Eletromagnetismo I. Cap. 1: Revisão Matemática 1.3: Cálculo integral. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

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Eletromagnetismo I

Cap. 1: Revisão Matemática

1.3: Cálculo integral

Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

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1.3 – Cálculo integral

1.3.1 – Integrais de linha

Para uma função vetorial 𝐯 qualquer, podemos integrá-la entre dois pontos 𝑎 e 𝑏 quaisquer ao longo de um caminho arbitrário 𝐶:

න

𝑎 𝑏

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑎 𝑏

𝑣 cos 𝜃 𝑑𝑙

Quando a integral não depende do caminho 𝐶, dizemos que 𝐯 é um campo conservativo.

onde 𝑑𝐥 = 𝑑𝑥 ො𝐱 + 𝑑𝑦 ො𝐲 + 𝑑𝑧 ො𝐳 é o vetor deslocamento infinitesimal (em coordenadas cartesianas)

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Caminho 1: Vamos dividi-lo nas porções (i) e (ii)

Porção (i): reta horizontal 𝑦 = 1

• 𝐯 = ො𝐱 + 4𝑥 ො𝐲

• 𝑑𝐥 = 𝑑𝑥 ො𝐱

න

𝑖

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = න

1 2

𝑑𝑥 = 1

⇒

Porção (ii): reta vertical 𝑥 = 2

• 𝐯 = 𝑦 ො𝐱 + 4(𝑦 + 1) ො𝐲

• 𝑑𝐥 = 𝑑𝑦 ො𝐲

න

𝑖𝑖

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = න

1 2

4 𝑦 + 1 𝑑𝑦 = 10

⇒

න

(1)

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑖

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 + න

𝑖𝑖

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 =

11

(5)

Caminho 2: Reta diagonal 𝑦 = 𝑥

• 𝐯 = 𝑥

2

_{ො𝐱 + 2𝑥(𝑥 + 1) ො}

_𝐲

• 𝑑𝐥 = 𝑑𝑥 ො𝐱 + 𝑑𝑦 ො𝐲

• 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥

න

(2)

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑥=1 2

[𝑥

2

ො𝐱 + 2𝑥 𝑥 + 1 ො

𝐲] ⋅ 𝑑𝑥 ො𝐱 + 𝑑𝑥 ො

𝐲

= න

𝑥=1 2

3𝑥

2

+ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥

3

+ 𝑥

2

ቚ

1 2

=

10

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Caminho fechado:

ර

𝐶

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = න

(1)

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 − න

2

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = 11 − 10 =

1

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1.3.2 – Integrais de superfície

Para uma função vetorial 𝐯 qualquer, podemos integrá-la sobre uma superfície arbitrária 𝑆:

න

𝑆

𝐯 ⋅ 𝑑𝐀 = න

𝑆

𝐯 ⋅ ෝ

𝐧 𝑑𝐴

• 𝑑𝐀 = 𝑑𝐴 ෝ𝐧 é o vetor área infinitesimal

• ෝ𝐧 é um vetor unitário perpendicular à superfície

Para superfícies fechadas, ෝ𝐧 deve ser sempre orientado para fora. Para superfícies abertas, o sentido deve ser especificado!

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Face 1: Face 𝑥 = 2

• 𝐯 = 4𝑧 ො𝐱 + 4 ො𝐲 + 𝑦 𝑧

2

_{− 3 ො𝐳}

• 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦 𝑑𝑧

• ෝ

𝐧 = ො𝐱

න

(𝑖)

𝐯 ⋅ 𝑑𝐀 = න

𝑦=0 2

න

𝑧=0 2

[4𝑧 ො𝐱 + 4 ො

𝐲 + 𝑦 𝑧

2

− 3 ො𝐳] ⋅

𝑑𝑦 𝑑𝑧

ො𝐱

= න

𝑦=0 2

න

𝑧=0 2

4𝑧

𝑑𝑦 𝑑𝑧

=

16

(10)

Face 3: Face 𝑦 = 2

• 𝐯 = 2𝑥𝑧 ො𝐱 + (𝑥 + 2) ො𝐲 + 2 𝑧

2

_{− 3 ො𝐳}

• 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 𝑑𝑧

• ෝ

𝐧 = ො

𝐲

න

(𝑖𝑖𝑖)

