PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Carlos Alberto de Miranda Pinheiro
ANÁLISE COMBINATÓRIA:
organizações matemáticas e
didáticas nos livros escolares brasileiros no período
entre 1895-2009
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Carlos Alberto de Miranda Pinheiro
ANÁLISE COMBINATÓRIA:
organizações matemáticas e
didáticas dos livros escolares brasileiros no período
entre 1895-2009
Teseapresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de DOUTOR EMEDUCAÇÃO
MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho
BANCA EXAMINADORA
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Agradecimentos
Aos meus pais João e Adélia, pela educação familiar que me proporcionaram.
Àminha esposa Mônica e minhas filhas Viviane e Karla pelo amor, apoio e compreensão durante essa caminhada.
À minha ilustre orientadora, professora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho pela orientação firme e segura, mas também pela amizade, paciência e entusiasmo que proporcionaram a conquista de mais uma realização de vida.
Ao meu mestre e amigo professor Pedro Franco de Sá por ter sempre acreditado no meu trabalho desde a especialização e depois orientando o mestrado
À minha amiga, professora Rose Jucá, pelo seu apoio nos momentos de tristeza e alegria dessa caminhada.
Aos professores, Maria Jose Ferreira da Silva, Fumikazu Saito e Rute Elisabete de Souza RosaBorbapelas sábias orientações apresentadas durante o processo de qualificação.
Ao professor Saddo Ag Almouloud pela força e companheirismo dado ao longo dessa jornada
A todos os professores, do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da PUC-SP pelo incentivo e apoio oferecido de diversas maneiras.
À secretaria de Educação do Estado do Pará por ter acreditado nesse projeto.
À Universidade do Estado do Pará por nos proporcionar a oportunidade dessa formação.
Aos Meus amigos Gilberto Vogado, Antônio Sérgio, Antônio José, Rubens Vilhena, Walmir Mota por dividirem comigo os custos de manutenção em São Paulo e as angustia que passamos com essa jornada.
Ao Meu amigo professor AmariGoulart pelo apoio fornecido em São Paulo.
RESUMO
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma pesquisa que se propôs a investigar os saberes da Análise Combinatória estudada nas escolas brasileiras, no período entre 1895 e 2009. Esta pesquisa articula-se no interior do projeto “Educação Estatística e Educação Financeira na Escola Básica”, vinculado ao grupo de pesquisa PEA-MAT. Analisamos alguns aspectos didáticos e matemáticos presentes em sete livros didáticos que circularam nas escolas brasileiras, no período em questão, realizando um estudo bibliográfico e documental fundamentado em pressupostos da análise de conteúdo. Buscamos responder à seguinte questão de investigação: que características de inserção dos saberes da Análise Combinatória nos livros didáticos podem ser identificadas no período 1895-2009? A primeira fase da análise de conteúdo consistiu em reunir e estudar textos que nos informassem quais livros escolares apresentavam os saberes da Análise Combinatória e alguns aspectos do momento histórico desses livros, desde a fundação do Colégio Pedro II. Com isso, identificamos que o programa de 1895 foi o que teve a maior inserção de livros didáticos e de novos conteúdos escolares, antes das principais reformas educacionais ocorridas nas primeiras décadas do século XX. Também procuramos identificar no site do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD-Ensino Médio) o livro de Matemática mais utilizado nas escolas de Belém do Pará, na primeira fase de implantação desse programa, 2004-2009. A segunda fase da análise de conteúdo foi a exploração do material. Nesta fase foi realizada uma análise à luz da Teoria Antropológica do Didático, especificamente sobre as organizações praxeológica tanto matemáticas como didáticas, juntamente com a noção de modelos didáticos, proposta por JosepGáscon. Entre os resultados observados, destacamos que, enquanto nos primeiros livros o enfoque era apenas a apresentação da dedução das fórmulas, ao longo do tempo foi inserida a tarefa de calcular os valores a partir dessas fórmulas, passando, assim, de uma abordagem puramente teoricista para uma abordagem tecnicista ou clássica. Observa-se, também, uma mudança nas técnicas para calcular o Arranjo e a Permutação no livro produzido à luz das ideias do Movimento de Matemática Moderna e no livro mais recente, aprovado no PNLD-Ensino Médio. As tarefas e as técnicas, relativas ao cálculo do número de combinações simples, não sofreram transformações, ao longo do tempo. Ou seja, a organização praxeológica identificada no bloco tarefa/técnica/tecnologia/teoria passou de uma abordagem teoricista para uma abordagem tecnicista ou clássica ao longo de todo o período estudado.
ABSTRACT
This paper presents the development of a research, which proposed to investigate the knowledge of Combinatorial Analysis studied in the Brazilian schools during 1895 and 2009. This research articulates inside a project called “Educação Estatística e Educação Financeira na Escola Básica” (Statistical Education and Financial Education in Basic School), linked to the research group PEA-MAT. We analysed some didactic aspects and mathematicians present in seven textbooks used in Brazilian schools during that time, we also had a bibliographical and documental study in presuppositions of content analysis. We wanted to answer the following investigation question:what characteristics of knowledge insertion of Combinatorial Analysis are identified in textbooks during 1895 and 2009? The first phase of content analysis consisted in collecting and studying texts that would inform us what textbooks presented the knowledge of Combinatorial Analysis and some aspects of historical moments of these books, since the foundation of the Pedro II School. With this, we identified that the program of 1895 was the one with more insertion of textbooks and new school contents, before the main educational reforms occurred in the first decades of the XX century. We also tried to identify on the website of the Programa Nacional do Livro Didático (PNLD-Ensino Médio) (National Program of Textbooks-High School) the Mathematic book more used in Belémdo Pará schools, in the first phase of the program, 2004-2009. The second phase of content analysis was the material exploration. In this phase we analysed based on the Anthropological Theory of Didactic, specifically about the praxeological organizations not only mathematical but also didactic, together with the notion of didactic models proposed by Josep Gáscon. Among the results observed, we highlight that while in the first books the focus was only on presentation of formulas deduction, some years later, the task of calculating the values from those formulas was introduced, modifying the approach from theoretical to technical or classic. We can also observe the change in the techniques to calculate the Arrange and the Permutation in the book produced based on the Movement of Modern Mathematics and in a more recent book, approved by the PNLD-Ensino Médio. The tasks and the techniques related to the calculation of numbers of simple combinations will not undergo transformations as time goes by. That is, the praxeological organization identified in the block task/technique/technology/theory changed from a theoretical to a technical approach during the whole period studied.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de Item referente ao descritor 32 do SAEB. ... 20
Figura 2: Questão 29 da prova PRISE - Subprograma XIV ... 21
Figura 3: Questão 31 da prova PRISE - Subprograma XV ... 22
Figura 4: Solução do problema da roleta ... 23
Figura 5: Sistema de Referência das organizações didáticas. ... 56
Figura 6: Sumário do livro Eléments d`Algébrede. ... 66
Figura 7: Representação do número de Permutações com 2 letras. ... 68
Figura 8: Cálculo do número de Permutações com n letras... 69
Figura 9: Cálculo do número de Permutações com n letras... 71
Figura 10: Capítulo I: Binomio de Newton, livro Álgebra Elementar. ... 73
Figura 11: Introdução do capítulo I do livro Tratado de Álgebra Elementar. ... 74
Figura 12: Fórmulas do Arranjo e da Combinação com Fatorial. ... 76
