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Matemática - 03 Geometria Plana

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Academic year: 2021

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Plana

Plana

1.

1. Nas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Encontre aNas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Encontre a medida dos ângulos x em cada caso.

medida dos ângulos x em cada caso. a) a) 2x 2x x x r  r  s s b) b) s s r  r  110º 110º 80º 80º x x 150º 150º 2.

2. Na figura abaixo podemos dizer que:Na figura abaixo podemos dizer que: a) a) αα==ββ++θθ b) b) θθ==ββ++αα c) c) αα++ββ++θθ= 180= 180 d) d) 180 -180 -θθ==αα--ββ e) e) n.r.an.r.a a a b b q q 3.

3. Determine a medida do ângulo externo de um vértice de umDetermine a medida do ângulo externo de um vértice de um triângulo ABC com relação aos ângulos

triângulo ABC com relação aos ângulos internos.internos. 4.

4. Na figura ao lado, AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes.Na figura ao lado, AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes. OX e OY são as bissetrizes desses ângulos. Sabendo-se que OX e OY são as bissetrizes desses ângulos. Sabendo-se que  AÔY = 65º e XÔC = 70º, calcule XÔY.

 AÔY = 65º e XÔC = 70º, calcule XÔY.

 Y  Y X X C C B B A A O O 5.

5. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de umCalcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às:

relógio às: a)

a) 12 horas e 15 minutos12 horas e 15 minutos b)

b) 3 horas e 20 minutos3 horas e 20 minutos c)

c) 4 horas e 42 minutos4 horas e 42 minutos 6.

6. Determine a soma de todos os ângulos assinalados na figuraDetermine a soma de todos os ângulos assinalados na figura abaixo.

abaixo.

7.

7. Calcular o número de diagonais de Calcular o número de diagonais de um pentadecágono.um pentadecágono.

8.

8. Três polígonos convexos tem lados expressos por trêsTrês polígonos convexos tem lados expressos por três números consecutivos. Sendo 2700º a soma de todos os números consecutivos. Sendo 2700º a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o número ângulos internos dos três polígonos, determine o número dede diagonais de cada um deles.

diagonais de cada um deles. 9.

9. Determine a medida do ângulo formado pelosDetermine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e ED de um polígono regular A, prolongamentos dos lados AB e ED de um polígono regular A, B, C, D ... de 20 lados.

B, C, D ... de 20 lados. 10.

10. Qual polígono cujo número de diagonais é igual ao númeroQual polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados?

de lados? 11.

11. Determine o número de diagonais que se pode traçar por umDetermine o número de diagonais que se pode traçar por um dos vértices de um icoságono.

dos vértices de um icoságono. 12.

12. Determine o gênero do polígono cujo número de diagonais éDetermine o gênero do polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.

o quádruplo do número de lados. 13.

13. Na figura abaixo determine a medida do ângulo x , emNa figura abaixo determine a medida do ângulo x , em função de dos ângulos a, b e c.

função de dos ângulos a, b e c.

a a b b cc x x 14.

14. Na figura abaixoNa figura abaixoAABB AAC == C e e BBCC CCD== D D ==DEE EEFF FFAA . Calcule == == . Calcule a medida do ângulo a medida do ânguloαα.. A A B B C C D D E E F F a a 15.

15.   As bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamente  As bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamente perpendiculares são :

perpendiculares são : a)

a) semi-retas opostassemi-retas opostas b)

b) semi-retas coincidentessemi-retas coincidentes c)

c) semi-retas paralelas ou perpendicularessemi-retas paralelas ou perpendiculares d)

d) semi-retas que formam um ângulo de 270ºsemi-retas que formam um ângulo de 270º 16.

16. Nas figuras abaixo determine a soma de todos os ângulosNas figuras abaixo determine a soma de todos os ângulos assinalados. assinalados. a a b b c c d d e e a a b b c c dd e e f  f 

(2)

17.

17. Dado O triângulo ABC, abaixo indicado, construímos aDado O triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a poligonal L =. Determine comprimento de L.

poligonal L =. Determine comprimento de L.

a a b b cc 60º 60º 60º 60º 60º 60º 60º 60º 60º 60º 60º 60º A A B B C C 18.

18. Se P é um ponto qualquer da base BC de um triânguloSe P é um ponto qualquer da base BC de um triângulo isósceles ABC, a soma das distâncias de P aos lados isósceles ABC, a soma das distâncias de P aos lados congruentes é constante e igual a :

congruentes é constante e igual a : a)

a) à medida da base BCà medida da base BC b)

b) à altura relativa a um dos lados congruentesà altura relativa a um dos lados congruentes c)

c) a um dos lados congruentesa um dos lados congruentes d)

d) não é constantenão é constante e)

e) distância do baricentro ao vértice A.distância do baricentro ao vértice A.

19.

19. Na figura a seguir, I é o incentro do triângulo ABC eNa figura a seguir, I é o incentro do triângulo ABC e PQPQ éé pa

pararallelelo a BCo a BC . S. Seendndo o AACC 18= = 18cm cm e e AABB 10==10cmcm, calcule a, calcule a medida do perímetro do triângulo APQ.

medida do perímetro do triângulo APQ.

P P II QQ B B CC A A 20.

20. O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em Â, AH éO triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em Â, AH é altura ,

altura , AD e AD e AE AE são bissetrizes são bissetrizes dos ângulosdos ângulos∠∠HAB eHAB e∠∠HAC.HAC. Considere as seguintes afirmações:

Considere as seguintes afirmações: 1)

1) ∠∠DAE = 45º.DAE = 45º. 2)

2) ∆∆ADE é isósceles.ADE é isósceles. 3)

3) ∆∆BAE é isósceles.BAE é isósceles. 4)

4) ∆∆CAD é isósceles.CAD é isósceles. Quantas estão certas? Quantas estão certas? a) a) nenhumanenhuma b) b) umauma c) c) duasduas d) d) trêstrês e) e) todastodas A A B B C C H H D D E E 21.

21. Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado Ox doUm ponto A qualquer é considerado sobre o lado Ox do ângulo

ângulo∠∠xOy da xOy da figura. figura. Traçamos então:Traçamos então: 1)

1)  AB AB⊥⊥OyOy 2)

2)  AQ // Oy AQ // Oy 3)

3) OPQ tal que PQ = 2.AOOPQ tal que PQ = 2.AO Se

Se∠∠POB = 26º,POB = 26º,∠∠xOy mede:xOy mede: a) a) 61º61º b) b) 66º66º c) c) 72º72º d) d) 78º78º O O BB A A P P Q Q x x y y 22.

22. Em um triângulo ABC, a base BC mede 10cm, MEm um triângulo ABC, a base BC mede 10cm, Mbb e e MMcc sãosão

pontos médios de AC e AB respectivamente. Determine a pontos médios de AC e AB respectivamente. Determine a medida do segmento M

medida do segmento MbbMMcc..

23.

23. Na figura abaixo, Q é o ponto médio de AB. QP é paralelo aNa figura abaixo, Q é o ponto médio de AB. QP é paralelo a BC. Sendo AC = 30cm e BC = 20cm, determine a medida de BC. Sendo AC = 30cm e BC = 20cm, determine a medida de PQ e PO.

PQ e PO. 24.

24. Suponhamos que três pontos A, B e C do plano representemSuponhamos que três pontos A, B e C do plano representem as posições de três casas construídas numa área de um as posições de três casas construídas numa área de um condomínio. Um posto policial estará localizado num ponto P condomínio. Um posto policial estará localizado num ponto P situado à mesma distância das três casas. Em geometria, o situado à mesma distância das três casas. Em geometria, o ponto P é conhecido como :

ponto P é conhecido como : a) a) BaricentroBaricentro b) b) OrtocentroOrtocentro c) c) CircuncentroCircuncentro d) d) IncentroIncentro e) e) n.r.an.r.a 25.