𝐯 ⋅ 𝑑𝐀 = න

𝑥=0 2

න

𝑧=0 2

[

2𝑥𝑧 ෝ

𝐱 + (𝑥 + 2) ො𝐲 + 2 𝑧

2

− 3

] ⋅

𝑑𝑥 𝑑𝑧

𝐲

ො

= න

𝑥=0 2

න

𝑧=0 2

(𝑥 + 2)

𝑑𝑥 𝑑𝑧

=

12

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Termine o cálculo sobre as demais faces! O resultado é:

න

𝑆

𝐯 ⋅ 𝑑𝐀 =

16 + 0 + 12 − 12 + 4 = 20

Exercícios adicionais (problema 1.29):

• Qual é o fluxo sobre a face restante (base do cubo)?

• A integral de superfície neste caso depende apenas da curva que define a fronteira de 𝑆?

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1.3.3 – Integrais de volume

Finalmente, podemos integrar uma função escalar qualquer 𝑇 sobre um volume arbitrário 𝒱:

න

𝒱

𝑇 𝑑𝑣

𝑑𝑣: elemento de volume infinitesimal.

Em coordenadas cartesianas, 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Naturalmente, também podemos integrar funções vetoriais 𝐯:

න

𝒱

𝐯 𝑑𝑣 = ො𝐱 න

𝒱

𝑣

_𝑥

𝑑𝑣 + ො

𝐲 න

𝒱

𝑣

_𝑦

𝑑𝑣 + ො𝐳 න

𝒱

𝑣

_𝑧

𝑑𝑣

Note que os unitários foram retirados de cada integral por serem constantes. Este não será necessariamente o caso em outros sistemas de coordenadas!

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A borda inclinada no plano 𝑋𝑌 é definida pela reta 𝑦 = 1 − 𝑥. Com isso, o volume 𝒱 é definido pela região:

• 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

• 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥

• 0 ≤ 𝑧 ≤ 3

න

𝒱

𝑇𝑑𝑣 = න

𝑥=0 1

න

𝑦=0 1−𝑥

න

𝑧=0 3

𝑥𝑦𝑧

2

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 9 න

𝑥=0 1

න

𝑦=0 1−𝑥

𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦

= 9 න

𝑥=0 1

𝑥

1 − 𝑥

2

2 𝑑𝑥 =

9

2 න

_𝑥=0 1

(𝑥 − 2𝑥

2

+ 𝑥

3

) 𝑑𝑥

=

9

2 𝑥

2

2 −

2𝑥

3

3 +

𝑥

4

4 ቚ

0 1

=

9

2 ⋅

1

12 =

3

8

(15)

1.3.4 – Teoremas fundamentais

Já vimos que a variação infinitesimal de uma função escalar 𝑇 pode ser escrita como:

(a) Gradientes

𝑑𝑇 = 𝛁𝑇 ⋅ 𝑑𝐥

Integrando entre dois pontos 𝑎 e 𝑏 quaisquer ao longo de um caminho arbitrário 𝐶:

න

𝑎 𝑏

𝑑𝑇 = න

𝑎 𝑏

𝛁𝑇 ⋅ 𝑑𝐥

Note que a integral do lado esquerdo representa uma soma de variações infinitesimais. O resultado deve ser a variação total de 𝑇 ao longo do caminho!

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Portanto:

𝑇 𝐛 − 𝑇(𝐚) = න

𝑎 𝑏

𝛁𝑇 ⋅ 𝑑𝐥

Note que:

• A integral de linha não depende do caminho 𝐶. Portanto, o gradiente de qualquer função escalar resulta em um campo vetorial conservativo!

• Este resultado representa uma generalização do teorema fundamental do cálculo: a integral da derivada de uma função é igual à diferença dos valores da função nos extremos do intervalo.

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(b) Divergência (teorema de Gauss)

Pode-se mostrar que, para qualquer função vetorial 𝐯 e superfície fechada 𝑆:

ර

𝑆

𝐯 ⋅ 𝑑𝐀 = න

𝒱

(𝛁 ⋅ 𝐯) 𝑑𝑣

onde 𝒱 é o volume da região delimitada por 𝑆.

“Espírito” do teorema: a integral da derivada (divergência) de uma função sobre uma região (volume)

corresponde ao valor dela na fronteira desta região (integral de superfície).

