#ConquistaNoEstudo Etapa1. Ensino Médio 3 ạ SÉRIE. Matemática

Matemática

#ConquistaNoEstudo  Etapa1

Neste Guia, você vai estudar os Módulos 9 e 10.

Prof

a

_{. Carolina Pinotti}

Geometria euclidiana

(páginas 6 a 9, Módulo 9)

Preposições primitivas Postulado 1 Postulado 2 Postulado 3 Postulado 4 Postulado 5 Postulado 6 Postulado 7 Postulado 8 Postulado 9 Ponto, reta e plano

Atividade 1

Para as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras e F para as falsas, corrigindo

as falsas.

( ) Três pontos não colineares determinam um ponto.

( ) Por um ponto A passam infinitas retas.

( ) Existe um número finito de pontos em um plano.

( ) Um plano contém um número finito de retas.

( ) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

( ) Há infinitos pontos em uma reta.

Geometria euclidiana

(páginas 10 a 24, Módulo 9)

Duas retas podem ser:

• Concorrentes;

• Paralelas;

• Perpendiculares;

• Reversas (podendo ser ortogonais).

Dois planos podem ser:

• Paralelos;

• Concorrentes ou secantes (podendo ser perpendiculares ou não).

Uma reta pode ser, em relação a

um plano:

• Contida no plano;

• Concorrente ao plano (podendo ser perpendicular ou oblíqua).

Posições relativas

Atividade 2

A"vidade 2 (CFOPM-RJ – 2014) Sobre retas, planos e suas relações posicionais, Adriana escreveu em seu caderno as seguintes afirmações: I.  Se duas retas disKntas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. II._{Se uma reta r está conKda em um plano 𝛼𝛼}, então existem retas paralelas a r fora

de _𝛼𝛼.

III.  Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

IV._{Dada uma reta r paralela a um plano 𝛼𝛼}, então r não é paralela a todas as retas de 𝛼𝛼.

Está correto apenas o que se afirma em:

a) Apenas as afirmaKvas I e II. b) Apenas as afirmaKvas II e III. c) Apenas as afirmaKvas II e IV. d) Apenas as afirmaKvas III e IV.

Geometria espacial I

(páginas 25 a 34, Módulo 9)

Poliedros Relação de Euler

Atividade 3

Determine o número de faces, vértices e arestas de cada um dos poliedros inseridos

abaixo:

Nome

Faces Vértices Arestas

Imagem

Prisma de base triangular

Pirâmide de base quadrada

Área da superfície AB= área do polígono ou

círculo da base

A_L= perímetro da base × altura

A_T= 2· A_B+ A_L

Diagonal do bloco retangular 𝐃𝐃 = 𝐚𝐚𝟐𝟐 _{+ 𝐛𝐛}𝟐𝟐_{+ 𝐜𝐜}𝟐𝟐 Volume V = A_B· h Área do círculo: 𝐀𝐀 = 𝛑𝛑𝐫𝐫𝟐𝟐 Comprimento do círculo: 𝐂𝐂 = 𝟐𝟐𝛑𝛑𝐫𝐫

Geometria espacial I

(páginas 35 a 58, Módulo 9)

Atividade 4

A"vidade 4

Um reservatório em formato cilíndrico tem uma capacidade para 3 840 litros. Sabendo que ele possui um raio da base de 0,80 m, qual a altura desse reservatório? Considere _𝜋𝜋=3. a)  1,8 m b)_{2,0 m} c)_{2,2 m} d)_{2,4 m} e)_{2,6 m}

Área da superfície A_B= área do polígono da base A_L= perímetro da base × altura

dos triângulos A_T= A_B+ A_L

Volume V = 𝟏𝟏_𝟑𝟑AB· h

Geometria espacial II

(páginas 59 a 68, Módulo 9)

Pirâmide

A"vidade 5

(UFPR – 2016) Temos, na imagem, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? a)  ​16/3 √⁠3  c​m↑3  b)_{16√⁠3  c​m↑3} c)_{32 cm}3 d)  ​32/3 √⁠2  c​m↑3  e)  ​64/3  c​m↑3 

Atividade 5

Geometria espacial II

(páginas 69 a 78, Módulo 9)

Cone

Área da superfície A_B= área do círculo da base

A_L= πrg (g é a geratriz) A_T = A_B+ A_L A_T= 𝛑𝛑𝛑𝛑(𝛑𝛑 + 𝐠𝐠) Volume V = 1₃ A_B· h ou V = 𝟏𝟏_𝟑𝟑𝛑𝛑𝛑𝛑𝟐𝟐 _{· h} Geratriz

Atividade 6

A"vidade 6

(UECE – 2018) A super2cie lateral de um cone circular reto, quando planificada, é o setor circular de um círculo que subtende um arco cujo comprimento é 6π metros. Se a medida do raio deste círculo é 5 metros, então, a medida do volume do cone é: a)  10π m3 b)_{12π m}3 c)  9π m3 d)_{11π m}3

Geometria espacial III

(páginas 79 a 82, Módulo 9)

Esfera

Superfície esférica

Conjunto de pontos do espaço que

estão a uma distância menor ou

igual a R (raio da esfera) de um

ponto (o ponto O, centro da esfera).

