Aula no 11: Derivada de uma função. Continuidade e Derivabilidade. Derivada das Funções
Elementares.
Objetivos da Aula
• De nir a derivada de uma função;
• Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; • Apresentar a derivada das funções elementares.
1 Função Derivada
Quando uma função f é derivável em todos os pontos do seu domínio, D, dizemos que é derivável em D. Dito isso, considere uma função f : D → R derivável em D. Podemos agora, de nir uma nova função, que será denotada por f0, chamada função derivada de f ou derivada da função f, essa nova função
associa cada ponto x ∈ D à derivada da função f aplicada em x, ou seja, f : D → R
x 7→ f0(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
Agora, quando falarmos em determinar a derivada de uma função f, estamos nos referindo a determinar a função derivada de f. Vendo de uma outra forma, estamos calculando a derivada para todo x no domínio de f.
Exemplo 1. Considere a função f(x) = c, com c uma constante. Mostre que f0(x) = 0, para todo x ∈ R.
Solução: Pela de nição de derivada, temos que f0(x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) h = limh→0 c − c h = limh→0 0 h = 0 Exemplo 2. Seja g(x) = x5. Mostre que g0(x) = 5x4, para todo x ∈ R.
Solução: Usando a de nição de derivada, se p ∈ R, então g0(x) = lim x→p f (x) − f (p) x − p = limx→p x5− p5 x − p = lim x→p (x − p)(x4+ px3+ p2x2+ p3x + p4) x − p = lim x→px 4+ px3+ p2x2+ p3x + p4= p4+ pp3+ p2p2+ p3p + p4 = 5p4
1.1 Derivadas de Ordens Superiores
Suponha f : D → R derivável em D. Anteriormente de nimos a função derivada de f e a mesma coisa pode ser feita para f0
: D → R, ou seja, podemos de nir a função segunda derivada de f , denotada por f00, como sendo uma função de D em R que é a derivada da função derivada. De outra forma, f00 = (f0)0 e pela notação de Leibniz,
f00(x) = d 2f dx2(x) = d dx df dx (x) Vejamos um exemplo.
Exemplo 3. Seja f(x) = x3− x. Encontre f00(x).
Solução: Por de nição, a função f00é a derivada da função f0. Como f0(x) = 3x2− 1(veri que!), então
por de nição, f00(x) = lim h→0 f0(x + h) − f0(x) h = lim h→0 [3(x + h)2− 1] − [3x2− 1] h = lim h→0 3x 2+ 6xh + 3h2− 1 −3x 2+ 1 h = lim h→0 h(6x + 3h) h = 6x + 3.0 = 6x Analogamente, podemos de nir a terceira derivada de uma função f(x) como sendo a derivada da função segunda derivada de f(x).
f000(x) = d 3f dx3 = d dx d2f dx2
Generalizando, podemos de nir a derivada de ordem n como sendo a derivada da função derivada de ordem n − 1de f(x). Desse modo, f(n)(x) = d nf dxn = d dx dn−1f dxn−1 , n = 1, 2, 3, ...
2 Derivabilidade e Continuidade
Derivabilidade e Continuidade são características desejáveis ao estudarmos uma determinada função. O seguinte teorema relaciona essas duas propriedades.
Teorema 1. Se f é derivável em p ∈ R então f é contínua em p.
Se quisermos saber quando uma função é derivável, o teorema não nos ajuda muito, pois supõe que a função já é derivável. Contudo, observando o enunciado do teorema, notamos que ele pode ser reescrito da seguinte forma:
Se f NÃO for contínua então f NÃO é derivável.
Essa versão do teorema acima é chamada contrapositiva da a rmação e é equivalente ao próprio teorema. Dessa forma, ainda não conseguimos dizer com precisão se uma função é derivável, porém podemos saber quando ela não é, basta mostrar que ela não é contínua. Por exemplo, considere a função
f (x) =
2 − x se x < 2 −2x + 1 se x ≥ 2
queremos saber se essa função é derivável em p = 2. Para isso, vamos tentar veri car se ela não é. Utilizando o teorema anterior, temos de veri car a continuidade de f em p = 2. Se f não for contínua em p = 2 então ela não é derivável em p = 2, do contrário não podemos usar o resultado dessa seção. Mas note que
lim
x→2+f (x) = limx→2+−2x + 1 = −2.2 + 1 = −3
e
lim
x→2−f (x) = limx→2−2 − x = 2 − 2 = 0
Logo, o limite lim
x→2 não existe. Dessa forma, a função f não é contínua em p = 2 e, portanto, não é
derivável. Isso também pode ser visto através do grá co da função f.
