MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR APLICADO NA MELHORIA
DA PRODUTIVIDADE LEITEIRA
Vitor José Petry*
DAMAT - Departamento de Matemática
UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Curitiba - PR
vpetry@zipmail.com.br Marciano Mauro Pagliarini
UNICS –Centro Universitário Diocesano do Sudoeste do Paraná - Palmas – PR.
RESUMO
No presente trabalho apresenta-se um modelo matemático baseado na programação linear objetivando a melhoria da produtividade numa das atividades desenvolvidas por grande parte dos produtores rurais da Região Sul do Brasil: a produção leiteira. Fez-se inicialmente um estudo das necessidades nutritivas dos animais e dos déficits deixados pelos alimentos volumosos por estes ingeridos. Com o modelo apresentado calcula-se, usando técnicas de programação linear, uma formulação de ração de alimentos concentrados, capaz de satisfazer os déficits nutritivos apresentados por cada animal, pelo custo mínimo possível. Por fim, apresentam-se os resultados, observando-se um aumento significativo na produção diária de leite por parte dos animais que receberam a alimentação balanceada.
PALAVRAS CHAVE. Modelagem matemática. Programação linear. Produção leiteira. Outras
aplicações ou outras metodologias
ABSTRACT
In this work we present a mathematical model based on the linear programming aiming at the productivity improvement in an important activities developed by great part of the rural producers on the south region of the Brazil: the milk production. Initially we make a study of the nutritious needs of animals and of the deficits left by the bulky foods by these ingested. With the presented model we calculate a formulation of concentrated foods, capable to satisfy the nutritious deficits presented by each animal, for the minimum cost possible, using linear programming techniques. Finally we present the obtained results, being observed a significant increase in the daily milk production on the treaties animals.
KEYWORDS. Mathematical modeling. Linear programming. Milk production. Other
1. Introdução
Desde os tempos mais remotos, o homem procura aumentar a produtividade diminuindo seus custos. O desejo dos produtores de leite também não foge a essa regra, o que justifica a realização de pesquisas neta área.
Baseando-se em pesquisas desta natureza, muitos produtores fazem investimentos significativos no que se refere à alimentação dos bovinos (principalmente os que estão em lactação), para que seus animais atinjam o máximo de sua capacidade de produção leiteira sem, porém, elevar demasiadamente o custo dessa produção.
Nos sistemas de produção em que os fazendeiros usam grandes quantidades de alimentos concentrados, existe a necessidade de se trabalhar com animais de alto potencial para a produção, de maneira que haja possibilidade de se obter rentabilidade no setor (Islobão, 1998). Esse fato às vezes não acontece quando os animais são tratados de forma uniforme, sem levar em consideração suas individualidades, o que provoca desperdícios ou a falta de determinados nutrientes para a adequada produção de leite.
É fato conhecido de que a capacidade de produção leiteira de cada animal é influenciada pela sua potencialidade genética e pelo ambiente em que acontece a produção. Porém, é evidente também, que sua produção será máxima se a alimentação for adequada. Por outro lado, se um animal for alimentado em demasia, não produzirá mais leite ou leite com maior teor de gordura do que a sua capacidade permite, isto é, o animal não aproveita o excesso de alimentação. Entretanto, uma alimentação deficiente, irá refletir numa produção abaixo do nível normal, ou ainda no enfraquecimento do animal. Daí a necessidade de uma alimentação balanceada, ou seja, calculada levando-se em consideração o peso do animal, a capacidade de produção leiteira e percentagem de matéria gorda que compõe o leite de cada animal.
Conforme Jansen (1988), as principais exigências nutricionais das vacas para a sua manutenção e produção de leite são: energia, proteínas, minerais, vitaminas, fibras (ou matéria seca), além da água.
Os alimentos, em geral, são ricos em determinados componentes e deficientes em outros. Essa carência exige a formulação de rações capazes de atender a todas as necessidades nutritivas de manutenção e produção dos animais.
Os alimentos volumosos como as pastagens, o capim, a silagem, a cana, o cameron, a aveia, a palha, entre outras forragens necessitam ser consumidos em grande volume para fornecer a mesma quantidade de energia e ou proteína que os alimentos concentrados fornecem. Apesar de o volumoso ser fornecido em grande quantidade, a energia e a proteína que ele contém geralmente apresentam menor custo se comparadas às mesmas contidas nos alimentos concentrados.
