit´esimos matem´aticos perde o sentido nesse caso, pois a incerteza nos d´a um n´umero t´ıpico de algarismos para o valor da grandeza. Ir al´em dessa resolu¸c˜ao, como vimos, ´e o mesmo que adicionar algarismos sem significado ao valor mais confi´avel: n˜ao faz sentido.
´
E preciso ent˜ao redefinir o que se entende por valores medidos ‘iguais’ ou ‘diferentes’, e considerar, no lugar disso, a compatibilidade entre eles.
Duas medidas s˜ao compat´ıveis quando seus intervalos de confian¸ca se sobrep˜oem, defini¸c˜ao essa que substitui o conceito matem´atico de igualdade em nosso caso.
De maneira oposta, duas medidas s˜ao incompat´ıveis quando seus valores mais confi´aveis distam entre si de ‘muitas’ unidades de incerteza. O significado de ‘muitas’, conforme veremos na Apostila 2, ser´a tornado estat´ıstico. Podemos dizer, de forma intuitiva, que incompat´ıveis s˜ao valores medidos representados por intervalos excludentes.
Outra forma de pensar, ´util em alguns contextos, define compatibilidade de forma negativa: se dois resultados de medida se sobrep˜oem em suas incertezas, ent˜ao n˜ao ´e poss´ıvel convencer algu´em de que s˜ao diferentes: logo, s˜ao compat´ıveis. E vice-versa.
3
Leitura de instrumentos de medida e incerteza
A primeira fonte de incerteza encontrada ao se fazer uma medida ´e consequˆencia da precis˜ao do instrumento de medida, algo intr´ınseco que depende da constru¸c˜ao e calibra¸c˜ao do instrumento. Em geral, instrumentos de medida determinam um certo n´umero de algarismos sig-nificativos de maneira exata e, em v´arios casos, permitem que o operador estime um algarismo adicional por inspe¸c˜ao visual. Este ´ultimo ´e chamado de algarismo inexato ou duvidoso, sendo definido como o algarismo no qual recai a incerteza.
Para utilizar um instrumento corretamente, devemos nos perguntar:
• Quantos algarismos significativos o instrumento fornece? • Qual a incerteza inerente ao instrumento?
A primeira quest˜ao se responde facilmente pela forma de leitura do instrumento. O n´umero de algarismos significativos ´e simplesmente igual ao n´umero de algarismos que se consegue ler a partir do instrumento.
Esse n´umero ´e igual ao n´umero de algarismos exatos (lidos diretamente na escala enumerada ou mostrador do instrumento) mais o n´umero de algarismos duvidosos, se existirem (em geral apenas 1 ou 2 algarismos nos quais recai a incerteza).
Adotamos neste curso algumas conven¸c˜oes para estabelecer a incerteza instrumental:
• Se o instrumento permitir a avalia¸c˜ao visual do algarismo duvidoso, a incerteza ser´a tomada como metade da menor divis˜ao de leitura do instrumento.
• Se o instrumento n˜ao permitir a avalia¸c˜ao do algarismo duvidoso, este ser´a considerado como o ´ultimo algarismo (mais `a direita) da leitura do instrumento; a incerteza ser´a tomada como igual a 1 na posi¸c˜ao desse algarismo.
Em geral, outras fontes de incerteza ir˜ao combinar-se `a incerteza inerente ao instrumento, formando a incerteza total de medida, tratada mais adiante.
3.1
Exemplos de leitura instrumental
Exemplo 1
Considere a r´egua da figura 1 e um bloco retangular do qual desejamos medir o comprimento. A m´ınima grada¸c˜ao da r´egua ´e dada em cent´ımetros. Isso significa que o fabricante do instrumento nos garante leitura exata at´e algarismos que denotem cent´ımetros. Assim, objetos menores do que 1 cm n˜ao podem ser medidos de forma exata com esse instrumento.
Figura 1: Medida de comprimento do bloco com r´egua graduada em cent´ımetros.
Vemos da figura que o comprimento do bloco vale algo entre 3 e 4 cm, afirma¸c˜ao que podemos fazer de maneira exata. Poder´ıamos escrever como resultado da medida
L = 3,5 ± 0,5 cm, (11)
o que estaria compat´ıvel com a observa¸c˜ao.
No entanto, nesse caso nos furtamos a estimar o valor mais confi´avel. Al´em disso, o valor encon-trado ´e pessimista na incerteza, uma vez que o comprimento do bloco ´e certamente maior que 3,1 cm ou mesmo que 3,2 cm, e aparentemente menor que 3,5 cm.
Em toda medida, devemos estimar o valor mais confi´avel e, se necess´ario, tamb´em a incerteza. Uma estimativa visual razo´avel seria nesse caso L = 3,4 cm, podendo estar entre L = 3,3 cm e 3,5 cm. Portanto, no limite da precis˜ao visual, obter´ıamos
L = 3,4 ± 0,1 cm. (12)
Nos resultados acima, o algarismo 3 ´e igualmente obtido em ambos, pois ´e o algarismo exato do instrumento; j´a o segundo algarismo n˜ao precisa necessariamente concordar entre as medidas pois, sendo estimado visualmente, ´e o algarismo duvidoso.
Diferentes experimentadores poderiam estimar valores distintos para o algarismo duvidoso. Por´em, todas as medidas devem concordar dentro do intervalo de incerteza.
Isso de fato ocorre entre as duas medidas acima, pois seus intervalos de confian¸ca se sobrep˜oem. A diferen¸ca fundamental entre elas ´e a confian¸ca que o experimentador deposita em seu instrumento de medida2.
O primeiro resultado ´e mais conservador, pois d´a preferˆencia a permanecer dentro de margem mais segura de incerteza, enquanto o segundo utiliza o instrumento de medida ao limite, de forma a dele extrair o valor mais preciso poss´ıvel. A escolha da margem de incerteza depende muito dos objetivos da medida, e ambas as formas acima estariam corretas dentro do contexto apropriado.
