Invariantes e a Conjectura Jacobiana

(1)

Invariantes e a Conjectura Jacobiana

Ricardo dos Santos Freire Jr.

IME–USP

(2)

Sejaf :Cⁿ→Cⁿ tal que f tem inversa global. Ent˜aof⁰(x)6= 0 para todox ∈Cⁿ.

(3)

Keller (1939):

Toda aplica¸cão f :Cⁿ→Cⁿ, tal que cada componentefi é um polinômio de Cⁿ emC de coeficientes inteiros e de determinante Jacobiano identicamente 1, possui uma inversag :Cⁿ →Cⁿ de mesmas propriedades?

(4)

É equivalente à mesma questão com os coeficientes das componentes polinomiais def em C.

(5)

Uma aplica¸cãof :Cⁿ→Cⁿ polinomial, i.e., sendo cada fun¸cão coordenadafi um polinômio complexo em x1, . . . ,xncom coeficientes emC, tal que detf⁰(x)≡1 será chamada de aplica¸cão de Keller.

(6)

Conjectura Jacobiana (de Keller) [CJ(n)]

Se f :Cⁿ→Cⁿ é uma aplica¸cão de Keller, então f é invers´ıvel.

(7)

Quandof é linear sabemos que f é invers´ıvel se, e somente se, f é injetora.

Para aplica¸cões polinomiais é provada por Bialynicki-Birula e Rosenlicht, e uma demonstra¸cão mais acess´ıvel foi feita por Rudin.

(8)

Teorema

Se f :Cⁿ→Cⁿ é uma aplica¸cão polinomial e f é injetora, então f(Cⁿ) =Cⁿ e f⁻¹ :Cⁿ→Cⁿ é uma aplica¸cão polinomial.

(9)

Conjectura

Se f :Cⁿ→Cⁿ é uma aplica¸cão de Keller, então f é injetora.

(10)

A Conjectura Jacobiana est´a em aberto para todon ≥2.

Diversos casos particulares s˜ao conhecidos, e algumas

“demonstra¸c˜oes” chegaram a ser publicadas ao longo do tempo.

(11)

“Acreditar ou n˜ao na Conjectura Jacobiana?”

(12)

Conjectura Jacobiana Real [CJR(n)]

Se f :Rⁿ→Rⁿ é uma aplica¸cão polinomial de determinante Jacobiano não nulo para todo x ∈Rⁿ, então f é invers´ıvel.

(13)

Neste caso pede-se somente que o determinante Jacobiano seja n˜ao nulo e n˜ao constante.

No caso complexo ambas as formula¸cões são equivalentes, pois se o determinante é não nulo para todox∈Cⁿ, então ele é constante.

(14)

É claro que CJR(2n) =⇒ CJ(n) pois se f :Cⁿ→Cⁿé uma aplica¸cão de Keller, é fácil ver que

F := (Re(f1),Im(f1),Re(f2),Im(f2), . . . ,Re(fn),Im(fn)) é uma aplica¸cão polinomial com detF⁰(x) =|detf⁰(x)|². Assim, se CJR(n) for verdadeira, conclu´ımos que F é invers´ıvel, portanto injetora, de ondef é trivialmente injetora.

(15)

Entretanto, em 1994 Pinchuk deu o seguinte contra-exemplo para a Conjectura Jacobiana Real j´a comn= 2.

(16)

Exemplo Sejam

t =xy−1 h =t(xt + 1) m= h+ 1

x (xt+ 1)²

u = 170mh+ 91h²+ 195mh²+ 69h³+ 75h³m+75 4 h⁴

(17)

Exemplo

Considere a aplica¸c˜ao polinomial f :R² →R² dada por f(x,y) = (f1(x,y),f2(x,y)),

onde

f₁ =m+h

f2 =−t²−6th(h+ 1)−u.

(18)

Exemplo

E um trabalho “simples” verificar que´

detf⁰ =t²+ (t+f(13 + 15h))²+f², o qual é estritamente positivo emR², pois só pode ser 0 quando tanto t quanto f são 0.

Entretanto, se t= 0 então f = ¹_x 6= 0. Além disso, temos que f(1,0) =f(−1,−2)e, portanto, f não é injetora.