Demonstração: ver Purcell, seções 2.8, 2.9 e 2.0 ou Moysés – vol. 3, seção 3.6.

“Convencimento”: ler exemplo 1.10 do livro-texto

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(c) Rotacional (teorema de Stokes)

Pode-se mostrar que, para qualquer função vetorial 𝐯 e curva fechada e orientada 𝐶:

ර

𝐶

𝐯 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝑆

𝛁 × 𝐯 ⋅ 𝑑𝐀

onde 𝑆 é uma superfície aberta delimitada por 𝐶.

O sentido de ෝ𝐧 em 𝑑𝐀 é especificado pela regra da mão-direita a partir da orientação de 𝐶.

“Espírito” do teorema: a integral da derivada (rotacional) de uma função sobre uma região (superfície)

corresponde ao valor dela na fronteira desta região (integral de linha).

Demonstração: ver Purcell, seções 2.14, 2.15, 2.16 e 2.17 ou Moysés – vol. 3, seção 4.5.

“Convencimento”: ler exemplo 1.11 do livro-texto

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Exemplo: Campos conservativos (irrotacionais)

Já vimos que um campo conservativo 𝐅 satisfaz as condições:

• ׬

_𝑎𝑏

𝐅 ⋅ 𝑑𝐥

não depende do caminho que liga 𝑎 a 𝑏.

• ׯ

_𝐶

𝐅 ⋅ 𝑑𝐥 = 0

para qualquer caminho fechado 𝐶.

Do teorema de Stokes, segue imediatamente uma terceira condição:

𝛁 × 𝐅 = 𝟎

em todo o espaço

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Além disso, como 𝛁 × 𝛁𝑉 = 𝟎 para qualquer função escalar 𝑉, podemos escrever um campo conservativo em termos do gradiente de uma função escalar:

𝐅 = −𝛁𝑉

o que também é consistente com as duas primeiras propriedades (verifique!).

Observações:

• O sinal negativo acima é apenas uma convenção.

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Exemplo 2: Campos sem divergência

Outra classe de campos vetoriais de grande interesse é a dos campos sem divergência. Eles devem satisfazer:

Do teorema de Gauss, segue imediatamente uma segunda condição:

𝛁 ⋅ 𝐅 = 0

em todo o espaço

ර

𝑆

𝐅 ⋅ 𝑑𝐀 = 0

para qualquer superfície fechada 𝑆.

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Além disso, como 𝛁 ⋅ (𝛁 × 𝐀) = 0 para qualquer função vetorial 𝐀, podemos escrever 𝐅 em termos do rotacional de uma função vetorial:

𝐅 = 𝛁 × 𝐀

Empregando o resultado acima no teorema de Stokes, verificamos que

׬

_𝑆

𝐅 ⋅ 𝑑𝐀

sobre uma superfície aberta 𝑆 não depende da forma de 𝑆. Depende apenas de sua fronteira 𝐶!

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1.3.5 – Integração por partes

Da mesma forma que no cálculo ordinário, podemos nos aproveitar das regras de derivadas do produto para reescrever integrais. Vejamos um exemplo.

Considere a integral:

_{𝐼 = න}

𝒱

𝑓(𝛁 ⋅ 𝐀) 𝑑𝑣

Observando a seguinte regra de produto:

podemos escrever:

𝐼 = න

𝒱

𝛁 ⋅ (𝑓𝐀) 𝑑𝑣 − න

𝒱

𝐀 ⋅ 𝛁𝑓 𝑑𝑣

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Utilizando o teorema de Gauss, podemos reescrever a primeira integral como uma integral de superfície sobre a fronteira de 𝒱. Assim:

𝐼 = ර

𝑆

𝑓𝐀 ⋅ 𝑑𝐚 − න

𝒱

𝐀 ⋅ 𝛁𝑓 𝑑𝑣

• Essa técnica é especialmente útil em situações onde conseguimos nos livrar da integral de superfície.

• Veremos o 1º exemplo de uso desta técnica no cap. 2 (energia armazenada em um campo eletrostático) e veremos outros exemplos ao longo do curso.

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Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap.1

Leitura adicional

• Purcell – cap. 2 (demonstrações dos teoremas de Gauss e Stokes)