Neste curso, vamos adotar o crit´erio conservador, tomando como incerteza da medida o valor igual `a metade do intervalo de menor divis˜ao do instrumento.
Devemos ainda assim estimar o algarismo duvidoso, a fim de estabelecer o valor mais confi´avel poss´ıvel da medida. Assim, o resultado dessa medida conforme convencionado neste curso seria
L = 3,4 ± 0,5 cm. (13)
Vemos que a incerteza de medida adotada ´e conservadora, pois denota ser o comprimento real do bloco algo entre 2,9 cm e 3,9 cm, sendo que temos certeza do valor com maior precis˜ao do que isso.
Nossa conven¸c˜ao busca simplificar a atribui¸c˜ao de incerteza instrumental que, como dito, sempre guarda certa subjetividade para medidas tomadas visualmente. Embora ela possa parecer pessimista para uma r´egua graduada em cent´ımetro, a verdade ´e que para grada¸c˜oes mais finas n˜ao seria poss´ıvel estimar visualmente o algarismo duvidoso com tanta precis˜ao, e nossa regra seria menos pessimista. Note que todas as medidas acima foram enunciadas com dois algarismos significativos, uma vez que esse ´e o limite do instrumento para objetos com dimens˜oes de cent´ımetros.
2Note que o ‘instrumento de medida’ ´e na verdade formado pelo uso composto da r´egua e do instrumento humano de vis˜ao! Por isso a incerteza pode variar de pessoa para pessoa.
Exemplo 2
Considere agora outra r´egua, graduada em mil´ımetros, conforme ilustra a figura 2, e o mesmo bloco do exemplo anterior. Como a resolu¸c˜ao oferecida pela escala graduada da r´egua ´e maior, o resultado de medida deve possuir incerteza menor, pois o algarismo duvidoso do exemplo 1 passa a ser um algarismo exato nesse caso.
Figura 2: Medida de comprimento do bloco com r´egua graduada em mil´ımetros.
A melhor leitura do valor medido, como j´a discutido, deve ser o n´umero de unidades lido direta-mente no instrumento acrescido de uma estimativa visual para a quantidade extra que se encontra entre marca¸c˜oes do instrumento.
Inspe¸c˜ao direta do instrumento nos fornece o comprimento L do bloco entre 3,4 cm e 3,5 cm. Sendo a menor divis˜ao do instrumento igual a 1 mm, convencionamos associar 0,5 mm como incerteza instrumental. Supondo que o experimentador estime o algarismo duvidoso como sendo 6, sua melhor resposta para o comprimento do bloco seria
L = 3,46 ± 0,05 cm.
Note que agora a medida fornece trˆes algarismos significativos (sendo dois deles exatos) como consequˆencia da maior precis˜ao instrumental dispon´ıvel.
Exemplo 3
Vamos investigar neste exemplo o caso em que o instrumento de medida n˜ao permite ao ex-perimentador a estimativa do algarismo duvidoso. Nessas situa¸c˜oes, o algarismo duvidoso ´e dado diretamente a partir da resolu¸c˜ao do mostrador do instrumento.
Figura 3: Mostrador de balan¸ca eletrˆonica.
Considere uma balan¸ca eletrˆonica a medir o valor de uma massa, conforme mostrado na figura 3. Seu mostrador indica 71 kg. Neste caso, n˜ao h´a como fazer estimativas de algarismos adicionais al´em dos impressos na tela, e a incerteza do instrumento ´e providenciada em seu manual. Na ausˆencia do
manual, cabe ser pessimista e tomar como incerteza da medida a resolu¸c˜ao do mostrador que, neste caso, ´e de 1 kg. O resultado da medida ´e
m = 71 ± 1 kg.
Dois algarismos significativos s˜ao fornecidos pelo instrumento. O algarismo duvidoso ´e nesse caso o ´
ultimo algarismo fornecido, sem a possibilidade de estimativas adicionais.
Figura 4: Mostrador de balan¸ca digital.
Suponha que a leitura no painel de uma balan¸ca mais precisa fosse 71,0 kg, como indicado na figura 4. Ao contr´ario do que pode parecer `a primeira vista, o zero colocado ap´os a v´ırgula n˜ao ´
e desnecess´ario, mas possui significado experimental: o instrumento nos indica que, dentro de sua incerteza de 0,1 kg, aquele algarismo ´e de fato medido como nulo. Sendo assim, o resultado de medida passa a ser
m = (71,0 ± 0,1) kg, com 3 algarismos significativos, sendo 1 duvidoso.
Finalmente, uma balan¸ca mecˆanica, com leitura por ponteiro, possuindo a mesma escala de divis˜ao da balan¸ca digital anterior (0,1 kg), permitiria ainda a estimativa de um algarismo significativo adicional. O valor convencionado da incerteza ´e metade da menor divis˜ao da balan¸ca, ou seja, 0,05 kg nesse caso. Supondo que o experimentador tenha atribu´ıdo o valor 0 para o algarismo duvidoso dispon´ıvel, o resultado da medida seria
m = (71,00 ± 0,05) kg, com 4 algarismos significativos, dos quais 1 ´e duvidoso.
Exemplo 4
Pode ocorrer de o mostrador de um instrumento eletrˆonico apresentar leituras vari´aveis no tempo. No exemplo acima, a balan¸ca poderia come¸car mostrando o valor 71,0 kg para, um segundo depois, pular para 71,3 kg, retornando mais tarde `a leitura 71,0 kg.
Nesse caso, fica a crit´erio do experimentador decidir como interpretar a leitura do instrumento, sempre tendo em mente que o objetivo da medida ´e obter o valor mais confi´avel da grandeza dentro de uma faixa especificada de incerteza.