(19)

Conjectura

Se f :Cⁿ→Cⁿ uma aplica¸c˜ao polinomial e existem a,b∈Cⁿ, com a6=b tal que f(a) =f(b), ent˜ao existe z ∈Cⁿ tal que detf⁰(z) = 0.

(20)

Teorema

Se f :Cⁿ→Cⁿ é uma aplica¸cão de Keller e deg(f)≤2, então f é invers´ıvel.

(21)

suponhamos por contradi¸c˜ao quef(a) =f(b) paraa, b∈C e a6=b. ´E claro que podemos supor que b = 0, pois basta

definirmosg(x) =f(x+a)−f(a) e obtemos que deg(g)≤2, g(0) = 0 e sendo c =b−a6= 0 temosg(c) = 0. Notamos que g⁰(x) =f⁰(x+a) e assim detg⁰ ∈C^∗.

Agora escrevag =g₁+g₂, sendog_i a componente homogˆenea de graui deg, e considere g(tc) =tg1(c) +t²g2(c). Derivando em t, obtemos

g₁(c) + 2tg₂(c) = d

dtg(tc) =g⁰(tc).c 6= 0

(22)

Pode=se mostrar que a Conjectura Jacobiana ´e verdadeira para todon≥2 se ela for verdadeira para uma classe espec´ıfica de aplica¸c˜oes de Keller de grau ≤3!

(23)

Uma dessas classes interesssantes é a das chamadas aplica¸cões de Yagzhevou aplica¸cõescúbica-homogêneas, que foram introduzidas por Yagzhev e, independentemente, por Bass, Connell e Wright.

(24)

Tratam-se das aplica¸c˜oesf:Cⁿ→Cⁿ da seguinte forma

f(x) =x−g(x), tal que detf⁰(x) = 1 para todox∈Cⁿ, ondeg:Cⁿ→Cⁿé uma aplica¸cão polinomialhomogênea de grau 3.

(25)

Há ainda a importante subclasse de aplica¸cões cúbica-lineares introduzidas por Dru˙zkowski onde além de f(x) =x−g(x) ser uma aplica¸cão cúbica-homogênea como antes, temos que g é dada pelo cubo de uma aplica¸cão linear, ou sejag(x) = (Ax)³ para alguma aplica¸cão linearA:Cⁿ→Cⁿ.

(26)

A idéia é simplesmente pegarmos uma aplica¸cão de Keller qualquer, em dimensãon, e a ela associarmos através de uma sequência de opera¸cões “simples”, uma nova aplica¸cão F, cúbica-homogênea, tal quef é injetora se, e somente se, F também for.

Depois disso, podemos também construir uma fun¸cão ˜F cúbica-linear com a mesma propriedade.

(27)

SejaF :Rⁿ→Rⁿ um campo de vetores C¹ com F(0) = 0.

Diremos queF satisfaz acondi¸c˜ao de Markus-Yamabe se para todox ∈Rⁿ todos os autovalores deF⁰(x) tenham parte real estritamente negativa.

(28)

Ainda, se cada solu¸c˜ao ϕ(t,x) do sistema ˙x =F(x) com

ϕ(0,x) =x tende para 0 comt → ∞, diremos que 0 ´e um atrator global.

(29)

Conjectura

Se F :Rⁿ→Rⁿ é um campo de vetores C¹ com F(0) = 0 satisfazendo a condi¸cão de Markus-Yamabe, então 0 é um atrator global para o sistemax˙ =F(x).

(30)

Se esta conjectura fosse verdadeira, qualquer campo de vetores F :Rⁿ →Rⁿ satisfazendo a condi¸c˜ao de Markus-Yamabe deve ser injetor.

De fato, suponha por absurdo que existema,b ∈Rⁿ, com a6=b e considere sejaG(x) =F(x+a)−F(a). Temos queG(0) = 0 e queG também satisfaz a condi¸cão de Markus-Yamabe, e se esta conjectura fosse verdadeira, ter´ıamos que toda solu¸cão tenderia a 0 comt → ∞, o que seria uma contradi¸cão com a solu¸cão constante x(t) =b−a6= 0.

(31)

Sen = 2 foi provada, independentemente, por Feßler e Guti´errez.

Para dimens˜oesn ≥3, o seguinte contra-exemplo foi dado.