25. Num triângulo ABC, a altura AS forma com a mediana umNum triângulo ABC, a altura AS forma com a mediana um ângulo de 22º. Calcule a medida dos ângulos

ângulo de 22º. Calcule a medida dos ângulos ˆˆBB ee ˆˆCC .. A A S S M M CC B B 22º 22º 26.

26. (UFF)(UFF) O hexágono regular abaixo representado possui ladoO hexágono regular abaixo representado possui lado igual a L. igual a L. M M11 M M 2 2 M M 3 3 M M44 M M55 M M M M M M M M 6 6 7 7 8 8 9 9 N N N N N N N N N N N N N N N N N N 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 L L

Sabendo-se que os 9 segmentos M

Sabendo-se que os 9 segmentos M11N1, MN1, M22NN22, M, M33NN33, ...,, ...,

M

M99NN99 são todos paralelos e dividem o segmento Msão todos paralelos e dividem o segmento M11NN99em 8 partesem 8 partes

iguais, pode-se afirmar que a soma M

iguais, pode-se afirmar que a soma M11NN11 + + MM22NN22 + ... + M+ ... + M99NN99 éé

igual a: igual a: a) a) 11 L11 L b) b) 12 L12 L c) c) 13 L13 L d) d) 14 L14 L e) e) 15 L15 L

(3)

27.

27. (UFRJ)(UFRJ) Um poste têm uma lâmpada colocada a 4m deUm poste têm uma lâmpada colocada a 4m de altura. Um homem de 2m de altura caminha a partir do poste altura. Um homem de 2m de altura caminha a partir do poste , em linha reta, em direção à porta de um edifício que está a , em linha reta, em direção à porta de um edifício que está a uma distância de 28m o poste. Calcule o comprimento da uma distância de 28m o poste. Calcule o comprimento da sombra do homem que é projetada sobre a porta do edifício, sombra do homem que é projetada sobre a porta do edifício, no instante em que ele está a 10,5m dessa porta. Sua no instante em que ele está a 10,5m dessa porta. Sua resposta deve vir acompanhada de um desenho ilustrativo da resposta deve vir acompanhada de um desenho ilustrativo da situação descrita.

situação descrita. 28.

28. (UERJ)(UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual aoNum cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre si, um ângulo reto. Observe a figura, em que formam, entre si, um ângulo reto. Observe a figura, em que BFA = CAB.

BFA = CAB.

Considerando AF = 16 cm e CB = 9 cm, determine: Considerando AF = 16 cm e CB = 9 cm, determine:  A) as dimensões do cartão;

 A) as dimensões do cartão; B) o comprimento do vinco AC. B) o comprimento do vinco AC. 29.

29. (CESGRANRIO)(CESGRANRIO) Considere um quadrilátero ABCD. Sendo MConsidere um quadrilátero ABCD. Sendo M o ponto médio do lado AD e O o ponto de interseção com o o ponto médio do lado AD e O o ponto de interseção com o segmento MC com a diagonal BD, determine a razão DO/OB. segmento MC com a diagonal BD, determine a razão DO/OB. 30.

30. (UFRJ)(UFRJ) A figura a seguir representa um retângulo MNPQA figura a seguir representa um retângulo MNPQ inscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12cm e a altura inscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12cm e a altura relativa a esse lado mede 8cm. Seja x e z os comprimentos relativa a esse lado mede 8cm. Seja x e z os comprimentos de MN e MQ, respectivamente. de MN e MQ, respectivamente. C C B B A A M M NN P P Q Q a)

a) exprima a altura z do triângulo em função da base x.exprima a altura z do triângulo em função da base x. b)

b) calcule os valores de x e z para as quais a área docalcule os valores de x e z para as quais a área do retângulo é a maior possível.

retângulo é a maior possível. 31.

31. (UFF)(UFF) A figura abaixo representa um quadrado MNPQ deA figura abaixo representa um quadrado MNPQ de lado L. Sabendo-se que J e K são os pontos médios de OM e lado L. Sabendo-se que J e K são os pontos médios de OM e ON, se prolongarmos os segmentos QJ e PK de modo que se ON, se prolongarmos os segmentos QJ e PK de modo que se encontrem no ponto T, a medida do segmento RS será: encontrem no ponto T, a medida do segmento RS será: a) a) LL//44 dd) ) 44LL//33 b) b) LL//33 ee) ) 33LL//22 c) c) 2L/32L/3 M M NN P P Q Q R R SS T T L L 32.

32. (UFF)(UFF) Na figura abaixo, o vértice Q do retângulo PQRC foiNa figura abaixo, o vértice Q do retângulo PQRC foi obtido pela interseção do arco AM de centro em C e raio CA, obtido pela interseção do arco AM de centro em C e raio CA, com a hipotenusa BC do triângulo retângulo ABC. Sabendo com a hipotenusa BC do triângulo retângulo ABC. Sabendo que PQ mede 12cm e QR mede 9cm, determine as medidas que PQ mede 12cm e QR mede 9cm, determine as medidas dos lados do triângulo ABC.

dos lados do triângulo ABC. A A BB C C P P QQ R R MM 33.

33. (UFF)(UFF) Na figura abaixo, os segmentos de retaNa figura abaixo, os segmentos de reta  AB,BC,CD e DE

 AB,BC,CD e DE são tais quesão tais que AABB ⊥ ⊥ BBCC,,BBCC ⊥ ⊥ CCD D e e CCDD ⊥⊥DDEE

.. .. .. .. .. A A BB C C DD E E   As medidas

  As medidas  AB,BC,CD e DE AB,BC,CD e DE de são, respectivamente,de são, respectivamente, 3m, 4m, 1m e 4m. Determine a medida do segmento

3m, 4m, 1m e 4m. Determine a medida do segmento  AE AE .. 34.

34. (UNICAMP)(UNICAMP) Um observadorUm observador OO, na mediatriz de um, na mediatriz de um segmento AB e a uma distância

segmento AB e a uma distância dd de AB, vê esse segmentode AB, vê esse segmento sob um ângulo

sob um ângulo αααααααα. O observador afasta-se do segmento ao. O observador afasta-se do segmento ao longo da mediatriz até uma nova posição O’ de onde vê o longo da mediatriz até uma nova posição O’ de onde vê o segmento sob o ângulo

segmento sob o ânguloαααααααα/2/2. Expresse a distância x = OO’ em. Expresse a distância x = OO’ em termos de

termos deααααααααee dd.. 35.

35. (UFMG)(UFMG) Observe a figura:Observe a figura: A A BB C C D D P P Q Q R R S S

Nessa figura ABCD representa um quadrado de lado 11 e Nessa figura ABCD representa um quadrado de lado 11 e

AAPP = = AASS CCR= = R== CCQQ. O perímetro do quadrilátero PQRS é:. O perímetro do quadrilátero PQRS é: a) a) 1111 33 b) b) 2222 33 c) c) 1111 22 d) d) 2222 22 36.

36. (UFF)(UFF) Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF sãoNa figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são eqüiláteros. eqüiláteros.

.

.

.

.

EE B B C C DD FF Sabendo que

Sabendo que  AB,CD e BE AB,CD e BE medem, respectivamente, 6m,medem, respectivamente, 6m, 4m e 4m, calcule a medida de

(4)

37.

37.   A figura abaixo representa um quadrado ABCD e dois  A figura abaixo representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD. triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD.

38.

38. (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.(UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.

Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25

cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.cm e 52 cm. De acordo com a tabela,

De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valoro ângulo AÔP tem o seguinte valor:: a) a) 10º10º b) b) 12º12º c) c) 13º13º d) d) 14º14º 39.

39. (UERJ)(UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cmUm triângulo acutângulo ABC tem 4 cm22 de área ede área e

seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área. ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área. [Dica:

[Dica: use sen(2x) = 2use sen(2x) = 2⋅⋅sen(x)sen(x)⋅⋅cos(x)cos(x)]] 40.