Algumas pessoas decidiriam tomar a m´edia dos valores extremos e colocar a incerteza como metade do intervalo de varia¸c˜ao da leitura, como 71,15 ± 0,15 kg, o que poderia se tornar 71,2 ± 0,2 kg (note que o arredondamento da incerteza ficou tamb´em a crit´erio do experimentador). Outras
poderiam notar que o mostrador fica mais tempo no valor 71,0 kg do que em 71,3 kg, e por isso escolheriam ser mais conservadoras deixando de confiar na ´ultima casa decimal do instrumento para escrever simplesmente 71 ± 1 kg.
Em geral, esse tipo de detalhe depende de especificidades de funcionamento do instrumento, e deve ser checado no manual do equipamento se necess´ario. Todas as formas de express˜ao comentadas estariam corretas se justificadas e serviriam a prop´ositos diferentes.
4
Propaga¸
c˜
ao de incertezas
Em v´arias situa¸c˜oes n˜ao ´e poss´ıvel medir diretamente a grandeza de interesse. Nesse caso, o caminho ´e inferir seu valor a partir de medidas das grandezas de que depende (“medida indireta”). A incerteza da grandeza inferida ´e obtida pela propaga¸c˜ao das incertezas das grandezas medidas.
Por exemplo: como medir uma componente da for¸ca agindo sobre um corpo utilizando apenas instrumentos capazes de medir massa e acelera¸c˜ao? A resposta ´obvia ´e empregar a 2a lei de Newton, que relaciona essas trˆes grandezas. A incerteza no valor da for¸ca, obtida indiretamente, depender´a de qu˜ao precisas s˜ao as medidas de massa e acelera¸c˜ao.
Antes de come¸car o tratamento mais rigoroso, podemos estabelecer uma regra simples mas po-derosa para a propaga¸c˜ao de incertezas: quando uma grandeza ´e inferida a partir de outras, ela n˜ao pode ser mais precisa do que a mais imprecisa das grandezas de que depende; caso contr´ario, poder´ıamos usar esse truque para aumentar ao infinito a precis˜ao de qualquer medida!
Esse racioc´ınio indica que o n´umero de algarismos significativos (precis˜ao da medida) n˜ao pode aumentar, mas apenas se manter ou diminuir, na inferˆencia de novas grandezas.
Aten¸c˜ao: note que o n´umero de casas decimais ´e irrelevante, pois depende da escolha de posicionamento da v´ırgula (tornado arbitr´ario pela nota¸c˜ao cient´ıfica!). O que importa ´e mesmo o n´umero de algarismos significativos.
Portanto, a precis˜ao de uma grandeza composta deve estar limitada pela mais im-precisa das grandezas de que depende. Seguindo esse princ´ıpio geral, tratemos alguns casos particulares de rela¸c˜oes comuns entre grandezas.
Multiplica¸c˜ao
Uma forma bastante comum de se determinar uma grandeza de forma indireta ´e medir outras grandezas cujo produto fornece a grandeza procurada.
Seguindo o preceito geral descrito acima, podemos estimar a incerteza da grandeza composta simplesmente mantendo seu valor com o mesmo n´umero aproximado de algarismos significativos da mais imprecisa das grandezas medidas.
Por exemplo, suponhamos que a massa da part´ıcula seja medida como m = 0,9 kg, e sua ace-lera¸c˜ao, como a = 1,23 m/s2. Sup˜oe-se que esses valores possuam a ´ultima casa indicada como incerta em uma unidade, conforme conven¸c˜ao adotada, sendo explicitamente m = 0,9 ± 0,1 kg e a = 1,23 ± 0,01 m/s2.
Nesse caso, a magnitude da for¸ca, calculada pela multiplica¸c˜ao, resultaria F = 1,107 N. No entanto, sabemos que conhecˆe-la com 4 algarismos significativos ´e certamente muito otimista, pois a massa ´e determinada com apenas 1 algarismo significativo.
Devemos esperar que o valor calculado da for¸ca s´o tenha 1 ou 2 algarismos significativos, devendo ser escrito como 1 N ou 1,1 N. Para escolher entre elas, notemos que a primeira forma implica imprecis˜ao quase total, i.e. 100%, dado que seu valor seria implicitamente entendido como F = 1 ± 1 N (ou seja, entre 0 N e 2 N). A segunda forma deve ser ent˜ao a mais apropriada nesse caso, ou seja, F = 1,1 ± 0,1 N. Nesse caso, a imprecis˜ao ´e de aproximadamente 10%, compat´ıvel com a incerteza relativa inicial na massa.
A contagem de algarismos significativos ´e um m´etodo grosseiro de estimativa da incerteza, e serve mais para detetar inconsistˆencias de resultados do que para calcular propriamente as incertezas.
Um m´etodo mais confi´avel, embora ainda ligeiramente grosseiro, de se calcular a incerteza, cha-mado aqui coloquialmente de ‘m´etodo trabalhoso’, ´e determinar os valores m´aximo e m´ınimo da grandeza compat´ıveis com o intervalo de incerteza das quantidades medidas.
No exemplo acima, o valor m´ınimo inferido para a magnitude da for¸ca ocorre quando massa e acelera¸c˜ao s˜ao m´ınimas dentro da incerteza, ou seja, para mmin = m − σm = 0,8 kg e amin =
a−σa= 1,22 m/s2, com o que obtemos Fmin= 0,96 N. Repetindo o mesmo procedimento para seu
valor m´aximo, obtemos Fmax= mmax· amax= 1,24 N. Sendo o valor mais confi´avel da for¸ca dado
por F = m · a = 1,107 N, podemos estimar a incerteza na for¸ca como σF = (Fmax− Fmin)/2 =
0, 14 N (note que tamb´em podemos calcular σF como σF = Fmax− F = F − Fmin). O resultado
obtido fica denotado como F = 1,1±0,2 N, em que arredondamos a incerteza de forma pessimista.
Conforme veremos, essa forma de estimativa da incerteza ´e pessimista, pois sup˜oe estarem ambas as grandezas maximamente erradas ao mesmo tempo, o que n˜ao ´e prov´avel.