Figura 13:Contra capa do livro Curso de Matemática. ... 80
Figura 14:Noção de Agrupamento. ... 81
Figura 15: Fórmula para o cálculo do número de Arranjos com repetição... 82
Figura 16: Permutação com elementos repetidos... 83
Figura 17: Capa do livro Matemática para os ... 87
Figura 18: Extensão da regra da Adição. ... 89
Figura 19: Relação da Inclusão-exclusão. ... 90
Figura 20: Regra do Produto... 91
Figura 21: Árvore de Possibilidade. ... 92
Figura 22: Árvore de possibilidades relativa ao problema. ... 94
Figura 23: Fórmula da Combinação Simples. ... 100
Figura 24: Situação-problema da introdução ... 107
Figura 25: Solução da situação-problema para introduzir o P.F.C ... 109
Figura 26: Resolução da primeira situação-problema utilizada para introduzir a noção de Permutação simples. ... 111
Figura 27: Resolução da segunda situação-problema utilizada para introduzir a noção de Permutação simples. ... 112
Figura 28: Institucionalização da Permutação simples ... 113
Figura 29: Apresentação do fatorial no livro ... 113
Figura 30: Figura 30: Noção de arranjo simples apresentada. ... 115
LISTA DE QUADROS
LISTA DE TABELAS
SUMÁRIO
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 15
1.1. Problemática ... 18
1.2. Questões de Pesquisa ... 26
1.3. Objetivos ... 26
1.4. Metodologia e Procedimentos ... 26
1.5. Descrição da estrutura do trabalho ... 31
2. REVISÃO DA LITERATURA ... 32
2.1. Estudos que investigaram dificuldades enfrentadas e estratégias desenvolvidas por alunos na resolução de problemas de contagem ... 32
2.2. Estudos que utilizaram metodologias para ensinar Análise Combinatória nas escolas ... 38
2.3. Estudos envolvendo relação dos professores com os saberes da Análise Cominatória ... 48
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 50
3.1. O enfoque antropológico ... 50
3.2. Modelos Didáticos de Josep Gascón ... 56
4. ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS E ASPECTOS HISTÓRICOS DOS LIVROS DIDÁTICOS NO PERIODO ENTRE 1985 ATÉ 2009 ... 62
4.1. Aspectos históricos e Livros didáticos que antecederam os anos 1900... 62
4.2. Análise de livros entre 1900 e 1960 ... 72
4.3. Análise de livro entre 1960 e 1980 ... 89
4.4. Análise de livro entre 1980 e 2009. ... 103
4.5. Aspectos gerais da análise realizada nos livros didáticos ... 120
CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS ... 131
REFERÊNCIAS. ... 135
ANEXO A ... 141
1.
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O surgimento da Análise Combinatória é marcado por uma fantástica invenção humana, o ato de contar. Muitas foram às formas de contar desenvolvidas por várias civilizações para solucionar problemas cotidianos. Uma dessas formas de contar é designada de método por agrupamento. Katz (2010) descreve que a primeira ocorrência da existência do referido método foi em Ishango, no Zaire, num osso fossilizado com data aproximada em 20 000 antes da era cristã (a.C.). O método consistia na utilização de uma barra (/) para representar o número 1; sendo usadas repetições apropriadas para representar números maiores. De acordo com Katz (2010) não há clareza em relação ao que as marcas no osso representavam. Contudo, elas podem representar uma contagem de certos períodos da lua.
A falta de clareza e as continuas suposições realizadas por alguns historiadores da Matemática para justificar certos registros deixados por civilizações antigas são contestadas por pesquisadores que seguem uma visão crítica da história da Matemática. Um exemplo disso pode ser observado em Roque (2012), quando a autora procura desconstruir um mito em relação à história dos números:
Normalmente, associa-se a história dos números à necessidade de contagem, relacionada a problemas de subsistência, e o exemplo mais frequente é o de pastores de ovelhas que teriam sentido a necessidade de controlar o rebanho por meio da associação de cada animal a uma pedra. Em seguida, em vez de pedras, teria se tornado mais prático associar marcas escritas na argila, e essas marcas estariam na origem dos números. Usamos aqui o futuro do pretérito – “teria”, “estariam” – para indicar que essa versão não é comprovada. As fontes para o estudo das civilizações antigas são escassas e fragmentadas (ROQUE, 2012, p.35).
como Victor J. Katz- que segue uma tendência factual da história - e como Tatiane Roque - que segue uma tendência crítica da história - enfatizam uma prática humana que atravessou séculos e continua fortemente presente nos dias atuais: a necessidade de quantificar as coisas. Diante disso, as civilizações tiveram que criar um procedimento para ser utilizado antes do ato de registrar as quantidades, denominado Contagem.
A Contagem é uma prática cultural desenvolvida a partir de técnicas criadas pelo homem para quantificar objetos. Com o intercâmbio cultural, que existiu entre as civilizações do oriente médio e, também, com os povos europeus, a prática da Contagem foi elevada por meio do estudo de técnicas de Contagens a um nível mais teórico e, com isso, surgiu um novo termo para o ato de contar objetos, por meio do estudo de técnicas de Contagens: Análise Combinatória ou simplesmente Combinatória.
Como descreve Djebbar (2013):
Se considerarmos a Combinatória em seu sentido geral, ou seja, todas as manipulações e estudos de configurações, sua presença é inegável em diferentes áreas da atividade intelectual árabe medieval e ela ocorre relativamente cedo. Como em outras tradições científicas, anteriores aquela dos países islâmicos, a combinatória vem em primeiro lugar em disciplinas não matemáticas, no sentido moderno do termo: astrologia, lexicografia, música, química e filosofia. Então, com a revitalização de áreas tradicionais (geometria, teoria dos números, astronomia) e no desenvolvimento de novas disciplinas (álgebra, cálculo, trigonometria dos indianos), aparecem outras preocupações Combinatória, relacionadas com estudos de questões teóricas. (DJEBBAR, 2013, p.83. Tradução nossa).
Nos dias atuais, podemos considerar que a Análise Combinatória é o ramo da Matemática que tem como objeto de estudo as estruturas discretas, as suas propriedades e relações internas. Para Cerioli e Viana (2010, p.12) uma estrutura é discreta se todos os conjuntos, operações e relações são finitos ou podem ser dados como uma lista infinita de elementos. Os autores explicam que os principais problemas estudados na Análise Combinatória são:
configurações existem, satisfazendo a uma dada especificação? A resposta para este problema pode ser exata ou aproximada. No primeiro caso, a resposta é o número de configurações; no segundo, a resposta pode ser um par de expressões fornecendo limites inferiores e superiores para o número de configurações. Problema de enumeração: listar todas as configurações, que corresponde a uma dada especificação. A resposta para este problema pode ser uma lista, contendo todas as configurações, dadas em uma certa ordem; ou quando isto é impraticável, um método que, quando aplicado, nos permite obter as configurações em dada ordem(CERIOLI e VIANA, 2010,p.14).
A Análise Combinatória que abordaremos neste estudo tratará especificamente dos Problemas de Contagem, pois são os tipos de problemas que observamos nos livros escolares brasileiros. Diante disso, admitimos que tais classes de problemas sejam importantes na formação dos estudantes, porque mobilizam a capacidade do indivíduo de analisar, de interpretar e de avaliar diferentes situações ou contextos, que envolvem ideias da Combinatória. Isto, em muitos casos, ocorre por meio de habilidades matemáticas básicas mobilizadas na resolução de problemas ou situações que necessitam do raciocínio combinatório para sua solução. No que se refere ao raciocínio combinatório, Borba (2010) dispõe:
realizar inferências e desenvolver soluções com base em certas amostras de algumas populações. Essas concepções estão no cerne do crescimento dos fenômenos naturais e do cotidiano que se tornam cada vez mais complexo; em alguns casos, pela dependência do homem em face das novas tecnologias da informação e da comunicação. Contudo, nossas experiências registraram, ao longo dos anos em que ministramos aulas para alunos do Ensino Médio, em escolas públicas e particulares, que ensinar e aprender Análise Combinatória são duas situações altamente complexas no contexto escolar.