Figura 1: Exemplo de uma função descontínua em x = 2 e, portanto, não derivável em x = 2 Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 4. Considere as seguintes funções. Veri que se elas são contínuas no ponto p = 1. Elas são deriváveis em p = 1? (a) g(x) = x2 se x ≤ 1 2 se x > 1 (b) f (x) = x2 se x ≤ 1 2x − 1 se x > 1 Solução:
(a) Veri caremos primeiramente se g é contínua em p = 1. Note que lim x→1+f (x) = limx→1+2 = 2 e que lim x→1−f (x) = limx→1−x 2= 12= 1 Como lim
x→1+f (x) 6= limx→1−f (x) então limx→1f (x) não existe. Assim, a função g não é contínua em
p = 1. Pelo teorema anterior, f não é derivável em p = 1.
(b) Vamos veri car primeiramente a continuidade da função f. Para isso, calculamos o seguinte limite:
e
lim
x→1+f (x) = limx→1+2x − 1 = 2.1 − 1 = 1
Logo, lim
x→1f (x) = 1 = f (1). Portanto, f é contínua em p = 1, o que não nos permite utilizar o
resultado dessa seção. Sendo assim, vamos ter de calcular a derivada de f em p = 1. Dessa forma, note que f (x) − f (1) x − 1 = x2− 1 x − 1 se x < 1 2 se x > 1 Logo, lim x→1− f (x) − f (1) x − 1 = x→1lim− x2− 1 x − 1 = limx→1− (x − 1)(x + 1) x − 1 = lim x→1−x + 1 = 1 + 1 = 2 lim x→1+ f (x) − f (1) x − 1 = x→1lim+2 = 2 Então lim x→1 f (x) − f (1) x − 1 = 2 ou seja, f é derivável em p = 1 e f0(1) = 2. Observação 1. A recíproca do teorema 1 não é verdadeira. Um exemplo é a função
h(x) =
x2 se x ≤ 1 1 se x > 1
Deixamos a cargo do aluno veri car que essa função é contínua em 1, mas não é derivável em 1. Observando o grá co dessa função,
Figura 2: Contraexemplo do Teorema 1
Notamos que em x = 1 a função apresenta um bico. Esse fato é um critério para determinarmos geometricamente os pontos do domínio em que uma função não é derivável. Portanto, nos pontos do domínio onde o grá co da função possui bicos são pontos em que a função não é derivável. Um outro exemplo que será deixado como exercício é veri car que a função f(x) = |x| é contínua em 0, mas não é derivável em 0.
Exemplo 5. Dados o seguinte grá co e os pontos considerados, determine em que pontos a função não é diferenciável e justi que.
Figura 3: Exemplo
Solução: Note que a função descrita no grá co acima não é diferenciável no ponto de abscissa x = −1, pois é descontínua; e também nos pontos de abscissas x = 1, 5 e x = 3 pois nos mesmos a função apresenta um bico.
3 Derivada de Funções Elementares
Nessa seção abordaremos as primeiras regras de derivação que serão úteis para o nosso estudo de derivadas.
Proposição 1. Seja r ∈ R. A derivada da função potência f(x) = xr é
df
dx(x) = rx
r−1
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 6. Determine a derivada das seguintes funções: (i) f(x) = x7; (ii) g(x) = 1 x3; (iii) h(x) =√5x; (iv) p(x) =√7 x3.
Solução: Utilizaremos a proposição anterior. Desse modo, (i) f0(x) = 7x7−1= 7x6
(ii) Utilizando as propriedades das potências g0(x) = 1 x3 0 = x−30 = −3x−3−1 = − 3 x4
(iii) Utilizando a propriedade dos expoentes racionais, obtemos que
(iv) Fazendo como anteriormente, temos que dp dx(x) = √7 x30=x37 0 = 3 7x 3 7−1= 3 7x −47 = 3 7 1 x 47 = 3 7 1 x47 = 3 7√7x4 A próxima proposição nos dá a derivada de mais duas funções úteis em nossos cálculos.
Proposição 2. Se x ∈ R, então,
(sen x)0 = cos xe (cos x)0 = − sen x
Demonstração: Basta utilizar a de nição de função derivada. Seja f(x) = sen x, e p ∈ R qualquer. Então f0(x) = lim x→p f (x) − f (p) x − p = limx→p sen x − sen p x − p = limx→p 2 sen x−p2 cos x+p 2 x − p = lim x→p sen x−p2 cos x+p 2 x−p 2 = lim x→p sen x−p2 x−p 2 lim x→pcos x + p 2 = 1.cos 2p 2 = cos p
Como p ∈ R então, podemos escrever
(sen x)0 = cos x
Analogamente, podemos mostrar a segunda igualdade. Proposição 3. Seja f(x) = ex então f0
(x) = ex. Demonstração: Note que
f0(x) = lim h→0 ex+h− ex h = lim h→0 ex(eh− 1) h = exlim h→0 eh− 1 h Utilizando o Limite Fundamental Exponencial, obtemos que
lim h→0 eh− 1 h = 1 Portanto, f0(x) = ex.1 = ex De forma análoga, podemos mostrar também que
(ln x)0 = 1
x (1)
Resumo
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Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 2.8, 3.1 e 3.3 do livro texto.
Sugestão de exercícios