Soma
Um caso mais problem´atico ocorre nas opera¸c˜oes de soma com n´umeros possuindo incerteza, sendo esse um t´opico bastante conhecido em computa¸c˜ao. Similarmente `a situa¸c˜ao experimental, a representa¸c˜ao de um n´umero no computador s´o pode ser realizada dentro de certa precis˜ao.
No caso do computador, esse n´umero ´e limitado em ´ultima instˆancia pela quantidade de mem´oria alocada na representa¸c˜ao do n´umero, enquanto em f´ısica experimental ele ´e limitado pela incerteza da medida. Para procedermos com a soma, devemos identificar as posi¸c˜oes decimais dos algarismos duvidosos de cada parcela e som´a-las at´e a posi¸c˜ao decimal do algarismo menos confi´avel entre eles.
Por exemplo, suponhamos que precisemos somar os n´umeros 12,8 e 146. Apesar de ambos possu´ırem trˆes algarismos significativos, o n´umero 146 n˜ao possui definido o algarismo na primeira posi¸c˜ao decimal ap´os a v´ırgula, sendo sua incerteza impl´ıcita de uma unidade j´a no algarismo 6, seu algarismo duvidoso. Portanto, o algarismo duvidoso do n´umero 12,8 (no caso, 8), por possuir posi¸c˜ao decimal de maior precis˜ao, perde significado no resultado da soma.
Devemos considerar, na verdade, a soma de 13 e 146, em que ambos os n´umeros devem ser arre-dondados antes de realizada a opera¸c˜ao de soma. A resposta confi´avel seria 159, com incerteza impl´ıcita de 1 no ´ultimo algarismo e herdada essencialmente do n´umero 146. Note como o resul-tado mudaria bastante de significado caso o n´umero a ser somado fosse 146,0 (quatro algarismos significativos). Nesse caso, n˜ao haveria grande perda de precis˜ao na soma, sendo o resultado confi´avel dado por 158,8.
Note que resultados de somas podem ficar indefinidos por conta da incerteza!
Um exemplo de situa¸c˜ao patol´ogica ocorre na soma dos n´umeros 12,12 e −12,12. Apesar de cada parcela ser conhecida com quatro algarismos significativos, obtemos algo indefinido como resultado, pois a soma fica indeterminada dentro da incerteza. A forma correta de representar o resultado dessa soma ´e 12,12 + (−12,12) = 0,00 ± 0,01. Nesse exemplo, passamos de um erro inicial de 1 parte em 10 mil (ou seja, 4 algarismos significativos) para indefini¸c˜ao total.
O significado da nota¸c˜ao do exemplo acima ´e que podemos afirmar o resultado como compat´ıvel com zero dentro da incerteza. Em outras palavras, n˜ao h´a precis˜ao sequer para apontar a ordem de grandeza do valor mais confi´avel, mas apenas para afirmar que est´a entre 0,01 e −0,01 (a incerteza).
Nesse caso, toda a informa¸c˜ao reside na incerteza, que denota a confian¸ca com que podemos afirmar o valor zero como resultado.
Resultado similar seria obtido ao se tentar medir o diˆametro de um fio de cabelo com uma r´egua milimetrada, por exemplo. O valor medido n˜ao possuiria qualquer algarismo significativo, o que pode ser visto facilmente em nota¸c˜ao cient´ıfica, na qual seria representado como (0 ± 5) · 10−1 mm. A precis˜ao da medida s´o permite visualizar um ‘zero `a esquerda’.
A opera¸c˜ao de soma sempre resulta em valores relativamente mais imprecisos. Por isso, ´e mais preciso medir diretamente grandezas compostas por somas sempre que poss´ıvel.
4.1
Propaga¸
c˜
ao de incertezas na soma
Vimos que, na soma de duas grandezas, a incerteza do resultado deve ser maior que a incerteza absoluta com que cada parcela ´e conhecida. No caso mais pessimista, a incerteza do resultado ser´a a soma das incertezas de cada parcela.
Conceitualmente, somar as incertezas de todas as parcelas significaria esperar que todos os valores somados estivessem ao mesmo tempo no limite superior (ou inferior) de seus intervalos de confian¸ca.
Se as medidas forem independentes e descorrelacionadas, ´e pouco prov´avel que isso ocorra. ´
E mais plaus´ıvel esperar que poucos valores se encontrem nos limites superior ou inferior de seus intervalos de confian¸ca; uma fra¸c˜ao maior das medidas deve estar equivocada por e.g. metade da incerteza, tanto acima quanto abaixo do valor verdadeiro; mas a maior fra¸c˜ao delas deve se concentrar nas proximidades dos valores verdadeiros.
Nesse caso, devemos compor as incertezas levando em conta as diferentes probabilidades de magnitude de erro afetando uma fra¸c˜ao das parcelas.
J´a sabemos que a incerteza na grandeza inferida deve ser maior que a maior incerteza dentre todas as parcelas, pois a quantidade final n˜ao pode ser conhecida de maneira mais precisa que nenhuma de suas parcelas. Por´em, ela deve ser menor que a soma de todas as incertezas, como vimos.
O valor mais prov´avel da incerteza estar´a entre esses dois extremos. A forma rigorosa de se propagar incertezas sup˜oe que se referem num certo sentido a distribui¸c˜oes de probabilidade, como veremos em maior detalhe na Apostila 2.
Considere duas grandezas quaisquer medidas com valores m1 = M1 + σM1 e m2 = M2+ σM2. O
valor mais confi´avel da grandeza composta m = M +σM, inferido a partir da soma como m = m1+m2,
deve ser dado obviamente por
M = M1+ M2. (14)
J´a sua incerteza deve ser propagada por uma regra de composi¸c˜ao triangular3 (σM)2 = (σM1)
2+ (σ M2)
2. (15)
De fato, essa express˜ao limita σM inferiormente pela grandeza de maior incerteza, por ser uma
soma de quadrados. Se σM1 σM2, ent˜ao σM ≈ σM1 (demonstre!).