1.1. Problemática
Diversos estudos têm sido realizados sobre o processo de ensino e aprendizagem da Análise Combinatória. Entre estes, identificamos três categorias de estudos:
Estudos que investigaram estratégia e dificuldades na aprendizagem dos saberes da Análise Combinatória, entre os quais citamos: Esteves (2001); Correia e Fernandes (2007); Fernandes, Silva e Soares (2004), Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996); Pacheco (2001); Duro (2012), Pessoa (2009);
Estudos que utilizaram sequências de ensino envolvendo os saberes da Análise Combinatória, como os realizados por:Sturm (1999); Rocha (2002); Dornelas (2004); Pinheiro (2008);
Estudos envolvendo professores e os saberes da Análise Combinatória, entre os quais: Sabo (2010) e Rocha (2011).
Estes estudos, de forma geral, têm evidenciado as dificuldades ora do sujeito que aprende (aluno), ou ora do sujeito que ensina (professor). Mas, também, podemos considerar que alguns avanços para minimizar tais dificuldades são apontados pelos mesmos estudos.
As dificuldades no processo de ensino e de aprendizagem da Análise Combinatória, apontada naqueles estudos, destacam que em alguns casos:
Os alunos confundem problemas de combinação com problemas de arranjos;
Os alunos desconhecem o uso da árvore de possibilidade como técnica para resolver determinados problemas;
Os alunos não conseguem resolver problemas de contagem com mais de uma operação combinatória;
Os alunos realizam operações aritméticas erradas utilizando as informações numéricas descritas no texto do problema;
Os professores se apresentam com muita fragilidade em relação ao domínio dos saberes do conteúdo da Análise Combinatória.
Os avanços identificados para diminuição das dificuldades, apontada naqueles estudos, destacam que em alguns casos:
O uso do Princípio Multiplicativo da contagem potencializa o desenvolvimento da noção de Arranjo simples, Arranjo com repetição e Permutação simples, evitando a memorização de fórmulas;
A técnica de listagem direta para contar agrupamentos simples tem se apresentado como uma importante ferramenta para o desenvolvimento do raciocínio combinatório dos alunos;
Os professores quando inseridos em curso de formação que os colocam diante das discussões acerca dos problemas relacionados com o ensino e aprendizagem da Análise Combinatória têm apresentado propostas significativas de mudança em relação às suas práticas docentes.
No que tange às questões de algumas avaliações em âmbito regional, Belém do Pará, e nacional, o quadro que apresenta o desempenho dos alunos em face dos problemas de contagem revela dados mais preocupantes. Como podemos observar nos exemplos a seguir.
determinado conteúdo de matemática, dos estudantes brasileiros concluintes do Ensino Médio, apresenta o exemplo que consta na Figura 1, relativo a determinado item do descritor D321, que exigia dos sujeitos participantes da avaliação a habilidade de resolver problemas envolvendo a extensão do princípio multiplicativo da contagem. E, segundo o documento oficial, somente 17% dos estudantes que realizaram a avaliação acertaram o problema.
Figura 1: Exemplo de Item referente ao descritor 32 do SAEB.
Fonte: BRASIL. PDE/ Prova Brasil, (2011)
Outra referência para nossas discussões está nas informações concedidas pelo Departamento de Acesso e Avaliações da UEPA (cf.ANEXO). A segunda etapa do Programa de Ingresso Seriado (PRISE)2 contém sempre um problema envolvendo Análise Combinatória. Na Figura 2, apresentamos o problema, que consta no boletim de questões do concurso de 2012, Subprograma XIV, no qual participaram da prova 13.131 candidatos.
1
.Descritor 32 – Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.
Com itens associados a esse descritor, pode-se avaliar a habilidade de o aluno resolver um problema de contagem usando ou o princípio multiplicativo ou a aplicação de fórmulas na resolução de uma situação-problema contextualizada. O raciocínio combinatório é uma das ideias da multiplicação, trabalhada desde as séries/anos iniciais, e que se revela importante na continuidade dos estudos e nos cálculos probabilísticos. (BRASIL. PDE/ Prova Brasil, 2011, p.123).
Figura 2: Questão 29 da prova PRISE - Subprograma XIV
Um profissional de design de interior precisa planejar as cores que serão utilizadas em quatro paredes de uma casa, para isso possui seis cores diferentes de tinta. O número de maneiras diferentes que esse profissional poderá utilizar as seis cores nas paredes, sabendo-se que somente utilizará uma cor em cada parede é:
a) 24 b) 30 c) 120 d) 360 e) 400
Fonte: Departamento de Acesso e Avaliação – UEPA (2014)
Somente 38,10% dos participantes assinalaram a alternativa correta (d); 37,11% assinalaram a alternativa (a); 12,44% assinalaram a alternativa (b); 11,4 % assinalaram a letra (c); e os demais participantes assinalaram a alternativa (e) ou deixaram em Branco. Os candidatos que assinalaram a alternativa (a) possivelmente efetuaram o produto entre o número de cores e o número de quartos (6x4). Este é um tipo de erro que aparece com certa frequência na literatura acadêmica e que foi revelado nos resultados da questão 29 da prova do PRISE, por aproximadamente 4.873 candidatos.
Figura 3: Questão 31 da prova PRISE - Subprograma XV
Segundo a revista VEJA (11/01/2012), cinco habilidades fundamentais compõem a nova teoria da inteligência social: Comunicação; Empatia; Assertividade; Feedback e Auto apresentação. Dentre as habilidades que compõem a nova teoria da inteligência social, o número de possibilidades distintas em que o setor de Recursos Humanos de uma empresa pode eleger três dessas habilidades é:
a) 120 b) 60 c) 30 d) 20 e)10
Fonte: Departamento de Acesso e Avaliação – UEPA (2014)
Os candidatos que assinalaram a alternativa (b) possivelmente utilizaram a noção de arranjos simples ou utilizaram a noção do princípio multiplicativo da contagem (5x4x3), mas o problema trata da noção de combinação simples. Este é um tipo de erro que aparece, também, com certa frequência na literatura acadêmica e que foi revelado nos resultados da questão 31 da prova do PRISE, por aproximadamente 5.318 candidatos.
Além das dificuldades apontadas nos estudos correlatos, também em nossa prática docente, ministrando aulas de Análise Combinatória para curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade do Estado do Pará (UEPA), observamos que comumente os alunos apresentam dificuldades para resolver problemas de contagem envolvendo agrupamentos que não podem ser contados, por meio de soluções consistentes. Estas são justificadas pelo uso do princípio multiplicativo da contagem, ou do arranjo, ou da permutação, ou da combinação. O motivo que explica essa questão é que existem problemas envolvendo agrupamentos simples que apresentam soluções mais consistentes quando são resolvidos por intermédio da árvore de possibilidade ou por outros princípios da Análise Combinatória. Como, por exemplo, o problema a seguir, encontrado em Magalhães e Oliveira (2004):
Os autores apresentam uma árvore de possibilidades (Figura 4), como estratégia na solução do problema para justificar as 11 maneiras diferentes que o jogo pode ocorrer. Nesse caso não é possível utilizar o princípio multiplicativo da contagem, pois a árvore de possibilidades não apresenta “regularidades” em seus ramos.
Figura 4: Solução do problema da roleta
Fonte: Magalhães e Oliveira (2004).