40. Para combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duasPara combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duas escadas AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º, escadas AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º, conforme mostra a figura ao lado. Considere

conforme mostra a figura ao lado. Considere tgtg 77 17 17

α 

α == e e asas

distâncias

distâncias AC AC = = 17 17 e e BC BC = = 5m. 5m. Determine:Determine: a)

a) O comprimento CDO comprimento CD b)

b)  A altura CE do prédio. A altura CE do prédio.

41.

41. (UFF)(UFF) Na figura abaixo QRS é equilátero e está inscrito noNa figura abaixo QRS é equilátero e está inscrito no quadrado MNPQ, de lado L. Pode-se afirmar que o lado do quadrado MNPQ, de lado L. Pode-se afirmar que o lado do triângulo mede: triângulo mede: Q Q P P M M N N RR S S a) a)LL 22 22 b)b) LL 33 33 c)c) LL 66 22 d)d) LL

( (

22++ 66

))

e)e) LL

( (

66 −− 22

))

42.

42. (Vunesp-SP)(Vunesp-SP) Para calcular a distância entre duas árvoresPara calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos

situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A A ee BB,, um observador que se encontra junto a

um observador que se encontra junto a A A afasta-se 20m daafasta-se 20m da margem, na direção da reta AB, até o ponto

margem, na direção da reta AB, até o ponto CC e depoise depois caminha em linha reta até o ponto

caminha em linha reta até o ponto DD a 40m dea 40m de CC, do qual, do qual ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15º e 120º, DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15º e 120º, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação usou a aproximação 66 ≅≅ 22,, 44.. A A B B C C D D 43.

43. Um observador está em um ponto A do aterro do Flamengo eUm observador está em um ponto A do aterro do Flamengo e vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10º

vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10º com o planocom o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto B distante 650m de A e agora vê o seu objetivo até um ponto B distante 650m de A e agora vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 14º. Qual é a altura do Pão de Açúcar segundo um ângulo de 14º. Qual é a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação? (tg 14º = Pão de Açúcar em relação ao plano de observação? (tg 14º = 0,249, tg 10º = 0,176)

0,249, tg 10º = 0,176)

44.

44.   As diagonais de um trapézio retângulo medem  As diagonais de um trapézio retângulo medem respectivamente 9 cm e 12 cm. Calcule o perímetro do respectivamente 9 cm e 12 cm. Calcule o perímetro do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos médios dos quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos médios dos lados do trapézio.

lados do trapézio.

45.

45. Calcule o valor de x no trapézio abaixo.Calcule o valor de x no trapézio abaixo.

14 14 L L 2L 2L 2 2 46.

46. (CESGRANRIO)(CESGRANRIO) Assinale a alternativa que contêm aAssinale a alternativa que contêm a propriedade diferenciadora do quadrado em relação aos propriedade diferenciadora do quadrado em relação aos demais quadriláteros.

demais quadriláteros. a)

a) Todos os ângulos são retosTodos os ângulos são retos b)

b) Os lados são todos iguaisOs lados são todos iguais c)

c)  As diagonais são iguais e perpendiculares entre si. As diagonais são iguais e perpendiculares entre si. d)

d)  As diagonais se cortam ao meio. As diagonais se cortam ao meio. e)

(5)

47.

47. (UERJ)(UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais,Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus

então todos os seus ângulos internos são iguais.ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:

exemplo a figura denominada: a) a) losangolosango b) b) trapéziotrapézio c) c) retânguloretângulo d) d) quadradoquadrado 48.

48. Decida, em cada item, se as condições dadas são suficientesDecida, em cada item, se as condições dadas são suficientes para que ABCD seja um

para que ABCD seja um quadrilátero do tipo indicado.quadrilátero do tipo indicado. (a)

(a) Paralelogramo.Paralelogramo.

i.i. Dois pares de lados congruentes;Dois pares de lados congruentes; ii.

ii. Dois lados opostos congruentes e os outros paralelos;Dois lados opostos congruentes e os outros paralelos; iii.

iii. Dois ângulos adjacentes,Dois ângulos adjacentes, ˆˆ A e D A e D supleˆˆsuplementarmentares ees e AABB BBDD== ;; iv.

iv. Dois ângulos opostos iguais;Dois ângulos opostos iguais; v.

v. Todos os pares de ângulos adjacentes suplementares;Todos os pares de ângulos adjacentes suplementares; (b)

(b) RetânguloRetângulo

i.i. Dois ângulos retos;Dois ângulos retos; ii.

ii. Três ângulos congruentes;Três ângulos congruentes; (c)

(c) LosangoLosango

i.i. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio;Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio; ii.

ii. Três lados congruentes;Três lados congruentes; (d)

(d) QuadradoQuadrado

i.i. Três lados iguais e um ângulo reto;Três lados iguais e um ângulo reto; ii.

ii. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio;Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio; iii.

iii. Diagonais iguais e perpendiculares;Diagonais iguais e perpendiculares; iv.

iv. Diagonais iguais perpendiculares e cortando-se ao meio.Diagonais iguais perpendiculares e cortando-se ao meio. (e)

(e) Trapézio isóscelesTrapézio isósceles i.i. Diagonais iguais;Diagonais iguais; ii.

ii. Trapézio com diagonais iguais;Trapézio com diagonais iguais; 49.

49. Seja ABCD um trapézio retângulo tal que P é o ponto deSeja ABCD um trapézio retângulo tal que P é o ponto de encontro das diagonais. Determine a distância de P ao lado encontro das diagonais. Determine a distância de P ao lado perpendicular as bases, sabendo que as bases medem 3cm e perpendicular as bases, sabendo que as bases medem 3cm e 6cm.

6cm. 50.

50. Os pontos M, N, P, Q, R E S são médios dos lados AB, BC,Os pontos M, N, P, Q, R E S são médios dos lados AB, BC, CD, ... do hexágono regular ABCDEF. Se AB = 4 cm, ache o CD, ... do hexágono regular ABCDEF. Se AB = 4 cm, ache o raio do círculo inscrito no hexágono MNPQRS.

raio do círculo inscrito no hexágono MNPQRS.

S S R R Q Q P P N N M M F F E E DD C C B B A A 51.

51. (UERJ)(UERJ) Na figura abaixo, AB e AC são, respectivamente,Na figura abaixo, AB e AC são, respectivamente, lados do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na lados do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na circunferência de raio R. Com centro em A, traçam-se os circunferência de raio R. Com centro em A, traçam-se os arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a reta t arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a reta t em B’ e C’. em B’ e C’. C C B B C' C' AA B'B'

  A medida que está mais próxima do comprimento do   A medida que está mais próxima do comprimento do segmento B’C’ é:

segmento B’C’ é: a)

a) o perímetro do quadrado de lado o perímetro do quadrado de lado AC.AC. b)

b) o comprimento da semicircunferência de raio r.o comprimento da semicircunferência de raio r. c)

c) o dobro do diâmetro da circunferência de raio r.o dobro do diâmetro da circunferência de raio r. d)

d) o semiperímetro do triângulo equilátero de o semiperímetro do triângulo equilátero de lado AB.lado AB.

52.

52. (UFF)(UFF) A figura abaixo representa uma circunferência deA figura abaixo representa uma circunferência de centro O diâmetro PQ = centro O diâmetro PQ = 44 33 cm.cm. M M N N P P QQ O O

Se MN é o lado o hexágono regular inscrito na circunferência Se MN é o lado o hexágono regular inscrito na circunferência e MN é perpendicular a PQ, a medida do segmento PM, em cm é: e MN é perpendicular a PQ, a medida do segmento PM, em cm é: a) a) 22 33 22

( (

++ 33

))

b) b) 22 33 22

( (

−− 33

))

c) c) 33 1122

( (

−− 33

))

d) d) 33 1122

( (

++ 33

))

e) e) 22 1122

( (

++ 33

))

53.