Por outro lado, se as duas incertezas s˜ao parecidas (σM1 ≈ σM2), ent˜ao a Eq. (15) fornece algo
mais otimista do que a soma das incertezas, pois obtemos σM ≈
√
2 σM1 < σM1 + σM2 (demonstre!).
Note que a incerteza se calcula da mesma forma para uma soma entre n´umeros com sinais opostos. Se, por exemplo, vale que m1 > 0 e m2 < 0, a resposta seria m = |M1| − |M2| ±p(σM1)2+ (σM2)2,
sem mudan¸ca no c´alculo da incerteza.
Assim, o valor obtido da grandeza m a partir de medidas diretas de M1 e M2 ´e
m = (M1+ M2) ±
p
(σM1)2+ (σM2)2, (16)
express˜ao na qual j´a aparecem o valor mais prov´avel e sua incerteza.
3O motivo dessa forma para composi¸c˜ao de incertezas adv´em da suposi¸c˜ao de que cada fonte de incerteza seja independente das demais e represente uma distribui¸c˜ao gaussiana de probabilidade. A composi¸c˜ao de v´arios processos desse tipo fornece como resultado um novo processo gaussiano cuja variˆancia ´e a soma das variˆancias de todos os processos subjacentes. Veremos esses conceitos em mais detalhe na Apostila 2.
Retornando ao exemplo da ´ultima se¸c˜ao, podemos calcular agora a incerteza na soma de 12,8 e 146 de maneira mais sistem´atica. Tomando m1 = 12,8 ± 0,1 e m2 = 146 ± 1, obtemos M =
12,8 + 146 = 158,8 e σM = p(0,1)2+ (1)2 ≈ 1,005. Devemos novamente manter apenas 1
algarismo significativo na incerteza e adequar a ela a resposta do valor mais prov´avel, e portanto σM = 1 pelas regras de arredondamento; obtemos como resultado m = 159 ± 1.
Note que no exemplo acima a incerteza do n´umero 12,8, por ser muito menor que aquela do n´umero 146, n˜ao contribui efetivamente para a incerteza do resultado final.
Como regra informal, na propaga¸c˜ao das incertezas de uma soma, podemos desprezar de in´ıcio incertezas menores que a metade da maior das incertezas das parcelas.
Para um n´umero qualquer de parcelas, a Eq. (15) se generaliza facilmente. Seja a grandeza m = M + σM composta por N parcelas mk = Mk+ σMk, com ´ındice k = 1, 2, 3, . . . , N . Temos ent˜ao
(σM)2 = (σM1) 2 + (σM2) 2 + · · · + (σMN) 2 =X k (σMk) 2 . (17)
A propaga¸c˜ao de incerteza de soma se d´a essencialmente pela soma dos quadrados das incertezas de todas as parcelas, outra propriedade de processos gaussianos.
4.2
Composi¸
c˜
ao de fontes independentes de incerteza
A mesma regra de propaga¸c˜ao da soma vale para compor fontes independentes de incerteza a afetar a medida de uma ´unica grandeza.
Pelos mesmos argumentos, supomos nesse caso que cada processo a contribuir para a incerteza da medida ´e independente dos demais, obedecendo estat´ıstica gaussiana. A incerteza total ´e obtida pela aplica¸c˜ao da Eq. (15) utilizando σM1 e σM2 como as incertezas respectivas de cada processo.
Por exemplo, suponhamos que ao medir o bloco da figura 1 descubramos que rugosidades em sua superf´ıcie fazem com que a medida de comprimento varie de acordo com o local onde se coloca a r´egua. Comparando v´arias medidas em posi¸c˜oes diferentes, percebemos que o comprimento medido varia por at´e 3 mm. Nesse caso, a incerteza da medida do bloco ´e composta por duas fontes de incerteza: a leitura da r´egua e a rugosidade da superf´ıcie do bloco.
Poder´ıamos reescrever o valor do comprimento do bloco como L = 3,4 ± 0,5 ± 0,3 cm, dessa forma especificando cada fonte de incerteza. Poder´ıamos tamb´em compˆo-las a fim de obter a incerteza total da medida do bloco. Usando a Eq. (15), obtemos σL =
p
0,52+ 0,32 = 0,6, com o que o
resultado da medida seria modificado para L = 3,4 ± 0,6 cm.
De maneira an´aloga, N fontes independentes de incerteza resultar˜ao na incerteza total dada pelo mesmo tipo de soma triangular da Eq. (17).
4.3
Propaga¸
c˜
ao de incertezas por lineariza¸
c˜
ao a derivadas parciais
A forma mais geral de inferir grandezas consiste em atribuir uma fun¸c˜ao gen´erica ligando uma grandeza `a outra. A incerteza da grandeza inferida pode ser obtida pelo intervalo de varia¸c˜ao de seu valor mais confi´avel causada pelas incertezas das grandezas medidas.
Uma forma de determinar esse intervalo ´e considerar como o valor de uma fun¸c˜ao responde a pequenas varia¸c˜oes independentes em seus argumentos. Essa aproxima¸c˜ao linear ´e realizada expandindo a fun¸c˜ao em primeira ordem no entorno do valor mais confi´avel da grandeza inferida.
Fun¸c˜oes de uma vari´avel e incerteza relativa
Considere uma fun¸c˜ao bem comportada f (x) qualquer. Buscamos saber quanto seu valor muda conforme seu argumento x varia por uma quantidade σx.
Com isso queremos determinar o quanto a incerteza σx influencia o valor da grandeza composta
f (x). Se a varia¸c˜ao σx for relativamente pequena, podemos expandir a fun¸c˜ao em primeira ordem
em torno de x usando a aproxima¸c˜ao linear pela derivada, f (x + σx) ≈ f (x) +
df (x)
dx · σx. (18)
Portanto, chegamos `a incerteza de f (x), dada pelo intervalo de varia¸c˜ao, como σf = |f (x + σx) − f (x)| = df (x) dx · σx, (19)
na qual tomamos o m´odulo para impor o fato de que a incerteza ´e sempre positiva.