O nosso primeiro estudo relativo à Análise Combinatória (PINHEIRO e ROSA, 2006) procurou analisar as dificuldades que os alunos3 enfrentam quando são submetidos à solução de um grupo de problemas de contagem. Os resultados principais destacaram que 12% dos sujeitos acertaram todos os problemas; 28,3% erraram os problemas e os demais alunos não conseguiram resolver nenhum problema. Os problemas envolvendo combinações simples foram os que apresentaram maior índice de erros; em alguns casos, os sujeitos utilizavam a fórmula para calcular o número de arranjos simples como estratégia para solução de problemas envolvendo combinações simples, semelhante aos estudos citados anteriormente; e, também, houve situações em que os sujeitos somavam ou multiplicavam as informações numéricas dos problemas, incorrendo no uso inadequado de fórmulas.
A partir desses resultados, focamos a questão da culpabilidade do ensino. A forma como os saberes da Análise Combinatória eram ensinados passou a ser, no nosso entendimento, o problema que precisava ser investigado. Diante disso, realizamos uma consulta com vinte professores de matemática, procurando identificar a forma como eles ensinavam Análise Combinatória (PINHEIRO e SÁ,
2007). O estudo nos revelou que a prática pedagógica predominante na maioria dos professores investigados consistia em apresentar a definição e, em seguida, os exemplos e os exercícios4; as aulas eram elaboradas seguindo o livro didático; os docentes consideravam que os alunos apresentavam muitas dificuldades em responder os problemas de contagem que são resolvidos por mais de uma operação combinatória, em diferenciar os problemas que envolvem arranjos dos problemas que envolvem combinações.
A nossa interpretação dos resultados obtidos por Pinheiro e Rosa (2006) por Pinheiro e Sá (2007) nos fez acreditar que a causa das dificuldades dos alunos estava concentrada na forma como os professores ensinavam os saberes da Análise Combinatória.
Diante disso, realizamos uma investigação (PINHEIRO, 2008) que procurou verificar se uma sequência de ensino, desenvolvida por meio da resolução de problemas como um ponto de partida5, proporcionava condições favoráveis à institucionalização das noções do princípio multiplicativo, arranjos simples, Permutações simples e Combinações simples. Entre os resultados, destacamos que a metodologia de ensino mobilizou a participação dos sujeitos e mostrou-se como um caminho favorável às institucionalizações6 dos objetos matemáticos em questão. O uso do Princípio multiplicativo para justificar as noções de Permutação simples e Arranjo simples mostrou-se como uma técnica eficaz, mas algumas das dificuldades de aprendizagem identificadas nas pesquisas citadas anteriormente foram reveladas, também, no estudo. A principal delas consiste no uso da fórmula do Arranjo simples para resolver os problemas de Combinação simples.
Com os resultados de Pinheiro (2008), observamos que uma abordagem metodológica de ensino que se diferencie da Clássica, principalmente quando a resolução de problemas não fica em segundo plano na proposta, produz melhores
4.
ParaGáscon(2003), esta forma de ensinar é denominada de organizações didáticas Clássicas.
5
. Mendonça (1993), citada por Sá (2005), descreve que na resolução de problema como um ponto de partida os problemas são usados como recursos pedagógicos para iniciar o processo de construção de um dado conhecimento específico.
condições de ensino e aprendizagem dos saberes da Análise Combinatória. Contudo, observamos também que isso não representa a panaceia que evitará o surgimento das dificuldades de aprendizagem dos saberes da Análise Combinatória, descritas neste texto, principalmente aquelas que envolvem a noção de Combinação Simples. Diante disso, questionamo-nos se os saberes da Análise Combinatória, institucionalizados em nossas escolas e currículos oficiais, nacionais e estaduais, não poderiam ser também os causadores das referidas dificuldades.
Acreditamos que as situações descritas representam um extrato das dificuldades que professores e alunos enfrentam, respectivamente, durante o ensino e a aprendizagem dos saberes da Análise Combinatória. Nessa direção, consideramos que o principal argumento de nossa investigação é quetais dificuldades estão relacionadas com a forma como esses saberes vieram, ao longo dos anos, sendo desenvolvidos no contexto escolar, ou seja, com as poucas mudanças significativas em relação aos saberes a serem ensinados. Diante disso, nossa Hipótese é que no conteúdo dos livros didáticos existe um predomínio da memorização e utilização de fórmulas, em detrimento do desenvolvimento do raciocínio combinatório. Nesta perspectiva, fixamo-nos em analisar a problemática em discussão a partir da forma como esses saberes foram e estão impostos nos livros escolares brasileiros. Pois, corroboramos com Lima et al.(2001) quando nos diz que o livro didático é, na maioria dos casos, a única fonte de referência com que conta o professor para organizar suas aulas, aperfeiçoar seus conhecimentos e dosar a apresentação que fará em classe.
Sobre a forma como os conteúdos de Análise Combinatória são abordados nos livros didáticos, Lima et al.(2001) constataram que os saberes da Análise Combinatória, presentes em alguns livros7, apresentavam definições confusas sobre o arranjo simples, a permutação simples e a combinação simples; utilizavam linguagens obscuras e ambíguas para o conceito de permutação e combinação; apresentavam a ideia de que os problemas de Análise combinatória se reduzem a determinar o número de arranjos simples, combinações simples ou
permutações simples; apresentavam fórmulas sem demonstrações, além do que apresentavam erros na solução de exercícios resolvidos e utilizavam linguagem matemática inapropriada.
Por tudo isso, partindo do pressuposto que o ensino de Análise Combinatória é fortemente influenciado pelos livros didáticos, e da escassez de estudos que apontem os processos de transformação dos saberes da Análise Combinatória nos livros didáticos, bem como articulando estas questões à nossa prática profissional, surgiu a motivação para a realização desta pesquisa.
1.2. Questões de Pesquisa
Nesta pesquisa nos propomos a responder à questão: Que características de inserção dos saberes da Análise Combinatória nos livros didáticos podem ser identificadas no período de 1895-2009?
1.3. Objetivos
Investigar as organizações matemáticas e didáticas da Análise Combinatória, por meio de uma análise dos livros didáticos, utilizados nas escolas brasileiras, no período entre 1895-2009.
Como objetivos específicos, destacamos:
Identificar no percurso histórico dos livros didáticos de matemática, no período entre 1895-2009, os saberes da Análise Combinatória;
Analisar as organizações praxeológicas nos livros didáticos entre o período de 1895-2009.
1.4. Metodologia e Procedimentos
partir de material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos. O autor ressalta, ainda, que embora em quase todos os estudos seja exigido algum tipo de trabalho de natureza bibliográfica, há pesquisa desenvolvida exclusivamente a partir de fontes bibliográficas.
Como método de investigação, a análise de conteúdo compreende procedimentos especiais para o processamento de dados científicos. Nessa direção,Morais (1999) explica que a análise de conteúdo é uma ferramenta, um guia prático para ação, sempre renovada em função dos problemas cada vez mais diversificados que são propostas à investigação.
Bardin (2011, p.126) descreve que as diferentes fases da análise de conteúdo organizam-se em torno de três polos cronológicos: (1) a pré-análise; (2) a exploração do material e (3) o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação.
A pré-análise é a fase de organização, na qual se busca escolher os textos, formular as hipóteses e os objetivos e elaborar os indicadores ou categorias para a interpretação final. Trata-se de atividades não estruturadas que não seguem ordem cronológica. Nesta primeira etapa, Bardin (1995, p.125) sugere uma leitura “flutuante” que visa a um primeiro contato com o texto. Neste, retira-se as primeiras impressões e orientações.