É característica de o volumoso apresentar muitas fibras, o que aumenta seu volume. O volumoso oferecido ao animal deve ser de boa qualidade, já que uma vaca adulta consome no máximo até 12% de seu peso vivo em volumoso por dia (Islobão, 1998).
Os concentrados são alimentos ricos em energia ou proteínas, ou em ambos. Geralmente possuem mais de 60% de NDT (nutrientes digestivos totais) e baixo teor de fibra.
Diante das situações acima expostas, evidencia-se a importância da elaboração de modelos matemáticos, que permitam uma formulação adequada de ração a ser tratada a cada animal, levando-se em conta suas necessidades individuais, buscando atingir a capacidade máxima de produção, com custo minimizado.
A programação linear é uma técnica de planejamento que permite produzir resultados expressivos em quase todo ramo da atividade humana. Seus objetivos são os procurados por todas as empresas e produtores, ou seja, a diminuição dos custos e o aumento dos lucros. Os primeiros trabalhos que se tem conhecimento são da década de 1930, mas suas aplicações têm evoluído muito nas últimas décadas com o desenvolvimento acelerado dos equipamentos de computação e da criação de softwares (Prado, 1999).
Diversos modelos, visando otimizar o trato de animais são encontrados na literatura, diversos deles, fazem uso de técnicas de programação linear na tentativa de encontrar formulação de alimentação balanceada a custo mínimo. Rennó, et. al. (2008) aplicaram um modelo de
simulação para avaliação de sete diferentes estratégias de alimentação à base de alimentos volumosos, aplicados em vacas leiteiras, sendo que dividiram os animais de acordo com cinco níveis de produção de leite. Em seu trabalho, apresentam resultados da produção de leite para cada estratégia em cada nível de produção, fazendo comparativos da produção média por área de pastagens e por animal.
Resende Filho (2008) avalia a viabilidade econômica do trato de bovinos de corte em confinamento usando técnicas de programação linear para minimizar o custo da ração a ser fornecida aos animais, satisfazendo uma quantidade mínima de nutrientes pré-estabelecidos, considerando-se o peso médio dos animais envolvidos. Lanna, et. al. (1999) apresentaram um estudo comparativo, de formulação de dietas para ruminantes, sendo uma das dietas de custo mínimo, usando técnicas de programação linear e outra de lucro máximo, usando programação não-linear. Também na tentativa de obter formulações de ração a custo mínimo para pequenos ruminantes, Santos, et. al. (2006) apresentaram um modelo baseado em programação linear, usando o método Simplex para a solução do problema. Para a elaboração deste modelo, os animais também foram divididos em grupos, de acordo com características semelhantes, como por exemplo, fêmeas em lactação, fêmeas não-lactantes, machos e animais em crescimento.
No presente trabalho apresenta-se um modelo de programação linear que forneça a formulação adequada de ração para vacas leiteiras. Ao contrário da grande maioria dos modelos encontrados na literatura, o presente modelo foi elaborado a partir de um estudo individual das necessidades nutritivas (para manutenção e produção) dos animais envolvidos. O trabalho refere-se a uma primeira etapa de uma pesquisa maior que pretendemos derefere-senvolver, refere-sendo que esta refere-se constituiu numa forma experimental para determinar os procedimentos adequados para a pesquisa. Foram acompanhados três animais de uma propriedade no interior de um município do oeste do Estado de Santa Catarina. Para este estudo considerou-se o peso vivo do animal, a capacidade produtiva e o teor de gordura do leite. Esse cálculo foi efetuado a partir de dados e tabelas da literatura (Capelle, et. al., 2002), (Islobão, 1994) e (Islobão, 1998). A partir de observações diárias foram identificados os alimentos volumosos ingeridos por cada animal e suas contribuições calculadas a partir de tabelas obtidas na literatura. O passo seguinte foi calcular o déficit diário de cada nutriente considerado como de influência significativa na produção leiteira, que por sua vez teve que ser suprido pelo trato de alimentos concentrados. Daí a necessidade do uso da programação linear.
2. Metodologia
Para facilitar a identificação de cada um dos animais, passamos a denominá-los de “A”, “B” e “C”. O desenvolvimento completo do modelo para um dos animais (“A”) é apresentado a seguir.