53. (UFRRJ)(UFRRJ) ABCDEFGH é um polígono regular convexo.ABCDEFGH é um polígono regular convexo. Sabendo que PE é tangente ao círculo , qual a medida, em Sabendo que PE é tangente ao círculo , qual a medida, em graus, do ângulo graus, do ângulo αα?? a a A A BB C C D D E E F F G G H H P P 54.

54. (UFRJ)(UFRJ) Na figura a seguir:Na figura a seguir:

 AB é o lado de um octógono regular inscrito.  AB é o lado de um octógono regular inscrito.

t é tangente. t é tangente. Qual a medida de Qual a medida deαα?? O O A A B B tt 55.

55. (UFF)(UFF) A figura abaixo representa um triângulo equiláteroA figura abaixo representa um triângulo equilátero FHN de lado L e um hexágono regular . Sabendo que I é o FHN de lado L e um hexágono regular . Sabendo que I é o ponto médio do lado HN e pertence ao segmento GL, assinale ponto médio do lado HN e pertence ao segmento GL, assinale a alternativa que representa o perímetro do quadrilátero a alternativa que representa o perímetro do quadrilátero FGLM: FGLM: F F G G H H II J J KK L L M M N N a) a) 7L7L b) b) 6L6L c) c) 5L5L d) d) 4L4L e) e) 3L3L

(6)

56.

56. (UFF)(UFF) A figu A figura abaixo ra abaixo representa representa o quadrado o quadrado MNPQ MNPQ de ladode lado

== 4cm4cm. . Sabendo Sabendo que que os os retângulos retângulos NXYZ NXYZ e e JKLQ JKLQ sãosão

congruentes,

congruentes, o o valor valor da da medida medida do do segmento segmento YK YK é:é: (A) (A) 33 22 cmcm (D)(D) 2cm2cm (B) (B) 22 33ccmm (E)(E) 22 22ccmm (C) (C) 22 22 cmcm 2 cm 2 cm 1 cm1 cm A A== 4 c4 cmm M M Z Z YY X X L L K  K  JJ P P Q Q 57.

57. (UFF)(UFF) A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoadaA máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoada durante a Revolução Industrial, constituindo fator durante a Revolução Industrial, constituindo fator fundamental para o progresso da indústria e dos meios de fundamental para o progresso da indústria e dos meios de transporte. Posteriormente, surgiram máquinas com motores transporte. Posteriormente, surgiram máquinas com motores de combustão interna que utilizam o mecanismo chamado de combustão interna que utilizam o mecanismo chamado  “biela-manivela” – tal mecanismo transforma o movimento de  “biela-manivela” – tal mecanismo transforma o movimento de rotação de uma polia em movimento de translação de um rotação de uma polia em movimento de translação de um pistão (vaivém) ou vice-versa. Observe as duas configurações pistão (vaivém) ou vice-versa. Observe as duas configurações distintas desse mecanismo representadas a seguir. Sabendo distintas desse mecanismo representadas a seguir. Sabendo que OQ

que OQ11 = OQ= OQ22 = r e Q= r e Q11PP11 = Q= Q22PP22, onde r é o raio da polia,, onde r é o raio da polia,

determine em (II), a distância entre P1 e P2 em determine em (II), a distância entre P1 e P2 em função de r função de r.. Q Q P P 1 1 Polia Polia ( I ) ( I ) 60º 60º Pistao Pistao Q Q QQ P P11 Polia Polia ( II ) ( II ) 60º 60º Pistao Pistao 58.

58. (UFF)(UFF) Duas Duas réguas réguas de de madeira,madeira, MMNN ee PPQQ, com, com 8 8 cmcm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, formando o retângulo

formando o retângulo MNQPMNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa a(fig. 1). Mantendo-se fixa a régua

régua MNMN e girando-see girando-se 180180°°°°°°°°a régua régua a PQ PQ em torem torno do no do seuseu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos

ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-sefios, obtêm-se dois

dois triângulos triângulos congruentescongruentes MNOMNO ee QPOQPO (fig. 2).(fig. 2).

 A distância, em

 A distância, em cmcm, entre as duas réguas, nesta nova, entre as duas réguas, nesta nova posição é:

posição é: (A)

(A) 10 10 (C)(C) 55 22 (E) 6(E) 6

(B)

(B) 55 33 (D) 5(D) 5

59.

59. (UERJ)(UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cmUm triângulo acutângulo ABC tem 4 cm22 de área ede área e

seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm. Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área. ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área. 60.

60. (UERJ)(UERJ) O decágono da figura abaixo foi dividido em 9O decágono da figura abaixo foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos. Sendo T

quadrado, e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cadaa área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a:

que a área do decágono é equivalente a: (A) 14 T + 3 Q (A) 14 T + 3 Q (B) 14 T + 2 Q (B) 14 T + 2 Q (C) 18 T + 3 Q (C) 18 T + 3 Q (D) 18 T + 2 Q (D) 18 T + 2 Q 61.

61. (ITA-SP)(ITA-SP) A diagonal menor de um paralelogramo divide um A diagonal menor de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros

dos ângulos internos em dois outros αα e e 22αα. Determine a. Determine a razão entre o lado menor e o maior do paralelogramo.

razão entre o lado menor e o maior do paralelogramo. 62.

62. Os postes de energia variam de altura de acordo com aOs postes de energia variam de altura de acordo com a quantidade e espessura dos cabos de transporte de energia. quantidade e espessura dos cabos de transporte de energia. Este ano, nas prévias da eleição, a prefeitura do Rio em Este ano, nas prévias da eleição, a prefeitura do Rio em acordo com a Light, empresa que distribui energia para acordo com a Light, empresa que distribui energia para cidade, adequou 25% dos postes da zona leste. Em uma cidade, adequou 25% dos postes da zona leste. Em uma pesquisa prévia feita pela Light, um de seus funcionários pesquisa prévia feita pela Light, um de seus funcionários verificou que certa rua necessitava de uma mudança de verificou que certa rua necessitava de uma mudança de postes, mas esta era toda arborizada. Na esperança de poder postes, mas esta era toda arborizada. Na esperança de poder fazer a troca dos postes, sem a poda fora do tempo, o fazer a troca dos postes, sem a poda fora do tempo, o funcionário fez as seguintes medidas para estimar a altura do funcionário fez as seguintes medidas para estimar a altura do maior poste possível. Distante 6 metros do mais baixo galho maior poste possível. Distante 6 metros do mais baixo galho de todas as árvores mediu o ângulo de 22º 30’com o chão. de todas as árvores mediu o ângulo de 22º 30’com o chão. Determine a maior altura de um poste para que não toque o Determine a maior altura de um poste para que não toque o ga

galhlho mo maiais bs baiaixo xo da da árárvovorere. C. Cononsisidederere 22 11 41== ,, ..41 Dica use:

Dica use: tgtg xx 1 c1 cooss xx 22 11 ccooss xx    −− = = ±±    + +    63.

63. Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela noUm corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela no sentido AX. Um corredor B não está em r e, correndo em sentido AX. Um corredor B não está em r e, correndo em linha reta, pretende alcançar A (Figura). Considere linha reta, pretende alcançar A (Figura). Considere BAX = 110º, velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de B BAX = 110º, velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de B igual a 9 m/s. Determine o ângulo que a trajetória de B deve igual a 9 m/s. Determine o ângulo que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que o encontro seja

fazer com a reta BA para que o encontro seja possível.possível.

64.

64. (Unb-DF)(Unb-DF) Os lOs ladoados de s de um rum retâetângungulo mlo medeedem 25m 25m e m e 2525 33 m.m. Os ângulos formados pela interseção das diagonais são: Os ângulos formados pela interseção das diagonais são: a) a) 120º e 60º120º e 60º b) b) 150º e 30º150º e 30º c) c) 90º e 90º90º e 90º d) d) 100º e 80º100º e 80º e) e) 110º e 70º110º e 70º

(7)

65.