A primeira fase consistiu em reunir e estudar textos que nos informassem quais livros escolares apresentavam os saberes da Análise Combinatória e alguns aspectos do momento histórico desses livros, desde a fundação do Colégio Pedro II. É importante ressaltar que a opção por esta instituição se deu porque crermos na sua importante influência nas primeiras reformas do ensino da Matemática no contexto nacional.
considerado a instituição de referência para o ensino secundário brasileiro. A obra intitulada “A Matemática do Colégio: livros didáticos para a história de uma disciplina”8, Valente (2011) explica que a sua finalidade é apresentar aos pesquisadores e interessados uma base de dados de livros didáticos destinados ao curso colegial, desde a década de 1930 até finais do chamado Movimento da Matemática Moderna (1980).Além dos textos de Valente(2007) e Valente (2011), tivemos acesso ao texto “Os livros didáticos de matemática na escola secundária brasileira no século XIX”,de Lorenz e Vechia (2004), e o texto “Euclides Roxo e a Constituição da Educação Matemática do Brasil”, de Dassie (2008), que nos ofereceram principalmente informações sobre os programas de ensino do colégio Pedro II e, também, informações sobre os livros analisados na pesquisa.
Após um estudo realizado nos textos de Valente (2007), Valente(2011), Lorenz e Vechia (2004) e Dassie (2008), executamos algumas etapas para que pudéssemos alcançar o primeiro objetivo específico da investigação:
A primeira etapa consistiu em um levantamento que fizemos de todos os livros didáticos descritos nas duas obras;
Na segunda etapa, passamos a visitar lojas de livros usados, bibliotecas particulares, bibliotecas de escolas e bibliotecas de Universidades para efeito de obtenção das obras levantadas na primeira etapa. Devemos ressaltar que todos os livros utilizados na pesquisa foram obtidos em lojas de livros usados;
A terceira etapa correspondeu ao critério de seleção das obras utilizadas.
Para nós foi interessante analisarmos: (i) obras que apresentavam influências estrangeiras ou que circularam, também, em escolas estrangeiras. Nossa crença era a de que essas obras pudessem nos fornecer informações acerca das primeiras finalidades dos saberes da Análise Combinatória nas escolas brasileiras e do efeito dessa influência nos livros produzidos por professores brasileiros. (ii) obras que foram inseridas nos programas do Colégio Pedro II ou em outras escolas brasileiras depois da Proclamação da República,
8.A obra em formato de DVD, na versão 1, de 2011, é uma produção do GHEMAT - Grupo de
em 1889. Após este importante momento da História do Brasil, surgiu, também, importantes reformas no contexto educacional. Para Lorenz e Vechia (2004), as reformas de Benjamim Constant em 1890, Fernando Lobo em 1892 e Cassiano do Nascimento em 1894 produziram alterações profundas no currículo do Colégio Pedro II. Os autores ressaltam, ainda, que o programa de ensino de 1895 foi o que apresentou maior relevância pela inserção de um volume maior de livros de matemática. (iii) obras escritas por professores do colégio Pedro II e/ou por professores com forte influência no contexto das mudanças educacionais do Brasil.
Diante disso, optamos por iniciar nossa pesquisa analisando livros que constavam no programa de 1895, do colégio Pedro II, por entendermos que essas mudanças representaram uma transição na mentalidade entre os séculos XIX e XX.
É importante deixar claro que esses critérios foram utilizados para selecionar os livros didáticos que circularam nas escolas brasileiras no período entre 1895 e 1980. O Quadro 1 apresenta o título do livro selecionado, oseu autor, o ano da obra e o critério de seleção.
Quadro 1 - Apresentação das obras do período ente 1895-1980 e critérios de seleção.
Título Autor Ano Critério de seleção
Éléments d`algébre Bourdon 1981 Livro que influenciou vários autores brasileiros e entrou no programa do Pedro II em 1985
Álgebra Elementar F.T.D. 1921 Livro de influência francês que circulou nas escolas da congregação dos irmãos maristas
Tratado de Álgebra
Elementar Serrasqueiro 1925 Livro de influência portuguesa que esteve durante muitos anos nos programas do Pedro II
Curso de
Matemática Roxo, Thiré e Souza 1940 Livro escrito por importantes professores de matemática do colégio Pedro II Matemática para
cursos clássico e científico
Carvalho 1956 Livro com importante representação na reforma de Capanema e escrito por um influente professor desse período
Matemática para um curso colegial moderno
Barbosa e
Roxa 1970 Livro de importante representação no período do Movimento de Matemática Moderna. E, também, escrito por influentes professores do referido período.
Fonte: Construção do Autor
Souza(1940), de Carvalho(1956) e de Barbosa e Roxa(1970) foram identificados na obra de Valente(2011). Os livros foram separados por períodos, após a identificação, a seleção e a leitura “flutuante” realizada nos livros. Este fato ocorreu na pesquisa, porque observamos, por intermédio da leitura “flutuante”, que os saberes da Análise Combinatória passaram por mudanças, no sentido de suas finalidades no contexto Matemático e na forma como seus saberes eram apresentados aos leitores, aspectos do contexto didáticos. Com isso, consideramos os seguintes períodos: antes de 1900, entre 1900 até 1960, entre 1960 até 1980 e 1980 até 2009. No que tange a esse último período, consideramos analisar o livro de Matemática mais utilizado nas escolas de Belém do Pará, na primeira fase do Programa Nacional do Livro Didático (Ensino Médio), no período entre 2004 e 2009. Dentro desse critério, identificamos o livro de Dante (2004). No capítulo 4, descrevemos mais informações acerca da seleção da referida obra.
A segunda etapa da análise de conteúdo é a exploração do material. Nesta fase foi realizada uma análise descritiva à luz de alguns aspectos da Teoria Antropológica do Didático, de Yves Chevallard, especificamente sobre as organizações praxeológica.Com isso, utilizamos as categorias já estabelecidas para análise das organizações praxeológica: as tarefas, as técnicas e o discurso teórico-tecnológico. Outro instrumento que utilizamos foi a noção de modelos didáticos, elaborada por Josep Gáscon, para efeito de análise das organizações didáticas presentes nos livros selecionados para a pesquisa.No capítulo 3, descrevemos mais informações sobre os elementos teóricos de Yves Chevallarde de Josep Gáscon utilizados como instrumentos de análise da pesquisa.
1.5. Descrição da estrutura do trabalho
Este trabalho está estruturado em 5 capítulos:
No capítulo1, referentes às considerações iniciais, apresentamos o nosso objeto matemático de pesquisa, a problemática, a motivação, a questão de investigação e o objetivo da pesquisa.
No capítulo 2, apresentamos uma revisão bibliográfica dos estudos desenvolvidos no Brasil e no exterior sobre Análise Combinatória.
No capítulo 3,apresentamos nosso aporte teórico, baseados na Teoria Antropológica do Didático e nos estudos sobre os modelos didáticos de referência do pesquisador Josep Gascón.
No capítulo 4,apresentamos as análises praxeológicas realizadas com os livros didáticos e, também, procuramos descrever a temporalidade histórica de cada livro a partir das ideias de alguns educadores matemáticos que desenvolvem suas pesquisas na história do livro didático e na história das disciplinas escolares.
2.
REVISÃO DA LITERATURA
Neste capítulo, apresentamos alguns estudos que encontramos na literatura acadêmica que abordam as questões voltadas para o ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória. Diante do universo de trabalhos já existentes sobre o tema, procuramos selecionar pesquisas cujo público alvo foi constituído por alunos e professores do Ensino Médio. Buscamos identificar:
Dificuldades enfrentadas e estratégias desenvolvidas por alunos na resolução de problemas de contagem;
Resultados obtidos por pesquisas que utilizaram metodologias para ensinar Análise Combinatória nas escolas;
Relação dos professores com os saberes da Análise Cominatória.