O consumo de alimentos volumosos, devido às disponibilidades da propriedade era basicamente de: cana-de-açúcar, mandioca, azeven e aveia. Segundo Islobão (1994), os nutrientes considerados como indispensáveis foram: NTD (nutrientes digestivos totais), PB (proteína bruta), Ca (cálcio), P (fósforo), MS (matéria seca) e Energia. A tabela 01 mostra a quantidade aproximada de cada alimento ingerido diariamente pelo animal e sua contribuição em termos de cada um dos nutrientes considerados, segundo dados obtidos em Islobão (1994):
Quantidade (Kg) NDT (kg) PB (kg) Ca (kg) P (kg) MS (kg) Energia (Mcal) Vit. A (Ul) Cana-de-açúcar 30 3,75 0,39 0,027 0,021 7,71 16,5 0 Mandioca 6 1,542 0,066 0 0,0024 1,956 6,7848 0 Azeven 12 1,8 0,48 0,0192 0,0096 2,916 7,92 0 Aveia 12 1,104 0,384 0,0072 0,0108 1,692 4,8576 6600 Total 60 8,196 1,32 0,0534 0,0438 14,274 36,0624 6600
As necessidades nutritivas desse animal, para a sua manutenção e para a produção leiteira, considerando-se seu peso vivo, sua capacidade de produção estimada e o teor de gordura do leite produzido seguem conforme a tabela 02, segundo dados obtidos em Islobão (1994).
NDT (kg) PB (kg) Ca (kg) P (kg) MS (kg) Energia (Mcal) Vit. A (Ul) Manutenção 4,2 0,734 0,022 0,017 7,5 18,48 26000 Produção 5,61 1,326 0,0459 0,034 0 24,684 0 Total 9,81 2,06 0,0679 0,051 7,5 43,164 26000
Tabela 02: Necessidade nutritiva do animal “A”
A partir dos dados apresentados nas tabelas 01 e 02, foi possível calcular os déficits de nutrientes para esse animal, conforme tabela 03:
Pelos dados apresentados na tabela 03 observamos que esse animal apresentava carências de NTD, PB, Ca, P, Energia e Vitamina A. Dessa forma, o modelo precisa considerar os déficits desses nutrientes para que a ração a ser formulada consiga suprir as carências deixadas pelos alimentos volumosos. Para os nutrientes que não apresentaram déficits, não há necessidade de formulação matemática.
Os alimentos escolhidos para sanear este déficit foram: milho, farelo de soja, farelo de trigo, soja e um suplemento mineral (contendo cálcio e potássio, além de outros). À escolha realizada, considerando-se as disponibilidades na propriedade. A tabela 04 mostra a contribuição nutritiva de cada um dos alimentos concentrados considerados, de acordo com Capelle, et. al. (2002).
NDT
(kg) (kg)PB (kg)Ca (kg)P MS (kg) Energia (Mcal) Vit. A (Ul) -1,614 -0,74 -0,0145 -0,0072 +6,774 -7,1016 -19400
Tabela 03: Déficit diário do animal “A”
NDT (%) PB (%) Ca (%) P (%) MS (%) Energia (kcal/kg) Vit. A (Ul/kg) Milho 78 8,8 0,03 0,27 86 3432 5000 Farelo Soja 81,04 45 0,33 0,58 88,56 3565,76 374 Farelo Trigo 0 16 0,14 1,17 89 0 385 Soja 85 37,9 0,25 0,59 90 3740 881 Suplemento Mineral 0 0 26,3 7,5 0 0 8000
Tabela 04: Contribuição nutritiva dos alimentos concentrados Fonte: Capelle, et. al., 2002
Tabela 05: Valor de cada alimento a ser considerado na função objetivo e denotação das variáveis.
Produto Valor em R$/kg Denotação da variável
Milho 0,25
x
1 Farelo de soja 0,57x
2 Farelo de trigo 0,28 3x
Soja 0,28x
4 Suplemento Mineral 0,60 5x
Para a obtenção da função objetivo do problema de programação linear, foi realizada uma pesquisa de preços em uma Cooperativa da região na época da elaboração do modelo. Os valores de cada alimento e a denotação de cada uma das variáveis a serem usadas nas equações estão representados na tabela 05.