Conjunto de pontos do espaço que

estão a mesma distância R do centro

O da esfera.

MATEMÁTICA

Geometria espacial III (páginas 79 a 82, Módulo 9)

Esfera

Conjunto de pontos do espaço que estão a uma distância menor ou igual a R (raio da esfera) de um ponto (o ponto O, centro da esfera).

Superfície esférica

Conjunto de pontos do espaço que estão a mesma distância R do centro O da esfera.

R2 _{= d}2 _{+ r}2

Lembrando... O comprimento de uma circunferência e a área de um círculo de raio R podem ser determinados,

respectivamente, por:

Atividade 7

Uma esfera de raio 13 cm possui uma calota de raio 12 cm. Considerando as medidas da

esfera, qual a distância do centro dessa calota até o centro da esfera?

a) 1 cm

b) 3 cm

c) 4 cm

d) 5 cm

V_e = 4_{3 πr}3

R2 _{= d}2 _{+ r}2

Volume da esfera

Atividade 8

(UFRGS – 2016)

Se um jarro com capacidade para dois litros está completamente

cheio de água, a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma

semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro é:

a) 8

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

A_e = 4πr2

Área da superfície esférica

Atividade 9

A"vidade 9

(UFPR – 2015) Um tanque para armazenamento de produtos corrosivos possui, internamente, o formato de um cilindro circular reto com uma semiesfera em cada uma de suas bases, como indica a figura. Para revesDr o interior do tanque, será usada uma Dnta anDcorrosiva. Cada lata dessa Dnta é suficiente para revesDr 8 m2 de área. Qual o número mínimo de latas de Dnta que se deve comprar para revesDr totalmente o interior desse tanque? Use π = 3,14. a)_{3 latas.} b)_{4 latas.} c)_{5 latas.} d)_{7 latas.} e)  10 latas.

V = h_{3 · B + B · b + b}

Aℓ = n · L + ℓ_{2 · a}t

AT = Aℓ + B + b

Tronco de pirâmide

Atividade 10

A"vidade 10

(UFRGS – 2015) O primeiro prêmio de um torneio recebe um troféu sólido confeccionado em metal, com as medidas abaixo.

Considerando que as bases do troféu são congruentes e paralelas, o volume de metal uJlizado na sua confecção é: a)_100√⁠3 b)_150√⁠3 c)_{1 000√⁠3} d)  1 500√⁠3  e)  3 000√⁠3  A"vidade 10

(UFRGS – 2015) O primeiro prêmio de um torneio recebe um troféu sólido confeccionado em metal, com as medidas abaixo.

Considerando que as bases do troféu são congruentes e paralelas, o volume de metal uJlizado na sua confecção é: a)  100√⁠3  b)  150√⁠3  c)  1 000√⁠3  d)_{1 500√⁠3} e)  3 000√⁠3 

V = πh_{3 · R}2 + R · r + r2

A_ℓ = πg_t · R + r A_T = A_ℓ + πR2 + πr2

Tronco de cone

Atividade 11

(UNESP – 2017)

Um cone circular reto de geratriz medindo 12 cm e raio da base

medindo 4 cm foi seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um tronco de

cone, como mostra a figura 1. A figura 2 mostra a planificação da superfície lateral S

desse tronco de cone, obtido após a secção.

Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o volume do tronco de cone indicado

na figura 1.

Sistemas de equações lineares

Equações lineares

Métodos de resolução

Sistemas lineares

(páginas 6 a 15, Módulo 10)

Métodos tradicionais:

• Adição;

• Substituição;

• Comparação.

Método do escalonamento:

• Multiplica-se por escalar uma equação;

• Adicionam-se duas equações;

• Objetivo: diminuir a quantidade de incógnitas nas equações. Métodos tradicionais:

- Adição; - Substituição; - Comparação.