Com isso, foram selecionados três artigos, cinco dissertações e uma tese.
2.1. Estudos que investigaram dificuldades enfrentadas e estratégias desenvolvidas por alunos na resolução de problemas de contagem
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996) desenvolveram uma pesquisa intitulada “Raciocínio Combinatório em alunos do ensino secundário”. Para os autores, é importante analisar as variáveis que afetam os procedimentos e os erros dos alunos ao resolverem problemas da Análise Combinatória, mostrando como devem ser consideradas essas variáveis no aprendizado. Para efeito de análise, os autores descreveram e classificaram os problemas da Análise Combinatória com agrupamentos simples, segundo três modelos básicos: seleção, partição e colocação. Eles realizaram o estudo a partir de uma amostra de 720 alunos, com idades entre 14 e 15 anos, de nove escolas da cidade de Granada– Espanha -, utilizando como instrumento de coleta de dados um conjunto de 13 problemas de Análise Combinatória. Dos alunos que participaram da pesquisa, 352 haviam recebido instrução acerca das operações básicas de combinatória e 368 não haviam tido nenhum contato com o assunto em questão.
Enumeração não sistemática, que consiste em uma estratégia de tentativa e erro, sem qualquer procedimento recursivo que leve à formação de todas as possibilidades;
Uso incorreto do diagrama de árvore;
Erro de ordem, em que é considerada a ordem em situações em que é irrelevante ou não é considerada em situações em que é pertinente;
Erro de repetição, em que não é considerada a repetição dos elementos quando tal é possível ou é considerada em situações de impossibilidade;
Confundir o tipo de objeto, isto é, os objetos idênticos são considerados distinguíveis ou os objetos distintos são considerados indistinguíveis;
Confundir o tipo de subconjunto em modelos de partição ou de distribuição, que consiste em distinguir subconjuntos idênticos ou em não diferenciar subconjuntos distinguíveis.
Fernandes, Silva e Soares (2004) investigaram 38 alunos que ainda não haviam passado por qualquer experiência de ensino formal de Análise Combinatória. Os autores utilizaram um questionário, com cinco questões, abordando permutação simples e com repetição, arranjos simples e com repetição e combinação simples. Os resultados indicaram que os alunos têm intuições combinatórias muito limitadas em todas as formas de agrupamentos, destacando-se apenas o caso em que está envolvido um pequeno número de elementos e,também, a estratégia de enumeração (contagem direta) que permitiu aos alunos chegarem à resposta correta. Entre os problemas propostos, em termos gerais, os alunos obtiveram resultados ligeiramente melhores nos arranjos com repetição e piores nas combinações simples.
Em outro trabalho, desenvolvido em Portugal, no distrito de Braga, os pesquisadores Correia e Fernandes (2007) procuraram investigar as estratégias intuitivas de 27 alunos, do 9º ano de escolaridade, a partir da resolução de problemas de Análise Combinatória. Os autores empenharam-se em responder duas questões: “Que estratégias utilizam os alunos do 9º ano de escolaridade na
combinatória, número de elementos envolvidos na operação combinatória e desempenho em Matemática no desempenho dos alunos em combinatória?”.
Para Correia e Fernandes (2007), os alunos quando resolvem os problemas de Análise Combinatória utilizam com maior frequência a enumeração (contagem direta) como estratégia, seguida do pelo uso da árvore de possibilidade. O uso de fórmulas foi a estratégia utilizada por cinco alunos consultados. Os autores observaram, também, que quando ocorre nos problemas um aumento no tamanho da amostra dos elementos as estratégias mais utilizadas pelos alunos passam a ser a menos usada; diminuindo, assim, a eficácia das estratégias construídas para a construção de respostas corretas. A pesquisa desenvolvida por eles revelou que o maior fracasso dos alunos ocorreu na resolução dos problemas de combinação simples. Nesses problemas, a dificuldade dos alunos residiu no fato de considerarem a ordem, tal como tinham resolvido os problemas de arranjos.
Os erros apresentados por estudantes na resolução de problemas verbais no campo da Análise Combinatória foram objeto da investigação de Pacheco (2001). A autora desenvolveu um trabalho dentro de uma abordagem qualitativa com uma inspiração na análise cognitiva das produções escritas dos estudantes, da terceira série do Ensino Médio, com idade entre 17 e 23 anos. Os alunos, sujeitos da pesquisa, ainda não haviam estudado Análise Combinatória. A pesquisadora desenvolveu aulas expositivas acerca do assunto e proporcionou aos alunos acesso a uma bibliografia diversificada do assunto. As aulas foram desenvolvidas durante seis semanas com alunos de escolas públicas de diferentes cidades do Estado de Alagoas.
O objetivo do trabalho realizado por Pacheco (2001) foi confrontar as abordagens dos estudantes em diferentes tipos de problemas de Análise Cominatória e buscar algumas explicações para as possíveis performances nos diferentes casos e para os possíveis erros apresentados. Os problemas utilizados na pesquisa foram classificados do tipo simbólico “não-verbal”, “modelagem” e “verbais”, todos de Análise Combinatória.
direto das fórmulas. Entretanto, isto não implicou um desempenho mais adequado nos problemas do tipo verbal. Segundo a autora, uma boa habilidade com o uso de fórmulas não é suficiente para a resolução de problemas verbais que relacionam os conceitos de arranjo e de combinação com situações do dia a dia.
Pessoa (2009) verificou e analisou o desenvolvimento do raciocínio combinatório entre alunos do 2º ao 12º ano de escolarização, no Estado de Pernambuco. A autora definiu o raciocínio combinatório como sendo uma forma de pensar que permite que se levantem possibilidades e sejam analisadas as combinações das mesmas. O estudo contou com a participação de 568 alunos, de quatro escolas, sendo duas públicas e duas particulares. A escolha das referidas escolas, segundo a autora, se deu por uma questão de conveniência. Dessa forma, a amostra da pesquisa ficou distribuída com 255 alunos do Ensino Fundamental I (2º ao 5º ano), 174 alunos do Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano) e 139 alunos do Ensino Médio (10º ao 12º ano). Pessoa (2009) desenvolveu uma pesquisa de caráter descritivo para defender a tese segundo a qual o desenvolvimento do raciocínio combinatório é um processo longo que se amplia a partir de experiências extra escolares e vivências escolares – sejam diretamente relacionadas a situações combinatórias, sejam as indiretamente relacionadas- e que este desenvolvimento vai se modificando no sentido de uma maior sistematização e formalização na compreensão das definições de diferentes tipos de problemas(PESSOA, 2009, p.33).
Segundo Pessoa (2009), a produção dos dados da pesquisa foi realizada por meio de uma ficha com oito problemas de Combinatória, sendo dois de produto cartesiano, dois de combinação simples, dois de arranjos simples e dois de permutação simples. A análise dos dados foi realizada de forma qualitativa e quantitativa. Na abordagem qualitativa foram analisadas estratégias e as repostas apresentadas pelos alunos. Na abordagem quantitativa foi analisado o desempenho dos alunos a partir das variáveis: gênero (masculino e feminino), tipo de escola (pública e particular), nível de ensino, ano de escolaridade, significado combinatório dos problemas e ordem de grandezas dos números.
Análise Combinatória, e que o nível de desempenho aumenta à medida que os anos de escolaridades vão aumentando. Este fato, segundo a autora, independe do tipo de escola, pública ou particular. Entretanto, os alunos da escola particular tiveram um desempenho melhor que os alunos da escola pública. No estudo foi observado um avanço significativo no nível de desempenho dos alunos do Ensino Fundamental II em relação aos alunos do Ensino Fundamental I. Contudo, os avanços dos alunos do Ensino Fundamental em relação aos alunos do Ensino Médio não foram tão expressivos.