A partir dos dados apresentados na tabela 05, foi elaborada a função objetivo que tomou a forma: 5 4 3 2 1 min
0
,
25
x
0
,
57
x
0
,
28
x
0
,
57
x
0
,
6
x
Z
=
+
+
+
+
(01)Para cada nutriente que apresentava déficit, obteve-se uma restrição a partir dos dados apresentados nas tabelas 03 e 04. Para os nutrientes digestíveis totais (NTD), notou-se que a quantidade destes deveria ser maior ou igual a 1,614 kg, que é o déficit registrado para esse nutriente. Desta forma escrevemos:
14
,
16
0
5
,
8
0
1
,
8
8
,
7
x
1+
x
2+
x
3+
x
4+
x
5≥
(02)Analogamente foram obtidas as outras equações, sendo cada uma delas para um nutriente, conforme segue:
74
0
9
,
37
16
45
8
,
8
x
1+
x
2+
x
3+
x
4+
x
5≥
(03)5
,
14
263
5
,
2
4
,
1
3
,
3
3
,
0
x
1+
x
2+
x
3+
x
4+
x
5≥
(04)2
,
7
75
9
,
5
7
,
11
8
,
5
7
,
2
x
1+
x
2+
x
3+
x
4+
x
5≥
(05)016
,
71
0
4
,
37
0
6576
,
35
32
,
34
x
1+
x
2+
x
3+
x
4+
x
5≥
(06)194
80
81
,
8
85
,
3
74
,
3
50
x
1+
x
2+
x
3+
x
4+
x
5≥
(07)e as restrições de positividade das variáveis:
0
,
,
,
,
2 3 4 5 1x
x
x
x
≥
x
(08)Observe que as inequações (02)-(08) foram obtidas a partir das percentagens de nutrientes presentes em cada alimento escolhido, fazendo-se multiplicações da cada lado da desigualdade por 10, 100 ou 1000, com a finalidade de padronizar, quando possível, as grandezas numéricas das expressões. O problema de programação linear descrito pelas equações (01) até (08) foi resolvido usando o método simplex, a partir de implementação computacional, obtendo-se como resultado uma formulação de ração para trato diário do animal “A” com a quantidade de ingredientes e custo conforme mostra a tabela 06.
ALIMENTO QUANTIDADE (kg) MILHO 3,81 FARELO DE SOJA 0,90 FARELO DE TRIGO 0,00 SOJA 0,00 SUPLEMENTO MINERAL 0,04
CUSTO TOTAL POR DIA R$ 1,49
Tabela 06: Ração formulada para o animal “A”
De forma análoga ao trabalho realizado para a obtenção da ração adequada para o animal “A”, procedeu-se também a formulação de ração para os outros dois animais envolvidos na pesquisa, obtendo-se os resultados apresentados nas tabelas 07 e 08 para os animais “B” e “C”, respectivamente:
ALIMENTO QUANTIDADE (kg) MILHO 4,08 FARELO DE SOJA 0,15 FARELO DE TRIGO 0,00 SOJA 0,00 SUPLEMENTO MINERAL 0,03
CUSTO TOTAL POR DIA R$ 1,13
Tabela 07: Ração formulada para o animal “B”
ALIMENTO QUANTIDADE (kg) MILHO 2,03 FARELO DE SOJA 1,15 FARELO DE TRIGO 0,00 SOJA 0,00 SUPLEMENTO MINERAL 0,06
CUSTO TOTAL POR DIA R$ 1,19
Tabela 08: Ração formulada para o animal “C”
Maiores detalhes sobre as técnicas de solução de problemas de programação linear, em particular, do método simplex, podem ser encontrados nas referências (Barbosa, 1973), (Ferreira, 1982) e (Prado, 1999).
3. Resultados
Para possibilitar uma análise da eficiência do modelo proposto, foram realizadas medidas diárias da quantidade de leite produzida por cada um dos três animais observados durante um período de dez dias dando a elas o trato convencional utilizado na propriedade. Logo após deu-se início ao trato da ração preparada individualmente para cada animal, conforme resultado obtido através do modelo, fazendo-se novamente a medida diária do leite produzido. Observou-se que a quantidade de leite produzida por cada um dos animais começou a aumentar logo após o início do trato da ração, porém a produção começou a estabilizar-se a partir do terceiro dia. Por esse motivo, a Figura 01 mostra a média aritmética simples dos resultados obtidos a partir do terceiro dia, para confrontá-los com a média aritmética simples dos resultados obtidos antes do trato da ração formulada.