A express˜ao acima ´e ilustrada de forma gr´afica na figura 5. Note como a derivada no ponto x fornece a rela¸c˜ao de proporcionalidade entre as incertezas σx e σf no entorno de uma regi˜ao pequena.
Figura 5: Propaga¸c˜ao de incerteza pela derivada. Os intervalos de varia¸c˜ao ∆x e ∆f fazem as vezes de incertezas na grandeza medida x e na grandeza inferida f , respectivamente
Tomemos um exemplo. Gostar´ıamos de medir a ´area de um ladrilho quadrado, e para isso medimos o comprimento de um de seus lados como l = 41 ± 4 cm. Al´em disso, verificamos dentro da precis˜ao experimental que todos os seus lados possuem o mesmo comprimento. A ´area do ladrilho ´e calculada como A = l2. Usando a Eq. (19), sua incerteza ´e dada por
σA=
d dl(l
2) · σ
l = 2lσl. (20)
Substituindo o valor medido e aplicando as conven¸c˜oes de nota¸c˜ao, obtemos a ´area A = (1,7 ± 0,3) · 103 cm2 (vocˆe encontrou esse resultado?).
Notemos algo peculiar no exemplo acima. Ao dividirmos a incerteza na medida de comprimento por seu valor mais confi´avel, verificamos que a incerteza relativa na medida de comprimento ´
e aproximadamente σl/l = 0,1, ou seja, ela possui incerteza percentual de 10%. J´a para a ´area
inferida, o mesmo c´alculo revela uma incerteza percentual de 20% (σA/A = 0,2): nesse caso, a
incerteza relativa dobra no processo de propaga¸c˜ao.
Vejamos porque isso acontece. Voltando `a Eq. (20), notamos que ela pode ser reescrita dividindo seus dois membros pela express˜ao da ´area, de onde obtemos
σA A = 2lσl l2 =⇒ σA A = 2 σl l . (21)
Portanto, a incerteza relativa dobra por causa da dependˆencia quadr´atica de A em l. Para qualquer fun¸c˜ao f (x) dada por uma potˆencia de x, obter´ıamos em geral
f (x) = xn =⇒ σf f = n
σx
x. (22)
Da mesma forma, se n < 1 a incerteza percentual diminui na grandeza composta.
Qualquer que seja a dependˆencia funcional ‘bem comportada’ de f em x, a Eq. (19) pode ser empregada para propaga¸c˜ao de incerteza, assim como o m´etodo gr´afico equivalente da figura 5.
Fun¸c˜oes de m´ultiplas vari´aveis e derivadas parciais
Consideremos agora uma grandeza inferida a partir de duas outras grandezas que podem ser medidas diretamente. Consideramos novamente essas medidas independentes, ou seja, a medida de uma delas n˜ao influencia o resultado de medida da outra.
Representamos a grandeza inferida por uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis f (x, y). Se x e y s˜ao vari´aveis independentes, a expans˜ao linear se generaliza para
σf = |f (x + σx, y + σy) − f (x, y)| ≈ ∂f (x, y) ∂x · σx+ ∂f (x, y) ∂y · σy. (23)
Lembre-se de que a derivada parcial de f (x, y) com rela¸c˜ao a x, denotada por ∂f (x,y)∂x ´e calculada como a derivada comum com rela¸c˜ao a x considerando y constante, e vice-versa para ∂f (x,y)∂y .
Voltemos ao exemplo da se¸c˜ao 4, em que se buscava determinar a for¸ca agindo sobre um corpo a partir de medidas diretas de sua massa e acelera¸c˜ao. As derivadas parciais relevantes s˜ao nesse caso ∂m∂F = a e ∂F∂a = m. Usando a Eq. (23), obtemos
σF =
∂F ∂a · σa+
∂F
∂m· σm= mσa+ aσm. (24)
Dividindo os dois membros da equa¸c˜ao pela express˜ao da for¸ca, encontramos para a incerteza relativa σF F = σa a + σm m. (25)
Ou seja, a incerteza relativa da grandeza inferida seria dada no caso pessimista pela soma das incertezas relativas das grandezas medidas diretamente.
J´a vimos esse tipo de composi¸c˜ao de incertezas na se¸c˜ao. 4.1. Essa ´e a forma pessimista de se estimar a incerteza na grandeza inferida, uma vez que ´e pouco prov´avel que todas as grandezas independentes das quais depende desviem maximamente ao mesmo tempo de seus valores verdadeiros. A diferen¸ca com rela¸c˜ao `a discuss˜ao anterior ´e que a express˜ao acima considera a incerteza relativa no lugar da incerteza absoluta. Devemos interpretar a Eq. (23) num sentido estat´ıstico, tal como fizemos para a propaga¸c˜ao da soma de grandezas.
A forma mais adequada de se calcular a incerteza final ´e supor que cada argumento da fun¸c˜ao contribui com erro relativo independente e, de acordo com argumentos estat´ısticos, som´a-los de maneira triangular.
Portanto, a incerteza relativa da grandeza composta deve ser calculada como (σf)2 = ∂f (x, y) ∂x · σx 2 + ∂f (x, y) ∂y · σy 2 , (26)
v´alida no limite de pequenas incertezas relativas.
Assim, para grandezas calculadas atrav´es de multiplica¸c˜oes e opera¸c˜oes afins, a incerteza rela-tiva s´o pode aumentar ou se manter constante conforme mais fontes de incerteza s˜ao inclu´ıdas. Analogamente ao caso da propaga¸c˜ao de incerteza da soma, a incerteza relativa final ´
e maior que a mais incerta das incertezas relativas que a comp˜oem.
Aplicando a Eq. (26) ao exemplo anterior, obtemos a incerteza relativa da for¸ca como σF F 2 =σa a 2 +σm m 2 ⇒ σF = r σa a 2 +σm m 2 F. (27)
Usando os valores do exemplo da se¸c˜ao 4, a incerteza relativa da massa seria σm/m ≈ 0,1 (i.e.