Os resultados da pesquisa de Pessoa (2009) revelaram que em todos os níveis de escolarização os problemas com pior nível de desempenho dos alunos foram os de combinação simples, seguidos pelos problemas de permutação simples. Os problemas de produto cartesiano tiveram o melhor percentual de acertos por parte dos alunos. Além disso, foi observado que a utilização de fórmulas como estratégia para resolver os problemas continua sendo feita de maneira inadequada. A autora descreveu, ainda, que o ato de listar os agrupamentos para posteriormente efetuar a contagem foi a estratégia que apresentou melhores resultados, principalmente por parte dos alunos que ainda não haviam estudado combinatória. A pesquisa de Pessoa (2009), também, confirmou que os problemas com menor ordem de grandezas nos resultados apresentam mais possibilidades de acertos.
Duro (2012) procurou investigar as estratégias utilizadas por estudantes, durante a realização de experimentos, levando em conta a estruturação do raciocínio e os esquemas previamente construídos por eles que possibilitam ou limitam o desenvolvimento raciocínio combinatório. A questão central da pesquisa realizada por Duro (2012) foi: “Como se dá a construção do Pensamento Combinatório em alunos do Ensino Médio?”. Com isso, segundo a autora, buscou-se, fundamentada na epistemologia genética de Piaget, compreender como os alunos do Ensino Médio Regular e da Educação de Jovens e Adultos (EJA) aprendem Análise Combinatória.
esse processo que o sujeito constrói generalizações e hipóteses. Com base nos estudos de Inhelder e Piaget, a autora descreve três níveis de Pensamento Combinatório utilizados na investigação:
Nível I: caracterizados por estarem em um nível de pensamento pré-operatório, esses sujeitos relacionam casualmente dois ou mais elementos ao mesmo tempo, observando apenas o resultado final (tendo em vista a sua forma atual estática), não entendendo as transformações como reversíveis. Não elaboram hipóteses prévias que possibilitem levá-los a uma dedução, ficando simplesmente restritos a um pequeno conjunto de combinações aleatórias não sistematizadas.
Nível II: caracterizados por estarem em um nível de operatório concreto, esses sujeitos são capazes de fazer pequenas sistematizações relacionadas ao real observado, podendo ainda estendê-las a situações virtuais, vinculadas a suas tentativas empíricas.
Nível III: Caracterizados por estarem em um nível de pensamento operatório formal, esses sujeitos apresentam como novidade, em relação aos demais, o método sistemático de obtenção de todas as combinações possíveis e a capacidade de generalizar e de criação de teorias (INHELDER e PAGET apud DURO, 2012,p.13).
A pesquisa realizada por Duro (2012) contou com a participação de 18 (dezoito) sujeitos, sendo oito alunos da EJA e dez alunos do ensino Médio regular. A autora utilizou o Método Clínico de investigação que lhe permitiu realizar intervenções, questionando os sujeitos, em busca da compreensão, da gênese do pensamento. A coleta de dados foi realizada por meio de registros de imagens e de aplicação de quatro problemas, envolvendo os agrupamentos básicos da combinatória (Princípio fundamental da contagem, arranjo simples, permutação simples, combinação simples), operacionalizados por meio de material concreto confeccionado pela própria pesquisadora. Segundo Duro (2012), a coleta de dados foi realizada por sessões individuais com os sujeitos, com duração média de uma hora. A autora identificou nos sujeitos investigados as seguintes características:
Os sujeitos do Nível II apresentaram: explicações presas ao concreto e levantamento de hipóteses sem considerações à lei geral.
No Nível III os sujeitos apresentaram: pensamento hipotético-dedutivo, dissociado do real; foco no processo e não no resultado; verificação de hipóteses no nível mental e tomada de consciência no processo (DURO, 2012, p.85).
Os resultados obtidos na investigação de Duro (2012) propiciaram à pesquisadora a seguinte reflexão:
A conceituação se dá por tomada de consciência, a qual se configura com um processo longo e trabalhoso no que tange às reconstruções estruturais. Construir um Pensamento Combinatório exige não só uma estrutura formal de pensamento, mas uma estruturação mental que possibilite ampliar este mecanismo até chegar a essa compreensão. Para isso, o raciocínio deve passar por abstrações reflexionantes realizadas pelo sujeito no plano dos possíveis. Ou seja, o sujeito deve trabalhar com hipóteses, sobre eventos inexistentes no mundo dos observáveis: as possibilidades (DURO, 2012, p.97).
Segundo Duro (2012), a construção do Pensamento Combinatório nos alunos independe da idade ou da série escolar. A pesquisa aponta que os sujeitos mais jovens demonstraram maior quantidade e qualidade na tomada de consciência do que os sujeitos mais velhos (alunos da EJA). Estes tentavam relacionar as situações-problemas com situações concretas de suas vidas, mas isso não garantiu melhor qualidade nos argumentos. E, finalmente, o uso das fórmulas para calcular os agrupamentos simples foi a estratégia mais usada pelos alunos.
2.2. Estudos que utilizaram metodologias para ensinar Análise Combinatória nas escolas
Sturm (1999) procurou investigar as possibilidades de um ensino de análise combinatória sob uma abordagem alternativa. O autor considerou como “alternativa” uma abordagem de ensino que é desenvolvida diferentemente das abordagens tradicionais (valoriza a definição do conceito, seguido de exemplos, exercícios e o uso excessivo de fórmulas). Os objetivos descritos pelo autor foram:
Identificar as possibilidades e limites em relação ao ensino-aprendizagem da proposta no sentido de colaborar em futuras investigações sobre análise combinatória;
Contribuir para o trabalho de professores de matemática do Ensino Médio que busquem aprimorar sua formação em relação ao ensino-aprendizagem de Análise Combinatória.
A proposta elaborada por Sturm (1999) abordou os seguintes tópicos: arranjo, permutação e a combinação, sem repetição de elementos. Foi desenvolvida por meio de resolução de problemas, com 33 alunos de uma escola particular da rede privada de ensino da cidade de ITU-SP. As aulas aconteciam no turno da noite e foi dividida nas seguintes etapas:
Formalização com problemas de contagem em geral (4 aulas): Nesta etapa, o professor apresentou inicialmente quatro problemas como o lançamento de uma moeda, o número de maneiras diferentes que uma pessoa vai de uma cidade A até uma cidade B e da composição de números a partir de alguns algarismos. Houve a necessidade de intervenção do professor, porém ele realizou dialogando com a turma e resolvendo por definitivo o problema contando com a participação da fala dos alunos.Isto é considerado pelo pesquisador como um processo de interação. Após a resolução dos problemas foi proposto outro grupo de quatro problemas retirados do chamado “cadernão da escola”;
Levantamento e observação das características dos problemas que determinam seu modo de resolução (3 aulas): Para o professor, as características que determinam o modo de resolução dos problemas foram: ordenação dos elementos, aplicação direta do princípio multiplicativo, aplicabilidade do diagrama de árvore. Nesta fase foi elaborada uma lista de exercícios- oito problemas - com o intuito de contemplar os diferentes temas, de modo que, a partir dela, fosse possível um levantamento das características e, na fase seguinte, a classificação dos problemas de Arranjo, Permutação e Combinações. Os problemas foram resolvidos em duplas e o autor considerou que foi possível levantar as características de cada um dos tipos de problemas. Os alunos compreenderam, de maneira geral, a importância da ordenação dos elementos nos agrupamentos e a necessidade de saber se há ou não repetição de elementos. Ressaltando que nesta etapa o pesquisador desenvolveu o processo de ensino da mesma maneira que foi desenvolvido nas etapas anteriores;
Relação das características (modo de resolver) com os temas em si e formalização dos conceitos: arranjo, permutação e combinação (8 aulas): Nesta última etapa, o professor utilizou 20 problemas que envolvem respectivamente Arranjo, Permutação e Combinação. Segundo o autor, nesta etapa os alunos estavam familiarizados com sua estratégia de ensino e com problemas de contagem. Dessa forma, tornaram-se fácil apresentar à turma as particularidades de cada um daqueles métodos de contagem e a apresentação de suas fórmulas.