65. (Cefet-PR)(Cefet-PR) Se na figura abaixo AB mede Se na figura abaixo AB mede 9 cm, o segmento9 cm, o segmento DF mede, em cm:

DF mede, em cm:

aa) ) 55 bb) ) 44 cc) ) 88 dd) ) 77 ee) ) 66 66.

66. (UFPB)(UFPB) O ângulo, sob o qual um observador vê o topo deO ângulo, sob o qual um observador vê o topo de um prédio de 88 m de altura, duplica quando esse

um prédio de 88 m de altura, duplica quando esse observadorobservador se aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se se aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se aproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o aproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o observador e o prédio é:

observador e o prédio é:

aa) ) 550 0 mm bb) ) 222 2 mm cc) ) 11776 6 mm dd) ) 116 6 mm ee) ) 118 8 mm 67.

67. (UFMT)(UFMT) Para determinar a altura de um morro, umPara determinar a altura de um morro, um topógrafo adotou o seguinte procedimento:

topógrafo adotou o seguinte procedimento:

• Escolheu dois pontos A e B, situados no mesmo plano vertical • Escolheu dois pontos A e B, situados no mesmo plano vertical que passa por C;

que passa por C;

• Mediu a distância AB encontrando 162 m; • Mediu a distância AB encontrando 162 m;

• Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos

• Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos αα  ββ  eeγ γ ,, encontrando, respectivamente, 60º, 90º e 30º.

encontrando, respectivamente, 60º, 90º e 30º.

 A figura ilustra o procedimento descrito. Qual altura do morro (h),  A figura ilustra o procedimento descrito. Qual altura do morro (h),

em metros, encontrada pelo topógrafo? em metros, encontrada pelo topógrafo?

68.

68. (UFRJ)(UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, doOs ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.

ponteiros quando o relógio marca 4 horas. 69.

69. (UFRJ)(UFRJ) O retânguloO retângulo ABCD  ABCD está inscrito no retânguloestá inscrito no retângulo WXYZ WXYZ ,, como mostra a figura. Sabendo que AB = 2 e AD = 1, como mostra a figura. Sabendo que AB = 2 e AD = 1, determine o ângulo

determine o ângulo θθpara que a área depara que a área de WXYZ WXYZ seja aseja a

maior possível. maior possível.

70.

70. (FEI-SP)(FEI-SP) Na figura abaixo o raio da circunferência maior é oNa figura abaixo o raio da circunferência maior é o triplo do raio da menor. A reta s é tangente às duas triplo do raio da menor. A reta s é tangente às duas circunferências. A reta t é tangente às duas circunferências, circunferências. A reta t é tangente às duas circunferências, no mesmo ponto.

no mesmo ponto. Quanto vale Quanto vale coscos

22 α  α          ?? a) a) 11 33 b)b) 11 22 c)c) 22 22 d)d) 33 22 e)e) 22 33 71.

71. (UFRRJ)(UFRRJ) Na figura abaixo, sabendo-se que os ângulos  e ÊNa figura abaixo, sabendo-se que os ângulos  e Ê são ângulos retos, a área do quadrilátero ACED vale:

são ângulos retos, a área do quadrilátero ACED vale:

a) a) 25,2 cm25,2 cm22 b) b) 30,5 cm30,5 cm22 c) c) 40,5 cm40,5 cm22 d) d) 52,5 cm52,5 cm22 e) e) 65,5 cm65,5 cm22 72.

72. (UFRRJ)(UFRRJ) Sendo S1 e S2 as áreas das figuras I e II,Sendo S1 e S2 as áreas das figuras I e II, respectivamente, podemos afirmar que:

respectivamente, podemos afirmar que:

a) a) S S = S11 = S22 b) b) S S =11 = SS33 22 44 c) c) S S = 11 = 33SS22 d) d) S S = 11 = 2 2 SS22 e) e) S S =11 = SS44 22 33 73.

73. (UERJ)(UERJ) Observe o paralelogramo ABCD.Observe o paralelogramo ABCD. a) Calcule

a) Calcule AC AC22++BDBD22 em em função função de de  AB AB==aa e e BCBC==b.b.

b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos ABM e MBC . b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos ABM e MBC .

(8)

74.

74. (UFF 04)(UFF 04) A figura a seguir esquematiza uma situação obtidaA figura a seguir esquematiza uma situação obtida por meio de um sistema de captação e tratamento de por meio de um sistema de captação e tratamento de imagens, durante uma partida de vôlei.

imagens, durante uma partida de vôlei.

Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30º, em estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30º, em relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) dde e ccaadda a jjooggaaddoor r aatté é o o sosollo o é é iigguuaal l a a 22,,0 0 m m PPM

ee

M QN= = QN==22 00,, mm

jj

queque a d

a disistâtâncncia ia enentrtre oe os js jogogadadorores es é ié igugual al a 1a 1,5 ,5 mm MN

ee

MN==11 55,, mm

jj

ee que

que coscosα α == 33

44 . A distância (h) da bola (representada pelo ponto. A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até o chão (h = RT) é: R) até o chão (h = RT) é: a) a) 2,5 m2,5 m b) b) 3,0 m3,0 m c) c) 3,7 m3,7 m d) d) 4,5 m4,5 m e) e) 5,2 m5,2 m 75.

75. (UENF-02)(UENF-02) A extremidade A de uma planta aquáticaA extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a supe

a superfícirfície da e da água água no pono ponto Bnto B, sit, situado uado a a 1010 3 3 cm do lcm do localocal em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento da planta.

da planta.

Determine: Determine:

(A)

(A) a profundidade do lago no ponto O em que se encontraa profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta;

a raiz da planta; (B)

(B) o comprimento, em cm, do arcoo comprimento, em cm, do arco     AABB ..

76.

76. (UFF 02)(UFF 02) Uma folha de papel quadrada tem 2 dm de ladoUma folha de papel quadrada tem 2 dm de lado (figura I). Dobram-se os lados AB e AD da folha, fazendo-os (figura I). Dobram-se os lados AB e AD da folha, fazendo-os coincidir com o segmento AG sobre a diagonal AC, coincidir com o segmento AG sobre a diagonal AC, formando-se o triângulo AEF (figura II).

formando-se o triângulo AEF (figura II).

a)

a) Determine a medida de EF.Determine a medida de EF. b)

b) Calcule tg(FÂC).Calcule tg(FÂC).

77.

77. (UFRJ 1998-2)(UFRJ 1998-2) Um arquiteto projetou um salãoUm arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir:

conforme mostra a figura a seguir:

 A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente  A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II.

II. Calcule a distância entre os pontos A e B.Calcule a distância entre os pontos A e B. 78.

78. (UFF 03)(UFF 03) As manifestações da Geometria na natureza vêmAs manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nas intrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, que pode ser obtida por meio da seguinte construção que pode ser obtida por meio da seguinte construção geométrica:

geométrica:

No quadrado PQRS representado na figura abaixo, No quadrado PQRS representado na figura abaixo, considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento de PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e

de PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre essesa razão entre esses lados

lados PTPT QP QP

F F 

H H GG

I I 

K K J J 

é a razão áurea. O valor desta razão é:é a razão áurea. O valor desta razão é:

a) a) 55 11++ b) b) 55 11 22 + + c) c) 55 11 22 − − d) d) 55 22++ e) e) 55 33++ 79.

79. (UFF-01)(UFF-01) Unindo-se os pontos médios dos lados de umUnindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular de perímetro P, obtém-se um outro hexágono regular de perímetro P, obtém-se um outro hexágono regular de perímetro p. A razão P/ p é igual a: hexágono regular de perímetro p. A razão P/ p é igual a: a) a) 33 b) b) 11 22 c) c) 22 33 33 d) d) 33 22 e) e) 11

(9)

80.