10%), enquanto da acelera¸c˜ao seria σa/a ≈ 0,01 (i.e. 1%). Como σa/a σm/m, a incerteza da
for¸ca ´e quase toda devida `a incerteza na massa.
Usando a Eq. (19), obtemos σF/F = 0,1, i.e. σF = 0,12 N. Note que esse valor ´e ligeiramente
menor do que encontrado na se¸c˜ao 4, embora concordem no algarismo significativo, mostrando que o c´alculo de incerteza conforme realizado naquela se¸c˜ao era de fato conservador.
A Eq. (26) se generaliza facilmente para uma grandeza inferida a partir de um n´umero qualquer de grandezas que podem ser medidas diretamente.
Consideremos a fun¸c˜ao f (x1, x2, . . . , xN) para representar essa grandeza, com argumentos
inde-pendentes. Generalizando a Eq. (23), a incerteza em f ´e calculada como (σf)2 = ∂ ∂x1 f · σx1 2 + ∂ ∂x2 f · σx2 2 + · · · + ∂ ∂xN f · σxN 2 = N X k=1 ∂ ∂xk f (x1, x2, . . . , xN) · σxk 2 (28)
Dividindo a equa¸c˜ao acima pela express˜ao de f (x1, x2, . . . , xN), determinamos o ‘peso’ com que
as incertezas relativas parciais contribuem para a incerteza da grandeza inferida.
Queremos encontrar a densidade ρ de um s´olido c´ubico a partir da medida de sua massa M = 1,02 ± 0,01 kg e do comprimento de um de seus lados, L = 25,0 ± 0,01 cm. Sabemos que:
ρ = M L3 =⇒ ∂ρ ∂M = 1 L3. ∂ρ ∂L = − 3M L4 . (29)
Note que a derivada parcial ∂L∂ρ ´e negativa, indicando que os sentidos de varia¸c˜ao de ρ e L s˜ao opostos (e.g. ρ ´e superestimado quando L ´e subestimado), e que isso n˜ao afeta a incerteza total. Usando a Eq. (26), (σρ)2 = 1 L3 σM 2 + 3M L4 σL 2 . (30)
J´a poder´ıamos substituir os valores medidos de M , L, σM e σL nessa express˜ao para obter σρ.
No entanto, prosseguir com a divis˜ao dos dois membros da equa¸c˜ao por ρ nos permite determinar a importˆancia de cada grandeza em σρ. Obtemos
σρ ρ 2 = σM M 2 + 3σL L 2 . (31)
A grandeza L contribui com peso trˆes vezes maior na incerteza final. O motivo estat´ıstico para isso ´e o fato de que sua incerteza aparece trˆes vezes na express˜ao e de forma correlacionada. Segundo os valores dados, as incertezas percentuais de M e L s˜ao, respectivamente, 1% e 0,4%. Normalmente, seguindo a regra informal da se¸c˜ao 4.1, poder´ıamos desprezar a contribui¸c˜ao de σL,
com rela¸c˜ao a σM, pois σL< σM/2. Entretanto, como L contribui com potˆencia 3 na express˜ao
de ρ, sua incerteza se torna mais importante. Obtemos σρ
ρ = 2%, isto ´e, ρ = 65 ± 1 kg/m 3.
Note que, caso o valor de alguma incerteza relativa seja muito grande, a propaga¸c˜ao por expans˜ao linear n˜ao ser´a precisa no c´alculo da incerteza final. Nesse caso, podemos expandir a fun¸c˜ao at´e ordens mais altas, ou utilizar o ‘m´etodo trabalhoso’ (mais conservador) da se¸c˜ao 4 para estimar a incerteza.
Apˆ
endice A
Paqu´ımetro
O paqu´ımetro ´e um instrumento especializado em medir objetos pequenos de maneira vers´atil e precisa4. Sua maior aplica¸c˜ao reside em medidas de diˆametros internos e externos, comprimentos de objetos, profundidade de rebaixos etc.
Todos esses tipos de medidas podem ser lidos em um sistema formado por duas escalas: a escala principal, denotada no corpo fixo do instrumento, e a escala auxiliar, gravada na pe¸ca m´ovel a que chamamos vernier ou nˆonio.
Figura 6: Paqu´ımetro.
Para atingir resolu¸c˜ao melhor do que 1 mm, o paqu´ımetro faz uso da escala auxiliar em combina¸c˜ao com a escala principal, atingindo resolu¸c˜ao cerca de dez vezes maior do que dispon´ıvel fazendo uso apenas de sua escala principal. Vejamos como funciona o paqu´ımetro e como utilizar o vernier para conseguir medidas de maior precis˜ao.
A leitura do instrumento at´e o algarismo do mil´ımetro ´e realizada observando-se onde a marca¸c˜ao ‘0’ do vernier se localiza com rela¸c˜ao `a escala localizada no corpo fixo do instrumento, no mesmo esp´ırito da leitura de uma r´egua comum.
Vemos na figura 7 a escala principal em detalhe. Pela marca¸c˜ao ‘0’ do vernier, a leitura direta da escala principal nos fornece o valor 87 mm. Portanto, seguindo as conven¸c˜oes das se¸c˜oes anteriores, poder´ıamos estimar o algarismo duvidoso como sendo talvez 7, e dessa forma denotar o resultado de medida como 87,7 ± 0,5 mm usando o paqu´ımetro como se fosse uma r´egua.
Observemos agora o vernier em mais detalhe. Pela figura 7, vemos que ele possui 10 divis˜oes, cada qual correspondendo a um n´umero de 0 a 10, conforme indicado em sua escala. Pela constru¸c˜ao do paqu´ımetro, essa escala ´e calibrada para representar no total 1 mm, de forma que sua menor divis˜ao deve corresponder a 0,1 mm.