Comparativo da produção leiteira diária de três animais com trato convencional e com trato de
ração formulada 0 5 10 15 20 A B C Animais L it ro s d e lei te (l ) Trat. Conv. Trat. Ração
Note que houve um significativo aumento médio de produção leiteira após o trato da ração formulada, para os três animais envolvidos na pesquisa, sendo seus percentuais mostrados na figura 02:
Aumento médio na produção leiteira
0 10 20 30 40 50 A B C Animais A u m e n to m éd io ( % ) (% )
Figura 02: Aumento médio de produção de leite após o trato de ração formulada
4. Considerações Finais
Diante dos dados apresentados pode-se afirmar que obtivemos resultados significativos na taxa de aumento da produção de leite. Outros estudos estão sendo realizados nesta área, porém tem-se aí um indicativo de que o estudo ora apresentado pode em condições adequadas trazer grandes contribuições na melhoria da produtividade e rentabilidade dessa atividade agrícola tão importante na economia de grande parte dos agricultores da região, o que justifica a continuidades dos trabalhos.
Durante a realização do presente trabalho, enfrentamos algumas dificuldades na determinação de valores dos componentes nutricionais dos alimentos escolhidos para as experimentações realizadas, uma vez que a literatura apresentou tabelas com algumas variações para um mesmo nutriente de um mesmo alimento. Esse problema poderia ser resolvido, fazendo-se uma análifazendo-se em laboratório capaz de determinar com precisão a composição de todos os alimentos envolvidos no trato, o que levaria em consideração particularidades da vegetação local, principalmente tratando-se dos volumosos. Outro fator a ser lembrado é o fato de os animais não estarem em confinamento, o que dificultou a observação exata de volumosos consumidos diariamente, valores estes que foram aproximados. Foi feita também uma estimativa aproximada da capacidade de produção da cada animal.
Convém ainda ressaltar que os animais em questão não apresentaram uma capacidade produtiva muito alta, devido a vários fatores, entre os quais podemos destacar o fator genético, uma vez que são descendentes de cruzamentos de mais de uma raça, não necessariamente indicadas como boas produtoras de leite. Acredita-se que esse trabalho realizado com animais de raças apropriadas para a produção leiteiras, com maiores capacidades produtivas, com estudos mais aprofundados da composição dos alimentos e considerando-se um plantel maior, poderá fornecer um retorno considerável para o produtor, sendo que estas situações estarão sendo consideradas na sequência das pesquisas que serão realizadas.
O diferencial do presente modelo em relação à grande maioria dos modelos encontrados consiste numa avaliação individual das necessidades nutritivas dos animais envolvidos. Isso pode aparentar inicialmente algumas dificuldades quanto à viabilidade de aplicação deste modelo em situações cotidianas. Porém, o estudo que está sendo realizado servirá como base para a criação de um possível sistema de automação no trato dos animais, o que viabilizaria sua aplicação.
5. Referências
Barbosa, R. M. Programação Linear, 2ª ed. Nobel, São Paulo, 1973.
Capelle, E. R., Valadares Filho, S. C., Rocha Júnior, V. R. Tabelas Brasileiras de Composição de Alimentos para Bovinos, 1ª ed. UFV-DZO- DPI, Viçosa, 2002.
Ferreira, J. S., Introdução a Programação Linear, 3ª ed. Editora Clássica LCE, Lisboa, 1982. Islobão, N., Manual de Cálculos de Rações, 4ª ed., Pelotense, Pelotas, 1998.
Islobão, N., Alimentação de gado leiteiro, Sagra, Porto Alegre,1994. Jansen, J. A., Nutrição Animal, LPM, São Paulo, 1988.
Prado, D., Programação Linear, Série Pesquisa Operacional, 1º volume, DG, Belo Horizonte,
1999.
Resende Filho, M. A. (2008), Avaliação econômica de diferentes estratégias de ganho de peso diário na terminação de bovinos em confinamento, Anais do XLVI Congresso da Sociedade
Brasileira de Economia, Administração e Sociologia Rural.
Rennó, F. P., Pereira, J. K., Leite, C. A. M., Rodrigues, M. T., Campos, O. F., Fonseca, D. M., Rennó, L. N., (2008). Eficiência bioeconômica de estratégias de alimentação em sistemas de
produção de leite. 1. Produção por animal e por área. Revista Brasileira de Zootecnia, 37(4), 743-753.
Lanna, D. P. D., Tedeschi, L. O., Beltrame Filho, J. A., (1999), Modelos lineares e
não-lineares de uso de nutrientes para formulação de dietas de ruminantes.
Scientia Agricola, 56(2),
479-488.
Santos, F. A., Rodrigues, M. T, Filho, J. L., (2006), Modelo computacional para formulação de
rações de mínimo custo para pequenos ruminantes utilizando programação linear. XIII Simpósio
