Notas de Aula 3:
Registros de Representação Semiótica
Em matemática toda a comunicação se estabelece com base em representações. Os objetos a serem estudados são conceitos, propriedades, estruturas, relações que podem expressar diferentes situações, portanto para o seu ensino precisamos levar em consideração as diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático. Podemos dizer que uma escrita, um símbolo ou notação representam objetos/conteúdos/conceitos matemáticos.
O que se constatou em diversas pesquisas em Educação Matemática é a dificuldade que o aluno encontra de passar de uma representação a outra.
A matemática trabalha com objetos abstratos, ou seja, os objetos não são dire-tamente acessíveis à percepção, necessitando para a sua apreensão o uso de uma representação. Neste caso as representações através de símbolos, códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos são bastante significativas, pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do pensamento, permitindo registros de representação diferentes de um mesmo objeto matemático.
Por exemplo, a função pode ser representada através de:
9 expressão algébrica,
9 tabelas e/ou
9 gráficos que são diferentes registros de representação.
Há dois tipos de transformações de representações:
9 Tratamento: ocorre quando trabalhamos dentro de um mesmo registro, como, por exemplo, quando resolvemos uma equação apenas usando o transformismo algébrico.
Álgebra e Registros de Representação
Consideramos que a Álgebra está presente no ensino desde as séries iniciais, porém é importante que os alunos tenham um aprendizado significativo dos conceitos algébricos, pois para o aluno construir um significado concreto para as expressões algébricas é necessário haver uma fundamentação teórica rica em signifi-cados desde o início do aprendizado.
Ao tratarmos do ensino de álgebra, precisamos considerar os diferentes registros de representação, no sentido de contribuir com o aprendizado significativo, produzindo a construção de conceitos algébricos pelos alunos.
Registros de Representações Algébricas
1) Registro Funcional:
O registro funcional (ou com o uso de funções) expressa relações totais e fun-cionais, bem como suas variáveis. Neste registro estabelecemos, através do uso das expressões algébricas, leis de correspondência, fórmulas ou leis de formações de funções e seqüências (funções com o domínio restrito aos números naturais).
Entende-se como lei de correspondência, às expressões algébricas que servem para associar pares ordenados. Nestas leis ficam bem claras quem são as variáveis dependente e independente, e por isso são chamadas de “explícitas”.
Como exemplo,
y = 2x + 2 y = x2 -6x +15
y = cos(x) f(x) = 3x + 10
an = 2n +1
d(n) = n(n-3)/2 A = l2
Função Afim
Função Quadrática Função Trigonométrica Função Exponencial Termo Geral de uma PA Fórmula do nº de diagonais
Fórmula da Área de um Quadrado
2) Registro de Equações ou Inequações
Como exemplo, temos:
3x + 45 = x – 10 x2 + y2= 32
4x2 + 2y2 – 6x + 9y + 21 = 0
x2 – 6x +9 < 0
32x-1 27 = 96x-2
sen(2x+10) ≠ cos(x/2)
Equação linear
Equação reduzida da Circunferência Equação geral de uma Cônica
Inequação Quadrática Equação Exponecial
Desigualdade Trigonométrica
3) Registro da Aritmética Generalizada:
Consta do uso de letras e símbolos como generalizações de modelos, conceitos, regras ou propriedades matemáticas. Geralmente a fim de representa elementos genéricos de conjuntos.
Como exemplo:
a + b = b + a
x (y z) = (x y) z an am = a(n+m)
]a, b[ ={x / a < x < b} z = a + bi
a2 = b2 + c2
Comutatividade da Adição Associatividade do Produto Propriedade de Potenciação Definição de Intervalo Real Definição de Número Complexo Teorema de Pitágoras
4) Registro Língua Materna:
São situações, exercícios ou problemas apresentados a partir da língua natural. Sugere situações-problema através da língua portuguesa – quando é solicitado, por exemplo, que:
“Um tijolo de construção pesa cerca de meio quilo. Um tijolo de brinquedo, do mesmo material, em que cada dimensão fosse quatro vezes menor, pesaria, em gramas, cerca de?”
500 g cada. Para um certo preço, o restaurante pode ter uma receita máxima. Essa receita, em reais, é de?”
“Em uma festa, 20 pessoas dançaram. Ana dançou com 7 homens, Olga com 8, Vera com 9 e assim por diante, até Nina, que dançou com todos. O número de homens na fest ?”
Ao arrumar seus livros de Matemática, um professor percebe que tem mais de 300 livros e menos de 400. Quando os amarra em pacotes de 13 livros, sobram 9. Se os amarra em pacotes de 15 livros, sobram 4. O professor tem, portanto, quantos livros?”
“Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Considerando-se que cada uma das mercadorias tem preço único, o preço do consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta é?”
Neste tipo de representação é necessário que se faça um tratamento deste registro, lendo-o e compreendendo-o a partir do entendimento de seus conceitos, demonstrando o entendimento conceitual a partir da língua natural. Geralmente pede a conversão para outro tipo de representação antes de ser resolvido.
5) Registro Figural:
É o registro que lança mão das propriedades de figuras geométricas e utilização de gráficos, para resolver ou interpretar um problema. Ou seja, é composto de figuras geométricas ou gráficos, que representam um objeto matemático.
Gráfico do Círculo Trigonométrico Usando o Geogebra
Resolução Geométrica de um Sistema de Equações com o Winplot
Superfície Senoidal Denhada como Winplot em 3D
Exemplos:
Tratamento:
0,2 + 0,5 = 0,7
Conversão:
Considere uma Função definida no conjunto dos Números Reais com valores no mesmo conjunto e a cada elemento dos Reais faz associar o seu dobro.
Registro Funcional
Exercícios (Em Grupo):
1 – Faça os registros figurais (usando a conversão) para resolver os seguintes problemas simples de matemática:
a) O estudo do sinal da função f(x) = x – 2. b) O estudo do sinal da função f(x) = x2 – 3x + 2
c) A resolução da inequação x - 2 >0
d) A resolução da inequação (x - 1) (x + 2) (- x + 2) > 0. e) Calcular a área de um retângulo de dimensões 2m e 4m. f) Encontrar o volume de um cubo de aresta 5 cm.
2 – Resolva as situações-problemas apresentadas na seção de representação em língua materna (todas são questões retiradas da prova de concurso do magistério do município do Rio de Janeiro, 2006), usando necessariamente pelo menos uma conversão para outro tipo de representação.
Exercício (Em Dupla):
1 – Desenvolva uma atividade constando de 5 problemas matemáticos resol-vidos (que não precisam ser do mesmo assunto, porém tem que vir junto com sua resolução e gabarito), em que haja os seguintes registros de representações nos seus desenvolvimentos, juntos:
¾ Registro da língua materna.
¾ Registro figural.
¾ Registro de equações ou funcional.
Referências Bibliográficas
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, v.3. Brasília: MEC/SEF, 1997.
DUVAL, R. - Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Ed. Papirus, 2003, p.11 – 34.
GRANGER, Gilles Gaston. Filosofia do estilo. Trad. Escarlett Zebertto Marton. São Paulo, perspectiva, Ed. Da Universidade de São Paulo, 1974.
MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação mútua, 5. ed. São Paulo: Cortez, 2001.
SILVEIRA, Marisa Rosâni Abreu da. Interpretação da matemática na escola, no dizer dos alunos: ressonância no sentido de “dificuldade”. 2000. 186 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2000.