Método do escalonamento:

- Multiplica-se por escalar uma equação; - Adicionam-se duas equações;

- Objetivo: diminuir a quantidade de incógnitas nas equações.

Toda igualdade da forma

a₁x₁ + a₂x₂+ a₃x₃ + a₄x₄ + ... + a_nx_n= b a₁, a₂, a₃, ..., a_nsão os coeficientes; x₁, x₂, x₃, ..., x_nsão as incógnitas; b é o termo independente. a₁, a₂, a₃, ..., a_n, b ∈ ℝ.

O conjunto de valores x₁, x₂, x₃, ..., x_nque verificam a igualdade é a solução da equação linear.

Atividade 12

_MATEMÁTICA

Atividade 12

(UNICAMP – 2016) Considere o sistema linear nas variáveis x, y, z e w,

ቐ

x − y = 1,

y + z = 2,

w − z = 3.

Logo, a soma x + y + z + w é igual a:

a) –2

b) 0

c) 6

d) 8

Sistemas lineares

(página 16, Módulo 10)

• Cada equação gera uma reta;

• A intersecção (ou não) das retas gera uma solução;

• As retas se intersectam em:

� Nenhum ponto (não tem solução); � Apenas um ponto (uma única solução); � Todos os pontos (infinitas soluções).

Sistemas de equações lineares

Interpretação geométrica

Atividade 13

_{Atividade 13} MATEMÁTICA

O sistema de equações ቊ4x + y = 10_{x − y = 5 , quando feita sua interpretação geométrica,} possui um gráfico no qual as retas:

a) se intersectam no ponto (3, –2). b) se intersectam no ponto (–2, 3). c) não se intersectam.

Sistemas lineares

(páginas 16 a 24, Módulo 10)

Determinada (SPD): solução

única, representada por um par ordenado (x, y). No gráfico, as retas se intersectam em apenas um ponto.

Indeterminada (SPI):

infinitas soluções. No gráfico, as retas se intersectam em infinitos pontos.

Sistema impossível (SI): não

possui solução. No gráfico, as retas não se intersectam, são paralelas.

Classificação de sistemas

Atividade 14

MATEMÁTICA

Atividade 14

(PUC-RIO – 2016) Considere o sistema ቊ2x + ay = 3_{x + 2y = 1 e assinale a alternativa} correta:

a) O sistema tem solução para todo a ∈ ℝ.

b) O sistema tem exatamente uma solução para a = 2. c) O sistema tem infinitas soluções para a = 1.

d) O sistema tem solução para a = 4.

ƒ–”‹œ…‘Ž‹Šƒ•‡ …‘Ž—ƒ•ǡ†‘–‹’‘ൈ ǡ±—ƒ –ƒ„‡Žƒ…‘൉‡Ž‡‡–‘•Ǥ Ž‡‡–‘•ƒ‹Œǡ‘†‡‹ ”‡’”‡•‡–ƒƒŽ‹Šƒ‡Œƒ …‘Ž—ƒǤ‡Œƒƒƒ–”‹œ͵ൈ ͵ǣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 _{—ƒ•ƒ–”‹œ‡•• ‘‹‰—ƒ‹•} “—ƒ†‘…ƒ†ƒ—†‘••‡—• ‡Ž‡‡–‘•• ‘‹‰—ƒ‹•Ǥ ‡˜‡•‡””‡ƒŽ‹œƒ†ƒ–‡”‘ƒ–‡”‘ǡ ’ƒ”ƒƒ–”‹œ‡•†‡‡•ƒ‘”†‡ǣ 2 3 −5 0 + 4 −21 −5 = −4 −56 1 ƒ–”‹œŽ‹ŠƒǣA = 3 2 −5 Matriz coluna: B = −13 9

Matriz quadrada: mesmo número de linhas e colunas Matriz identidade: C = 2 0_{−6 3} (sempre quadrada)

‹ƒ‰‘ƒŽ ’”‹…‹’ƒŽ ‹ƒ‰‘ƒŽ

•‡…—†ž”‹ƒ

Matrizes

(páginas 25 a 30, Módulo 10)

Noção de matriz

Matrizes Matrizes especiais

Adição de matrizes Igualdade de matrizes

Atividade 15

MATEMÁTICA

Atividade 15

Uma matriz A de ordem três tem seus elementos a_ij definidos da forma a_ij = 3i + j. Uma outra matriz B de ordem três tem seus elementos b_ij definidos por b_ij = i2_.