80. (UFF 01)(UFF 01) Um pedaço de papel tem a forma do triânguloUm pedaço de papel tem a forma do triângulo eqüilátero PQR, com 7 cm de lado, sendo M o ponto médio do eqüilátero PQR, com 7 cm de lado, sendo M o ponto médio do lado PR :

lado PR :

Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam, Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam, conforme ilustrado a seguir.

conforme ilustrado a seguir.

O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a: O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a: a) a) 99 b) b) 17,517,5 c) c) 24,524,5 d) d) 2828 e) e) 4949 81.

81. (UFRJ 05)(UFRJ 05) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linhaUma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

Determine o menor número de voltas completas para a roda Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

percorrer uma distância maior que 10 m. 82.

82. (UFRJ-02)(UFRJ-02) O objetivo desta questão é que você demonstreO objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o triângulo da figura abaixo,

triângulo da figura abaixo, mostre mostre queque 22 22 22 aa = + = + − bb cc − ⋅⋅22bbc cc coossθ  θ  ,, A A BB C C a a b b c c θ θ θ θ θ θ θ θ 83.

83. (UER 03/2q)(UER 03/2q) José deseja construir, com tijolos, um muro deJosé deseja construir, com tijolos, um muro de   jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como   jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como

mostra a figura abaixo. mostra a figura abaixo.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando

mede 30 cm de comprimento. Considerando ππ = 3, o número de= 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:

tijolos necessários para fazer a espiral é: (A) 100 (A) 100 (B) 110 (B) 110 (C) 120 (C) 120 (D) 130 (D) 130 84.

84. (UERJ 03/2q)(UERJ 03/2q) Um barco navega na direção AB, próximo aUm barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.

um farol P, conforme a figura abaixo.

(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Matemática e Vida. São Paulo: Ática, (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Matemática e Vida. São Paulo: Ática, 1990.)

1990.)

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB. embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB.  Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador  Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60º com a mesma direção AB.

de 60º com a mesma direção AB.

Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:

embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: a) a) 500500 b) b) 550000 33 c) c) 10001000 d) d) 11000000 33 85. 85. (UERJ 01)(UERJ 01)

  A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triângulos   A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2 eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do

cm, calcule o lado do quadrado ABCD.quadrado ABCD. 86.

86. (UERJ 04)(UERJ 04) Considere o ângulo segundo o qual umConsidere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema abaixo.

100 m, como mostra o esquema abaixo.

 A altura da torre, em metros, equivale a:  A altura da torre, em metros, equivale a:

(A) 96 (A) 96 (B) 98 (B) 98 (C) 100 (C) 100 (D) 102 (D) 102

(10)

1. Áreas

1. Áreas

1.1 Quadriláteros 1.1 Quadriláteros Quadrados Quadrados L L L L  Área: L  Área: L22 Retângulos Retângulos Altura (h) Altura (h) Base (B) Base (B)  Área: B  Área: B⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅hh Paralelogramos Paralelogramos

=

=

b b h h Altura (h) Altura (h) Base (b) Base (b)

 Área é igual a área do retângulo.

 Área é igual a área do retângulo. ∴∴∴∴∴∴∴∴ Área: B Área: B⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅hh Trapézios Trapézios xx 1 1 2 2 h h hh b b B B B B b b Base (B) Base (B) Base (b) Base (b)

=

=

 Área é igual

 Área é igual a área do paralelogramo.a área do paralelogramo. ∴∴∴∴∴∴∴∴ Área: B Área: B⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅hh Losangos Losangos D D 2 2 D D 2 2 = = = = d d d d d d D D  Área:  Área: DD dd 22 ⋅⋅ 1.2 Triláteros 1.2 Triláteros Triângulos Triângulos xx 1 1 2 2

=

=

 Área é igual a metade da área de um

 Área é igual a metade da área de um paralelograparalelogramo.mo.  Área:  Área: bb hh 22 ⋅⋅ 1.2.2 Fórmula trigonométrica 1.2.2 Fórmula trigonométrica c c bb C C B B A A h

h hh cc..sseennBB== ˆˆ Área:Área: aa cc sseennBBˆˆ 22 ⋅ ⋅ ⋅⋅ 1.2.2 Triângulos Particulares 1.2.2 Triângulos Particulares Triângulos Retângulos Triângulos Retângulos b b c c a a h h C C B B A A A A BB C C c c b b aa Área: a Área: a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅hh Árreeaa:Á :bb⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅cc Triângulos Equiláteros Triângulos Equiláteros = = LL 33 h h 2 2 LL 2 2 L L h h L L L L LL h h  Área:  Área: LL 3322 44 1.3 Triângulos Inscritos 1.3 Triângulos Inscritos h haa c c b b a a O O E E D D C C B B A A aa  ABC  ABC aa aa AABBCC aa hh  A  A 22 hh bb CCoommo Ao ADDCC ~~ AABBE,E, cc 2R 2R  bb cc aa bb cc hh . . LLooggo o AA 22RR 44RR    ⋅⋅ = = ∆ ∆ ∆∆ ⇒⇒ == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⇒ ⇒ = = ==  ABC  ABC aa bb cc  A  A 4R  4R  ⋅ ⋅ ⋅⋅ = = 1.4 Triângulos Circunscritos 1.4 Triângulos Circunscritos b b c c a a CC B B A A r  r  r  r  r  r  O O

AABBCC BBOOCC AAOOCC AAOOBB  ABC  ABC  ABC  ABC AA AA AA AA aa rr bb rr cc rr ((aa bb cc)) rr  A  A 22 22 22 22 ((aa bb cc)) CCoommo o pp== AA pp rr 22 = = + + ++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅⋅ = + + = = + + = + + ++ ∴ ∴ = = ⋅⋅ 1.5 Fórmula de Heron 1.5 Fórmula de Heron ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) AA== pp pp a p b p−−a p b p cc−− −−

(11)

1.6 Polígonos Regulares Convexos 1.6 Polígonos Regulares Convexos

L L L L LL L L L L L L a a  Área = p  Área = p⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅aa  Aplicações:

 Aplicações: A fórmula da área dos polígonos regulares convexos A fórmula da área dos polígonos regulares convexos S = p

S = p⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a,a, tem três aplicações:tem três aplicações: (i)

(i) Cálculo da área em função do lado;Cálculo da área em função do lado; (ii)

(ii) Cálculo da área em função do raio;Cálculo da área em função do raio; (iii)

(iii) Cálculo da área em função do apótema;Cálculo da área em função do apótema; Ex

Ex11. No caso do hexágono regular, p=3L e. No caso do hexágono regular, p=3L e aa RR 33

22 = = ∴∴ 22 3L 3L 33 SS 22 = = Ex

Ex22. No caso do . No caso do decágono regular, temos:decágono regular, temos:

( (

))

22 R R 55 11 pp 55LL 55 22 R R 1100 22 55 55RR 1100 22 55 aa SS 44 44 − − = = = = ⋅⋅ + + −− = = ∴ ∴ ==

1.6.1 Expressão trigonométrica da área dos polígonos 1.6.1 Expressão trigonométrica da área dos polígonos regulares regulares Temos a fórmula: Temos a fórmula: S = p S = p⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅aa

Supondo n o número de lados do polígono, sabemos que Supondo n o número de lados do polígono, sabemos que (ver 7.3) (ver 7.3) nn 180180 LL 22RR sseenn nn = = ⋅⋅ donde, donde,

( (

180180

))

nn 22RR sseenn 22 180180 pp nnRR sseenn 22 nn ⋅ ⋅ ⋅⋅ = = = = ⋅⋅ e, e, nn 180180 aa RR ccooss nn = =