(32)

Exemplo Seja

F(x) = (−x₁+x₃d(x)²,−x₂−d(x)²,−x3, . . . ,−x_n) onde d(x) =x₁+x₂x₃.

(33)

˙

x =F(x) tem a solu¸c˜ao

x1(t) = 18e^t x2(t) =−12e^2t x₃(t) =e^−t

...

xn(t) =e^−t,

(34)

Conjectura

Se F :Rⁿ→Rⁿ é uma aplica¸cão polinomial satisfazendo a condi¸cão de Markus-Yamabe, então F é injetora.

(35)

Teorema

Se para todo n≥2 a conjectura 2 é verdadeira, então a Conjectura Jacobiana é verdadeira.

(36)

“Como inverter uma aplica¸c˜ao polinomial?”

Como identificar os automorfismos polinomiais deCⁿ?

Conjectura Jacobiana surgiria como um crit´erio de lineariza¸c˜ao para a invertibilidade.

(37)

Conjectura da Dependˆencia Linear

Se g :Cⁿ→Cⁿé uma aplica¸cão homogênea tal que g⁰(x)é nilpotente para todo x∈Cⁿ, então as linhas de g⁰ são linearmente dependentes emC, ie: existemλi ∈C, não todos nulos, tais que

λ₁g₁+λ₂g₂+· · ·+λ_ng_n≡0.

(38)

Teorema

Seja F(x) =x−G(x) uma aplica¸cão cúbica-homogênea em dimensão4. Então, existe T ∈GL₄(C)tal que T⁻¹◦F ◦T é de uma das seguintes formas:

1





 x1

x₂ x3

x4 −a₄x₁³−b4x₁²x2−c4x₁²x3−e4x1x₂²−f4x1x2x3







(39)

Teorema

2





 x₁

x₂ −¹₃x₁³−h₂x₁x₃²−q₂x₃³ x3

x₄ −x₁²x₃−h₄x₁x₃²−q₄x₃³







(40)

Teorema

3





 x₁

x₂ −¹₃x₁³−c₁x₁²x₄+ 3c₁x₁x₂x₃−^16q⁴^c¹²^−r⁴²

48c₁² x₁x₃²

−¹₂r4x1x3x4+³₄r4x2x₃³−_12c^r⁴^q⁴

1x₃³−_16c^r⁴²

1x₃²x4

x3

x4 −x₁²x3+_4c^r⁴

1x1x₃²−3c1x1x3x4+ 9c1x2x₃²− q4x₃³−³₄r4x₃²x4







(41)

Teorema

4





 x₁

x₂ −¹₃x₁³

x3 −x₁²x2−e3x1x₂²−k3x₂³ x₄ −e₄x₁x₂²−k₄x₂³







(42)

Teorema

5





 x₁

x2 −¹₃x₁³+i3x1x2x4−j2x1x₄²+s3x2x₄²+i₃²x3x₄²−t2x₄³ x3 −x₁²x2−^2s_i³

3 x1x2x4−i3x1x3x4−j3x1x₄²−^s³²

i₃²x2x₄²

−s₃x3x₄²−t3x₄³ x₄







(43)

Teorema

6





 x1

x₂ −¹₃x₁³−j₂x₁x₄²−t₂x₄³

x3 −x₁²x2−e3x1x₂²−g3x1x2x4−j3x1x₄²− k3x₂³−m3x₂²x4−p3x2x₄²−t3x₄³ x₄







(44)

Teorema

7





 x1

x₂ −¹₃x₁³

x3 −x₁²x2−e3x1x₂²−k3x₂³

x4 −x₁²x3−e4x1x₂²−f4x1x2x3−h4x1x₃²−k4x₂³

−l₄x₂²x₃−n₄x₂x₃²−q₄x₃³







(45)

Teorema

8





 x₁

x₂ −¹₃x₁³

x3 −x₁²x2−e3x1x₂²+g4x1x2x3−k3x₂³+m4x₂²x3

+g₄²x₂²x₄

x4 −x₁²x3−e4x1x₂²−^2m_g ⁴

4 x1x2x3−g4x1x2x4−k4x₂³

−^m²⁴

g₄²x₂²x3−m4x₂²x4







(46)

f(x₁,x₂, . . . ,x₁₀) = (x₁,x₂, . . . ,x₁₀)−g(x₁,x₂, . . . ,x₁₀)

g(x₁,x₂, . . . ,x₁₀) =





x1x9x10−x2x₁₀² x1x₉²−x2x9x10

x₃x₉x₁₀−x₄x₁₀² x₃x₉²−x₄x₉x₁₀ x5x9x10−x6x₁₀²

x₅x₉²−x₆x₉x₁₀ (x₁x₄−x₂x₃)x₉





(47)