Qual a matriz resultante da adição de A e B? a) 4₇ 5₈ 6₉ 10 11 12 b) 1 1 1 4 4 4 9 9 9 c) _{11 12 13}5 6 7 19 20 21 d) 7 6 5 9 8 7 13 12 11

Propriedades de matrizes ‘—Ž–‹’Ž‹…ƒ”—ƒƒ–”‹œ’‘”—‡•…ƒŽƒ”ǡ …ƒ†ƒ‡Ž‡‡–‘ˆ‹…ƒ—Ž–‹’Ž‹…ƒ†‘’‘”ǣ k · aa1121 aa1222 aa1323 a₃₁ a₃₂ a₃₃ = k · a₁₁ k · a₁₂ k · a₁₃ k · a₂₁ k · a₂₂ k · a₂₃ k · a₃₁ k · a₃₂ k · a₃₃ ‘†‘•‘•‡Ž‡‡–‘•• ‘‹‰—ƒ‹•ƒœ‡”‘ǣ A = 0 0 00 0 0 0 0 0

Matrizes

(página 31, Módulo 10)

Multiplicação por escalar

Propriedades de matrizes

Atividade 16

_{Atividade 16} MATEMÁTICA

A matriz A foi multiplicada por um valor k e adicionada à matriz B, encontrando a matriz C. Observando as três matrizes, qual é o valor de k?

A = 21 0 −25 3 −5 0 2 , B = 2 −1 4 3 0 1 −1 −2 0 e C = 6 −1 0 5 10 7 −11 −2 4 a) –3 b) –2 c) 2 d) 3

Matrizes

(páginas 32 e 33, Módulo 10)

matrizes ƒ”ƒƒ—Ž–‹’Ž‹…ƒ­ ‘൉ൌǣ Ǧ ”‘†‡…‘Ž—ƒ•†‡†‡˜‡•‡”‹‰—ƒŽƒ‘ï‡”‘†‡ Ž‹Šƒ•†‡ǣൈǡൈ’‡ൈ’Ǣ Ǧ ƒ†ƒ‡Ž‡‡–‘…‹Œ±‡…‘–”ƒ†‘—Ž–‹’Ž‹…ƒ†‘Ǧ•‡ ‘”†‡ƒ†ƒ‡–‡‘•‡Ž‡‡–‘•†ƒŽ‹Šƒ‹†‡ǡ…‘‘• ‡Ž‡‡–‘•Œ†‡ǡ‡ƒ†‹…‹‘ƒ†‘Ǧ•‡‘•’”‘†—–‘•‘„–‹†‘•ǣ …‹Œൌƒ‹ͳ൉„ͳŒ൅ƒ‹ʹ ൉„ʹŒ൅ƒ‹͵൉„͵Œ൅ǤǤǤ൅ƒ‹൉„Œ Multiplicação entre matrizes

Propriedades de matrizes

Atividade 17

MATEMÁTICA

Atividade 17

(UEMA – 2015) Uma matriz A_m×n é uma tabela retangular formada por m × n números reais (a_ij), dispostos em m linhas e n colunas. O produto de duas matrizes A_m×n = (a_ij) e B_n×p = (b_ij) é uma matriz C_m×p = (c_ij), em que o elemento c_ij é obtido da multiplicação ordenada dos elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando os elementos resultantes das multiplicações. A soma das matrizes é comutativa, ou seja, A + B = B + A.

Faça a multiplicação das matrizes A e B e verifique se esse produto é comutativo, ou seja A × B = B × A. A = 1 2 30 1 2 0 0 1 e B = 0 1 −2 1 −2 3 0 1 0

matrizes Ǧ ‹Šƒ•˜‹”ƒ…‘Ž—ƒ•‡…‘Ž—ƒ•˜‹”ƒ Ž‹Šƒ•Ǣ Ǧ ƒ–”‹œˆ‘”ƒ†ƒ’‡Ž‘•‡Ž‡‡–‘•ƒ_Œ‹ƒ‘ ‹˜±•†‘•‡Ž‡‡–‘•ƒ_‹ŒǤ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ 𝑡𝑡 = aa1112 aa2122 aa3132 a₁₃ a₂₃ a₃₃ Exemplo: 3 0 2 −1 4 5 𝑡𝑡 = 3 −10 4 2 5

Matrizes

(páginas 33 e 34, Módulo 10)

Transposição de matrizes

Propriedades de matrizes

Atividade 18

_{Atividade 18} MATEMÁTICA

(UEA – 2017) Dada a matriz B = (b_ij)_3x2, onde b_ij = i – 2j + 2, e sua transposta Bt, _seja

a matriz M = B · Bt_{. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz M é}

igual a: a) –16 b) –8 c) 0 d) 8 e) 16