Substituindo (2) e (3) em (1), temos para um polígono Substituindo (2) e (3) em (1), temos para um polígono regular de n lados , a fórmula geral:

regular de n lados , a fórmula geral: 22 nn 118800 118800 SS nn RR sseenn ccooss nn nn      = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅       1.7 Círculos 1.7 Círculos C C 1 1 r  r  O O  Área:  Área: π  π  rr22 Setor Circular Setor Circular C C 1 1 r  r  a a  Área:

 Área: rr22 rr rr rr ( ( em grausem graus)) 336600 118800 22 22 α α α α  α  α  π π π  π   ⋅⋅ = = ⋅ ⋅ ==  Segmento Circular Segmento Circular C C 1 1 r  r  h h a a

 Área: Área do setor – Área do triângulo isósceles  Área: Área do setor – Área do triângulo isósceles

( (

))

rr hh rr rr hh SS 22 22 22 − − ⋅ ⋅ ⋅⋅ = = − − ==    

Expressão trigonométrica da área do segmento Expressão trigonométrica da área do segmento

( ( )) rr r sr seenn CCoommo o hh rr sseenn SS 22 α  α  α  α  − − ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⇒⇒ ==  Coroa Circular Coroa Circular C C 2 2 CC11  Área:  Área:

((

))

22 22 R R rr 22 π   π   −− Trapézio circular Trapézio circular C C22 CC11 r  r   Área:  Área:

((

))

( ( )) 22 22 R R rr em graus em graus 360 360 α  α  α  α  π   π   °°

1.8 Relação entre as áreas de polígonos semelhantes 1.8 Relação entre as áreas de polígonos semelhantes

A A B B C C D D E E A' A' B' B' C' C' D' D' E' E'

  As áreas de duas figuras planas semelhantes são   As áreas de duas figuras planas semelhantes são proporcionais ao quadrado da ração de

proporcionais ao quadrado da ração de semelhança.semelhança. 22

SS rr SS '' ==

O resultado vale para quaisquer figuras planas O resultado vale para quaisquer figuras planas semelhantes, todavia vamos demonstrar aqui somente o caso semelhantes, todavia vamos demonstrar aqui somente o caso particular referente aos polígonos semelhantes.

particular referente aos polígonos semelhantes.

Dem.: Observemos inicialmente que todo polígono pode ser Dem.: Observemos inicialmente que todo polígono pode ser decomposto em triângulos. Portanto, basta demonstrarmos o decomposto em triângulos. Portanto, basta demonstrarmos o resultado somente para triângulos.

resultado somente para triângulos. Seja

Seja rr aa bb cc hh aa '' bb '' cc '' hh'' = = = = = = = =

Pela fórmula da área do triângulo a razão entre as áreas Pela fórmula da área do triângulo a razão entre as áreas S e S’ é dada por: S e S’ é dada por: 22 bb hh SS 22 bb hh bb hh rr b ' h ' b ' h ' SS '' bb '' hh'' bb '' hh '' 22 ⋅⋅ ⋅⋅ = = == == ⋅⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ Portanto, Portanto, SS ==rr22.. (1) (1) (2) (2)

(12)

1.8.1 O Teorema de Pitágoras 1.8.1 O Teorema de Pitágoras

  A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de   A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é equivalente a soma das áreas dos um triângulo retângulo é equivalente a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

quadrados construídos sobre os catetos.

S S 1 1 2 2 3 3 S S S S a a b b cc 11 22 33 SS = = SS ++SS Generalização.

Generalização. Se, sobre os lados do um triângulo retânguloSe, sobre os lados do um triângulo retângulo constroem-se figuras semelhantes, a área figura construída sobre constroem-se figuras semelhantes, a área figura construída sobre a hipotenusa é equivalente a soma das áreas das outras duas a hipotenusa é equivalente a soma das áreas das outras duas figuras. figuras. S S 1 1 2 2 3 3 S S S S a a b b cc

Dem.: De acordo com as relações entre as áreas, temos: Dem.: De acordo com as relações entre as áreas, temos:

22 22 33 22 22 22 11 11 SS SS bb cc SS = = aa SS == aa Somando, membro a membro, temos: Somando, membro a membro, temos:

22 22 22 33 22 11 22 22 22 22 22 22 22 33 22 22 11 11 22 33 SS SS bb cc SS aa SS SS bb cc aa ccoommoo aa bb cc 11 SS aa aa SS SS SS + + ++ = = + + ++ = = ++ ⇒⇒ = = = = == ∴ ∴ = = ++ Exemplo Resolvido Exemplo Resolvido

Construindo-se semicircunferências sobre os lados de Construindo-se semicircunferências sobre os lados de um triângulo retângulo, a soma das áreas de duas lúnulas é igual um triângulo retângulo, a soma das áreas de duas lúnulas é igual a área do triângulo.

a área do triângulo.

Pelo que acabamos de ver

Pelo que acabamos de ver SS11= = SS22++SS33. Denotemos por. Denotemos por SSTTa área do triângulo.a área do triângulo.

 Vamos dar um a demonstração visual:  Vamos dar um a demonstração visual:

2 2 3 3 S S S S S STT L L L L 1 1 2 2 ( ( SS22+ + SS33))++SSTT ( ( 22 33)) tt 11 11 tt 11 S S S S SS SS SS SS SS + + + + − =− = + + − − == Exercícios Exercícios 1.

1. (PUC)(PUC) Se E é o ponto médio do lado AB do quadrado ABCDSe E é o ponto médio do lado AB do quadrado ABCD da figura abaixo, e se AB = 12, então a

da figura abaixo, e se AB = 12, então a área do triângulo BDEárea do triângulo BDE vale: vale: A A EE BB C C D D a) a) 3300 bb) ) 3322 cc) ) 3344 dd) ) 3366 ee) ) 3388 2.

2. (UNI-RIO)(UNI-RIO) Uma fábrica quer imprimir o seu logotipo emUma fábrica quer imprimir o seu logotipo em todas as folhas de papel que usa, conforme o modelo abaixo, todas as folhas de papel que usa, conforme o modelo abaixo, no qual as medidas estão expressas em centímetros. A área no qual as medidas estão expressas em centímetros. A área do papel ocupada pelo logotipo será

do papel ocupada pelo logotipo será de:de:

4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 2 2 1 1 a) a) 15 cm15 cm22 d) d) 18 18 cmcm22 b) b) 16 cm16 cm22 e) e) 19 19 cmcm22 c) c) 17 cm17 cm22 3.

3. (UNI-RIO)(UNI-RIO) Uma placa de cerâmica com uma decoraçãoUma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura acima, é usada apara simétrica, cujo desenho está na figura acima, é usada apara revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 cm de lado, a área

é um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachuradada região hachurada é: é: 5cm 5cm a) a) 990000 112255 π  π   b) b) 990000 44( ( −−π  π  )) c) c) 550000π  π  990000 d) d) 550000π  π  222255 e) e) 222255 44( ( −−π  π  )) 4.

4. (UNIFICADO)(UNIFICADO) ABCD é um paralelogramo e M é o pontoABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelogramo médio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelogramo em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas de I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a:

de I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a: a) a) 10, 8, 4 e 2.10, 8, 4 e 2. b) b) 10, 9, 3 e 2.10, 9, 3 e 2. c) c) 12, 6, 4 e 2.12, 6, 4 e 2. d) d) 16, 4, 3 e 1.16, 4, 3 e 1. e) e) 17, 4, 2 e 1.17, 4, 2 e 1. II II II III III IV IV C C D D

(13)

5.

5. (UFF)(UFF) Considere uma folha de papel em forma de retânguloConsidere uma folha de papel em forma de retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, sucessivamente, 2 RSTU, como na figura 1. São feitas, sucessivamente, 2 dobrasdobras nessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caia nessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT, de acordo com a figura 2. A Segunda é médios de RS e UT, de acordo com a figura 2. A Segunda é feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento MN, conforme figura 3. MN, conforme figura 3. 2ª 2ª dobra dobra 1ª 1ª dobra dobra Q Q M M U U TT R R P P P P M M S S U U TT R R U U TT S S R R 12cm12cm 30cm 30cm N N NN

 A área do triângulo MPQ é:  A área do triângulo MPQ é: a) a) 1818 22 cmcm22 b)b) 30 cm30 cm22 c) c) 45 cm45 cm22 d) d) 3366 2 2 ccmm22 e) e) 4545 33 cmcm22 6.