Para a constru¸cão dos contra-exemplos, de Bondt estudou inicialmente quasi-transla¸cões: uma aplica¸cão polinomial f(x) =x−g(x) é umaquasi-transla¸cãose sua inversa for x+g(x). Isso significa que

(x−g(x)) +g(x−g(x)) =x, ou seja

g(f(x)) =g(x).

(48)

Defini¸c˜ao

Dizemos que uma fun¸cão escalar k:Cⁿ→C, não constante, é um invariantepara a aplica¸cão f:Cⁿ→Cⁿ se k◦f =k.

(49)

Consideremos a seguinte matriz nilpotente em fun¸c˜ao de dois parˆametros:

M(s,t) :=





0 0 s² 0 0 t²

−t² s² 0



.

(50)

g(x1,x2, . . . ,x11) =





M(x₁₀,x₁₁)



 x1

x₂ x₃





M(x₁₀,x₁₁)



 x4

x₅ x₆





M(x₁₀,x₁₁)



 x7

x₈ x₉





x1 x2 x3





(51)

Nosso exemplo ´ef :C¹¹→C¹¹ dada por f(x) :=x−g(x).

(52)

Essa aplica¸c˜ao tem o seguinte invariante c´ubicok:

k(x) := det





x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x7 x8 x9



 .

(53)

É simples verificar quek é de fato um invariante paraf. Usando este fato e a nilpotência de M, podemos calcular facilmente a inversa def, que é também uma aplica¸cão polinomial. Sabendo quef é invers´ıvel, podemos facilmente deduzir que seu

determinante jacobiano deve ser constante e igual a 1.

(54)

Teorema

A fun¸cão f definida em (3)é um automorfismo polinomial deC¹¹ que admite o invariante polinomial homogêneo cúbico k definido em (4). Além disso, não existem invariantes polinomiais

homogˆeneos de grau 1 ou 2 para f .

(55)

Seja então Auma matriz 11×11 complexa e simétrica, e suponha que a forma quadráticaK(x) :=x^TAx é um invariante paraf. Separando as partes homogêneas da identidadeK ◦f =K,

deduzimos que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes a K ser um invariante paraf:

x^TAg(x) = 0, g(x)^TAg(x) = 0, para todo x∈C¹¹.

(56)

Consideremos a curva polinomialc(t) = (t²¹,t²², . . . ,t²¹¹). A primeira equa¸c˜ao em (7) implica que:

c(t)^TAg c(t)

= 0, para todot ∈R. Por meio desta condi¸cão, após um cálculo longo e entediante, vemos queAé nula, o que mostra que K é identicamente nulo e completa a demonstra¸cão.

(57)

Em um dos exemplos de sua tese de doutorado, de Bondt responde positivamente uma das dúvidas naturais na procura por exemplos interessanes de aplica¸cões cúbica-homogêneas sem invariantes quadráticos ou cúbicos: é poss´ıvel possuir invariantes quadráticos mas não cúbicos.

(58)

Neste exemplo, que pode ser estudado como na se¸cão anterior, temos quek(x) =x₁x₄−x₂x₃ é um invariante (homogêneo) quadrático para f.

(59)

f(x1,x2, . . . ,x9) = (x1,x2, . . . ,x9)−g(x1,x2, . . . ,x9)

g(x₁,x₂, . . . ,x₉) =







(x₁x₅−x₂x₆)x₆ (x₁x₅−x₂x₆)x₅ (x3x5−x4x6)x6

(x3x5−x4x6)x5

(x₁x₄−x₂x₃)x₆ x₅³−(x1x4−x2x3)x7

3x₅²x6−(x1x4−x2x3)x8

3x₅x₆²−(x₁x₄−x₂x₃)x₉







(60)

Obrigado a todos pela presen¸ca!