As aulas se diferenciaram do método tradicional pelo fato de as definições não serem apresentadas inicialmente. No entanto, o professor apresentava e resolvia os problemas, propondo uma estratégia didática concentrada na interação dos alunos com a resolução dos problemas, que a princípio era resolvido pelo próprio professor:
mudança na relação do professor e dos alunos com a Análise Combinatória, mais precisamente no modo como aquele apresenta e discute cada tema (arranjo, permutação e combinação), primeiramente apresentando exercícios para depois chegar às sistematizações (STURM, 1999, p.81).
Os instrumentos de coleta de dados foram um caderno (diário), em que o pesquisador realizava anotações sobre o que tinha ocorrido durante as aulas; as avaliações dos alunos (duas provas escritas); um questionário para saber as concepções dos alunos quanto ao trabalho desenvolvido pelo professor-pesquisador.
Em suas conclusões, Sturm (1999) considerou que a proposta teve um efeito positivo e destacou alguns aspectos:
Os alunos trabalhavam durante todo o dia e mesmo assim participavam intensamente da pesquisa;
Os alunos demonstraram ter compreendido a “potencialidade” do Princípio Fundamental da Contagem na resolução de problemas combinatórios;
Os alunos passaram a ver as fórmulas de arranjo e permutação como apenas mais um auxílio na resolução dos problemas, pois perceberam que as fórmulas decorrem do modo direto do Princípio Multiplicativo.
É importante ressaltar o valor do trabalho desenvolvido por Sturm (1999), pois, tratou-se da primeira dissertação de mestrado no Brasil que teve como objeto de estudo o ensino e aprendizagem de Análise Combinatória.
Avançando nesse sentido, Esteves (2001) construiu duas sequências de ensino centralizadas na formação do conceito ligado à operação de Análise Combinatória, com a intenção de estudar a aquisição e o desenvolvimento dos primeiros conceitos de análise combinatória em adolescentes de 14 anos de idade, cursando a 8a série do Ensino Fundamental.
A segunda foi elaborada com a utilização de situações-problema e desenvolvida com um grupo experimental de alunos da 8a série do Ensino Fundamental, que nunca haviam tido contato com Análise Combinatória. Foram utilizados, em alguns casos, materiais concretos para resolver as atividades. Nesta etapa, a professora contou com 14 duplas de alunos. As situações-problema, inicialmente, envolveram apenas contagens diretas e depois o princípio fundamental da contagem até a institucionalização dos agrupamentos simples, sem suas respectivas fórmulas.
Esteves (2001) afirmou que a intenção da pesquisa foi a formalização do conceito, logo não ocorreu treinamento com os algoritmos utilizados no ensino de Análise Combinatória. O estudo foi desenvolvido com alunos de uma instituição da rede particular de ensino da Cidade de Santos, em São Paulo. Ambos os grupos foram submetidos a dois testes individuais: o primeiro antes de ser introduzido o ensino de Análise combinatória, contendo 10 questões do assunto; o segundo, após o contato com conteúdo, também contendo 10 questões que possuíam similaridades com as questões do pré-teste. É importante ressaltar que a sequência de ensino do grupo não experimental foi desenvolvida pela própria pesquisadora durante 12 horas/aulas e a do grupo experimental foi desenvolvida com uma hora de duração cada.
A pesquisadora procurou responder às seguintes questões: Em função do ensino oferecido, os sujeitos demonstram progresso verificável no que tange ao campo conceitual considerado? Como pergunta derivada da primeira: Tal evolução se diferencia daquela observada no grupo de referência?
O método misto (qualitativo-quantitativo) foi empregado na pesquisa durante a análise dos dados produzidos no pré-teste e no pós-teste. A abordagem metodológica utilizada foi qualitativa quando foram analisadas as aulas vídeo gravadas e áudio gravadas nas sequências de ensino.
Ao analisar as concepções apresentadas pelos alunos no pré-teste e na sequência de ensino, a pesquisadora pôde classificar algumas que dificultavam a aprendizagem dos tópicos da Análise Combinatória:
A falta de um procedimento recursivo que os levassem à formulação de todas as possibilidades. Isto acontecia quando os alunos resolviam problemas por enumeração, mediante tentativas e erros, principalmente nos casos em que a formação de todas as possibilidades se tornava exaustiva;
A resposta injustificada e errônea. Algumas vezes os alunos apresentavam uma solução numérica errônea, sem explicar de onde veio tal número ou ainda sem indicar o caminho percorrido para encontrá-lo;
O não uso da árvore de possibilidades ou a sua construção inadequada, a qual levava a uma interpretação errônea;
Nos problemas de permutação e arranjo, aparece a interpretação da palavra distribuir como dividir;
Nos problemas de combinação e arranjo, os alunos confundiam os critérios que deviam ser usados em cada situação e algumas vezes decidiam considerar a ordem importante quando esta não era ou vice-versa.
O estudo de Esteves (2001) revelou que os alunos pouco usavam a árvore de possibilidades mesmo quando esta estratégia era proposta como sugestão nos problemas. Contudo, considerou que a sequência de ensino desenvolvida com o grupo experimental foi bastante proveitosa, como podemos constatar na seguinte citação:
Durante a sequência, observamos que os alunos evoluíram passo a passo com as representações das resoluções e com as discussões relativas aos processos de resolução usados. Acreditamos que a mudança na forma de se trabalhar com o conteúdo seguindo uma abordagem que procurou envolver o aluno através de situações reais, além do trabalho desenvolvido em duplas criou um ambiente favorável para tal comportamento (ESTEVES, 2001, p. 184).
horário escolar, produzia mais interação entre o professor, o aluno e o saber matemático em jogo.
Em suas considerações finais, Esteves (2001) considerou que o estudo de Análise Combinatória deveria ser iniciado no Ensino Fundamental de forma significativa, sem apresentação de fórmulas, e que no Ensino Médio o aluno pudesse ter este conceito institucionalizado, apresentando as fórmulas de forma significativa e não apenas como algoritmo que o leve a mecanizar e associar palavras-chave.
Rocha (2002) investigou um processo de resolução de problemas de Análise Combinatória apoiando-se essencialmente na aplicação do princípio multiplicativo. Este processo de resolução de problemas centrou-se na análise da evolução do aprendizado dos alunos em relação à resolução de problemas de Análise Combinatória, à luz de influências de um método de ensino desenvolvido segundo pressupostos construtivistas. A pesquisa seguiu uma abordagem qualitativa de estudo de casos. O método de ensino de Combinatória proposto por Rocha (2002) seguiu as seguintes etapas:
Primeira Etapa: apresentar aos alunos problemas básicos de contagem direcionados a fatos do cotidiano e que pudessem ser resolvidos a partir do seu conhecimento prévio, sem formalização.
Segunda Etapa: apresentar aos alunos problemas mais complexos que envolveram os conceitos de Análise Combinatória.
Terceira Etapa: sugerir aos alunos que criassem e resolvessem seus próprios problemas referentes à contagem.
Quarta Etapa: partir do uso do princípio fundamental da contagem e resolver problemas de permutação, arranjo ou combinação e depois deduzir as respectivas fórmulas.