6. (UERJ 03)(UERJ 03) Uma folha de papel retangular, como a da figuraUma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8cm x 14cm, é dobrada como indicado na 1, de dimensões 8cm x 14cm, é dobrada como indicado na figura 2.

figura 2.

Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm

em cm22, é igual a:, é igual a:

((AA) ) 111122 ((BB) ) 8888 ((CC) ) 6644 ((DD) ) 2244 7.

7. (CESGRANRIO)(CESGRANRIO) A reta EF, inclinada 30º relativamente aoA reta EF, inclinada 30º relativamente ao lado DC, divide o quadrado ABCD da figura em dois trapézios lado DC, divide o quadrado ABCD da figura em dois trapézios de mesma área. de mesma área. 30º 30º A A BB C C D D E E F F Então a razão Então a razão DEDE  AE

 AEé igual a :é igual a : a) a) 33 33 66 − − b) b) 22 33 22 − − c) c) 33 22 33 33 − − d) d) 22 33 22 − − e) e) 33 66 8.

8. (UFRJ)(UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado duas vezesUm pedaço de papel quadrado é dobrado duas vezes de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemos diagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assinalados na figura.

os quatro ângulos assinalados na figura.

a a bb c c d d a)

a) Determine as medidas dos ângulosDetermine as medidas dos ângulos aa,, bb,, cc, e, e dd.. b)

b) Calcule a razão entre a área sombreada e a área doCalcule a razão entre a área sombreada e a área do quadrado.

quadrado. 9.

9. (PUC)(PUC) Um pentágono é formado de um quadrado e de umUm pentágono é formado de um quadrado e de um triângulo isósceles de base coincidente com um lado do triângulo isósceles de base coincidente com um lado do quadrado. Sabendo que o perímetro do pentágono é 140dm e quadrado. Sabendo que o perímetro do pentágono é 140dm e o lado do triângulo é 5/6 do lado do quadrado calcule a área o lado do triângulo é 5/6 do lado do quadrado calcule a área do pentágono.

do pentágono. 10.

10. (UERJ)(UERJ) Observe a figura abaixo (ABCD), que sugere umObserve a figura abaixo (ABCD), que sugere um quadrado de lado

quadrado de lado aa, onde M e N são respectivamente os, onde M e N são respectivamente os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos segmentos AM e BN. Utilizando os dados resolva os itens a e segmentos AM e BN. Utilizando os dados resolva os itens a e b. b. a a A A BB D D N N M M F F C C a)

a) Demonstra que o ângulo AFN é reto.Demonstra que o ângulo AFN é reto. b)

b) Calcule a área do triângulo AFN em função deCalcule a área do triângulo AFN em função de aa.. 11.

11. (PUC)(PUC) Os pontos A, B, C, D, E, E dividem em seis partesOs pontos A, B, C, D, E, E dividem em seis partes iguais o círculo de raio R. Determine a área achurada.

iguais o círculo de raio R. Determine a área achurada. A A B B C C D D E E F F 12.

12. (FUVEST)(FUVEST) Na figura são dados: AB = BC = CD = DE = 1 eNa figura são dados: AB = BC = CD = DE = 1 e EF = FG = 2. Calcule a área hachurada.

EF = FG = 2. Calcule a área hachurada.

A A B B C C D D EE FF GG 13.

13. (UFRJ)(UFRJ) A figura ao lado mostra dois arcos de circunferênciaA figura ao lado mostra dois arcos de circunferência de centro O, raio

de centro O, raios R e 2R, e três ângus R e 2R, e três ângulos los iguais. Calcule aiguais. Calcule a razão entre as áreas das regiões hachuradas e não razão entre as áreas das regiões hachuradas e não hachuradas.

(14)

14.

14. (PUC)(PUC) Calcule a área da região limitada pela circunferênciaCalcule a área da região limitada pela circunferência de raio r e pelas tangentes à circunferência.

de raio r e pelas tangentes à circunferência.

60º 60º P P B B A A O O 15.

15. (ASSOCIADO)(ASSOCIADO) Na figura abaixo, os três círculos têm raio 1 eNa figura abaixo, os três círculos têm raio 1 e são tangentes dois a dois. Calcule a área delimitada pelos são tangentes dois a dois. Calcule a área delimitada pelos arcos AB, BC e CA.

arcos AB, BC e CA.

A A B B C C 16.

16. (UENF)(UENF) Considere o teorema de Pitágoras: em todo triânguloConsidere o teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo , a soma dos quadrados das medidas dos catetos é retângulo , a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Observe a figura igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Observe a figura abaixo, onde as indicações com os traços determinam os abaixo, onde as indicações com os traços determinam os lados que têm as mesmas medidas:

lados que têm as mesmas medidas:

T T11 T T22 T T33

Baseando-se no teorema de Pitágoras, demonstre que a soma das Baseando-se no teorema de Pitágoras, demonstre que a soma das áreas dos triângulos T

áreas dos triângulos T11e Te T22é igual a área do triângulo Té igual a área do triângulo T33..

17.

17. (UFRJ)(UFRJ) O retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdivididoO retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdividido em 100 quadrados elementares iguais.

em 100 quadrados elementares iguais.

Determine a área sombreada correspondente as letras da sigla Determine a área sombreada correspondente as letras da sigla UFRJ se:

UFRJ se: a)

a) a área da letra U é a unidade de área.a área da letra U é a unidade de área. b)

b)  A área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área. A área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área. 18.

18. (UFRJ)(UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir deNo círculo abaixo, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC = CD = DE = EB. Determine S semicircunferências e AC = CD = DE = EB. Determine S11 /S /S22,,

a razão entre as áreas hachuradas. a razão entre as áreas hachuradas.

A A CC D D EE BB S S 1 1 S S22 19.

19. (UFF)(UFF)  A figura representa uma circunferência de raio 2cm.  A figura representa uma circunferência de raio 2cm. Sabendo que os segmentos congruentes PM e QN são Sabendo que os segmentos congruentes PM e QN são perpendiculares ao diâmetro AB e que a medida de OM perpendiculares ao diâmetro AB e que a medida de OM é 1cmé 1cm determine a área da região

determine a área da região assinalada.assinalada.

M M NN OO A A BB P P QQ 20. 20. (UFRJ)(UFRJ) 2 2 22 45º 45º 4cm 4cm 13cm 13cm cm cm

Calcule a área e a altura do trapézio representado acima. Calcule a área e a altura do trapézio representado acima. (UFRJ 03)

(UFRJ 03) Na figura abaixo, os círculosNa figura abaixo, os círculos C C 1,1, C C 2 2 ee C C 3 estão3 estão inscritos nos quadrados

inscritos nos quadrados ABCD  ABCD ,, DEFG DEFG ee GHIA,GHIA, respectivamente.respectivamente. Sabendo-se que o ângulo

Sabendo-se que o ângulo AG  AG ˆˆD D é reto e que a área deé reto e que a área de C C 1 é igual1 é igual a 1,

a 1, calcule a soma das áreas decalcule a soma das áreas deC C 2 e de2 e deC C 3.3.

21.

21. (UFRJ 04)(UFRJ 04)   A figura a seguir representa a planta de um  A figura a seguir representa a planta de um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados 40m, 50m, 35m, 45m, e 40m. em toda volta deste terreno foi 40m, 50m, 35m, 45m, e 40m. em toda volta deste terreno foi construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: a construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao terreno é exatamente 2m)

terreno é exatamente 2m)

Determine a área total da calçada. Determine a área total da calçada.

Referências

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