Portanto, a escala do vernier fornece o pr´oximo algarismo significativo. Para identific´a-lo, deve-mos observar qual de suas marca¸c˜oes melhor coincide com uma marca¸c˜ao qualquer da escala principal,
4Applets em
Figura 7: Detalhe do vernier.
e ler seu valor correspondente no vernier. No exemplo da figura, essa marca¸c˜ao se refere ao algarismo 8 no vernier. Assim, o valor medido nesse caso seria
L = 87,8 ± 0,1 mm.
Note que a medida final ´e bem mais precisa do que o valor anteriormente obtido utilizando o paqu´ımetro como se fosse uma r´egua.
No paqu´ımetro n˜ao temos como estimar visualmente o algarismo duvidoso, e a incerteza do paqu´ımetro reside no ´ultimo algarismo que ele nos fornece de forma direta (conforme a regra es-tabelecida anteriormente). Tomamos assim a incerteza do instrumento como igual `a sua menor divis˜ao, tornando-se o ´ultimo algarismo lido, na verdade, o algarismo duvidoso.
Figura 8: Detalhe do vernier.
Vejamos um outro exemplo a seguir. Na figura 8, temos um vernier com 20 divis˜oes na escala auxiliar, diminuindo a incerteza da medida por um fator 2 (j´a que a escala do vernier continua representando 1 mm em sua totalidade). Seguindo o mesmo procedimento, obtemos o valor 76 mm a partir da escala principal, e, identificando a marca¸c˜ao do vernier que melhor coincide com a escala principal como correspondendo ao algarismo 9, podemos escrever como resposta final o valor
L = 76,90 ± 0,05 mm.
Como n˜ao ´e poss´ıvel estimar visualmente o ´ultimo algarismo, mantemos seu valor conforme lido diretamente da escala do vernier, com incerteza dada por sua menor divis˜ao.
Apˆ
endice B
Micrˆ
ometro
O micrˆometro, ou parafuso microm´etrico, ´e constitu´ıdo por um parafuso de passo constante bem preciso. Uma rota¸c˜ao completa do parafuso corresponde a um deslocamento de um passo. Ele ´e usado para medir dimens˜oes com resolu¸c˜oes da ordem de 10 µm.
Apesar de apresentar uma resolu¸c˜ao maior que o paqu´ımetro, o micrˆometro mostra-se um instru-mento bem menos vers´atil. As dimens˜oes medidas n˜ao podem passar de alguns cent´ımetros e devem corresponder sempre a diˆametros externos. A figura 9 ilustra um micrˆometro com a nomenclatura de suas parte.
Figura 9: Micrˆometro.
Para iniciar a utiliza¸c˜ao do instrumento, ´e necess´ario determinar a corre¸c˜ao do zero de sua escala, lida a partir do tambor. Para tanto, gira-se o parafuso microm´etrico at´e que as superf´ıcies de fuso e batente se encostem. Para medir a dimens˜ao de um objeto, repete-se o procedimento com o mesmo localizado entre fuso e batente.
Aten¸c˜ao: Caso o zero na escala do tambor n˜ao coincida com o zero da escala linear quando fuso e batente se encostam, o valor lido deve ser usado para corrigir todas as medidas efetuadas com o micrˆometro em quest˜ao.
A maioria dos micrˆometros possui uma catraca, localizada na extremidade do parafuso, cuja fun¸c˜ao ´e aliviar press˜ao excessiva que o operador possa exercer, evitando deformar o objeto a ser medido ou danificar o instrumento por tens˜oes mecˆanicas excessivas.
A dimens˜ao do objeto ´e lida a partir de duas escalas, como ilustrado em detalhe na figura 10. A primeira escala, expressa em mil´ımetros, se localiza na bainha e ´e respons´avel para leitura com precis˜ao de 0,5 mil´ımetro; a segunda escala, de maior precis˜ao, se encontra inscrita no tambor.
1 ou 0,5 mm. As marca¸c˜oes dos mil´ımetros partem da linha da escala num sentido, enquanto as marca¸c˜oes de meio mil´ımetro, quando existentes, partem no outro. Sua leitura ´e realizada diretamente pelo n´umero indicado pelo corte que o tambor cria na escala subjacente. Ou seja, a parte vis´ıvel da escala da bainha denota o valor da medida.
Figura 10: Detalhe das escalas de leitura na bainha e no tambor.
O tambor, que se encontra fixo ao parafuso, proporciona a leitura dos demais algarismos. O princ´ıpio de funcionamento do micrˆometro consiste em dividir o deslocamento de um passo do pa-rafuso por um n´umero N de divis˜oes (normalmente, N = 50 ou 100), no movimento circular do tambor. Sua menor divis˜ao corresponde a 0,01 mm.
A leitura do n´umero do tambor ´e realizada de forma similar, pelo ponto em que sua escala numerada ´e cortada pela linha horizontal inscrita na bainha. Isso permite ler dois algarismos exatos no tambor e estimar o algarismo duvidoso.
O resultado final da medida ´e a soma das leituras das duas escalas.
No exemplo da figura 10, a leitura da escala em mil´ımetros proporciona o valor 17,5 mm. J´a a escala do tambor provˆe a leitura do n´umero 32, que deve ser entendido como 0,32 mm. O algarismo duvidoso pode ser estimado como 0, fornecendo portanto a leitura 0,320 mm na escala mais fina, que fornece a incerteza. Assim, o resultado da medida ´e a soma desses n´umeros,
L = 17,820 ± 0,005 mm,
em que a incerteza de leitura foi tomada, de acordo com a conven¸c˜ao estabelecida, em metade da menor divis˜ao de leitura da escala mais fina (tambor).
Este roteiro foi inicialmente elaborado por Erivaldo Montarroyos, sucessivamente reformulado por Wilson Barros e Alessandro Villar e continuamente aprimorado pelos docentes respons´aveis pela disciplina em cada semestre.
Quest˜oes sobre o material did´atico devem ser endere¸cadas no momento `a coordena¸c˜ao da disci-plina, no e-mail fisicaexp1ufpe@gmail.com.
